上海市松江二中2012届高三上学期期中考试(数学理)
上海松江二中2012届高三上学期期中数学(理)试题和答案
松江二中11—12学年第一学期期中考试试卷高三数学（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．方程4220x x +-=的解是 。
2．函数sin(2)cos(2)36y x x ππ=+++的最小正周期T= ．3．不等式11x<的解是_______ ___． 4.若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。
若定义在22(5 log )a -，上的函数()y f x =是偶函数，则实数a = . 6．已知函数()f x 的周期为2，当11(,]x ∈-时，2()f x x =，则当35(,]x ∈时，()f x =______________7．在A B C ∆中，已知060A =，4A C =，A B C S ∆=B C = ． 8. 若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = 。
9.参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⋅⎩化为普通方程是10．函数1y x x=+（0x >）在区间D 上有反函数的一个充分不必要条件是D= ．11. 函数2()lg(23)f x x x =--的递增区间是 12．函数x x x f )21(1)21()(-+=的值域是______ ___13．设,,a b R ∈且1b ≠。
若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b应满足的条件是 。
14．设函数1122()sin()sin()...sin()n n f x a x a x a x ααα=⋅++⋅+++⋅+，其中 i α（1,2,...,i n =，*,2n N n ∈≥）为已知实常数，x R ∈. 下列所有正确命题的序号是 ． ①若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；②若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；③若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；④当22(0)()02f f π+≠时，若12()()0f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分。
2012学年第一学期松江区高三数学质量调研卷(理)
松江区2012学年度第一学期高三期末考试数学（理科）试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2013.1一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,A a =,{}21,B a =，若{}0,1,4,16A B =U ，则a = ． 2．若行列式124012x -=，则x = ．3．若函数()23xf x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ．4．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ．5．已知数列{}n a 的前n 项和2nn S n =+，则3a = ．6．己知(1,2sin )a θ=r，cos 1b θ=-r （，），且⊥，则tan θ= ．7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 . 8．已知lg lg 1x y +=，则25x y+的最小值为 ．9．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，则△ABC 的面积等于 ．10．若二项式7()+x a 展开式中项的系数是7，则= ．11．给出四个函数：①，②，③，④，其中满足条件：对任意实数及任意正数，都有及的函数为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）12．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且{}9,3,2,1,0,Λ∈b a ，若1≤-b a ，则称甲乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．13．已知)(x f y =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图像关于点(6,0)对称．若实数y x ,满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22y x +的取值范围是 ．14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C L ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ； ④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．5x )(lim 242nn a a a +++∞→Λxx x f 1)(+=x x x g -+=33)(3)(x x u =x x v sin )(=x m ()()0f x f x -+=()()f x m f x +>15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是( )A ．210x y +-=；B ．210x y -+=；C ．220x y +-=；D ．210x y --= 16．对于原命题：“已知a b c R ∈、、，若a b > ，则22ac bc >”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个；C ．2个；D ．4个17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有( )A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个． 18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)；B ．(2,)+∞；C ．3(1,4)；D ．3(4,2)．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤． 19．（本题满分12分） 已知(2cos ,1)a x =r ，(cos ,3sin 2)b x x =r ，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅r r，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+． （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：w 1≥．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）． （1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出 最大值． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列对任意*n N ∈，都有1212222n n nc c c a ++++=L 成立，求122012c c c +++L 的值． （3）若1n n na b a +=*()n N ∈，求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成其他两项之积． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分}{n c对于双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>，定义1:C 22221x y a b+=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求动点M 的轨迹方程；（3）过双曲线22:1C x y -=的左焦点F ，且斜率为k 的直线l 与双曲线C 交于1N 、2N 两点，求证：对任意的1144[2,2]k --∈-，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅=u u u u r u u u u r u u u r .松江区2012学年度第一学期高三期末考试数学（理科）试卷参考答案2013.11． 4 2． 2 3． 1 4． 205． 5 6． 217．24yx = 8． 29．10． 21 11．③ 12．25713． [16,36] 14． ③④15．D 16． C 17．C 18．D19．解：由题意知2()2cos 2f x a b x x =⋅=r r ……………………… 3分cos 2122x x +=⋅cos 221x x =++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………………………… 6分∴最小正周期 22T ππ== ……………………8分当2262x k πππ+=+，即(),Z 6x k k ππ=+∈时，max ()213f x =+=………………10分当32262x k πππ+=+，即()2,Z 3x k k ππ=+∈时，()min 211f x =-+=-…………12分20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += …………2分由22252a b ai i ++=+ 得22522a b a ⎧+=⎨=⎩ ……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分 （2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥………………………13分∴w 1≥ ……………………………14分 21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分（2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ ………8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； …………10分 当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==． …………………………12分所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．…………………………14分 22．解：（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d >……………………1分1a Q 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ⋅ ……………………2分由 2(1)1(13)d d +=⨯+ 及0d >得 1d = ……………………………3分 ∴(*)n a n n N =∈ ……………………………4分（2）∵11n a n +=+，1221222n nc c c n +++=+L 对*n N ∈都成立 当1n =时，122c =得14c = ……………………………5分 当2n ≥时，由1221222n n c c c n +++=+L ①，及11221222n n c c c n --+++=L ②①－②得12n nc =，得2nn c = …………7分 ∴4(1)2(2)n nn c n =⎧=⎨≥⎩……………8分 ∴2201123201220131220122(12)42224212c c c -+++=++++=+=-L L …………10分（3）对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t b b b =⋅ ………11分∵1n n b n +=，只需111n k t n k t +++=⋅， …………………12分 即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt=++即kt nt nk n =++，(1)n k t k n+=- 取1k n =+，则(2)t n n =+ …………………14分∴对数列{}n b 中的任意一项1n n b n +=，都存在121n n b n ++=+和2222212n n n n b n n +++=+使得212n n n n b b b ++=⋅ ………………………16分23．解：（1）∵c =1c = ………………………1分由12c c ==22224()a b a b +=-可得 2235b a = ………………………3分∴C的渐近线方程为y x = ………………………4分（2）设00(,)P x y ，00(,)Q x y -，又(2,0)A -、(2,0)B ， ∴直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++…………① 直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--…………② ……………………6分 由①②得0042x xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………8分∵ 00(,)P x y 在双曲线22142x y -=上 ∴222244142y x x -= ∴22142x y += ………………………………10分（3）证明：点F的坐标为(F ，直线l的方程为(y k x =+， 设1N 、2N 的坐标分别为111(,)N x y 、222(,)N x y ……………………………11分则由22(1y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得222(1x k x -+=，即2222(1)(21)0k x x k ---+=， 当1k ≠±时，∵422442284(1)(21)8844440k k k k k k k ∆=+-+=-++=+>∴12x x +=，2122211k x x k+⋅=-- ………………………13分1211221212()()(FN FN x y x y x x y y ⋅=⋅=+u u u u r u u u u r212121212((((1)[)2]x x k x k x k x x x x =+=+++2222222211(1)(2)111k k k k k k ++=+-++=--- 由1144[2,2]k --∈- 知2[0,2k ∈，∴221[1,31k k+∈+- …………………………………16分 ∵双曲线22:1C x y -=的伴随曲线是圆221:1C x y +=，圆1C 上任意一点S 到F 的距离1,1SF ∈，∴2[3SF ∈-+u u u r …………………………………17分∵[1,3[3+⊆-+∴对任意的1144[2,2]k --∈-，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅=u u u u r u u u u r u u u r ………………………………18分。
【学期】高三数学上学期期中试题理含解析沪教版
【关键字】学期上海市某重点中学2012-2013学年度第一学期高三数学期中考试卷（理）（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1.方程的解为_____________.【答案】【解析】因为。
2.已知一个扇形的周长为，则此扇形的面积的最大值为_____________cm2.【答案】25【解析】因为扇形的周长为，所以，扇形的面积为，当且仅当时取等号。
所以此扇形的面积的最大值为25cm2.3.函数的单调递加区间是_____________.【答案】【解析】由，所以函数的单调递加区间是。
4.函数的反函数是_____________.【答案】【解析】由得：-1<y<0，且，所以函数的反函数是。
5.若实数满足，且，则的值为.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，解得：。
6.使不等式成立的实数a的范围是.【答案】【解析】因为，所以，解得实数a的范围是。
7.在△ABC中,锐角B所对的边长,△ABC的面积为10，外接圆半径, 则△ABC的周长为_____________.【答案】10+10【解析】因为,外接圆半径,所以由正弦定理得：，所以。
因为△ABC的面积为，所以。
在△ABC 中，由余弦定理得：，所以。
所以△ABC的周长为10+10。
8.已知,且,则的最小值为_____________.【答案】16【解析】由得：，又因为，所以，当且仅当时取等号。
9.数列（）满足，则=_____________.【答案】【解析】因为，所以由，得。
又，所以。
10.等差数列中，公差，，则_____________.【答案】80【解析】因为，，所以，所以。
11.若存在实数满足，则实数a的取值范围是_____________.【答案】【解析】由得：，若存在实数满足，只需，又时，，所以实数a的取值范围是。
12.已知函数的图像过点（2,1），的反函数为，则的值域为_____________.【答案】【解析】因为函数的图像过点（2,1），所以，所以，所以，所以，令，则，易知函数的值域为，所以函数的值域为。
松江二中2011-2012学年高一上学期期末考试数学试题
．
2 x _ _____ ． 0 的解集是__ x4 1 1 3．设函数 f ( x) x ， g ( x) x 2 ，则 f ( x) g ( x) ＝ x2 x2
1 a 1 b
(B) a 2 b 2
(C)
a b 2 c 1 c 1
2
16．若函数 f ( x) a g ( x) b h( x) 2 (a 0, b 0) 在 0, 上有最大值 5，其中
g ( x) 、 h( x) 都是定义在 R 上的奇函数．则 f ( x) 在 , 0 上有 （
a 的取值范围．
解： （1）
（2）
8．函数 y a x 3 2 （常数 a 0 且 a 1 ）图象恒过定点 P，则 PD YDEFYG 的 坐标 为 ． 9．写出命题“已知 a 0, 且a 1 ，如果 y log a x 是减函数，则 0 a 1 ”的否命 题： 10 ． 设 奇 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 5,5 . 若 当 x 0,5 时 , 则不等式 f ( x) 0 的 f ( x) 的图象如右图， 解集是 。 ．
2．不等式 4．函数 y
．
4 x2 的定义域为 1 x 1 的值域为 2 2
x
．
5．函数 f ( x)
． ． __．
6．已知函数 f ( x) x 1( x 0) ，则它的反函数 f 1 ( x) 7．已知函数 f ( x) log 3 ( x 2 ) ，则方程 f 1 ( x) 7 的解 x ___
上海市松江二中2013届高三上学期期中考试物理试题(无答案)
2012学年第一学期高三物理期中考试（考试时间120分钟，满分150分） 2012．11 第 Ⅰ 卷（56分）一．单项选择题(共16分，每小题2分。
每小题只有一个正确选项) 1．如图所示，用A 、B 两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，来推动衣橱，这里主要利用了( ) （A ）力的平衡 （B ）力的相互作用 （C ）力的分解 （D ）力的合成2．在任何相等的两段时间内物体速度的变化量不同的运动是( ) （A ）自由落体运动 （B ）平抛运动（C ）匀速圆周运动 （D ）匀减速直线运动3．根据分子动理论，物质分子之间的距离为某一个值r 0时，分子所受的斥力和引力相等，则此时 ( )(A)分子具有最大势能 (B)分子具有最小势能 (C)引力和斥力都是最大值 (D)引力和斥力都是最小值4．牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。
下列不属于牛顿在创建万有引力定律过程中的成就的是（）（A ）接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想（B ）根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成 正比，即F ∝m 的结论（C ）根据F ∝m 和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F ∝m 1m 2 （D ）根据大量实验数据得出了比例系数G 的大小5.月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ，设月球表面的重力加速度大小为1g ，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为2g ，则( ) （A ）1g a = （B ）2g a = （C ）12g g a += （D ）21g g a -=6．将一个物体以某一速度从地面竖直向上抛出，设物体在运动过程中所受空气阻力大小不变，则物体( )（A ）刚抛出时的速度最大 （B ）在最高点的加速度为零（C ）上升时间大于下落时间 （D ）上升时的加速度等于下落时的加速度 7．如图所示，两个倾角相同的滑杆上分别套有A 、B 两个圆环，两个圆环上分别用细线悬吊着两个物体C 、D ，当它们都沿滑杆向下滑动时，A 的悬线与杆垂直，B 的悬线竖直向下。
上海市松江二中2012届高三上学期期中考试历史试题
松江二中11—12学年度第一学期期中考试试卷高三历史考生注意：1．考试时间120分钟，试卷满分150分。
2．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求；所有答题必须涂（选择题）在答题卡上或写（非选择题）在答题纸上；做在试卷上一律不得分。
3．答题卡、答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一．选择题（共80分）以下每小题2分,共68分，每题只有一个正确选项，答案填涂在答题卡上。
1．下列有关“十二铜表法”的表述，正确的是①是平民和贵族斗争的结果②有维护贵族和平民利益的倾向③一定程度上限制贵族滥用权力④为罗马公民法奠定基础⑤是罗马人传统习惯法的汇编A．①②③④ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤2．古代罗马的公民法强调“法律面前人人平等”。
这里的“人”是指A．罗马帝国范围内的外族自由民B．罗马统治范围内的一切自由民C．罗马本邦的自由民D．指罗马帝国境内的所有公民3．有学者认为，文艺复兴的倡导者和19世纪末的中国维新思想宣传者的手段都很高明。
两者的“高明”之处都在于A．利用宗教反对封建思想 B．建立政党宣传政纲C．组织团体宣传新思想 D．借助传统文化外衣4．民国时期著名的军事理论家蒋方震说，欧洲近世史之曙光，发自两大潮流，其一，希腊思想之复活，…其二，原始基督教复活。
这“两大潮流”指的是A．智者运动文艺复兴 B．文艺复兴宗教改革C．宗教改革启蒙运动 D．文艺复兴启蒙运动5. 中国古代一机构具有“专主察听在京大小衙门官吏不公不法，及风闻之事，无不奏闻”职能的是A．刑部B．内阁 C．厂卫D．军机处6．《孟子·万章》载：“禹荐益于天，七年禹崩，三年之丧毕，益避禹之子于箕山之阴。
朝觐讼狱者不之益而之启，曰：吾君之子也。
”从历史角度看，这段文献A．属于信史范畴，可以作为史料引用B．孟子是战国时期儒学传人，其言史料价值高C．有确凿年代和地点记载，真实可靠D．属于传说史料，有待相关考古研究加以证明7．“夫万民之从利也，如水之走下，不以教化堤防之，不能止也，是故教化立而奸邪皆止者，其堤防完也；教化废而奸邪并出，刑罚不能胜者，其堤防坏也。
上海市吴淞中学2012届高三上学期期中考试数学试题
吴淞中学2011学年第一学期 高三年级期中考试数学学科试卷考生注意：1、答卷前，考生务必在答题纸上用钢笔或圆珠笔清楚填写班级、姓名、准考证号，并用铅笔在答题纸上正确涂写准考证号。
2、考生答题请将答案用钢笔或圆珠笔写在答题纸上。
用铅笔答题或将答案写在试卷上一律不给分。
3、选择题答案必须全部涂写在答题纸上。
考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。
注意试题题号和答题纸编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。
4、本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、抛物线24y x =的准线方程是 .2、化简行列式cos sin sin cos ααββ-为3、若A 为n m ⨯阶矩阵，AB=C ，则B 的阶数可以是下列中的 . ①m m ⨯，②n m ⨯，③m n ⨯，④n n ⨯．4、若函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的反函数的图像过点（2，－1），则a = . 5、将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数的解析式为_______________ . 6、二项式12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的前三项系数成等差数列，则n 的值为 .7、无穷数列}{n a 中，若n n a 21=，则)(lim 24321n n a a a a a +⋅⋅⋅++++∞→= . 8、函数x x y 2cos 2sin +=，]0,[π-∈x 的单调递增区间是 .9、在等比数列{a n }中，14=S ，38=S ，则20191817a a a a +++的值是 . 10、方程6sin)6sin(ππ=+x 在],0[π∈x 的解集为11、已知关于x 的不等式 的解集是 ，则实数a 的取值范围是 . (1)(1)0ax x -+<1(,)(1,)a-∞-+∞12、方程1|2sin|-=x xπ的实数解的个数为 ．13、 阅读下列材料:若两个正实数12,a a 满足12221=+a a ,那么221≤+a a .证明:构造函数1)(22)()()(2122221++-=-+-=x a a x a x a x x f ,因为对一切实数x ,恒有0)(≥x f ,所以0≤∆,从而得08)(4221≤-+a a ,所以221≤+a a .根据上述证明方法,若n 个正实数满足122221=+⋯⋯++n a a a 时,你能得到的结论为 .14、设n S 为数列}{n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n≥+对任意等差数列}{n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为_________。
2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷及答案解析
2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1~6题，每空4分；第7~12题，每空5分）1.已知空间向量()1,0,2a =-，()0,3,1b =-，则⋅=a b _________________.2.直线与平面所成角的范围是_________________.3.已知球的半径为3，则球的表面积为_______________4.若A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则平面ABC 与平面α的位置关系_________.5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于π的扇形，则该圆锥的体积为_____________.6.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为______.7.如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，其中3AC =，4PA =，5BC =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为_____________.8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则二面角11B AC D --的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.10.圆柱底面半径为1，高为2，AB为上底底面的直径，点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕着下底底面旋转一周，则ABCV面积的范围是___________________.11.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，当AB CD⊥，则四面体ABCD的体积为_____________.12.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则r a=___________.二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（）A.lAA lαα⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭B.lAA lαα⊂⎫⇒∈⎬∈⎭C.lAA lαα∈⎫⇒∈⎬⊂⎭D.lAA lαα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭14.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A.B.C.D.15.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m//α，n⊂α，则m//nB.若m//α，m⊥n，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，则n//αD.若m⊥α，n//α，则m⊥n16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A.55B.12C.255D.2三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，点P 为1DD 的中点.（1）求证:直线1//BD 平面PAC ;（2）求异面直线1BD 、AP 所成角的大小.18.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）求“浮球”的体积：（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需要胶多少克？19.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点.（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离；（3）线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D --的余弦值为63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；（3）在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度：若不存在，说明理由.2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1~6题，每空4分；第7~12题，每空5分）1.已知空间向量()1,0,2a =-，()0,3,1b =-，则⋅=a b _________________.【答案】2【解析】【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果.【详解】因为()1,0,2a =-，()0,3,1b =- ，所以()()1003212a b ⋅=⨯+⨯+-⨯-=故答案为：22.直线与平面所成角的范围是_________________.【答案】π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论.【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90︒；③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0︒．显然，斜线和平面所成角的范围是π(0,2；直线和平面所成的角的范围为π[0,]2．故答案为：π[0,2．3.已知球的半径为3，则球的表面积为_______________【答案】36π【解析】【分析】由球的表面积公式计算即可.【详解】因为球的半径为3，所以球的表面积为224π4π336πS r ⨯===.故答案为：36π.4.若A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则平面ABC 与平面α的位置关系_________.【答案】相交【解析】【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.【详解】因A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则面ABC 与面α有公共点A ，且不重合，所以面ABC 与面α的位置关系是相交.故答案为：相交5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于π的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】3【解析】【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为r ，则在展开图扇形中有ππ2rl=，求得r ，求得圆锥的高为h =，利用圆锥的体积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，则展开图扇形的弧长为2πr ，展开图的半径为母线长2l =，所以2πππ22r rl ==，解得1r ===，所以211π1333V S h ==⨯⨯⨯ .故答案为：3π3.6.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为______.【答案】60︒【解析】【分析】先利用平行关系找到11AD B ∠为异面直线EF 和11B D 所成的角或其补角，再利用正方体性质求角的大小即可.【详解】连接1BC ，1AD ，1AB ，则EF 为1BCC 的中位线，∴1//EF BC .又∵AB //CD //11C D ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，∴11//BC AD .∴1//EF AD .∴11AD B ∠为异面直线EF 和11B D 所成的角或其补角.正方体1111ABCD A B C D -中，易知，1111AB B D AD ==，∴11AB D 为正三角形，∴1160AD B ∠=︒.∴EF 与11B D 所成的角为60︒.故答案为：60︒.7.如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，其中3AC =，4PA =，5BC =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为_____________.【答案】2【解析】【分析】首先证明⊥BC 平面PAC ，然后可得PB 与平面PAC 所成角为BPC ∠，然后可得答案.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为BC AC ⊥，,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ，所以PB 在平面上的射影为PC ，所以PB 与平面PAC 所成角为BPC ∠，因为3,4,5AC PA BC ===，所以5PC ==，PB ==所以sin2BPC ∠==故答案为：28.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则二面角11B AC D --的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）【答案】1arccos 3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可.【详解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0)A C ，11(2,2,2),(0,0,2)B D ，∴11(2,2,0),(0,2,2),(2,0,2)AC AB AD =-==-.设平面1B AC 的法向量为(,,)n x y z = ，则220220x y y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1,1y z ==-，故(1,1,1)n =-，同理可得平面1ACD 的法向量为(1,1,1)m =，∴1cos ,3m n m n m n ⋅==，二面角11B AC D --的大小为1arccos 3.故答案为：1arccos3.9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.【解析】【分析】将正方形11DCC D 、11BCC B 铺平在同一平面上，当1,,D E B 三点共线时，1D E EB +最小，然后可得答案.【详解】如图，将正方形11DCC D 、11BCC B 铺平在同一平面上，当1,,D E B 三点共线时，1D E EB +=10.圆柱底面半径为1，高为2，AB 为上底底面的直径，点C 是下底底面圆弧上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC V 面积的范围是___________________.【答案】⎡⎣【分析】据题意，设上底面圆心为O ，下底面圆心为O '，连接OC ，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由于AB 为定值，故ABC V 面积的大小随CM 的长度的变化而变化，由图可知，当点M 与点O 重合时以及当点M 与点B 重合时，分别求出CM 的最大值和最小值，即可求出ABC V 面积的范围.【详解】如图1，设上底面圆心为O ，下底面圆心为O '，连接OC ，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，则12ABC S AB CM =⨯⨯△，据题意，AB 为底面直径，是定值，故ABC V 面积的大小随CM 的长度的变化而变化，由图2可知，当点M 与点O 重合时，CM OC ===此时ABC S 取得最大值为122⨯=如图3所示，当点M 与点B 重合时，2CM BC ==，此时ABC S 取得最小大值为12222⨯⨯=，综上所述，ABC V 面积的范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣11.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，当AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为_____________.【答案】43【解析】【分析】通过圆柱的特征可得线面垂直，把四面体看做两个共底面的三棱锥即可求体积.【详解】如图所示，圆柱底面圆心记为12,O O ，连接11,CO DO ，∵AB CD ⊥，12AB O O ⊥，122CD O O O =，CD ⊂平面1CDO ，12O O ⊂平面1CDO ，∴AB ⊥平面1CDO ，∴11111142223323ABCD A CDO B CDO CDO V V V S AB --=+=�创创=△.故答案为：43.12.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则r a=___________.【答案】)312-【解析】【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为R，从而利用R表达出小球最大半径r和正方体棱长a，进而求出比值.【详解】设储物盒所在球的半径为R，如图，小球最大半径r满足)1r R+=，所以)1r R==，正方体的最大棱长a满足)2222a R⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：23a R=，∴)131223ra==，故答案为：)312-二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（）A.lAA lαα⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭B.lAA lαα⊂⎫⇒∈⎬∈⎭C.lAA lαα∈⎫⇒∈⎬⊂⎭D.lAA lαα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭【答案】B【解析】【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可.⊂，【详解】 平面α内有一条直线l，∴lα点A在直线l上，∴A l∈，∴Aα∈.故选：B.14.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用斜二测画法判断.【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，故选：A15.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m//α，n⊂α，则m//nB.若m//α，m⊥n，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，则n//αD.若m⊥α，n//α，则m⊥n【答案】D根据线面关系的性质依次判断即可.【详解】对于A，若m//α，n⊂α，则m//n或,m n异面，故A错误；对于B，若m//α，m⊥n，则n与α相交、平行或n在α内，故B错误；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n在α内，故C错误；对于D，若m⊥α，n//α，则m⊥n，故D正确.故选：D.16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A.55B.12C.255D.2【答案】D 【解析】【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N 到底面B 的距离，再由边长关系可得四边形1NPC H 是平行四边形，从而侧面11CDD C 与桌面所转化成侧面11CDD C 与平面11HD C 所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.【详解】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,AA BB CC DD 交于,,,M N P Q ，由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD = ，所以322NB PC BC CD +⨯⨯=，即344322NB +⨯⨯=，解得1BN =，在平面11BCC B 内，过点1C 作1C H NP 交于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==，又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HD C 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠，在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ∠===.故选：D.【点睛】思路点睛：利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，点P 为1DD 的中点.（1）求证:直线1//BD 平面PAC ;（2）求异面直线1BD 、AP 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，证得1//PO BD ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知，1//PO BD ，得到异面直线1BD 与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，在直角APO△中，即可求解.【小问1详解】由题意得O 为BD 的中点，连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，故1//PO BD ，又因为PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，所以直线1//BD 平面PAC .由（1）知，1//PO BD ，所以异面直线1BD 与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，故APO ∠即为所求；因为11,2AB AD AA ===，P 为1DD 的中点，则1PD =，则易知1222PA PC AO AC ====，因为O 为AC 中点，则PO AO ⊥，在直角APO △中，可得212sin 2AO APO AP ∠===，又因为π0,2APO ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，所以π6APO ∠=.18.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）求“浮球”的体积：（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需要胶多少克？【答案】（1）354πcm （2）1200π克【解析】【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.该半球的直径6cm d =，柱筒高2cm h =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得球的半径与圆柱底面半径均为3cm R =，所以两个半球的体积之和为33144ππ2736πcm 33V R ==⋅=，而322ππ9218πcm V R h =⋅=⨯⨯=，该“浮球”的体积是31236π18π54πcm V V V =+=+=；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π=1200π⨯（克）．19.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.【答案】（1）32；（2）277.【解析】【分析】（1）根据等体积法，由11A AOP A A OP V V --=即可求出点A 到平面1A PO 的距离；（2）先证明PB AP ⊥，1PB AA ⊥，由线面垂直的判定定理可得PB ⊥面1AA P ，进而可得1A PA ∠即为所求二面角的平面角，在1Rt A PA 中，计算11cos APA PA A P∠=即可求解.【详解】（1）因为113AA OO ==，122AO AB ==，所以1AO ===在AOP中，由余弦定理可得：AP ===所以1A P ==，2OP =，在1AOP中，由余弦定理可得2221111cos 27A P OP A O A PO A P OP +-∠==⋅，所127sin 7A PO ∠=，所以11227A OP S =⨯= ，设点A 到平面1A PO 的距离为d ，由11A AOP A A OP V V --=，得111133AOP AO P S AA S d ⋅⋅=⋅⋅ ，即1111233223d ⨯⨯⨯⨯=⨯，解得：32d =，所以点A 到平面1A PO 的距离为32；（2）二面角1A PB O --即二面角1A PB A --，因为AB 是圆O 的直径，点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，所以PB AP ⊥，因为1AA ⊥面ABP ，PB ⊂面ABP ，可得1PB AA ⊥，因为1AP AA A ⋂=，所以PB ⊥面1AA P ，因为1A P ⊂面1AA P ，AP ⊂面1AA P ，所以PB ⊥AP ，PB ⊥1A P ，所以1A PA ∠即为二面角1A PB O --的平面角，在1Rt A PA中，1A P =，AP =所以1127cos 7AP A PA A P ∠==，所以二面角1A PB O --的余弦值为7.20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点.（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离；（3）线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D --的余弦值为3？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）63（2）3（3）存在，且12PQ QD =【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得⊥PO 平面ABCD .根据已知得出OC AD ⊥.以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出OA ⊥平面POC ，求出,P OA B的坐标，即可根据向量法求出答案；（2）求出平面PCD 的法向量，根据向量法即可得出距离；（3）假设存在，设()01PQ PD λλ=≤≤，得出()0,,1Q λλ-.求出平面CAQ 的法向量，根据二面角结合向量，列出方程，求解即可得出λ的值，进而得出答案.【小问1详解】在PAD △中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥.又因为面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以，⊥PO 平面ABCD .在PAD △中，PA PD ⊥，PA PD ==所以，2AD ==，112OP AD ==.在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，所以112OA AD BC ===.又//OA BC ，所以四边形OABC 为平行四边形，OC //AB .因为，AB AD ⊥，所以OC AD ⊥.以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0O，()0,0,1P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，所以()1,1,1PB =--.因为OA OP ⊥，OA OC ⊥，OP OC O ⋂=，OP ⊂平面POC ，OC ⊂平面POC ，所以OA ⊥平面POC ，所以()0,1,0OA =- 为平面POC 的法向量.因为cos ,3PB OA PB OA PB OA⋅==⋅，所以PB 与平面POC所成角的正弦值为3，余弦值为3=.【小问2详解】由（1）可得()1,1,1PB =--，()1,0,1PC =- ，()0,1,1PD =- ，设平面PCD 的法向量为(),,u x y z =r，则0u PC x z u PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()1,1,1u =.所以，B 点到平面PCD的距离3PB u d u⋅===.【小问3详解】假设存在，且设()01PQ PD λλ=≤≤.因为()0,1,1PD =-，所以()0,,OQ OP PQ λλ-==-，()0,,1OQ λλ=- ，()0,,1Q λλ-.设平面CAQ 的法向量为()111,,m x y z = ，()1,1,0AC =，()0,1,1AQ λλ=+- ，则()()11110110m AC x y m AQ y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ，取11z λ=+，得()1,1,1m λλλ=--+.因为OP ⊥平面ABCD ，所以平面CAD 的一个法向量为()0,0,1n =.因为二面角Q AC D --的余弦值为63，所以cos ,m n m n m n⋅=⋅3=，整理化简，得231030λλ-+=，解得13λ=或3λ=（舍去），所以，线段PD 上存在满足题意的点Q ，且12PQ QD =.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；（3）在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度：若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）π3（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）通过证明PO AD ⊥和PO CD ⊥，结合线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面EFG 和平面ABCD 的法向量，根据面面角的向量求法求解即可；（3）首先假设存在点M 满足条件，设PM PA λ=uuu r uu r ，[]0,1λ∈，得到()2,4,GM λ=- ，根据线面角的向量求法得到22320λλ-+=，由方程无解，得到假设不成立.【小问1详解】因为PAD △是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥，又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO CD ⊥，AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD ；【小问2详解】如图，以O 点为原点，分别以OA ，OG ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(2,4,0)C -，(2,0,0)D -，(0,4,0)G ，(0,0,P ，(E -，(F -，则(0,2,0)EF =- ，(1,2,EG =，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z = ，因为00mEFm EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2020y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则)m = ，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n = ，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，所以1cos 2m n m n θ⋅=== ，则π3θ=，所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3；【小问3详解】假设存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，设PM PA λ=uuu r uu r ，[]0,1λ∈，则()2,4,GM PM PG PA PG λλ=-=-=- ，由（2）知平面EFG的一个法向量为m = ，则π1sin cos ,62m GM m GM m GM ⋅===⋅，整理得22320λλ-+=，因为70∆=-<，所以方程无解，假设不成立.所以不存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6.。
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松江二中11—12学年第一学期期中考试试卷高三数学（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．方程4220x x +-=的解是 。
2．函数sin(2cos(2)36y x x ππ=+++的最小正周期T = ．3．不等式11x<的解是_______ ___． 4.若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。
5． 若定义在22(5 log )a -，上的函数()y f x =是偶函数，则实数a = . 6．已知函数()f x 的周期为2，当11(,]x ∈-时，2()f x x =，则当35(,]x ∈时，()f x =______________7．在A B C ∆中，已知060A =，4A C =，ABC S ∆=，则B C = ．8. 若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = 。
9.参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⋅⎩化为普通方程是10．函数1y x x=+（0x >）在区间D 上有反函数的一个充分不必要条件是D = ．11. 函数2()lg(23)f x x x =--的递增区间是 12．函数x x x f 21(1)21()(-+=的值域是______ ___13．设,,a b R ∈且1b ≠。
若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是 。
14．设函数1122()sin()sin()...sin()n n f x a x a x a x ααα=⋅++⋅+++⋅+，其中i α（1,2,...,i n =，*,2n N n ∈≥）为已知实常数，x R ∈.下列所有正确命题的序号是 ． ①若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；②若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；③若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；④当22(0)(02f f π+≠时，若12()()0f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分。
15．把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是 （ ） A ．如果a b =，0c ≠，那么a b c c=B ．如果a b =，那么22a b =C ．如果a b =，c d =，那么a d b c +=+D ．如果a b =，c d =，那么a d b c -=-16．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的函数是 （ ）A.3()f x x =- B.32()f x x = C.()||f x x x = D.3()f x x -=-17. 对于函数()y f x =，有下列五个命题：①若()y f x =存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线y x =上； ②若()y f x =在R 上有定义，则(||)y f x =一定是偶函数；③若()y f x =是偶函数，且()0f x =有解，则解的个数一定是偶数；④若(0)T T ≠是函数()y f x =的周期，则*()nT n N ∈，也是函数()y f x =的周期； ⑤(0)0f =是函数()y f x =为奇函数的充分不必要条件。
从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为 （ ） A.15B.25C.35D.4518．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动 （向右为顺时针，向左为逆时针）。
设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则关于()f x 的最小正周期T 及()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域 的面积S 的正确结论是 （ ） A ．4T =，1S π=+ B ．2T π=，21S π=+ C ．4T =，21S π=+ D ．2T π=，1S π=+三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分。
已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=．（1）求边长a 的值；（2）若3sin ABC S A ∆=，求角A 的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分。
设函数[)(),0,1a f x x x x =+∈+∞+。
（1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当01a <<时，试判断函数()f x 的单调性，并证明。
21．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分。
已知函数21(0)()21(1)xccx x c f x c x +<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩—，且89)(2=c f ．（1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ．22．（本题满分18分）第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S , 等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，4224S S =+,219b =，249T =（1）求公差d 的值；（2）若对任意的*n N ∈，都有8S n S ≥成立，求1a 的取值范围； （3）若112a =,判别方程2010n n S T +=是否有解？说明理由．国23．（本题满分18分）第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分。
若定义在D 上的函数()y f x =满足条件：存在实数,()a b a b <且],[b a D ，使得：⑴ 任取0[,]x a b ∈，有0()f x C =（C 是常数）； ⑵ 对于D 内任意0y ，当0[,]y a b ∉，总有0()f y C <。
我们将满足上述两条件的函数()f x 称为“平顶型”函数，称C 为“平顶高度”，称b a -为“平顶宽度”。
根据上述定义，解决下列问题：（1）函数()|2||3|f x x x =-+--是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由。
（2） 已知()[2,)f x mx x =-∈-+∞是“平顶型”函数，求出,m n 的值。
（3）对于（2）中的函数()f x ，若()f x kx =在[2,)x ∈-+∞上有两个不相等的根，求实数k 的取值范围。
松江二中11—12学年度第一学期期中考试高三数学答题纸（理）注意：解答题的答案必须写在框内，如在规定范围外答题则一律不给分。
一、填空题：（每题4分，共56分）1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8．9． 10． 11． 12．13． 14． -二、选择题：（每题5分，共20分）15． 16． 17． 18．三、解答题：19．（本题共12分）20．（本题共12分）22．（本题共18分）松江二中2011学年第一学期期中试卷（答案）高三数学（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．方程4220x x+-=的解是 。
【0x =】2．函数sin(2cos(2)36y x x ππ=+++的最小正周期T = ．【p】3．不等式11x<的解是_______ ___． 【01x x <>或】 4.若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。
【725】5.若定义在22(5 log )a -，上的函数()y f x =是偶函数，则实数a = .【±】 6．已知函数()f x 的周期为2，当11(,]x ∈-时，2()f x x =，则当35(,]x ∈时，()f x =______________。
【24()x -】7．在A B C ∆中，已知060A =，4A C =，ABC S ∆=，则B C = ．【】8. 若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = 。
【-7】9.参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⋅⎩化为普通方程是10．函数1y x x=+（0x >）在区间D 上有反函数的一个充分不必要条件是D = ．(0,1]D = [1,),(0,1],[2,)D D D =+∞==+∞等，答案不唯一11. 函数2()lg(23)f x x x =--的递增区间是 【(3,)+∞】 12．函数x x x f 21(1)21()(-+=的值域是_________． 【),1[+∞】13．设,,a b R ∈且1b ≠。
若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是 。
【1,1b a <>-或1,1b a ><】14．设函数1122()sin()sin()...sin()n n f x a x a x a x ααα=⋅++⋅+++⋅+，其中i a 、i α（1,2,...,i n =，*,2n N n ∈≥）为已知实常数，x R ∈.下列关于函数()f x 的性质判断正确的命题的序号是 ． 【①②③④】 ①若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；②若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数； ③若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；④当22(0)(02f f π+≠时，若12()()0f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分。
15．把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是 （ D ）A ．如果a b =，0c ≠，那么a b cc=B ．如果a b =，那么22a b =C ．如果a b =，c d =，那么a d b c +=+D ．如果a b =，c d =，那么a d b c -=-16．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的函数是 （ C ）A.3()f x x =- B.32()f x x = C.()||f x x x = D.3()f x x -=-17. 对于函数()y f x =，有下列五个命题：①若()y f x =存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线y x =上； ②若()y f x =在R 上有定义，则(||)y f x =一定是偶函数；③若()y f x =是偶函数，且()0f x =有解，则解的个数一定是偶数；④若(0)T T ≠是函数()y f x =的周期，则()nT n N ∈，也是函数()y f x =的周期；⑤(0)0f =是函数()y f x =为奇函数的充分也不必要条件.从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为 （ B ） A.15B.25C.35D.4518．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动 （向右为顺时针，向左为逆时针）。