2004高考全国卷4文科数学试题及答案(必修+选修Ⅰ甘肃青海宁夏贵州新疆等地区)
2004年高考全国卷(4)文科数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅳ）文科数学(甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,3,5}M =，{1,4,5}N =，则()U MC N =A ．{5}B ．{0,3}C ．{0,2,3,5}D ．{0,1,3,4,5} 2．函数)(2R x e y x ∈=的反函数为A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，则此三棱柱的体积为 A ．26 B ．6 C ．66 D ．36 4．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于A ．1B ．2C ．3D ．45．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 6．等差数列}{n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知函数14log y x =与y kx =的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则kA ．41-B ．41C ．21- D ．218．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 A ．210种 B ．420种 C ．630种 D ．840种 10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于A ．3-B ．2-C ．1- D．11．已知球的表面积为20π，球面上有,,A B C 三点.如果AB AC BC ===， 则球心到平面ABC 的距离为A ．1B ．2C ．3D ．2 12．ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边.如果,,a b c 成等差数列，30B ∠=，ABC ∆的面积为23，那么b =A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A = . 15．向量a 、b 满足()(2)4a b a b -+=-，且2a =，4b =，则a 与b 夹角的余弦值等于 .16．设y x ,满足约束条件：10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且sin 4α=，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等比数列，26a =，5162a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明2211n n n S S S ++⋅≤. 19．（本小题满分12分）已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积. 20．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. 21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，8AB =，AD =侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60. （Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积； （Ⅱ）证明PA BD ⊥. 22．（本小题满分14分）双曲线22221x ya b-=（1a >，0b >），的焦点距为2c ，直线l 过点(,0)a 和(0,)b ，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥.求双曲线的离ABCDP心率e 的取值范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 B C A D D B A D B C A B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．28 14．23 15．21- 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．（本小题主要考查等比数列的概念、前n 项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分.解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4. a 1q=6, 依题意，得方程组a 1q 4=162. 解此方程组，得a 1=2, q=3. 故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －1.（II ） .1331)31(2-=--=n n n S.1,113231332313231)33(3212122222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S 即19．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分. 解：y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b所以直线l 2的方程为.92231--=x y（II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S20．本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ，则 P （A 1）=0.8，P （A 2）=0.7，P （A 3）=0.6. （Ⅰ）这名同学得300分的概率 P 1=P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3） =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228.（Ⅱ）这名同学至少得300分的概率P 2=P 1+P （A 1A 2A 3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3） =0.228+0.8×0.7×0.6 =0.564.21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD. 作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯（Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅ 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.能过计算可得EO=3，AE=23， 又知AD=43，AB=8， 得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.22．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分.解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e。
2004年高考全国卷(3)文科数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学(内蒙古、海南、西藏、陕西、广西等地)一、选择题1.设集合(){}22,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈， 则集合M N 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42.函数sin2x y =的最小正周期是 A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 3.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =A ．2B ．2-C ．3D ．1-4.等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为A ．81B ．120C ．168D ．1925.圆2240x y x +-=在点P 处的切线方程是A ．20x +-=B ．40x -=C ．40x -+=D ．20x +=6.61)x展开式中的常数项为 A ．15 B ．15- C.20 D ．20-7.设复数z 的幅角的主值为23π，则2z =A ．2--B ．2i -C ．2+D ．2i8.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =A ．5B 2．549.不等式113x <+<的解集为A ．()0,2B ．()()2,02,4-C ．()4,0-D ．()()4,20,2-- 10正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为A C ．3 D11.在ABC ∆中，3AB =，BC =，4AC =，则边AC 上的高为A ．32 D ．12.4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有A.12种B.24种C.36种D.48种二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.13.函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .14.用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .15.函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . 16.设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解方程.012242=--+x x18.（本小题满分12分）已知α为锐角，且1tan 2α=,求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα-的值. 19.（本上题满分12分）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且,9221S S = 244S S =，求数列{}n a 的通项公式.20．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少？21.（本小题满分12分）三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，3PA PB PC ===，（1）求证：AB BC ⊥；（2）设AB BC ==，求PBC 与平面PAC 所成角的大小.22.（本小题满分14分） 设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0(),0,(2>c c F ，且椭圆上存在一点P ，使得直线1PF 与2PF 垂直.（1）求实数m 的取值范围；（2）设L 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与L 相交于点Q ，若3222-=PF QF ，求直线2PF 的方程.PA B C。
02---2004年高考数学试题(全国文科)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国文)一、选择题(每小题5分，共60分)1.设集合M ＝{(x,y)|x 2＋y 2＝1,x ∈R,y ∈R}，N ＝{(x,y)|x 2－y ＝0,x ∈R,y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为A1 B2 C3 D42.函数y ＝|sin 2x |的最小正周期是 A 2π B π C2π D4π 3.记函数y ＝1＋3－x 的反函数为y ＝g(x)，则g(10)＝A2 B －2 C3 D －14.等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为A81 B120 C168 D1925.圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1,3)处的切线方程为Ax ＋3y －2＝0 Bx ＋3y －4＝0Cx －3y ＋4＝0 Dx －3y ＋2＝0 6.6)x1x (-的展开式中的常数项为 A15 B －15 C20 D －207.设复数z 的辐角主值为32π，虚部为3，则z 2＝ A －2－23i B －23－2i C2＋23i D23＋2i8.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝21±x ，则该双曲线的离心率为e ＝A5 B 5 C 25 D 45 9.不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为A(0,2) B(－2,0)∪(2,4) C(－4,0) D(－4，－2)∪(0，2)10.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 A 322 B 2 C 32 D 324 11.在三角形ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为 A 223 B 233 C 23 D33 12.将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有A12种 B24种 C36种 D48种二、填空题(每小题4分，共16分)13.函数y ＝)1x (log 21 的定义域是＿＿＿＿。
2004高考全国卷4文科数学试题及答案(必修+选修Ⅰ甘肃青海宁夏贵州新疆等地区)
2004年高考试题全国卷4文科数学（必修+选修Ⅰ）（甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M ∩（N C U ）= （ ）A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，2，3，5}D ． {0，1，3，4，5} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x yD ．)0(2ln 21>=x x y3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为 （ ）A ．26 B ． 6 C ．66 D ．364． 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．218．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆 C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种 10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．－3B ．－2C ．－1D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ）A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．已知函数)0(sin21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A= .15．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a与b 夹角的余弦值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18．（本小题满分12分）已知数列{n a }为等比数列，.162,652==a a（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 是数列{n a }的前n 项和，证明.1212≤⋅++n n n SS S19．（本小题满分12分）已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.C20．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.22．（本小题满分14分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by ax 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围.2004年高考试题全国卷4文科数学（必修+选修Ⅰ）（甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区）参考答案一、选择题1—12 B C A D D B A D B C A B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．23 15．21-16．2三、解答题 17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)c o s (s i n c o s 4)c o s (s i n 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时41c o s ,0c o ss i n -=≠+ααα，所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．（本小题主要考查等比数列的概念、前n 项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分.解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4. 依题意，得方程组⎩⎨⎧=1626411q a q a 解此方程组，得a 1=2, q=3. 故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －1.（II ） .1331)31(2-=--=nnn S.1,113231332313231)33(3212122222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n SS S S S S 即19．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分.解：y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2 因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y（II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-.所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S 20．本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ，则 P （A 1）=0.8，P （A 2）=0.7，P （A 3）=0.6. （Ⅰ）这名同学得300分的概率 P 1=P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3） =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228.（Ⅱ）这名同学至少得300分的概率 P 2=P 1+P （A 1A 2A 3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3） =0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析y图1图2C 问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯（Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.能过计算可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8， 得.ABAD AEEO =所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD.得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90°所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.22．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+by a x ，即 .0=-+ab ay bx由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离 221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cab ba ab d d s =+=+=由,542,54c cab c s ≥≥得 即 .25222c ac a ≥-于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e。
2004考研数四真题及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则a =，b =.(2) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1x dy dx ==.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则200422B A -=．(5) 设()33⨯=ij a A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是．(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P .二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界( ) (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).(8) 设f (x )在(,)-∞+∞内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则( )(A)0x =必是()g x 的第一类间断点. (B) 0x =必是()g x 的第二类间断点. (C) 0x =必是()g x 的连续点.(D) ()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关.(9) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(10) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则 ( )(A) ()F x 在0x =点不连续.(B) ()F x 在(,)-∞+∞内连续，但在0x =点不可导. (C) ()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) ()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.(11) 设)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是( )(A) 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得)(0x f >()f a . (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > ()f b . (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有( )(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B .(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于( ) (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1.(14) 设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则( )(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设(,)f u v f (u , v )具有连续偏导数，且满足(,)(,)u v f u v f u v uv ''+=. 求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格(0,20)P ∈，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F x ≤≤的面积. 求(I) ()S t = S -)(1t S 的表达式； (II) ()S t 的最小值.(20) (本题满分13分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求(I) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (II) 该方程组满足32x x =的全部解． (21) (本题满分13分)设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值．若Tα)0,1,1(1=,T α)1,1,2(2=, T α)3,2,1(3--=, 都是A 的属于特征值6的特征向量．(I) 求A 的另一特征值和对应的特征向量； (II) 求矩阵A ．(22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求：(I) 二维随机变量),(Y X 的概率分布;(II) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (III) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 在区间)1,0(内服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(I) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；(II) Y 的概率密度； (III) 概率}1{>+Y X P ．2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】1,4a b ==-【详解】本题属于已知极限求参数的反问题. 方法1：根据结论：)()(limx g x f ＝A ，(1) 若()0g x →，则()0f x →；(2) 若()0f x →，且0A ≠，则()0g x →因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x (否则根据上述结论(2)给极限是0，而不是5)，由 0lim()lim lim 10xxx x x e a e a a →→→-=-=-=得a = 1.极限化00sin lim(cos )lim (cos )151x x x x xx b x b b e x→→- -=-=-等价无穷小，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.方法2：由极限与无穷小的关系，有sin (cos )5x xx b e aα-=+-，其中0lim 0x α→=，解出 (5)(cos )sin ,5x e x b xa αα+--=+上式两端求极限，000(5)(cos )sin (cos )sin limlim lim 10155x x x x x e x b x x b xa e ααα→→→+---==-=-=++ 把a = 1代入，再求b ，(5)(1)cos sin x e b x xα+-=-，两端同时对0x →取极限，得0(5)(1)lim(cos )sin x x e b x xα→+-=-000(5)(1)(5)limcos lim 1lim 15sin x x x x e x x x xαα→→→+-+=-=-=-4=- 因此，a = 1，b = -4.(2)【答案】211e e -+. 【详解】因为()()()222222111ln ln 12ln 1ln 11222x x xx x x e e e x e x e e ⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦+ 由 1ln arctan 22+-=x x xe e e y ，得 )1ln(21arctan 2++-=xx e x e y ，所以 222222222()1()1211112112111x x x x x xx x x x x xe e e e e e y e e e e e e '''=-+=-+=-+++++++，所以22222221111111111x x x x x x dye e e e e dxe e e e e ==⎛⎫-=-+=-+= ⎪+++++⎝⎭.(3)【答案】12- 【详解】方法1：作积分变换，令1x t -=，则11:2:122x t →⇒-→ 所以211122(1)()f x dx f t dt --=⎰⎰＝1121122()(1)f t dt dt -+-⎰⎰22211112222111122221111(1)(1)2222xx xxe dx dx e dx e ---=+-=--=-⎰⎰⎰11022=-=.(也可直接推出212120x xe dx -=⎰，因为21212x xe dx -⎰积分区间对称，被积函数是关于x 是奇函数，则积分值为零) 方法2：先写出的(1)f x -表达式()()21111,122(1)11,12x x e x f x x -⎧--≤-<⎪⎪-=⎨⎪- -≥⎪⎩即：2(1)13(1),22(1)31,2x x e x f x x -⎧-≤<⎪⎪-=⎨⎪-≥⎪⎩所以2322(1)2131222(1)(1)(1)x f x dx x edx dx --=-+-⎰⎰⎰2233(1)2(1)2211221311(1)22222x x e d x e --⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⎰11441111()02222e e =--=-=-.(4)【答案】⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100030003【详解】因为2A 010010100100001001--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，为对角阵，故有422100100()010*********A A E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以 211B P APP AP --=11()P A PP AP --=12,,P A P -=L200412004B P A P -=()50114P A P -=11P EP P P --==E =所以 200422B A -1002010001E -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭300030001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(5)【答案】T)0,0,1( 【详解】方法1：设12132122233132331a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，是正交矩阵，故的每个行(列)向量都是单位向量 所以有 22121311a a ++=，22213111a a ++=，得121321310,0.a a a a ====故 2223323310000A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又由正交矩阵的定义T AA E =知A 是可逆矩阵，且1TA A -=. 则b Ax =，有唯一解.1x A b -=T A b =2232233310011000000a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法2：同方法1，求得111=a 的正交阵为2223323310000A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是正交阵，由正交矩阵的性质可知，11A =-或不等于零，故A 22231122233233323310(1)0a a a a a a a a +==-222332330a a a a =≠，即有222332330a a a a ≠，则原方程b Ax =为1222233322333100x a x a x a x a x =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得1231,0x x x ===，即方程组有唯一解. (其中，由222332330a a a a ≠及齐次线性方程组0Ax =只有零解的充要条件是0A ≠，可知，方程组22223332233300a x a x a x a x +=⎧⎨+=⎩ 只有零解，故230x x ==. 进而1222233322333100x a x a x a x a x =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解为1231,0x x x ===.)(6) 【答案】e1 【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为,0()00x e x f x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若，其方差21λ=DX .于是，由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=11xe eλλ+∞--=二、选择题 (7)【答案】(A) 【详解】方法1：如果()f x 在(,)a b 内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数()f x 在(,)a b 内有界.当x ≠ 0 , 1 , 2时()f x 连续，而2211sin(2)sin(12)sin 3lim ()lim (1)(2)(11)(12)18x x x x f x x x x ++→-→------===-------，220sin(2)sin(02)sin 2lim ()lim (1)(2)(01)(02)4x x x x f x x x x --→→----===-----，22sin(2)sin(02)sin 2lim ()lim (1)(2)(01)(02)4x x x x f x x x x ++→→--===----， 22111sin(2)sin(12)lim ()limlim (1)(2)(1)(12)x x x x x f x x x x x →→→--===∞----，222222sin(2)sin(2)1lim ()limlim lim (1)(2)(2)2x x x x x x x f x x x x x x →→→→--====∞----， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).方法2：因为0lim ()x f x -→存在，根据函数极限的局部有界性，所以存在0δ>，在区间[,0)δ-上()f x 有界，又如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界，根据题设()f x 在[1,]δ--上连续，故()f x 在区间上有界，所以()f x 在区间(1,0)-上有界，选(A).(8)【答案】 (D) 【详解】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如果存在，是否等于g (0)，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.因为 011lim ()lim ()lim ()x x u g x f u f u x x→→→∞= = = a ，又(0)0g =，所以， 当0a =时，)0()(lim 0g x g x =→，即()g x 在点0x =处连续，当0a ≠时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即0x =是()g x 的第一类间断点，因此，()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关，故选(D).(9) 【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式： ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩, ()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,()0lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增， ()00lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时, ()20f x ''=>，()f x 为凹函数； 当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数, 于是(0,0)为拐点.(10)【答案】 (B)【详解】先求分段函数()f x 的变限积分⎰=xdt t f x F 0)()(，再讨论函数()F x 的连续性与可导性即可.方法1：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设()f x 在[,]a b 上除点(),c a b ∈ 外连续，且x c =为()f x 的跳跃间断点，又设()()xcF x f t dt =⎰，则(1)()F x 在[],a b 上必连续；(2))()(x f x F ='，当[],x a b ∈ ，但x c ≠；(3)()F c '必不存在，并且()(),()()F c f c F c f c +-+-''= =直接利用上述结论，这里的0c =，即可得出选项(B)正确. 方法2：当0x <时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当0x >时，x dt x F x==⎰01)(，当0x =时，(0)0F =. 即()F x x =，显然，()F x 在(,)-∞+∞内连续，排除选项(A)，又0(0)lim 10x x F x ++→-'==-，0(0)lim 10x x F x --→--'==--，所以在0x =点不可导. 故选 (B).(11)【答案】(D) 【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项. 方法1：举例说明(D)是错误的. 例：2()4,11f x x x =--≤≤，11(1)220,(1)220x x f x f x =-=''-=-=>=-=-<.但在[1,1]-上()30f x ≥>.方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.由已知)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ，所以选项(C)正确；另外，由导数的定义0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，根据极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >，所以选项(A)正确.同理，()()()lim 0x bf b f x f b b x-→-'=<-，根据极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以选项(B)正确，故选(D).(12)【答案】(D ) 【详解】方法1：矩阵等价的充分必要条件：矩阵A 与B 等价⇔A ,B 是同型矩阵且有相同的秩,故由A 与B 等价，知A 与B 有相同的秩.因此，当0||=A 时, n A r <)(, 则有n B r <)(, 即0||=B , 故选(D).方法2：矩阵等价的充分必要条件：A 与B 等价⇔存在可逆,P Q ，使得PAQ B =. 两边取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得PAQ P A Q B ==. ,P Q 可逆，由矩阵A 可逆的充分必要条件：0A ≠，故00P Q ≠≠，但不知具体数值.由P A Q B =，知0A ≠时，B 不能确定.但0A =有0B =.故应选(D).方法3：由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：(1)A 中某两行(列)互换得B ，则B A =-. (2)A 中某行(列)乘(0)k k ≠得B ，则B k A =. (3)A 中某行倍加到另一行得B ，则B A =.又由A 与B 等价，由矩阵等价的定义：矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称A 与B 等价，知.B k A =±故当0A ≠时，0B k A =±≠，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但0||=A ，则0B =，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即若0||=A 0B ⇒=，若0A ≠0B ⇒≠.故应选(D).(13) 【答案】(C)【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0x >有{}{}{}12P X x P X x P X x >=<-=>. 或直接利用图形求解. 方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据分位点的定义有21α-=u x ，故应选(C). 方法2：图一 图二Oxy()f x{}P X u αα=Oxy{}P X x <=12α- ()f x如图一所示题设条件.图二显示中间阴影部分面积α，{}P X x α<=.两端各余面积12α-，所以12{}P X u αα-<=，答案应选(C).(14)【答案】A.【详解】由于随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布，所以必有：2, (,)0, i j i jCov X X i j σ⎧==⎨≠⎩又 222111()n n ni i i i i i i i D a X a D X a σ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑下面求1(,)Cov X Y 和1()D X Y +.而11,ni i Y X n ==∑故本题的关键是将Y 中的1X 分离出来，再用独立性来计算.对于选项(A)：1111112111(,)(,)(,)(,)n n i i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n ====+∑∑11DX n =21nσ=所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项. 因为X 与Y 独立时，有()()()D X Y D X D Y ±=+. 所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：22211222111(1)1()()n n n n D X Y D X X X n n n n n σσ++-+=+++=+L =222233σσn n nn n +=+， 222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=-Λ=.222222σσn n nn n -=- 所以本题选 (A)三、解答题(15)【详解】求“∞-∞”型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除以某一式以化简.22201cos lim()sin x x x x →- 通分222220sin cos lim sin x x x x x x →-sin x x :等价22240sin cos lim x x x x x →- 22401sin 24lim x x x x →-=洛()22041sin 24lim x x x x→'⎛⎫- ⎪⎝⎭'3012sin 42lim 4x x x x →-= 洛()0312sin 42lim 4x x x x →'⎛⎫- ⎪⎝⎭'201cos 4lim 6x x x →-=2202sin 2lim 6x x x →=sin 22x x :等2202(2)lim 6x x x →43=.(16)【详解】利用对称性与极坐标计算.方法1：令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，根据二重积分的极坐标变换：()()12{(,)|,}D x y r r r αθβθθ=≤≤≤≤，则：()()()()21,cos ,sin r r Df x y d f r r rdr βθαθσθθ=⎰⎰⎰⎰122D x y d σ+化为极坐标：221{(,)|4}{(,)|02,0D x y x y x y θπ=+≤=≤≤所以122D x y d σ+222220cos sin d r r rdr πθθθ=+⎰⎰2220d r dr πθ=⎰⎰；222D x y d σ+化为极坐标：2223{(,)|(1)1}{(,)|,02cos }22D x y x y x y r ππθθ=++≤=≤≤≤≤-所以222D x y d σ+32cos 222222cos sin d r r rdr πθπθθθ-=+⎰⎰32cos 222d r dr πθπθ-=⎰⎰所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d 22cos 33322020033r rd d θπππθθ-=-⎰⎰332288cos 233d ππθπθ-=⋅-⎰()32228821sin sin 33d πππθθ=⋅+-⎰332288sin 2sin 333ππθπθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭16822333π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭)23(916932316-=-=ππ 区域D 关于x 轴对称，Dyd σ⎰⎰中被积函数y 为y 的奇函数，根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，若D 关于x 轴对称，(),f x y 对y 为奇函数，则(),0Df x y d σ=⎰⎰，所以0=⎰⎰Dyd σ所以22()Dx y y d σ+⎰⎰22DDx y d yd σσ=++⎰⎰16(32)9π=-. 方法2：22()Dx y y d σ++⎰⎰22DDx y d yd σσ=++⎰⎰22D 20x y d σ=++⎰⎰上半极坐标变换22222002cos 22[]d r dr d r dr πππθθθ-+⎰⎰⎰⎰2233202cos 2[]233r r d ππθπθ-=⋅+⎰32888cos 2333d πππθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰()2288161sin sin 333d ππππθθ=++-⎰ 321616sin sin 333πππθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭16(32)9π=-.(17)【详解】求复合函数的偏导数，求一阶线性微分方程的解 方法1：由2()(,)xy x ef x x -=，两边对x 求导有，222122(,)(,)(,)x x x y e f x x e f x x e f x x ---'''=-++()22122(,)(,)(,)x x e f x x e f x x f x x --''=-++()2122(,)(,)x y e f x x f x x -''=-++已知uv v u f v u f v u='+'),(),(，即12(,)(,)f u v f u v uv ''+=，则212(,)(,)f x x f x x x ''+=. 因此，()y x 满足下述一阶微分方程为 x e x y y 222-=+'.由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式：()()()()P x dx P x dx f x e C Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这里()()222,x P x Q x x e -= =，代入上式得：2222()dx dxx y e x e e dx C --⎰⎰=+⎰2222()x x x e x e e dx C --=+⎰22()xex dx C -=+⎰323xx eC -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(C 为任意常数). 方法2：由2()(,)xy x ef x x -=有 2(,)()x f x x e y x = (1)已知(,)f u v 满足 (,)(,)u v f u v f u v uv ''+= (2)这是一个偏微分方程，当,u x v x ==时(2)式变为212(,)(,)f x x f x x x ''+=2(,)df x x x dx= 以(1)代入，有 22(())xe y x x '=，即2222()()xxe y x e y x x '+=， 化简得 22()2()xy x y x x e -'+=，由通解公式得x dxx dx e C x C dx e e x e y 232222)31()(---+=+⎰⎰=⎰(C 为任意常数).(18)【详解】(I) 由于需求量对价格的弹性d E > 0，所以dPdQQ P E d =1005Q P =-()10051005P P P '--20P P -=-(0,20)P ∈ 20P P -； (II) 由R PQ =，得dR dP ()d PQ dP =dQ Q P dP =+(1)P dQ Q Q dP =+(1)20PQ P-=+-(1)d Q E =-要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，0<dPdR，即证(1)01d d Q E E -<⇒>，换算成P 为120PP>-，解之得：10P >，又已知(0,20)P ∈，所以2010P >>，此时收益随价格降低反而增加.(19)【详解】当0x >时，0x -<，所以()()22()x x F x ee F x ---===，同理：当0x <时，x->，所以()()22()x xF x e e F x---===，所以()y F x=是关于y轴对称的偶函数.又2lim()lim0xx xF x e-→+∞→+∞==，2lim()lim0xx xF x e→-∞→-∞==，所以x轴与曲线()y F x=围成一无界区域，面积S可用广义积分表示.()y F x=图形如下：(I) ()S F x dx+∞-∞=⎰()F x偶函数22xe dx+∞-⎰2(2)xe d x+∞-=--⎰201xe+∞-=-= )(1tS表示矩形t x t-≤≤，0()y F x≤≤的面积，所以ttetS212)(-=，因此21()()12tS t S S t te-=-=-，(0,)t∈+∞.(II) 由于tettS2)21(2)(---='，令()0S t'=，得()S t的唯一驻点为21=t，又()S t''()22(12)tt e-'=--222448t t te e te---=+-28(1)tt e-=-，04)21(>=''eS，所以eS11)21(-=为极小值，它也是最小值.(20)【详解】已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，故可将T)1,1,1,1(--代入方程组，有110,21120,3(2)(4)41,λμλμ-+-=⎧⎪-++=⎨⎪-+++-=⎩解得μλ=．代入原方程，并对方程组的增广矩阵A施以初等行变换, 得1102112032441Aλλλλ⎛⎫⎪= ⎪⎪++⎝⎭1101(-2),(-3)0121200230224211λλλλλλ⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭u u u u u u u u u u u u u u u u r行乘分别加到，行110110(-1)012120001311 3013110121200λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u u u u u u u u u r u u u u u u u r2行2，3行加到行互换1102(21)013113002(21)2121λλλλλλ⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭u u u u u u u u u u u u u u r 行加到行 ()I 当21≠λ时，有 A 3(21)λ÷-u u u u u u u u u u u u u u r 行 1100131100211λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故43)()(<==A r A r . 定理：设A 是m n ⨯矩阵，方程组Ax b =，则，(1)有唯一解()()r A r A n ⇔==；(2)有无穷多解()()r A r A n ⇔=<；(3)无解：()1()r A r A ⇔+=，故方程组有无穷多解.所以，该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组同解方程组为1234234343020x x x x x x x x x λλ+++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 由于此方程组的系数矩阵的秩为3，则基础解系的个数为43n r -=-=1，故有1个自由未知量.选2x 为自由未知量，取21x =-，得方程组的基础解系为Tη)2,1,1,2(--=，取非齐次方程的一个特解为0(1,0,0,1)Tξ=-，故方程组的全部解为0k ηξ+(k 为任意常数)．当21=λ时，有 11110220131100000A ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭， 可知，42)()(<==A r A r ，所以该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组的同解方程组为12342341102230x x x x x x x ⎧+++=⎪⎨⎪++=⎩ 则基础解系的个数为42n r -=-=2，故有2个自由未知量.选34,x x 为自由未知量，将两组值：(1,0),(0,2)代入，得方程组的基础解系为Tη)0,1,3,1(1-=，Tη)2,0,2,1(2--=，取非齐次方程的一个特解为0(1,0,0,1)Tξ=-，故方程组的全部解为0112212(1,0,0,1)(1,3,1,0)(1,2,0,2)T T T k k k k ξξηη=++=-+-+--(21,k k 为任意常数)．()II 当21≠λ时，方程组的通解为 0(1,0,0,1)(2,1,1,2)(21,,,21)T T T k k k k k k ξξη=+=-+--=---+若32x x =，即k k =-得0k =，故原方程组满足条件32x x =的全部解为(1,0,0,1)T-.当21=λ时，方程组的通解为 0112212(1,0,0,1)(1,3,1,0)(1,2,0,2)T T T k k k k ξξηη=++=-+-+--=121212(1,32,,21)Tk k k k k k ----+若32x x =，即 12132k k k --=，得212k k =-，代入通解，得满足条件32x x =的全部解为1(3,1,14)(1,0,0,1)T Tk -+-(21)【分析】由矩阵A 的秩为2, 立即可得A 的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A 也立即可得.【详解】()I A 的秩为2，于是0||=A ，所以|0|0E A A ⋅-==，因此A 的另一特征值03=λ．特征值的性质：若i λ是矩阵A 的k 重特征值，则矩阵A 属于的线性无关的特征向量的个数不超过k 个又621==λλ是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量个数2≤. 因此123,,ααα必线性相关.由题设知T α)0,1,1(1=，T α)1,1,2(2=为A 的属于特征值6的线性无关的两个特征向量.定理：实对称矩阵对应与不同特征值的特征向量是正交的.设03=λ所对应的特征向量为Tx x x α),,(321=,所以，01=ααT，02=ααT，即⎩⎨⎧=++=+,02,032121x x x x x则基础解系的个数为32n r -=-=1，故有1个自由未知量. 选2x 为自由未知量，取21x =得方程组的基础解系为Tα)1,1,1(-=，故A 的属于特征值03=λ全部特征向量为T k αk )1,1,1(-= (k 为任意不为零的常数)．()II 令矩阵),,(21αααP =，求1P -121100111010011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M M 1211001(1)2012110011001-⎛⎫ ⎪⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭MM u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r M 行加到行 12110012012110003111-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭M M u u u u u u u u u u u u r M 行加到行1211000121100011/31/31/3-⎛⎫ ⎪÷-- ⎪ ⎪-⎝⎭M M u u u u u u u r M 3行3 1211000101/31/32/30011/31/31/3-⎛⎫ ⎪⨯--- ⎪⎪-⎝⎭M M u u u u u u u u u u u u u u u u r M 3行(-2)+2行10001120101/31/32/30011/31/31/3-⎛⎫ ⎪⨯--- ⎪ ⎪-⎝⎭M Mu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r M 3行，2行依次加到1行， 1000112(1)0101/31/32/30011/31/31/3-⎛⎫ ⎪⨯-- ⎪ ⎪-⎝⎭M M u u u u u u u u u u r M 行则 1P -=011112333111333⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0661AP P ，所以 1066-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P P A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3131313231311100661********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422242224．(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。
2004年全国高中数学联赛试题及答案详解
M 中 存 在 3 个 两 两 互 质 的 元 素 ， 故 f(n) 存 在 且 f(n) ≤
()
A．[－ 26， 26]
B．(－ 26， 26)
C．(－2 3 3，2 3 3]
D．[－2 3 3，
23 3]
3．不等式 log2x－1+12log12 x3+2>0 的解集为
A．[2，3)
B．(2，3]
C．[2，4)
D．(2，4]
4．设点 O 在ABC 的内部，且有→ OA +2→ OB +3→ OC =→0 ，则ABC 的面积与AOC 的面积的比
4．设点 O 在ABC 的内部，且有→ OA +2→ OB +3→ OC =→0 ，则ABC 的面积与AOC 的面积的比
为( )
A．2
B．32
C．3
D．53
【答案】C
【 解 析 】 如 图 ， 设 AOC=S ， 则 OC1D=3S ， OB1D=OB1C1=3S ，
B
AOB=OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3S．选 C．
H
E
B
⑵ 证明有 n0∈N*，使得对∀n>n0，都有bb21+bb23+…+bbn－n 1+bbn+n1<n－2004．
三．(本题满分 50 分)对于整数 n≥4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，
集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素．
1 36 +g(tanu3)< 4 ．
【解析】⑴ +=t，=－14．故<0，>0．当 x1，x2∈[，]时，
DA2004年高考数学全国卷Ⅰ文科(必修+选修Ⅰ)
2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．{x |x ≥0} 14．3·2n －3 15．422=+y x 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分 （Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分 18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分. 解：x x x x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x 所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.………………6分)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x 由函数3x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数.综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分.解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分 （Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分 21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角，………………4分∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG. 又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA 于是有 所以GA PB BC PB u u u r u u u r u u u r u u u r g ⊥⊥．GA u u u r 、BC uuu r 的夹角θ等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ， FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°.在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △GAE 中，AE=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =23，又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan 23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.解：（I ）由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122ΛΛY Θ+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a a aa e （II ）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得Θ……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222ΛΛΛ=>=----=--=a a a a x a a x a a x。
2004 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷四
!""#年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷!）数学本试卷分第"卷（选择题）和第#卷（非选择题）两部分$满分%&"分$考试时间%!"分钟$第"卷（选择题共’"分）参考公式：三角函数的和差化积公式：()*!+()*",!()*!+"!・-.(!/"!()*!/()*",!-.(!+"!・()*!/"!-.(!+-.(",!-.(!+"!・-.(!/"!-.(!/-.(",/!()*!+"!・()*!/"!正棱台、圆台的侧面积公式!台侧,%!（"0+"）#其中"0，"分别表示上、下底面周长，#表示斜高或母线长球体的表面积公式：!球,#$$!其中$表示球的半径一、选择题：本大题共%!小题，每小题&分，共’"分$在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的$%1设集合%,｛（&，’）2&!+’!,%，&!!，’!!｝，(,｛（&，’）2&!/’,"，&!!，’!!｝，则集合%"(中元素的个数为31%41!51671#!1函数’,()*&!的最小正周期是31$!41$ 51!$71#$61（理）设数列｛)*｝是等差数列，且)!,/’，)8,’，!*是数列｛)*｝的前*项和，则31!#9!&41!#,!&51!’9!&71!&,!’（文）等比数列｛)*｝中，)!,:，)&,!#6，则｛)*｝的前#项和为318%41%!"51%’871%:!#1圆&!+’!/#&,"在点+（%，#6）处的切线方程为31&#+6’/!,"41&#+6’/#,"51&#/6’+#,"71&#/6’+!,"&1（理）函数’,;.<%!（&!/%#）的定义域是31［#/!，/%）$（%，#!］41（#/!，/%）$（%，#!）51［/!，/%）$（%，!］71（/!，/%）$（%，!）（文）记函数’,%+6/&的反函数为’,,（&），则,（%"）,31!41/!51671/%’1设复数-的辐角的主值为!$6，虚部为#6，则-!,##31/!/!6)41/!6/!)##51!+!6)71!6+!)=1设双曲线的焦点在&轴上，两条渐近线为’,>%!&，则该双曲线的离心率.为#31&41&51#&!71Q不等式%92&+%296的解集为31（"，!）41（/!，"）$（!，#）51（/#，"）71（/#，/!）$（"，!）:1正三棱锥的底面边长为!，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为!"#$!!#%"#&"!#$’"($!#)*"在"!"#中，!"+$，"#!+)$，!#+(，则边!#上的高为!"$#!#%"$#!$&"$#!’"$$))"（理）设函数$（%）+（%,)）#，%-)(.%!.)，%#{)，则使得$（%）#)的自变量%的取值范围为!"（./，.#］$［*，)*］%"（./，.#］$［*，)］&"（./，.#］$［)，)*］’"［.#，*］$［)，)*］（文）（!%.)%）0的展开式中的常数项为!")1%".)1&"#*’".#*)#"将(名教师分配到$所中学任教，每所中学至少)名教师，则不同的分配方案共有!")#种%"#(种&"$0种’"(2种第!卷（非选择题共3*分）二、填空题：本大题共(小题，每小题(分，共)0分4把答案填写在题中的横线上4)$"用平面!截半径为&的球，如果球心到平面!的距离为&#，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为4)("（理）函数’+567%!,$895%在区间［*，"#］上的最小值为4（文）函数’+567%.)#895%（%%!）的最大值为4)1"（理）已知函数’+$（%）是奇函数，当%#*时，$（%）+$%.)4设$（%）的反函数是’+(（%），则(（.2）+4（文）函数’+:9;)#（%.)!）的定义域是4)0"（理）设)是曲线’#+(（%.)）上的一个动点，则点)到点（*，)）的距离与点)到’轴的距离之和的最小值是4（文）设)为圆%#,’#+)上的动点，则点)到直线$%.(’.)*+*的距离的最小值为4三、解答题：本大题共0小题，共<(分4解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤4)<"（本小题满分)#分）已知!为锐角，且=>7!+)#，求567#!895!.567!567#!895#!的值4)2"（本小题满分)#分）（理）解方程(%,?).#%?+))4（文）解方程(%.#%,#.)#+*4某村计划建造一个室内面积为%&&’$的矩形蔬菜温室(在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留!’宽的通道，沿前侧内墙保留)’宽的空地(当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？三棱锥!—"#$中，侧面!"$与底面"#$垂直，!"*!#*!$*)(（!）求证"#!#$；（$）（理）设"#*#$"*$)，求"$与平面!#$所成角的大小(（文）如果"#*#$"*$)，求侧面!#$与侧面!"$所成二面角的大小(设椭圆!!"%"%#!&"的两个焦点是$"（’%，(）与$!（%，(）（%)(），且椭圆上存在点&，使得直线&$"与直线&$!垂直*（"）求实数"的取值范围；（!）设’是相应于焦点$!的准线，直线&$!与’相交于点(*若+($!++&$!+!&!’,，求直线&$!的方程*（理）已知数列｛)*｝的前*项和+*满足+*&!)*%（’"）*，*""*（"）写出数列｛)*｝的前,项)"，)!，),；（!）求数列｛)*｝的通项公式；（,）证明：对任意的整数")$，有")$%")-%…%")"./*（文）设数列｛)*｝是公差不为零的等差数列，+*是数列｛)*｝的前*项和，且+!,&1+!，+$&$+!，求数列｛)*｝的通项公式*。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2004年高考试题全国卷4文科数学（必修+选修Ⅰ）（甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M ∩（N C U ）= （ ）A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，2，3，5}D ． {0，1，3，4，5} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为 （ ）A ．26B ．6C ．66 D ．36 4． 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象 （ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．218．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种 10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．－3B ．－2C ．－1D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A= . 15．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18．（本小题满分12分）已知数列{n a }为等比数列，.162,652==a a（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 是数列{n a }的前n 项和，证明.1212≤⋅++n n n S S S 19．（本小题满分12分）已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.C20．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. 21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 22．（本小题满分14分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围.2004年高考试题全国卷4文科数学（必修+选修Ⅰ）（甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区）参考答案一、选择题1—12 B C A D D B A D B C A B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．23 15．21- 16．2 三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时 41c o s ,0c o s s i n-=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α 18．（本小题主要考查等比数列的概念、前n 项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分. 解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4.依题意，得方程组⎩⎨⎧=1626411q a q a 解此方程组，得a 1=2, q=3.故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －1.（II ） .1331)31(2-=--=n n n S.1,113231332313231)33(3212122222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S 即19．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分. 解：y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y （II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S 20．本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ，则 P （A 1）=0.8，P （A 2）=0.7，P （A 3）=0.6. （Ⅰ）这名同学得300分的概率 P 1=P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3）=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228.（Ⅱ）这名同学至少得300分的概率 P 2=P 1+P （A 1A 2A 3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3） =0.228+0.8×0.7×0.6 =0.564.21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析y图1图2C 问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯（Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅ 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.能过计算可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.22．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分.解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e。