鲁美版五四制九年级数学上册二次函数概念测试题

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九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)

九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)时间90分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题,每小题３分,共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（）A.（2,-1）B.（-2,1）C.（-2,-1）D.（2, 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（）A ．（2,1）B ．（-2,1）C ．（2,-1）D ．（-2,-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=15．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点,则m 的值为（） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位,得到新的图象的函数表达式是（）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（）A ．二次函数y=3x 2中,当x>0时,y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中,当x=0时,y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小,a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数,抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图,小芳在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l 是（）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示,下列结论错误的是（） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．(第9题) (第10题) 二、填空题（本大题共4小题,每小题３分,共12分） 11．一个正方形的面积为16cm 2,当把边长增加x cm 时,正方形面积为y cm 2,则y 关于x 的函数为。

九年级上册数学二次函数测试题及答案(2)(K12教育文档)

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二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分）1。

下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）( )A. B. C. D。

2。

函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是（）A。

(1，-4) B.(—1,2) C. (1，2） D。

（0,3)3. 抛物线y=2(x—3)2的顶点在( ）A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D。

y轴上4。

抛物线的对称轴是( ）A。

x=-2 B.x=2 C. x=-4 D。

x=4 5。

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A。

ab〉0,c>0 B. ab〉0,c<0 C。

ab〈0，c>0 D。

ab〈0，c〈06。

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限（）A。

一B。

二 C。

三 D. 四7。

如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m，0）和点B，且m>4,那么AB的长是（）A。

4+m B. mC。

2m—8 D. 8—2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( ）9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=—1，P 1(x1,y1）,P2（x2,y2）是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线上的点，且—1〈x1〈x2，x3〈-1，则y1,y2，y3的大小关系是( ） A. y1<y2〈y3 B. y2〈y3〈y1 C. y3<y1<y2 D。

20132014学年鲁教版五四学制九年级数学上册第二章二次函数检测题含答案详解

第二章二次函数检测题（时间： 90 分钟，满分： 100 分）一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1.二次函数y x 22x 5 取最小值时，自变量的值是（）D. -12. 抛物线轴的交点纵坐标为（）Ｄ.-13. 函数的图象大体为（）A B C D4. 函数的部分图象与的交点分别为A（1,0）、 B（0,3），对称轴是，在以下结论中，错误的选项是（）A．极点坐标为（-1,4 ） B.函数的分析式为C. 当D.抛物线与轴的另一个交点是（-3,0 ）5.把二次函数的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的二次函数的函数关系式是（）A. B.C. D.6. 已知二次函数，当取，（≠）时，函数值相等，则当取时，函数值为（）A.B. C. D.c7. 以下函数不属于二次函数的是（）A. B. C. D.8.已知二次函数，当取任意实数时，都有，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.如图，已知：正方形 ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为，AE为，则关于的函数图象大体是（）A B第9题图C D10.已知二次函数的图象以以下图，其对称轴为直线，给出以下结果 (1)； (2)＞ 0；(3)； (4)； (5). 则正确的结论是（）A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)(5)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)(5)第 10题图二、填空题（每题 3 分，共 24 分）11.二次函数的极点坐标是 .12.将二次函数的图象向上平移 1 个单位，则平移后的二次函数的解析式为 .13.将二次函数化为的形式，则．14.抛物线的部分图象以以下图，若，则的取值范第14题图围是 .15.假如函数是二次函数，那么 k 的值一定是 .16.二次函数满足，则的大小关系是 .17.如图，已知抛物线经过点（ 0，－ 3），请你确立一第 17题图个的值使该抛物线与轴的一个交点在 (1 ，0) 和 (3 ，0) 之间 , 你所确立的的值是．18.以以下图，已知二次函数的图象经过（ -1 ，0）和（ 0，-1 ）两点，则化简代数式=.三、解答题（共 46 分）19. （ 8 分）已知二次函数的图象过点（ 0， 5），第 18题图⑴求的值，并写出二次函数的关系式；⑵求出二次函数图象的极点坐标、对称轴.20. （ 6 分）已知二次函数与轴没有交点．(1)求的取值范围；(2)试确立直线经过的象限，并说明原由．21. （6 分）以以下图 , 一个运动员推铅球, 铅球在点 A 处出手,yDAO C Bx出手时球离地面约. 铅球落地点在B处 , 铅球运转中在运动员前 4m处( 即) 达到最高点 , 最高点高为 3m.已知铅球经第 21题图过的路线是抛物线, 依据图示的直角坐标系 , 你能算出该运动员的成绩吗 ?22.（ 8 分）已知：关于的方程(1)当取何值时，二次函数的对称轴是；(2)求证：取任何实数时，方程总有实数根 .23. （ 8 分）已知抛物线与轴有两个不一样的交点．(1)求的取值范围；(2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值 .24.（ 10 分）心理学家发现, 在必定的时间范围内, 学生对看法的接受能力与提出看法所用的时间( 单位：分钟 ) 之间满足函数关系的值越大,表示接受能力越强.(1)若用 10 分钟提出看法 , 学生的接受能力的值是多少 ?(2)假如改用 8 分钟或 15 分钟来提出这一看法 , 那么与用 10 分钟对比 , 学生的接受能力是加强了还是减弱了 ?经过计算来回答 .第二章二次函数检测题参照答案分析：原二次函数, 当取最小值时，的值为-1.分析：令，则分析：先画出的图象，尔后再将图象沿向上平移 1 个单位长度，因此答案选 B.分析：将A（1，0），B（0，3）分别代入分析式得，解得则函数分析式为.将=-1 代入分析式可得其极点坐标为（-1 ，4） .当=0 时可得，，解得，可见，抛物线与轴的另一个交点是（-3 ， 0） .由图可知，当＜ -1 时，随的增大而增大．可见， C 答案错误．应选C．分析：原二次函数, 将其图象向左平移 2 个单位，函数关系式变成, 再向上平移 3 个单位，函数关系式变成因此答案选C.分析：由题意可知所以所以当分析：把每一个函数式整理为一般形式，A.=，是二次函数；B.=，是二次函数；C.=，是一次函数；D.=，是二次函数．应选 C．分析：因为当取任意实数时，都有, 又二次函数的图象张口向上，因此图象与轴没有交点，因此分析：因为, 正方形的边长为1，因此，因此, 即, 化简可得. 因此图象为抛物线. 因为边长为正当，因此消除A，又抛物线的张口向上因此消除C，应选 B.分析：因为二次函数与轴有两个交点，因此，（1）正确；抛物线张口向上，所以0,抛物线与轴交点在负半轴上，所以，又（ 2）错误； (3) 错误；由图象可知当所以（4）正确;由图象可知当, 因此（ 5）正确 .11.(1,2)分析：∵，∴抛物线的极点坐标是（1， 2）．12.13.分析：14.-3 ＜＜ 1分析：依据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，已知一个交点为（ 1， 0），依据对称性，则另一个交点为（-3 ，0），因此时，的取值范围是-3 ＜＜ 1．分析：依据二次函数的定义，得，解得. 又∵，∴．∴当时，这个函数是二次函数．16.＞分析：∵，∴图象的对称轴是直线，故. 又，∴ 当时，随增大而增大，∴．∴＞．17.（答案不独一）分析：由题意可知要想抛物线与轴的一个交点在（1,0 ）和（ 3， 0）之间，只需异号即可，因此18.分析：把（ -1 ， 0）和（ 0， -1 ）两点代入中，得，，∴.由图象可知，抛物线对称轴，且，∴，.∴= , 故本题答案为．19. 解： (1) 将代入关系式，得，因此，因此；(2), 因此极点坐标是(-3 ， -4) ，对称轴是直线．20.解：（ 1）∵二次函数与轴没有交点，∴＜0，即. 解得c＞.(2)∵ c＞,∴直线随的增大而增大，∵,∴直线经过第一、二、三象限.21. 解 : 能. ∵, ∴极点坐标为(4,3),设+3,把代入上式,得,∴,∴即.令,得∴(舍去),故该运动员的成绩为.22.(1)解：∵二次函数的对称轴是，∴, 解得经检验是原分式方程的解.因此时，二次函数的对称轴是.（ 2）证明：①当时，原方程变成，方程的解为；②当时，原方程为一元二次方程，，当方程总有实数根，∴整理得，∵时,总成立,∴取任何实数时，方程总有实数根.23. 解：（ 1）∵抛物线与轴有两个不一样的交点，∴＞0，即解得c＜.(2) 设抛物线与轴的两交点的横坐标为，∵两交点间的距离为由题意，得∴，2，∴, 解得.,．24. 解 :(1)当时 ,.(2) 当∴用当∴用 15时 ,8 分钟与用时 ,分钟与用10 分钟对比 , 学生的接受能力减弱了10 分钟对比 , 学生的接受能力加强了.;,.。

九年级上册二次函数检测题(WORD版含答案)

九年级上册二次函数检测题（WORD 版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线L 的对称轴．（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题．（3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42aa-＝2．（2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A(4，0)，∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M((2，﹣2)，M′(2，2)把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝12，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣12(x﹣2)2+2＝﹣12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，12m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣12(m+2)2+2(m+2)]，∵PQ∥OD，∴12m2﹣2m＝﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)或12m2﹣2m＝﹣12(m+2)2+2(m+2)，解得m＝，∴P或(3或(1和，当OD是平行四边形的对角线时，点P的横坐标为1，此时P(1，﹣32 )，综上所述，满足条件的点P的坐标为或(3或(1)和)或(1，﹣32 )．【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题2．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．（1）当y0＝﹣1时，求m的值．（2）求y0的最大值．（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案】（1或﹣1；（2）14；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞43或23≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝51+或51-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为512或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1，综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞43或23≤m＜1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．【答案】（1）k=-3-a；对称轴x＝1；y轴交点(0，-3)；（2）2y=2x-4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．【解析】【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2ax==12a--，并求得抛物线与y 轴交点；（2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2ax=-=12a，即x ＝1；将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t ≤2．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．4．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t-，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y 2+30y +1=0时，y =1515-+-舍)或y =1515+，∴t =32﹣12×1y，∴t =9﹣∴P (0，9﹣．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．5．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩，∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2 当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432．当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12-，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．6．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.【答案】（1）213222y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10 【解析】【分析】（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为：213222y x x =-++；（2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0）， ∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ，∴S △ABD =315522⨯=，设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=，解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=，解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-，解得：5x =或2x =-（舍去）， ∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC == ∴222AC BC AB +=，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，∴25CF BC==∴AO ACOM CF=，即1525OM=解得：2OM=，∴OC ACFM AF=，即2535FM=解得：6FM=，∴点F为（2，6），且B为（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则2640k mk m+=⎧⎨+=⎩，解得312km=-⎧⎨=⎩，∴直线BE解析式为：312y x=-+；联立直线BE和抛物线解析式可得：231213222y xy x x=-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得：4xy=⎧⎨=⎩或53xy=⎧⎨=-⎩，∴点E坐标为：(5,3)-，∴22(54)(3)10BE=-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．7．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94即可求解；②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：9303b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：32 cb=-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94，∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：94； ②存在，理由：PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2，解得：x ＝0或2（舍去0），故x ＝2，故点P （2，﹣3）；（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，解得：x ＝0或3±2（舍去0和3+2），故x ＝3﹣2，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣42，故点P （3﹣2，2﹣42）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．8．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x =-+；（2）9个；（3）33,22或44，；（4）33【解析】【分析】（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，即可求解；（2）APC ∆的面积PHAPHCSSS，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解；（4）求出直线AP 的表达式为：2(1)(6)3y m x ，则直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，即可求解．【详解】解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，解得1434b c，故抛物线的抛物线为：2214433y x x =-+；（2）对于2214433y x x =-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460b kb，解得423b k， ∴直线AC 的表达式为：243y x =-+①，设点2214(,4)33P x x x ，则点2(,4)3H x x ，APC ∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCSSSPH OA x x x x x，当1x =时，10S =，当6x =时，0S =，故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即2214433yx x x ，解得：32x =或4，故点P 的坐标为3(2，3)2或(4,4)-；（4）设点2214(,4)33P m m m ，为点(6,0)A ，设直线AP 的表达式为：y kx t =+，由点A ，P 的坐标可得260214433kt kmt m m ，解之得：2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为：2(1)(6)3ym x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，故直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m，四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =,则有，66m m ，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33±．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．9．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0，解得x=-3，令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3），∴OA=OC=3，∵tan ∠CBO=3OC OB=， ∴OB=1，∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得， 93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++，∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC ，∠AOC=90°，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴，∠BAC=45°，∵B （-1，0），D （-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ， ∴AB AC BP BA =，即22BP =，解得BP=3，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322BP =，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=3222=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x=--+；（2）存在，点P35,22⎛⎫-⎪⎝⎭，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y＝﹣23x2﹣43x+2；（2）存在．∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2．连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．则PM＝﹣23m2﹣43m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．∵当x＝0时，y＝﹣23×0﹣43×0+2＝2，∴OC＝2，∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO＝12AO•PM+12CO•PN﹣12AO•CO＝12×3×（﹣23m2﹣43m+2）+12×2×（﹣m）﹣12×3×2＝﹣m2﹣3m∵a＝﹣1＜0∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值∴当m＝﹣2ba＝﹣32时，S△PAC有最大值．∴n＝﹣23m2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52，∴存在点P（﹣32，52），使△PAC的面积最大．（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q1CD与△CBO中，∵11324Q C BC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q1CD≌△CBO，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC+CD＝3，∴Q1（2，3）；同理可得Q4（﹣2，1）；同理可证△CBO≌△BQ2E，∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴Q2（3，1），同理，Q3（﹣1，﹣1），∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。

鲁美版五四制九年级数学上册确定二次函数表达式试题

二次函数解析式—基础训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1．（2012•株洲）如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是（） A ．（-3，0） B ．（-2，0） C ．x=-3 D ．x=-22. （2011江苏无锡，）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A ．y = (x − 2)2 + 1B ．y = (x + 2)2 + 1C ．y = (x − 2)2 − 3D ．y = (x + 2)2 − 33.把函数y=－2x 2+1的图象沿x 轴对折，得到的图象的解析式为（）。

A 、y=－2x 2B 、y=2x 2-1C 、y=－2(x+1)2D 、y=－2(x －1)24（2012年四川德阳）在同一平面直角坐标系内，将函数1422++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是A.（1-，1）B.（1，2-）C.（2，2-）D.（1，1-） 5. （2011泰安）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表： x－7 －6 －5 －4 －3 －2 y －27 －13 －3 3 5 3则当x ＝1时，y 的值为（） A ．5 B ．－3 C ．－13D ．－27 二、填空题6.当m=_________时，函数y = (m 2 －4))3(42-+--m x m mx + 3是二次函数，其解析式是__________________． 7．（2012•无锡）若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为．8．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为．9．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为____________．10．抛物线与x 轴的交点横坐标为1和5，并且经过点（0，5），这个函数解析式为____________．B11、抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=12、把抛物线y=x 2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .13、二次函数有最小值为1-，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为14、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y 轴交点的纵坐标为-3（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（4）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；15、已知二次函数的图象经过()1,1-、()2,1两点，且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式16、抛物线y=ax 2+bx+c 过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.17、已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0）、B （3，0）两点，且函数有最大值是2.（1）求二次函数的图象的解析式；（2）设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.18、以x 为自变量的函数)34()12(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且A B C S ∆=10,求这个一次函数的解析式.综合与运用19、如图所示，求：（1）抛物线的解析式，（2）抛物线与x 轴的交点坐标。

鲁教版(五四制)九年级数学上册期末复习— 二次函数测试题

二次函数测试题一．选择题（共12小题）1．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．关于二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y＝﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④3．下列各图能表示y是x的函数的是（）A ．B ．C ．D ．4．二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0 1 3 4 …y… 2 4 2 ﹣2 …则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＝﹣1时y＞0D．方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间5．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A ．B．y＝x（x﹣1）﹣x2C ．D．y＝（2x﹣1）2﹣x26．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2﹣4先向右平移2个单位长度，再向上平第1页共32页◎第2页共32页移1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式是（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2﹣37．如果a＜0，b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．将二次函数y＝x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（）A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣4）2+1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣310．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝2x2﹣3x ﹣311．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，5）D．（2，﹣5）12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表，下列结论：x﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+（b﹣1）x+c ＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共4小题）第3页共32页◎第4页共32页13．若函数y＝（m﹣2）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是．14．已知点A（0，2），B（2，0），点C在y＝x2的图象上，若△ABC的面积为2，则这样的C点有个．15．把y＝﹣2x2+8x﹣8配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，当y˃0时，x的范围是．三．解答题（共6小题）17．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．（1）用配方法将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？（4）当x取何值是，y＝0，y＞0，y＜0，（5）当0＜x＜4时，求y的取值范围；（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B，C，第5页共32页◎第6页共32页与二次函数图象的另一个交点为点D．（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；（2）求点D的坐标；（3）结合图象，请直接写出y1≤y2时，x的取值范围：．20．某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量在100个以内，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．21．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元，平均每天可以多售出20箱．（1）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？第7页共32页◎第8页共32页22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．（1）求B，C，D三点坐标；（2）如图1，抛物线上有E，F两点，且EF∥x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；（3）如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．第9页共32页◎第10页共32页参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．2．【分析】由二次函数的解析式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入b2﹣4ac，利用完全平方公式化简后，根据完全平方式恒大于等于0，可得出b2﹣4ac大于等于0，进而确定出该抛物线与x轴有交点，故①正确；将x＝1代入抛物线解析式，求出y＝0，可得出此抛物线恒过（1，0），故②正确；令抛物线解析式中y＝0，得到关于x的一元二次方程，设方程的两个解分别为x1，x2，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，AB的长可以用|x1﹣x2|表示，利用二次根式的化简根式＝|a|变形后，再利用完全平方公式化简，将表示出的x1+x2及x1x2代入，化简后根据m大于6，可得出AB的长大于1，故③正确；利用顶点坐标公式表示出抛物线的顶点坐标，代入y＝﹣2（x﹣1）2中经验，可得出抛物线的顶点在y＝﹣2（x﹣1）2图象上，故④正确，综上，得到正确的序号．【解答】解：二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，∵a＝2，b＝﹣m，c＝m﹣2，∴b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣8（m﹣2）＝（m﹣4）2≥0，则抛物线与x轴有交点，故①正确；∵当x＝1时，y＝2﹣m+m﹣2＝0，∴不论m取何值，抛物线总经过点（1，0），故②正确；设A的坐标为（x1，0），B（x2，0），令y＝0，得到2x2﹣mx+m﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝||，当m＞6时，可得m﹣4＞2，即＞1，第11页共32页◎第12页共32页∴AB＞1，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（，），∴将x ＝代入得：y＝﹣2（﹣1）2＝﹣2（﹣+1）＝，∴抛物线的顶点坐标在y＝﹣2（x﹣1）2图象上，故④正确，综上，正确的序号有①②③④．故选：A．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法，根与系数的关系，顶点坐标公式，以及判断一个点是否在抛物线上，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．3．【分析】根据函数的意义即可求出答案．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以C正确．故选：C．【点评】本题考查了函数图象的读图能力和函数的概念．解题的关键是理解和掌握函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．4．【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c＝0即y＝0时x的值取值范围，得出答案即可．【解答】解：A、由图表中数据可得出：x＝1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；B、∵x＝0时，y＝2，故抛物线与y轴交于正半轴，故此选项错误；C、当x＝﹣1时与x＝4时对应y值相等，故y＜0，故此选项错误；D、∵y＝0时，﹣1＜x＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间，此选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．5．【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【解答】解：A、不是二次函数，故此选项不合题意；B、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意；C、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．第13页共32页◎第14页共32页6．【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：将抛物线y＝2x2﹣4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式为：y＝2（x﹣2）2﹣4+1，即y＝2（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．7．【分析】根据a＜0，b＞0，c＞0，可以得到二次函数的图象的开口方向、与y轴的交点、顶点所在的位置，从而可以解答本题．【解答】解：∵a＜0，b＞0，c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，顶点在y轴右侧，故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a＞0；又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c＜0；∴ac＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x ＝﹣＝1，则b＝﹣2a＜0．故②正确；③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：B．【点评】此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．解本题的关键是根据图象找出抛物线的对称轴．9．【分析】加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）﹣4+1＝（x﹣2）2﹣3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a第15页共32页◎第16页共32页（x﹣h）2+k；两根式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．10．【分析】由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，代入点（0，﹣3）可求出a值，进而可得出抛物线的解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．11．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标ax2+bx+c＝5，由此求得顶点坐标即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．故选：C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，掌握顶点坐标的计算方法是解决问题的关键．12．【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①由图表中数据可知，x＝0和x＝3时，函数值相同，都是3，∴对称轴为直线x ＝＝，∵x＝1时，y＝5，∴a＜0，∵x＝0时，y＝3，∴c＝3，∴ac＜0，故①正确，②∵抛物线的对称轴x ＝，∴当x ＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误，∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∴9a+3（b﹣1）+c＝0，∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确．第17页共32页◎第18页共32页∵x＝﹣1时，y＝﹣1，∴a﹣b+c＝﹣1，∴a﹣（b﹣1）+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故④错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的性质是解题的关键．二．填空题（共4小题）13．【分析】利用二次函数定义可得：|m|＝2，且m﹣2≠0，再计算出m的值即可．【解答】解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．14．【分析】根据三角形面积公式求得C到直线AB 的距离为，即可求得C在直线AB沿直线y＝x 的方向平移的单位得到的直线上，求得平移好的直线解析式，然后与y＝x2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式即可判断方程的根的情况，进一步得到C点的个数．【解答】解：如图，∵点A（0，2），B（2，0），∴直线AB为y＝﹣x+2，AB ＝＝2，设C点到直线AB的距离为h，∵△ABC的面积为2，∴＝2，即＝2，∴h ＝，∵直线y＝x与直线AB垂直，∴直线AB沿直线y＝x 向上或向下平移个单位得到直线y＝﹣x+4或y＝﹣x，由消去y得到x2+x﹣4＝0，∵△＝12﹣4×（﹣4）＝17＞0，∴方程有两个不相等的根，由消去y得到x2+x＝0，∵△＝1＞0，∴方程有两个不相等的根，第19页共32页◎第20页共32页∴函数y＝x2的图象上存在4个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC 的面积为2，故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，数形结合是解题的关键．15．【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．【解答】解：y＝﹣2x2+8x﹣8＝﹣2（x2﹣4x+4）＝﹣2（x﹣2）2．故答案为：﹣2（x﹣2）2．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确进行配方是解题关键．16．【分析】对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），则与x轴的另外一个交点坐标为（﹣1，0），再观察函数图象即可求解．【解答】解：∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），则与x轴的另外一个交点坐标为（﹣1，0），从函数图象看，当y˃0时，x的范围是﹣1＜x＜3，故答案为﹣1＜x＜3．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．三．解答题（共6小题）17．【分析】（1）直接利用配方法得出函数顶点式即可；（2）利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象；（3）利用函数顶点式得出对称轴进而得出答案；（4）利用函数图象得出答案即可；（5）利用x＝1以及x＝4是求出函数值进而得出答案；（6）利用函数图象得出三角形面积即可．【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6第21页共32页◎第22页共32页＝2（x2﹣2x）﹣6＝2（x﹣1）2﹣8；（2）当y＝0，则0＝2（x﹣1）2﹣8，解得：x1＝﹣1，x2＝3，故图象与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），当x＝0，y＝﹣6，故图象与y轴交点坐标为：（0，﹣6），如图所示：；（3）当x＜1时，y随x的增大而减少；（4）当x＝﹣1或3时，y＝0，当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，当﹣1＜x＜3时；y＜0；（5）当0＜x＜4时，x＝1时，y＝﹣8，x＝4时，y＝10，故y的取值范围是：﹣8≤y＜10；（6）如图所示：函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：×4×6＝12．【点评】此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及利用图象判断函数值以及三角形面积求法，正确画出函数图象是解题关键．18．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c可求出a、b、c的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC与直线x＝1的交点就是要求的点M，求出直线BC的关系式即可．第23页共32页◎第24页共32页【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的关系式为y＝＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x ＝﹣＝1，∵点M在对称轴x＝1上，且△ACM的周长最短，∴MC+MA最小，∵点A、点B关于直线x＝1对称，∴连接BC交直线x＝1于点M，此时MC+MA最小，设直BC的关系式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线BC的关系式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，∴点M（1，﹣2），∴在抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ACM的周长最短，此时M（1，﹣2）．【点评】本题考查待定系数法求二次函数的关系式，二次函数的性质，轴对称路线最多问题，求出二次函数关系式是解决问题的关键．19．【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；（2）解析式联立，解方程组即可求得交点D的坐标，（3）根据交点坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（0，2）代入，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y1＝﹣x2+x+2．∵二次函数的对称轴为直线x ＝﹣＝2，∴C（2，0），∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C，第25页共32页◎第26页共32页∴，解得，∴一次函数的解析式为y2＝﹣x+2；（2）解得或，∴点D 为（，﹣）；（3）由图象可知，当x≤0或x ≥时，有y1≤y2．故答案为x≤0或x ≥．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．20．【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 个，则x＝100+＝550进而得出答案；（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P＝51，则当100＜x＜550时，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣得到P为分段函数，写出解析式即可；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x＝500，1000即可得到对应的利润．【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100+＝550，根据实际出厂单价不能低于51元，因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．故答案为：≥550；（2）当0＜x≤100时，P＝60当100＜x＜550时，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣当x≥550时，P＝51所以P ＝；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝（P﹣40）x ＝当x＝500时，L＝22×500﹣＝6000（元）；当x＝1000时，L＝（51﹣40）×1000＝11000（元），因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，注意利用自变量取值范围得出函数解析式是解题关键．第27页共32页◎第28页共32页21．【分析】（1）此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润，由此列方程解答即可；（2）设每天获利W元，用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）要使每天销售饮料获利1400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，（12﹣x）（100+20x）＝1400，整理得x2﹣7x+10＝0，解得x1＝2，x2＝5；答：要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价2元或5元．（2）设每天获利W元，则W＝（12﹣x）（100+20x），＝﹣20x2+140x+1200，＝﹣20（x﹣3.5）2+1445，∴每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．22．【分析】（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），函数的对称轴为x＝1，当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，即可求解；（2）△DEF是等腰直角三角形，EF∥x轴，则根据函数的对称性，只有∠EDF为直角一种情况，即HF＝DH，即可求解；（3）由△PBC面积＝S△PHC+S△PHB ＝PH•OB，即可求解．【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），函数的对称轴为x＝1，当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，故点D的坐标为（1，4），故B，C，D三点坐标分别为（3，0）、（0，3）、（1，4）；（2）∵△DEF是等腰直角三角形，EF∥x轴，则根据函数的对称性，只有∠EDF为直角一种情况，设点E（x，﹣x2+2x+3），点F和点E关于函数对称轴对称，故点F（2﹣x，﹣x2+2x+3），第29页共32页◎第30页共32页第31页共32页 ◎ 第32页共32页过点D 作DH ⊥EF 与点H ，∵△DEF 是等腰直角三角形，故△DHF 为等腰直角三角形，故HF ＝DH ，即EF ＝（y D ﹣y F ），则（2﹣x ﹣x ）＝（4﹣x 2﹣2x ﹣3），解得x ＝1（舍去）或0，故x ＝0，则EF ＝2﹣x ﹣x ＝2；（3）过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为y ＝﹣x +3，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2+2x +3），则点H （x ，﹣x +3），则△PBC 面积＝S △PHC +S △PHB ＝PH •OB ＝×3×（﹣x 2+2x +3+x ﹣3）＝﹣x 2+x ，∵﹣＜0，故△PBC 面积存在最大值，此时x ＝，故点P （，）．【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

九年级上册数学二次函数测试题及答案

二次函数单位测评之迟辟智美创作一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的极点坐标是( ) A.(1，-4) B.(-1，2) C. (1，2)D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的极点在() A.第一象限 B. 第二象限 C. x轴上D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是()A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B.ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A.一 B. 二 C. 三 D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的极点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的年夜小关系是( ) A. y1<y2<y3 B. y2<y3<y1 C. y3<y1<y2 D. y2<y1<y3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是() A. B. C.D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16. 在距离空中2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距空中_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，而且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的为C，极点为P，求△POC的面交点积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的极点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积.S△MCB22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价几多时，可以获利最年夜.谜底与解析：一、选择题 1.考点：二次函数概念.选 A.2.考点：求二次函数的极点坐标.解析：法一，直接用二次函数极点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为极点式，即y=a(x-h)2+k的形式，极点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以极点坐标为(1，2)，谜底选 C.3. 考点：二次函数的图象特点，极点坐标.解析：可以直接由极点式形式求召盘点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的极点为(3，0)，所以极点在x轴上，谜底选 C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为谜底选 B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，谜底选 C.6. 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，在第四象限，谜底选 D.7. 考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的极点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，谜底选 C.8. 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的年夜致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.谜底选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增年夜而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3的图象向左平移2个单位获得，再向上平移3个单位获得.谜底选C.二、填空题11.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.谜底x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.谜底y=(x-1)2+2.13. 考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.谜底为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，谜底为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，谜底不惟一.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，及△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，谜底不惟一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最年夜值.解析：直接代入公式，谜底：7.17.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，谜底不惟一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.谜底：.三、解答题19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3) 20. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8∴x1x2+(x1+x2)+9=0∴-(k+4)-(k-5)+9=0∴k=5∴y=x2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9且x=0时y=-5∴C(0，-5)，P(2，-9).21.解：(1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME⊥y轴于点E，则=15.22.思路点拨：通过阅读，我们可以知可得S△MCB道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间出现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量.要想获得最年夜利润，其实不是独自提高单个商品的利润或仅年夜幅提高销售量就可以的，这两个量之间应到达某种平衡，才华保证利润最年夜.因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们无妨设每件商品降价x元，商品的售价就是(13.5-x)元了.单个的商品的利润是(13.5-x-2.5)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y元.利用上面的等量关式，可获得y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最年夜利润.解：设销售单价为降价x 元.。

九年级数学上册二次函数检测题(WORD版含答案)

九年级数学上册二次函数检测题（WORD版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，则点C是RQ的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22(2)x x5＝BQ，在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝125，解得：KQ5∴sin∠RBQ＝KQBQ55x＝45，则tanRBH＝43，在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163），由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②，联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53，当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）；综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．2．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣4≤b ＜0．【解析】【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a-）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，∴点（2b a -，2ba -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2ba -＝21221b a a ++∴﹣b ＝221a a ≤+4，（当a ＝2时取等号）∴0＜﹣b ≤24， ∴﹣2≤b ＜0，即b 的取值范围是﹣2≤b ＜0．【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，3452555Q ⎛- ⎝⎭，4452555Q ⎛- ⎝⎭【解析】【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解．【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-，故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下：作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =，令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=，∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=，设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-，即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，解得：12t =-+22t =--32t =-．∴点P的坐标为(2-+-，(2--+，(2,3)--，故答案为：(2-+-或(2--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²，故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ，在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²，故221()()42+=m m ，解得124545==m m ，此时Q 点坐标为4525⎝⎭或4525⎛ ⎝⎭，综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛--⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，3452555Q ⎛- ⎝⎭，4452555Q ⎛- ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525Q ⎝⎭，44525Q ⎛ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M ，使得∠MAC = 2∠MCA ，若存在，求出M 点坐标．若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE 的周长最大；（3）点M （-2，3）或（-2，3【解析】【分析】（1）将A 、B 、C 三点代入，利用待定系数法求解析式；（2）根据坐标发现，△AOB 是等腰直角三角形，故只需使得PD 越大，则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标；（3）作点A 关于直线x=-2的对称点D ，利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ，进而求得ME 的长度，从而得出M 坐标【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），∴93030a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3；（2）∵A （-3，0），B （0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，联立223y x my x x =+⎧⎨=--+⎩，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长，此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE 的周长最大；（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ， ∴3∴点M （-23）或（-2，3 【点睛】本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析5．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）23；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0 【解析】【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B（0,tp），C（p,tp）的坐标，利用二元一次方程组证出k1=k2，所以AB∥PQ.（3）由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，设3t＝2解得t＝23所以a＝t×1＝23（2）解：设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.因为PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，所以点A，B，C的坐标分别为：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.分别将点A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得111pk b tpb tp+=⎧⎨=⎩. 解得11k tb tp=-⎧⎨=⎩分别将点P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得2222pk b tpqk b tp+=⎧⎨+=⎩. 解得22k tb tp tp=-⎧⎨=+⎩所以k1＝k2.所以AB∥PQ（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，所以点D的坐标为（0,c）.因为DM∥x轴，所以点M的坐标为（x M,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.可得ax M 2＋bx M＋c＝c，即x M（ax M＋b）＝0.解得x M＝0或x M＝－ba.因为点M不与点D重合，即x M≠0，也即b≠0，所以点M的坐标为（－ba,c）因为直线y＝ax＋m经过点M，将点M（－ba,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－ba）＋m＝c.化简得m＝b＋c所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N，由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，解得x1＝－ba，x2＝1.即x M＝－ba，x N＝1，且－ba≠1，也即a＋b≠0.所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）要使M（－ba,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－ba ）.也即a＋b＋c＝（－ba ）·c也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.因为a＋b≠0，所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为（－ba,－a），点N的坐标为（1,b）.所以M，N两点都在函数y＝bx（b≠0）的图象上.因为a＜0，所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y M＞y N时，0＜x M＜1；当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y M＞y N，此时x M＜0.综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x M,y M），N（x N,y N），当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.6．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当0x≥时，它们对应的函数值相等；当0x<时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数21 42y x x=-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x xyx x x⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m＜0时，将B（m，32）代入y=x2-4x+12得m2-4m+1322=，解得：m=2+5（舍去）或m=25-．当m≥0时，将B（m，32）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-12=32，解得：m=2+2或m=22-．综上所述：m=25-或m=22+或m=22-．②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴当3x=-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y=--⨯-+=，∴此时y的最大值为432．当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x12-，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12-，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（12，1），∴14+2-n=1，解得：n=54．∴1＜n≤54时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P（12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣12）2+278当x=12时，yP=x2﹣1=﹣34．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣1k，0），F（0，1），OE=1k，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=22 111=k k+⎛⎫+⎪⎝⎭．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°， ∴△EQN ∽△EOF ，∴NQ EN OF EF=，即：1221kk k k-=，解得：， ∵k ＞0， ∴． ∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.8．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）．（1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=kx的图象上，则k= ；（2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为，∠BOB′的大小是度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =kx中，得到k =－2．故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中．得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+．∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90．（3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）．将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==（不合题意，舍去）．所以12m +=③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==所以m =．综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m或m=32．（4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称． ∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）． ①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8． ②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．9．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+，由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 1393132-+）．【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258，将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258，解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++；（2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2，即点C 坐标为（0，2），同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1），设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12），则△PAD 面积为：S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ，又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ ′∽△Q ′FP ，'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′22223213CO OQ +=+= 此时a 13P 1393132-+）．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．。

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1．下列函数中是二次函数的是（）
A ．y ＝x ＋12
B ．y ＝3 (x －1)2
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝1x 2 －x 2．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（）
A ．a ＝1
B ．a ＝±1
C ．a ≠1
D ．a ≠－1
3.y ＝(m ＋1)x m m -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为________________．
4.已知函数y=(k+2)24k k x +-是关于x 的二次函数,则k=________.
5.已知正方形的周长是ccm,面积为Scm 2,则S 与c 之间的函数关系式为__
7.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面
积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________.
8.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m 2)
与x(m)之间的函数关系式为________.
9.下列结论正确的是( )
A.二次函数中两个变量的值是非零实数;
B.二次函数中自变量x 的值是所有实数;
C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;
D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零
10.下列函数中,不是二次函数的是( )
x 2 B.y=2(x-1)2+4; C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2
11.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积
为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )
A.y=πx 2-4
B.y=π(2-x)2;
C.y=-(x 2+4)
D.y=-πx 2+16π
12.若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于( )
A.±2 B .2 C.-2 D.不能确定
13．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．
（1）当m_________时，该函数为二次函数；
（2）当m__________时，该函数为一次函数．
14.已知y 与x 2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y 与x 的函数关系式,并求当x=-3时,y 的值.当y=8时,求x 的值.
15．填表：。