高等数学公式手册

n−1 In−2 n
三角函数公式： 诱导公式： 角A\函数 sin cos tg ctg −α − sin α cos α − tg α − ctg α 90◦ − α cos α sin α ctg α tg α 90◦ + α cos α − sin α − ctg α − tg α sin α − cos α − tg α − ctg α 180◦ − α 180◦ + α − sin α − cos α tg α ctg α 270◦ − α − cos α sin α ctg α tg α 270◦ + α − cos α sin α − ctg α − tg α 360◦ − α − sin α cos α − tg α − ctg α sin α cos α tg α − ctg α 360◦ + α 和差角公式： sin(α ± β ) = sin α cos α ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β tg α ± tg β ctg α · ctg β ∓ 1 tg(α ± β ) = ctg(α ± β ) = 1 ∓ tg α · tg β ctg β ± ctg α 和差化积公式： α+β α−β α+β α−β sin α + sin β = 2 sin cos sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 2 2 α+β α−β α+β α−β cos cos α − cos β = 2 sin sin cos α + cos β = 2 cos 2 2 2 2 倍角公式： sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α = cos2 α − sin2 α ctg 2α = tg 2α = ctg2 α − 1 2 ctg α 2 tg α 1 − tg 2 α
sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α tg 3α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg2 α 1 + cos α 2 1 + cos α 1 − cos α sin α = = 1 − cos α sin α 1 − cos α
3
定积分应用相关公式： 功：W = F · s 水压力：F = p · A m1 m2 引力：F = k 2 ，k 为引力系数 r b 1 函数的平均值：y = f (x)dx b−a a
b 1 f 2 (t)dt b−a a 空间解析几何和向量代数： 空间2点的距离：d = |M1 M2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z 1)2 − − − − − − 向量在轴上的投影：P rju AB = |AB | · cos ϕ，ϕ 是AB 与u的夹角。 − − − − P rju ( a 1 + a 2 ) = P rj a 1 + P rj a 2 − − − a · b = |− a | · | b | cos θ = ax bx + ay by + az bz ，是一个数量， 两向量之间的夹角：
当F (x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 曲率： 弧微分公式：ds = 1 + y 2 dx, 其中y = tg α ∆α 平均曲率：K = | | · ∆α：从M 点到M 点，切线斜率的倾角变化量； ∆s ∆s：M M 弧长。 ∆α dα |y | M 点的曲率：K = lim | |=| |= 3 ∆s→0 ∆s ds (1 + y 2 ) 直线:K = 0； 半径为a的圆：K = 定积分的近似计算：
均方根：
cos θ =
ax bx + ay by + az bz
2 2 a2 x + ay + az · 2 2 b2 x + by + bz
i − − c =− a × b = ax bx − r。 向量的混合积：
j ay by
k − az ，|− c | = |− a | · | b | sin θ。例：线速度：− v =− w× bz
sec x · tg xdx sec x + C ax dx = a +C ln a
ch xdx = sh x + C In =
0
π 2
x2
dx = ln(x + ± a2
x2 ± a2 + C
sinn xdx =
0
cosn xdx =
x a2 x2 + a2 + ln(x + x2 + a2 ) + C 2 2 x a2 x2 − a2 dx = x2 − a2 − ln |x + x2 − a2 | + C 2 2 x a2 x a2 − x2 dx = a2 − x2 + arcsin + C 2 2 a 三角函数的有理式积分： 2u 1 − u2 x 2du sin x = , cos x = u = tg , dx = 一些初等函数： 2 1+u 1 + u2 2 1 + u2 ex − e−x ex + e−x 双曲正弦：sh x = 双曲余弦：ch x = 2 2 sh x ex − e−x 双曲正切：th x = = x ch x e + e−x 1 1+x arsh x = ln(x + x2 + 1) arch x = ± ln(x + x2 − 1) arth x = ln 2 1−x 两个重要极限： sin x 1 lim = 1 lim (1 + )x = e = 2.718281828459045 . . . x→∞ x→0 x x x2 + a2 dx = 1
高等数学公式 导数公式： (tg x) = sec2 x (sec x) = sec x · tg x (ax ) = ax ln a 1 1 − x2 1 (arctg x) = 1 + x2 基本积分表： (arcsin x) = √ (ctg x) = − csc2 x (csc x) = − csc x · ctg x 1 (loga x) = x ln a 1 (arccos x) = √ 1 − x2 1 (arcctg x) = − 1 + x2 ctg xdx = ln | sin x| + C csc xdx = ln | csc x − ctg x| + C dx 1 x−a = ln +C x2 − a2 2a x+a dx x √ = arcsin + C a a2 − x2 dx 2 = csc xdx = − ctg x + C sin2 x csc x · ctg xdx = − csc x + C sh xdx = ch x + C √
微分法在几何上的应用： x = ϕ(t) 空间曲线 y = ψ (t) 在点M (x0 , y0 , z0 )处的切线方程： z = ω (t) x − x0 y − y0 z − z0 = = ϕ (t0 ) ψ (t0 ) ω (t0 ) 在点M 处的法平面方程：ϕ (t0 )(x − x0 ) + ψ (t0 )(y − y0 ) + ω (t0 )(z − z0 ) = 0 F (x, y, z ) = 0 若空间曲线方程为： ， G(x, y, z ) = 0 F Fy F Fx Fy Fz − , x , z 则切向量 T = Gx Gy Gz Gx Gy Gz 曲面F (x, y, z ) = 0上一点M (x0 , y0 , z0 )，则： 1、过此点的法向量：− n = {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )} 5
π 2
tg xdx = − ln | cos x| + C sec xdx = ln | sec x + tg x| + C dx = a2 + x2 dx = a2 − x2 dx = cos2 x
x
1 x arctg + C a a 1 a+x ln +C 2a a − x sec2 xdx = tg x + C
ax − − [− a b− c ] = (− a × b)·− c = bx cx
ay by cy
az − bz = |− a × b | · |− c | cos α cz
α为锐角时，代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0，其中− n = {A, B, C }，M0 (x0 , y0 , z0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距式方程： + + = 1 a b c |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ 平面外任意一点到该平面的距离： A2 + B 2 + C 2 x − x0 y − y0 z − z0 空间直线的方程： = = = p，其中− s = {m, n, p}；参 m n p x = x0 + mt 数方程： y = y0 + nt z = z0 + pt 二次曲面： y2 z2 x2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c x2 y2 2、抛物面： + = z ，（p，q 同号） 2p 2q 3、双曲面： 4
半角公式： 1 − cos α α α sin = ± cos = ± 2 2 2 1 − cos α α 1 − cos α sin α α tg = ± = = ctg = ± 2 1 + cos α sin α 1 + cos α 2 正弦定理： a b c = = = 2R sin A sin B sin C 余弦定理： 2