山东大学工科研究生数学物理方法class4第1节(数学物理方程的导出)汇总
(四)、均匀薄膜的微小横振动
utt a22u 0 其中 2 / x2 2 / y2 二维拉普拉斯算符 2 / x2 2 / y2 2 / z2 三维拉普拉斯算符
薄膜受迫振动方程
utt a22u f (x, y, t)
方程类型： 波动方程、输运方程、稳定场方程 双曲型、抛物型、椭圆型偏微分方程
5
(一)、均匀弦的微小横振动
弦乐器,声带等都是弦的振动,
下面导出弦的振动方程.
u
设弦是柔软的,崩紧以后,
C
T2
1
弦上小段之间存在张力,如果 重量跟弦张力相比很小,可以 忽略为没有重量的弦,如果弦 静止,则是一直线,取做x轴,各
则方程(1)(2)化为
T2 T1 0
(3)
T2ux xdx T1ux x utt dx
(4)
T2=T1张力不随时间变化且相等,另外振动过程中, dx ds
即长度ds不随时间变化,作用于B段的张力也不变,张力既跟x无关
又跟t无关,故为常数,记为T,则(4)变为
T (ux xdx ux x ) utt dx
C的拉力T1和T2
2
每个小段没有纵向运动,纵向合力为零 T1
C
T2
1
B
A
弦的横向加速度为Utt(二阶导数缩写) O
x
由F=ma,小段B的纵向和横向运动方程分别为
x+dx x
TT22
cos2 s in 2
T1 cos1 0 T1 sin1 (ds)utt
(1) (2)
其中 线密度,ds为小段弧长 我们仅考虑小的振动 1,2
弦的位移是时间t和左边x两个自变量的函数,是弦上彼此互相 影响的质点的运动方程,反映在Uxx项上.
9
如果在振动过程中,弦还受到外加横向力的作用,单位长度弦 所受横向力为F(x,t),则(2)相应修改为
T2 sin2 T1 cos1 F (x, t) (ds)utt
则方程(6)就可修改为 utt Tu xx f (x,t)
应力(单位面积两方的作用力)分别是YUx|x和YUx|x+dx,则B方程为
11 (Sdx)utt YSux xdx YSux x YSux / xdx
其中, 为杆的密度,S为横截面积
x x+dx
上式同除Sdx可得
utt Yuxx 0
(8)
此即为杆的纵向振动方程
A u B u du C
A
2
边界条件：
在具体的问题中，必须考虑研究的区域的边界的状况，周围 的“环境”的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。
初始条件：
为了了解随时间发展变化的问题，还必须考虑研究对象的 特定历史（不能割裂历史），即在某个所谓“初始”时刻的 状态，初始条件
定解条件：
边界条件和初始条件合称为定解条件。
3
2
B
T1
A
Ox
x+dx x
点的横向位移记作u,是x跟时间t的函数,要导出的是u所满足的方程.
机械运动的基本定律为F=ma,但弦不是质点,对整体不使
用,但可以细分为小段,每段抽象成质点,整体由许多互相联系的
质点组成,就可以应用牛顿定律.
6拿区间[x,x+dx]--B作为代表元素研究, u
没有重量,并且柔软,则只受临段A和
B
C
对于均匀的杆,Y和 是常数,则(8)可变为
utt a2uxx 0
(9)
其中 a2 Y/ 于弦的振动方程(6)完全一样,a也是波速
受迫振动方程跟弦的完全一样,其中F(x,t)是杆单位长度上单位
横截面积所受的纵向外力 utt Tu xx f (x,t)
12 (三)、传输线方程(电报方程)
1 第七章 数学物理定解问题
某个物理量随时间变化，这导致以时间为自变量的常微分方程 （例：质点的运动方程，电路微分方程）
但实际中，往往要求空间连续分步的状态和过程，电场强度， 电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间的四维空间的 变化情况。研究物理量在空间某个区域的情况，以及随时间 的变化情况，自变量不仅仅是时间，还有空间坐标。 为解决这些问题，首先应掌握物理量在空间的分部规律和时间 的变化规律（物理规律），具体问题既有共性又有特殊性 （个性）
为小量,则忽略高阶小量 cos1 112 / 2! 1
cos2 1 sin1 1 13 / 3! 1 tg1
7 sin2 2 tg2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx dx 其中
ux u / x tg 又 tg1 ux x ,tg2 ux xdx
8
由于dx很小,则 ux xdx ux x ux / xdx uxxdx
则B小段的运动方程成为
utt Tu xx 0
(5)
由于B的任意性,故上述方程(5)就是弦的振动方程.
对于均匀弦, 为常数,(5)可写为 utt a2uxx 0 (6)
其中 a2 T / (a就是振动在弦的传播速度----波速)
(7)
其中 f (x,t) F(x,t) / 称为力密度,时刻t作用于x处单位
质量上的横向外力,(7)称为受迫振动方程,
而(6)称为自由振动方程.
10
(二)、均匀杆的纵振动
要推导的是杆上各点沿杆长方向 的纵向位移U(x,t)所满足的方程.
把杆细分为小段,区间[x,x+dx]作为 代表来研究,振动过程中,B两端位移
数学物理方程
物理规律应用偏微分方程来表达出来，叫做数学物理方程， 作为同一类物理现象的共性，跟具体的条件无关，数学上， 数学物理方程本身 （不带定解条件）叫做泛定方程。
本书任务：在给定的定解条件下，求解数学物理方程， 这叫作数学物理定解问题
4
第一节、数学物理方程的导出
导出步骤： 首先确定物理量u，从研究的系统中划出一小部分，根据物理 规律分析其他临近部分和这小部分的相互作用（忽略次要因素） 我们所研究的相互作用在一个短的时间段内怎样影响物理量u， 把这种影响用算式表达出来，然后简化整理就得到数学物理方程
x x+dx
A u B u du C
A
B
C
分别记为U(x,t)和U(x+dx,t)=U+dU|t显然,B段的伸长即为dU|t 而相对伸长则为
Hale Waihona Puke [U(x+dx,t)-U(x,t)]/dx=dU|t/dx=Uxdx/dx=Ux
相对伸长Ux随地点不同也不同,在B的两端,相对伸长不同,分别是 Ux|x和Ux|x+dx,如果杆的扬氏模量是Y,由胡克定律得,B两端的张
方程的导出和定解条件(10课时)
数学物理方程（一学期课程, 基地班、计算数学与应用软件班周课时4，师范班选修周课时3）一、方程的导出和定解条件：(10课时)1、弦振动方程、热传导方程、**连续性方程、位势方程的导出。
(8课时)2、定解问题的适定性。
(2课时)二、波动方程：(22课时)1、一阶线性方程解法。
(2课时)2、一维初值问题（问题简化、解表示、能量不等式、半无界问题）。
(8课时)3、**高维初值问题（解表示、特征锥与Huygens原理）。
(4课时)4、混合问题（分离变量法、驻波与共振、能量不等式、*广义解）。
(8课时)三、热传导方程：(22课时)1、初值问题（Fourier变换、Poisson公式、广义函数、基本解、半无界问题）。
(12课时)2、混合问题。
(2课时)3、*极值原理（弱极值原理、热导方程各定解问题最大模估计）。
(8课时)四、位势方程：(12课时)1、解与Green函数，圆上的Poisson公式。
(6课时)2、*弱极值原理，*最大模估计。
(6课时)五、二阶线性偏微分方程分类：(6课时)1、分类。
(2课时)2、二个变量方程的化简。
(4课时)教材或参考书：1数学物理方程讲义（第二版），姜礼尚等，高等教学出版社，1996 2数学物理方程方法导引，陈恕行、秦铁虎，复旦大学出版社，2004附注：1、仅对基地班所讲内容用“**”表示，仅对基地班及应用班讲述内容用“*”表示。
2、计应专业：第二章：高维初值问题解表示只作介绍。
师范专业选修：第三、四章：极值原理、最大模估只作介绍。
样稿：抽象代数（一学期课程, 周课时4）一．群论（32课时）1．群的定义，单位元和逆元的性质，变换群和置换群，Klein四元群。
(5课时) 2．子群及判别条件，子集生成的子群，群的中心。
(5课时)3．循环群，循环群的子群，Ζ和Ζn。
(6课时)4．元素的阶，有限循环群的元素的阶。
(4课时)5．等价关系与集合分类，陪集。
(4课时)6．正规子群，商群。
(3课时)7．群的同构，Cayley定理。
yyf§7.1 数学物理方程的导出
2.稳定温度场 在热传导问题中，如果物体内部不存在热源， 物体周围的环境温度不随时间而变 长时间
2
ut = 0
u t − a Δ 3u = 0
齐次热传导方程
Δ 3u = 0
稳定温度场的拉普拉斯方 程
28
例：（P153）推导水槽中的重力波方程（包括横 向运动与纵向运动）。设水槽长为l，截面为矩 形，两端由刚性平面封闭，槽中的水在平衡时深 度为h 。 解一： （1）取x轴沿水槽方向，水槽长为l，宽为z，将水面 与静止水面高度差记为 η , 变，取x方向的位移为u；
第二篇
数学物理方法
1
为全书中心内容： （1）将物理问题翻译(转化)成数学问题(偏微分 方程,积分方程或微分积分方程）； 常见的三种方程：波动方程，输运方程，以及 稳定场（拉普拉斯）方程。
（2）该数学问题的求解。
2
引
一、数理方程简介： 1、数学物理方程：
言
数学物理方程是指从物理问题中导出的反映 客观物理量在各个地、时刻之间相互制约关系 的一些偏微分方程。 偏微分方程分为线性和非线性，这里主要 讨论二阶线性方程。
Δu = 0
或
拉普拉斯方程
Δu = f (x, y, z)
泊松方程
25
拉普拉斯算符 Δ3——三维拉普拉斯算符 直角坐标系 一维 二维 三维
∂u Δ1u == 2 ∂x
2
∂u ∂u Δ2u == 2 + 2 ∂x ∂y
2 2
∂u ∂u ∂u Δ3u == 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2
⇒ utt = − gηx
①
mg ρ sη g ⋅ dx Z = = ρη g （η为深度） 注：压强 p = s s ⋅ dx Z
偏微分方程基本概念与三类典型方程的导出
举例 1. 2.
u sin(xy)u 0 x 2u a2 2u ex cost t2 x2
线性PDE 线性PDE
3. ut ux sin u 4. (ut )2 (ux )2 u2
非线性PDE 非线性PDE
9
PDE维数： 是指方程中出现的空间坐标的个数。
1. u sin(xy)u 0 x
作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度
13
取弦的平衡位置为ox 轴，运动平面为 x-O-u.
u
Q
在时刻 t ，弦线在 x
P
点的位移为 u(x, t)
o
l
x
F(x,t)
T
Q '
u
P
把上图中PQ的放大
o
T x x x
x
14
• 设弦上坐标为 x 的点在时刻 t 沿垂直于 x 轴 方向的位移用函数 u (x, t) 来表示。 下面利用微元法建立方程：
• 处理一般线性问题的基本原理
➢叠加原理 ➢齐次化原理
4
数理方程的基本概念
偏微分方程（PDE）的基本概念
x (x1, x2 ,L , xn )
自变量
u(x) u(x1, x2,L , xn )
偏微分方程的一般形式
未知函数
u u
mu
F ( x1,L
, xn , u, x1 ,L
, xn
,L
, x1m1x2m2 L
a2
2u x2
2u y 2
2u z 2
f
(x,
y, z,t),
即 u a2u f (x, y, z,t) ，其中 f F .
t
c
29
如果我们考虑的是稳恒的温度场，即 u 与时间 t 无关 ， 温度分布达到某种动态平衡状态， 则有
山东大学工科研究生数学物理方法class4第1节(数学物理方程的导出)汇总
即是静电场的基本方程
(十二)、稳恒电流场
E 0
均匀导电媒质，则 为常数 ＝0 拉普拉斯方程
24 (十三)、不可压缩流体的无旋稳恒流动
如果有源或汇的连续性方程为：
F(x, y, z,t)
t
F为源或者汇的强度，对于不可压缩流体，密度为常数，则：
f (x, y, z,t)
若流体无旋，则可化为： f x, y, z,t
utt a2uxx 0
(四)、均匀薄膜的微小横振动
utt a22u 0 其中 2 / x2 2 / y2 二维拉普拉斯算符 2 / x2 2 / y2 2 / z2 三维拉普拉斯算符
薄膜受迫振动方程
utt a22u f (x, y, t)
f(x,y,t)=F(x,y,t)/ 为单位质量上的横向外力
14
(六)、电磁波方程
利用电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式,可导出真空中的
电磁波方程:
Ett a23E 0 Htt a23H 0
其中, a2 1/ 00 c2 光速平方, 0 ,0 分别为介电常数
导磁率,E,H为真空中电场强度和磁场强度,此方程为矢量方程
15 (七)、扩散方程
物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移,叫扩散 扩散问题 中研究的是浓度U在空间中的分布和在时间中的变化U(x,y,z,t)
弦的位移是时间t和左边x两个自变量的函数,是弦上彼此互相 影响的质点的运动方程,反映在Uxx项上.
9
如果在振动过程中,弦还受到外加横向力的作用,单位长度弦 所受横向力为F(x,t),则(2)相应修改为
T2 sin2 T1 cos1 F (x, t) (ds)utt
则方程(6)就可修改为 utt Tu xx f (x,t)
数学物理方程和定解条件的导出
dA
u u 在 dt ) x dAdt k ( ) x dtdA 。 n x u u k ( ) x dx dtdA k ( ) x dx dtdA 。 n x
,在 dt 时间内电流流过该段导线所产生的热量
j 2 dtdAdx
为： Q I 2 Rdt j 2 (dA)2 由热平衡方程式
第六章
数学物理方程和定解条件的导出
6.1 波动问题
1. 一长为 l 的均匀细杆， x 0 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长
b 后静止（在弹性限度内） ，突然放手任其振动，写出振动方程与定
解条件。 解： （1） 方程：
2u [ ( x dx) ( x)]s t 2 2u u ( x dx, t ) u ( x, t ) 2u dx 2 Y [ ] Y 2 dx t x x x Y utt u xx a 2u xx
u u 2u ( )dx gdx h dx dx 2 x x t t 2 2 u u u T 2 g h 2 x t t
因为 g 这项很小，可以忽略不计
2u T 2u h u 所以 2 0 t x 2 t
亦即 Tx dx Tx T 且 sin 1 tan 1
u T x T
u u ,sin 2 tan 2 x x x
x dx
u u 2u gdx h dx dx 2 x x t t x dx
2）初速度，在 x c 段，由动量定理：ΔP t Fdt I ,而动量的变化
1
t2
为ΔP mut ( x, 0) 2 ut ( x, 0) ，将两式联立，有 ut ( x, 0) 在 x c 段，没有受到外界作用，故 ut ( x, 0) 0,
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳
数学和物理是紧密相关的学科，数学物理方程是两个学科的交叉点。
下面将对数学物理方程的知识点进行归纳。
1. 微积分
微积分是数学物理方程中最基础的知识点之一。
微积分包括微分和积分两个部分。
微分是研究函数变化率的工具，积分是研究曲线下面积的工具。
微积分在物理学中有着广泛的应用，例如牛顿第二定律、万有引力定律等。
2. 偏微分方程
偏微分方程是数学物理方程中的重要知识点。
偏微分方程是描述物理现象的数学模型，例如热传导方程、波动方程等。
偏微分方程的求解需要使用到数学分析和数值计算等方法。
3. 矩阵和线性代数
矩阵和线性代数是数学物理方程中的另一个重要知识点。
矩阵是一种数学工具，可以用来表示线性方程组。
线性代数是研究向量空间和线性变换的学科。
矩阵和线性代数在物理学中有着广泛的应用，例如量子力学中的哈密顿算符等。
4. 微分方程
微分方程是数学物理方程中的重要知识点。
微分方程是描述物理现象的数学模型，例如运动方程、电路方程等。
微分方程的求解需要使用到微积分和数值计算等方法。
5. 概率论和统计学
概率论和统计学是数学物理方程中的另一个重要知识点。
概率论是研究随机事件的学科，统计学是研究数据分析和推断的学科。
概率论和统计学在物理学中有着广泛的应用，例如热力学中的熵等。
以上是数学物理方程的知识点归纳，这些知识点是物理学家和数学家研究物理现象和数学问题的基础。
第七章第一节数学物理方程的导出
q x x
dxdydz
D u dxdydz x x
❖ 同理沿y, z方向净流入量分别为
y
D
u y
dxdydz,
z
D
u z
dxdydz
❖ 根据粒子数守恒定律，如果平行六面体中没有源和汇. 则单 位时间内增加的粒子数=单位时间内净流入的粒子数. 即
u t
dxdydz
x
(1)要研究的物理量是什么？ 杆沿纵向的位移
（2）被研究的物理量遵循哪些物理定 理？牛顿第二定律，Hooke定律
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
取杆长方向为x方向，垂直于 杆长方向的各截面均用它的平衡 位置x标记.
Px, t S
Px dx,tS
x x dx
在任一时刻t，此截面相对于平 衡位置的位移为u(x,t).
杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程完全一样，只是其中
f (x, t)应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力。
(五) 流体力学与声学问题 流体力学中研究的物理量是流体的流动速度v、压强p和密度ρ。 对于声波在空气中的传播，相应地要研究空气质点在平衡位置 附近的振动速度v、空气的压强p和密度ρ。物体的振动引起周 围空气压强和密度的变化，使空气中形成疏密相间的状态，这 种疏密相间的状态向周围的传播形成声波。
第七章 数学物理定解问题
§7.1 数学物理方程的导出 §7.2 定解条件
在科学技术和生产实际中常常要求研究某个物理量(电场强度、 电势、磁感应强度、声压、杂质浓度)在空间的某个区域的分布 情况，以及它们怎样随着时间而变化。这些问题中的自变数不 仅有时间，而且还有空间坐标。
如波动微分方程
2y 1 2y x 2 u 2 t 2
数学物理方法课程总结
第一部分：一阶线性常微分方程组
● 高阶线性常微分方程化为一阶线性常微分方程组 ● 齐次线性常微分方程（组）解的结构
★基本解组 ★,eAt，A的特征值三种情况 ★通解表达式
● 非齐次线性常微分方程（组）的特解、通解。
第二部分：三类数理方程
第一章：波动方程
● 叠加原理 ● 达朗贝尔公式 ● 齐次化原理 ● 分离变量法求解波动方程的初边值混合问题 （若边界条件是非齐次的要先齐次化----通过加减，边界条 件变为齐次后再用分离变量的方法求解） ● 能量积分 ● 用能量积分证明解的唯一性
第二章：热传导方程
● 叠加原理 ● 齐次化原理 ●分离变量法求解热传导方程的初边值混合问题 （若边界条件是非齐次的要先齐次化----通过加减，边界条 件变为齐次后再用分离变量的方法求解） ● 傅里叶变换及5个性质 ● 用傅里叶变换求解热传导方程的柯西问题 ● 极值原理 ● 用极值原理证明解的唯一性
第三章：调和方程
● 变分原理 ● 分离变量法求解调和方程的边值问题 ● 格林第二公式 ● 平均值定理 ● 极值原理及其证明 ● 用极值原理证明解的唯一性 ● 格林函数法 ● 格林函数的5个性质及证明思路 ● 特殊边界情况求格林函数
数学物理方法总结
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有 2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i xy C z iC =-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2l f z f dz i z απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限1101l i m l i m 1k k k k k k kk a z z a R a a z z +++→∞→∞->=-,即说明200102000()()()......()k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1lim1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑.双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim {[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--.推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xzz z π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,2422z -+==- 则221Re(22241z s i z z z π→--=+-=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()i m xG x m x d x G x eπ∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰,k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i ll k l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1.()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()(c f t c f t c f pc f++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a. (5) 位移定理 ()()tef t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()(f t f t f p f p, 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为u x∂∂,xx u 意为22ux ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)uf M t n ∑∂=∂ 第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sin n n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+.初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(cos )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(cos )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l l r r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则22200121(,)(cos )(cos )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
数学物理方法4
y
dQ y
（D y
u）dxdydz y
z dz z
y dy y
dQz
（D z
u）dxdydz z
x x dx x
（1） dV 内无物质源时
u t
dxdydz
（D x
u） x
（D y
u） y
（D z
uz ）dxdydz
ut
D（
2 x 2
2 y 2
2 z 2
）u
0
无源扩散方程： ut a2u 0 a2 D
2u t 2
a（2
2 x 2
2 y2
2 z 2
）u
f（t；x，y，z）
utt a2u f
1、均匀弦的微小横振动 假设： （1）横向位移 u（x，t） （2）微小振动，u（x，t）很小
（3）单位长度横向力 F（x，t）
（4）弦线密度
u
1
T1
取微元
F（x，t）
N M
ds
MN
cos1 1
T22
u t
a（2
2 x 2
2 y2
2 z 2
）u
f（t；x，y，z）
ut a2u f
1、物质的扩散方程
扩散现象：由于浓度不均匀，物质从浓 度大的地方向浓度小的地方迁移的现象。
扩散问题：研究在扩散过程中物质浓度
u（x，y，z；t）在空间分布和随时间变化。
基本物理量： 浓度 u（x，y，z；t）
浓度梯度
热传导问题：研究在热传导过程中温度
u（x，y，z；t）的空间分布和随时间变化
基本物理量： 温度 u（x，y，z；t）
温度梯度