高考数学复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和知能训练73

第3讲 等比数列及其前n 项和
1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，….
2．如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n
a n －1
，…是首项为1，公比为－2的等比数列，
则a 5等于( )
A ．32
B ．64
C ．－32
D ．－64
解析：选A.易知数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，a 4a 3，a 5a 4，…，a n a n －1，…的通项为a n
a n －1
＝(－2)n
－1
，故a 5＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5
a 4
＝1×(－2)×2×(－22)×4＝32.
3．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13
(a 5
＋a 7＋a 9)的值是( )
A.15 B ．－15
C ．5
D ．－5
解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7
＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13
(33×9)＝－5.
4．(2016·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1
b n
＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 016＝( )
A．92 015B．272 015 C．92 016D．272 016
解析：选D.由已知条件知{a
n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b
n
}
是首项为3，公比为3的等比数列，
所以a
n ＝3n，b
n
＝3n.
又c
n ＝ba
n
＝33n，所以c
2 016
＝33×2 016＝272 016.
5．(2016·开封一模)已知数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
n
＋a
n
＝2n(n∈N*)，
则下列数列中一定为等比数列的是( )
A．{a
n } B．{a
n
－1}
C．{a
n －2} D．{S
n
}
解析：选C.由S
n ＋a
n
＝2n(n∈N*)，①可得S
n－1
＋a
n－1
＝2(n－1)(n≥2，n∈N*)，
②，①－②得a
n ＝
1
2
a
n－1
＋1(n≥2，n∈N*)，所以a
n
－2＝
1
2
(a
n－1
－2)(n≥2，n∈N*)，
且a
1＝1，a
1
－2＝－1≠0，所以{a
n
－2}一定是等比数列，故选C.
6．(2016·福州质检)已知等比数列{a
n
}的前n项积记为Ⅱ
n
，若a
3
a
4
a
8
＝8，
则Ⅱ
9
＝( )
A．512 B．256
C．81 D．16
解析：选A.由题意可知，a
3a
4
a
7
q＝a
3
a
7
a
4
q＝a
3
a
7
a
5
＝a3
5
＝8，Ⅱ
9
＝a
1
a
2
a
3
…a
9
＝
(a
1a
9
)·(a
2
a
8
)(a
3
a
7
)(a
4
a
6
)a
5
＝a9
5
，所以Ⅱ
9
＝83＝512.故选A.
7．(2015·高考广东卷)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，
c＝5－26，则b＝________．
解析：因为 a，b，c成等比数列，
所以b2＝a·c＝(5＋26)(5－26)＝1.
又b>0，所以b＝1.
答案：1
8．(2016·北京海淀区高三检测)已知数列{a
n }满足a
1
＝2且对任意的m，n
∈N*，都有a
n＋m
a
m
＝a
n
，则a
3
＝________；{a
n
}的前n项和S
n
＝________．。