2020浙江新中考数学一轮复习第25讲 解直角三角形 第2课时

类型一 解直角三角形中一个常见的模型
例1 如图 1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽 度，在河的南岸边点 A 处，测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45°方向，
然后向西走 60m 到达 C 点，测得点 B 在点 C 的北偏东 60°方向，如图 2.
(1)求∠CBA 的度数；
(2)求出这段河的宽(结果精确到 1m，备用数据 2≈1.41， 3≈1.73)．
同一平面上． (1)转动连杆 BC，CD，使∠BCD 成平角，∠ABC＝150°，如图 2，求连杆端点 D 离桌面 l 的高度 DE； (2)将(1)中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，使∠BCD＝165°， 如图 3，问此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度是增加还是减少？
增加或减少了多少？(精确到 0.1cm，参考数据： 2≈1.41，
问：校门打开了多少米？(结果精确到 1 米，参考数据：sin5°≈ 0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848)
【分析与解】先求出校门关闭时，20 个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打 开时，20 个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可． 如图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD. 根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0.3 米． ∵在菱形 ABCD 中，AB＝AD， ∴△BAD 是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3 米， ∴大门的宽是：0.3×20＝6(米)； 校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1. 根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0.3 米． ∵在菱形 A1B1C1D1 中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°， ∴在 Rt△A1B1O1 中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3≈0.02616(米)， ∴B1D1＝2B1O1≈0.05232 米， ∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464 米； ∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了 5 米．
正．中．间．处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tanα ＝52，则“人字
梯”的顶端离地面的高度 AD 是( B )
A．144cm
B．180cm
C．240cm
D．360cm
4．(2019·湖州)有一种落地晾衣架如图 1 所示，其原理是通 过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图 2 是支 撑杆的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆，
夹角∠BOD＝α .若 AO＝85cm，BO＝DO＝65cm.问：当 α ＝74°， 较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为 120 cm.(参考数 据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°
≈0.6)
【课本改变题】教材母题——浙教版八下，第 82 页 某学校的校门是伸缩门(如图 1)，伸缩门中的每一行菱形有 20 个， 每个菱形边长为 30 厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60° (如图 2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从 60°缩小为 10°(如 图 3)．
A．h(tan50°－tan20°)
B．h(tan50°＋tan20°)
C．htan170°－tan140°
D．htan170°＋tan140°
类型二 解直角三角形的测量问题
例2 (2018·绍兴模拟)如图，为测量一座山峰 CF 的高度，将 此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段，每一段山坡近似是 “直”的，测得坡长 AB＝800 米，BC＝200 米，坡角∠BAF＝ 30°，∠CBE＝45°. (1)求 AB 段山坡的高度 EF； (2)求山峰的高度 CF.( 2≈1.414，CF 结果精确到米)
3－1
答：这段河的宽约为 82m.
【解后感悟】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，
正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
本题涉及一个基本图形，常用于测高度，宽度，距离等．
如图 1 是基本图形，若 C，D，B 在同一直线上，且∠ABC＝Rt∠，
∠ACB＝α ，∠ADB＝β ，CD＝a，AB＝x，则有 x＝BD·tanβ ，x
约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°
≈0.45)( A )
A．21.7 米 B．22.4 米 C．27.4 米 D．28.8 米
类型三 解直角三角形的实际应用
例3 (2019·绍兴)如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底
座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm 的连杆 BC，CD 与 AB 始终在
∴下降高度：DE－DF＝20 3＋5－10 2－10 3－5＝10 3－10 2＝
3.2(cm)．
【解后感悟】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会 添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
3．(2018·杭州模拟)如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把
梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的
高度是( A )
A．5 米
B．6 米
C．6.5 米 D．12 米
2．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆
10m 的 A 处测得旗杆顶端 B 的仰角为 60°，测角仪高 AD 为 1m，则旗杆高 BC 为 (10 3＋1) m(结果保留根号)．
3．如图，将以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 ABC 沿直
【方法与对策】解应用题的基本思路是构建数学模型．解题的关键 是把实际问题转化为数学问题，只要涉及三角形的实际问题，把它 抽象到解直角三角形中进行解答，之后再还原成实际问题．这种题 型是中考常用的考查方式．
1．(2017·温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α 的斜
坡向上行驶
13
米，已知
cosα
12 ＝13，则小车上升的

m2

D．(4＋4tanθ )m2
【解析】地毯的形状是长方形，面积＝长×宽，又已 知宽为 1，只需求展直后地毯的长．根据平移，地毯 的长＝BC＋AC＝4＋4tanθ ，故选 D.
【解后感悟】解直角三角形是在直角三角形中， 已知两个元素(至少有一条边)求另外三个元素的 过程．选取合适的三角函数是关键．
第25讲 解直角三角形
第2课时 解直角三角形的应用
【问题】一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为 θ .现要在楼梯上铺一条地
毯．已知 CA＝4m，楼梯宽度为 1m，则地毯的面积至少需
要( )
A.si4nθ m2
B.co4sθ m2

4
C.4＋tanθ
＝CB·tanα
，∴taxnα
－taxnβ
＝a，∴x＝ 1
tanα
a 1
－tanβ
.
变式为如图
2，结论是
x＝ 1
tanα
a
＋ta1nβ
.
1．(2018·凉山州)无人机在 A 处测得正前方河流两岸 B、
C 的俯角分别为 α ＝70°、β ＝40°，此时无人机的高度
是 h，则河流的宽度 BC 为( A )
5．如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP 始终平分同一平 面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，点 D 与点 M 重合，且点 A、E、D 在同一条直线上，已知部分伞架的长
度如下：(单位：cm)
伞架 DE DF AE AF AB AC 长度 36 36 36 36 86 86 (1)求 AM 的长； (2)当∠BAC＝104°时，
求 AD 的长(精确到 1cm)． 备用数据：sin52°≈0.788， cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.
【 答 案 】 (1) 由 题 意 ， 得 AM ＝ AE ＋ DE ＝ 36 ＋ 36 ＝
72(cபைடு நூலகம்)．故 AM 的长为 72cm；
(2)∵AP 平分∠BAC，∠BAC＝104°， 1
【提示】课后请完成作业本BP35－36练习．
【答案】(1)由题意得，∠BAD＝45°，∠BCA＝30°，
∴∠CBA＝∠BAD－∠BCA＝15°；
(2)作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于 D，
设 BD＝xm，∵∠BCA＝30°， ∴CD＝tanB3D0°＝ 3x，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，则 3x－x＝60，
60
解得 x＝
＝30( 3＋1)≈82，
线 BC 平移得△A′B′C′，使 B′与 C 重合，连结 A′B，
则 tan∠A′BC′的值为__13__．
4．(2017·绍兴)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼， 小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼顶部 D 的仰角为 18°，教学楼底部 B 的俯角为 20°，量得实验楼与教学
楼之间的距离 AB＝30m.
3≈1.73)
【答案】(1)如图 2 中，作 BO⊥DE 于 O. ∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
图2 ∴四边形 ABOE 是矩形， ∴∠OBA＝90°， ∴∠DBO＝150°－90°＝60°，
∴OD＝BD·sin60°＝20 3(cm)， ∴DE＝OD＋OE＝OD＋AB＝20 3＋5≈39.6(cm)．
(2)作 DF⊥l 于 F，CP⊥DF 于 P，BG⊥DF 于 G，CH⊥BG 于 H.则四边 形 PCHG 是矩形，
图3 ∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°， ∴∠BCH＝30°， ∵∠BCD＝165°， ∴∠DCP＝45°，
∴CH＝BCsin60°＝10 3(cm)，DP＝CDsin45°＝10 2(cm)， ∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝(10 2＋10 3＋5)(cm)，
∴∠EAD＝2∠BAC＝52°.
过点 E 作 EG⊥AD 于 G， ∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG. 在△AEG 中，∵∠AGE＝90°，