桃李上学期高三数学理期中试卷
2021年高三上学期期中质量检测数学(理)试题(含附加题) Word版含答案
2021年高三上学期期中质量检测数学（理）试题（含附加题） Word 版含答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知全集，，，那么 ▲ ．2.设函数，则的值为 ▲ ．3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ▲ ．4.设满足约束条件则目标函数的最大值为 ▲ ．5.不等式的解集为 ▲ .6.下列四个命题中 （1）若，则；（2）命题：“”的否定是“”； （3）直线与垂直的充要条件为；（4）“若，则或”的逆否命题为“若或，则” 其中正确的一个命题序号是 ▲7.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________． 8．在锐角中，，，的面积为，则的长为 ▲ .9.已知两曲线f (x )=cos x ,g (x )=3sin x ,x ∈(0,π2)相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ,C 两点，则线段BC 的长为 ▲B10.在平面直角坐标系中，为直线上的两动点，以为直径的圆恒过坐标原点，当圆的半径最小时，其标准方程为▲11.动直线过定点且，则的最小值为▲．12.已知关于的不等式的解集为,若，则实数的取值范围是▲13.已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是▲ .14.已知函数若方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是▲二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(本小题满分14分)已知且(1)若，求的值；(2)若，求的值。
16.(本小题满分14分)设是边长为的正三角形，点四等分线段（如图所示）（1）为边上一动点，求的取值范围？（2）为线段上一点，若，求实数的值；17.(本小题满分14分)如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设（1）为减少对周边区域的影响，试确定E,F 的位置，使与面积之和最小； （2）为节省建设成本，试确定E,F 的位置，使之和最小。
高三上学期期中数学理科试卷及答案
山东省聊城市 —高三第一学期期中考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷的答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．函数的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1） 3．如右图所示，D 是的边AB 的中点，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数中，其图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．B ．{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<⋃=且a 1a ≤1a <2a ≥2a >2()ln(1)f x x x=+-ABC ∆CD =12BC BA -+12BC BA --12BC BA -12BC BA +sin()6y x π=+sin(2)6y x π=-C．D．5．给出下列四个命题：①命题“，都有”的否定是“，使”②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；③将函数的图像向右平移个单位，得到的图像；④命题“设向量，若”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2。
其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．06．已知垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．17．已知的值为（）A．B．C．D．8．已知，则在同一坐标系内的大致图象是（）9．设函数的图象位于轴右侧所有的对称中心从左至右依次为，则A的横坐标是（）A．B．C．4021 D．402310．若函数内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．（0，1）B．（—，1）C．（0，+）D．（0，）cos(4)3y xπ=-cos(2)6y xπ=-x R∀∈2314x x-+≥x R∃∈2314x x-+<cos2y x=4πcos(2)4y xπ=-()4sin,3,(2,3cos)a bαα==//,4a bπα=则,||2,||3,32a b a b a b a bλ⊥==+-且与λ32-3232±21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+则16221332213182(),()log||(0,1),(2011)(2011)0xaf x ag x x a a f g-==>≠⋅-<且且(),()y f x y g x==cos2y xπ=y12,,,,nA A A3()63(0,1)f x x bx b=-+在∞∞1211．已知定义在R 上的偶函数，且当时，，则的值为（ ）A ．—2B ．—1C ．2D ．112．已知函数的定义域为（—，+），的导函数，函数的图象如右图所示，且，则不等式的解集为 （ ） A ． B ．C ．（2，3）D ．第Ⅱ卷（非选择题，90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2021年高三上学期期中测试数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期期中测试数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知锐角终边上一点的坐标是，则的弧度数是 （ A ）A ．B ．C ．D ． 2．若，为实数，则“”是“或”的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知直线是的切线，则的值为 ( C )A ．B ．C ．D ． 4．若函数，若，则实数的取值范围是 （ A ）解析：特值法：取及成立，选A ；图象法：画图，看图；代数法：当时，12()0()log 001f a f a a a ->⇒-=>⇒<<； 当时2()0()log ()001f a f a a a -<⇒-=-<⇒<-<；A ．B ．C ．D ． 5． 函数的图象是（ A ）解析：奇函数；求导，极值点为.6．设函数，的零点分别为，则（ A ）20 2 6解析：A．B．C．D．7．对于函数，若存在区间（其中），使得则称区间M为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在“稳定区间”的函数有（ B ）A．①③B．①②③C．②④D．①②③④8．函数为定义在上的减函数，函数的图象关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为( D ) A．B．C．D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若复数（）为纯虚数，则等于. 110．若，则与的夹角为.11．已知{不超过5的正整数}，，，且，则.12．函数的图象如图所示，则ω= ,．，13．已知向量满足,,，则.14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：①当时，函数的值域为；②，都有成立；③，函数的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_________.②③解析：以B为原点建立直角坐标系，则,，，设，∵，∴，，，，①当时，，，则，所以①错；②，所以②成立；③∵,∴开口向上，又∵对称轴，三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------2分因为所以 ------------------------5分在锐角中， ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得 -------------------------9分又因为，所以，即 -------------------------11分解得， ---------------------------12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. --------------------13分16.（本小题满分13分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）当时，求的最大值．16．解：（Ⅰ）由，得，即……4分则，∵,得或，．……………………………5分∴或为所求．………………………………6分（Ⅱ），………10分∵，∴，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为．……………………13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（Ⅰ）由题意可得：…………2分因为时，，所以. ……………………………………4分所以. ……………………………………5分（Ⅱ）当时，.1818182818=[2(8)]182********L x x x x x x （）（）≤.……………………………………9分 当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分当时，. ……………………………………12分所以当时，取得最大值.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. …………………13分18.（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．解：（Ⅰ）由三角函数定义，得 ，…………2分因为 ，，所以 ． ………………3分所以 21cos()cos 322x π=+==αα-α（Ⅱ）解：依题意得 ，． 所以 ， ………………7分222111||[cos()]sin()sin(2)223343S x y ππ==-+⋅+=-+ααα ……9分 依题意得 ，整理得 ． ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（Ⅰ）∵，∴，定义域 ，令得，减 增∴无极大值， ……3分（Ⅱ）， 定义域 ，∴ ………4分①当时，在上恒成立，∴在上递增； ………6分②当时，令得， 减 增∴在上递减，在上递增； …………8分（Ⅲ）∵区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， …………9分由（Ⅱ）知①当时，在上增，∴；……10分②当时，在上递减，在上递增（ⅰ）当即时， 在上增， ∴， ∴无解 ……11分（ⅱ）当即时， 在上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴ …………12分 （ⅲ）当即时， 在上递减，在上递增∴，令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a+-+==+-+，则 ∴在递减 ∴ ∴无解即无解 ………14分综上：或20．（本小题满分14分）已知是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点.若点B 的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点在点M 处的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的取值范围.20．解：（Ⅰ） ……………………………………2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 ………………4分（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得………………………2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故………………………………………………7分假设存在点使得在点M 处的切线斜率为3b ，则即因为),9(4364)3(34)2(22+=+=-⨯-=∆ab ab ab b b a b 且、b 异号.所以故不存在点使得在点M 处的切线斜率为3b .………………10分（Ⅲ）设),)(2)(()(),0,(),0,(βαβα---=x x x a x f C A 依题意可令 即]2)22()2([)(23αβαββαβα-+++++-=x x x a x f .2)22()2(23αβαββαβαa x a x a ax -+++++-= 所以即…………………………12分所以因为max 63,6,b b AC a a-≤≤-=-=所以当时 当………………………14分34534 86E6 蛦35150 894E 襎R23541 5BF5 寵2}22201 56B9 嚹%24349 5F1D 弝h27559 6BA7 殧[37382 9206 鈆 7。
高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设命题p ：x R ∀∈，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∈，200320x x -+≤ B ．x R ∀∈，320x x -+> C ．0x R ∃∈，200320x x -+>D ．x R ∀∈，320x x -+≥2．若{}0,1,2A =，{}2,a B x x a A ==∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,43．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．5z =D ．13122z i i =++ 4．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．28D ．245．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()2E X =，()43D X =，则p =（ ） A ．34B ．23C ．13D ．146．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（ ）A ．15B ．16C ．17D ．187．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ） A ．3-B ．12-C ．12D ．3 8．已知函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()1g f -的值为（ ）A ．10-B ．9-C ．7-D ．19．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移23π个单位 10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）A ．11A PB D ⊥B ．三棱锥1D APC -的体积不变，为83C ．1//A P 平面1ACDD ．1A P 与1D C 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()ln 1f x x =+，若存在互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则411i if x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知点A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标为______． 14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为______．15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈满足()()2411n n S a +=+，则361111kk kk k kaa a a =++-=-______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC △的面积18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．19．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参考成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名学生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求()3P ξ≤（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按与按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．21．已知函数()ln x xf x xe x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意的()0,x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围 请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()23,0P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为141x k k y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围 23．选修4-5：不等式选讲 已知x ，y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案1．C 2．C 3．D4．A 5．C 6．B 7．A8．B 9．A 10．D11．B12．A13．(-14．315．52π1617．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c =+及正弦定理可知，∴sin 2sin cos sin sin cos cos cos B B B A B C A B =+∴()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅⋅=+， 所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=， 所以4c =，从而11sin 3422ABC S ab A ==⨯⨯=△18．（1）证明见解析；（2）60°解析：（1）连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ⊥ 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥ （2）法一：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 则DE PD ⊥，又ED AB ⊥，PD ⋂平面AB D =，DE ⊥平面PAB过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥，DFE ∠为所求二面角的平面角，32DE =，2DF =，则tan DEDFE DF∠==A PB E --大小为60°法二：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，∴()1,0,0B ，()0,0,3P ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()1,0,3PB =-，30,,32PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBE 的法向量()1,,z n x y =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n = ∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n = 设二面角A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅， 所以60θ=︒，即二面角的A PB E --大小为60°19．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分（2）依题意z 服从正态分布()2N μσ，，其中=70.5x μ=，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()2270.5,14.31N N μσ=，，而()()56.1984.810.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=20．（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①-②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-（2）根据（1）求解知，()22log 12121n n b n =+-=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列又因为11a =，23a =，37a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+-281072911202=-+=21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）k ，，1 解析：（Ⅰ）()()21ln 1x xf x x e x +'=++，易知()f x '在()0,e 上为正，因此()f x 在区间()0,1上为增函数，又1210xe ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()0f I e =>因此()10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 在区间()0,1上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1,+∞上恒成立，即在()1,+∞上无零点， 则()f x 在()1,+∞上存在唯一零点（Ⅱ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=，原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥， 令()ln 1xxe x g x x--=，则()ln x xxe x g x x+'=，由（Ⅰ）可知()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，00x x e t =故只求()0g x ，设00x x e t =，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-， 可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左右负不相等，只能1t =因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即k ，，1求所求 22．（1）S 的普通方程为：2240x y x +-=()04,0x y ≤≤≥或()0,0x y >≥或()0,0x y ≠≥方程写标准式也可S 的极坐标方程为：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭（不写范围扣2分） （2）0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23．（1）见证明；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】解：（1）由柯西不等式得)2222211x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅+⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦ ∴()()222433x y x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式1121a a x y+≥-++恒成立，即可转化为214a a -++≤， 当2a ≥时，214a -≤，可得522a ≤≤， 当12a -<<，34≤，可得12a -<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高三数学上学期期中质量监测试卷 理含解析 试题
2021届高三上学期期中质量监测数学〔理〕试题创作人：历恰面日期：2020年1月1日第I卷〔选择题60分〕一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，满分是60分；在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕1.集合，，那么=A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据对数函数和指数函数的单调性，化简集合，再求集合的并集..【详解】∵lgx≤0=lg1，即0＜x≤1，∴A=〔0，1]；∵2x≤1=20，即x≤0，∴B=〔-∞，0]，那么A∪B=〔-∞，1]．应选B【点睛】此题考察了集合的并集运算，涉及了对数函数与指数函数的单调性的应用；求集合的并集，通常需要先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规那么求解.2.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，以及对数的真数大于0，得到关于x的不等式组，解不等式即可求解.【详解】根据题意，得，即，解得 .应选C【点睛】此题考察了求函数的定义域问题，涉及了对数函数的图象与性质，函数的定义域是使函数解析式中各个局部都有意义的自变量的取值范围，求解时，将自变量的限制条件列成一个不等式〔组〕，解之即可.3.设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，得，又由，得，所以“〞是“〞的既不充分也不必要条件，应选D．4.,, ,那么有A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及对数运算进展判断.【详解】∵∴ .应选A.【点睛】此题考察了指数函数和对数函数的单调性的应用，考察了对数的运算，采用了“中间量〞法比拟大小.5.定积分=A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，应选B.6.,，那么与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将展开，利用向量的数量积公式求解.【详解】解得∵两向量夹角的范围为[0°，180°]，∴的夹角为60°．应选C【点睛】此题考察了平面向量的数量积运算，考察了向量的夹角，在解题时要注意两向量夹角的范围是 .7.命题存在实数,满足；命题：().那么以下命题为真命题的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合命题真假关系判断各选项.【详解】当α=β=0时，满足sin〔α+β〕=sinα+sinβ，故命题p是真命题，那么是假命题，当a=时，log a2=-1，log2a=-1，不等式不成立，故命题q是假命题，那么是真命题，那么是真命题，其余为假命题.应选A【点睛】此题考察了判断复合命题的真假；，有真为真，都假为假；都真为真，有假为假；真假相反.〔是常数，〕，且函数的局部图象如下图，那么有〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意，，，，，由图象知的一个减区间是，一个增区间是，，，，，所以，应选D．考点：的解析式，比拟大小，三角函数的单调性．【名师点睛】函数的解析式确实定可利用最大值与最小值确定振幅，利用周期确定，利用五点确定，特别是填空题、选择题中，可直接利用五点中确实定，而不需要象解答题一样通过解三角方程求得．9.以下图是函数的局部图象，那么函数的零点所在的区间是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，根据导数判断其在定义域上单调递增，结合二次函数图象，判断，故可判断，即可得解.【详解】，那么，故，定义域为∵，∴在定义域上单调递增，那么假设存在零点，那么零点唯一.∵，根据二次函数的图象，，故，∴，∵∴函数g〔x〕=lnx+f′〔x〕的零点所在的区间是〔，1〕.应选C【点睛】此题考察了导数的运算及应用，考察了函数零点所在区间的判断，涉及了二次函数图象的应用，考察了数形结合的思想 .在解题过程中，要注意定义域优先原那么，分析函数单调性和零点必须在函数定义域内进展.10.，且那么目的函数的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再平移直线2x+y=0确定取最小值时点的位置，进而求解.【详解】作出x，y∈R，且所表示的平面区域，作出直线2x+y=0，并对该直线进展平移，可以发现经过点A时Z获得最小值.由解得A〔-3，4〕， .应选B【点睛】此题考察了线性规划求最值，解决这类问题一般要分三步：画出可行域、找出关键点、求出最值．线性规划求最值，通常利用“平移直线法〞解决.11.是的外心，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】展开，结合向量在向量方向上投影的概念求解．【详解】，∵，结合外心的性质，如图，可知，∴，同理∴应选C.【点睛】此题考察了平面向量的数量积运算，考察了向量在向量方向上投影的概念，考察了平面向量在几何中的应用；解答的关键是外心的几何性质与向量的投影概念相结合.12.假设直线是曲线的切线，也是曲线的切线，那么实数的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别设切点，利用切线斜率相等得,那么切线方程为，，可得，计算可得解.【详解】直线是曲线的切线，也是曲线的切线，设切点分别为，令f〔x〕=，那么，令g〔x〕=，那么可知，即，过切点表示切线方程：整理得，过切点表示切线方程：整理得故，解得故应选A.【点睛】此题考察了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察了学生对导数意义的理解，还考察了直线方程的求法；曲线的切点，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕13.向量假设，那么实数__________．【答案】【解析】分析：首先根据向量的运算法那么，求得向量的坐标，之后应用向量平行时坐标所满足的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.详解：点睛：该题考察的是有关利用向量平行求参数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有数乘向量，向量加法运算法那么，向量一共线时坐标所满足的条件，正确应用公式是解题的关键.14.设当时,函数获得最大值,那么______.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式，结合三角函数的性质以及诱导公式求解.【详解】利用辅助角公式，其中当时,函数获得最大值，，故，那么，故故填：【点睛】此题考察了辅助角公式的应用，考察了正弦函数的最值，考察了三角函数的诱导公式的应用. 辅助角公式：其中.15.观察以下各式：… … …照此规律，那么第个等式应为_______.【答案】【解析】【分析】左边为几个连续整数的立方的和的形式，右边是数的平方形式，观察归纳得出右边式子底数的通式，即可求解.【详解】第1个式子右边底数为1，第2个式子右边底数为3=1+2=，第3个式子右边底数为6=1+2+3=，……归纳可得：第n个式子右边底数为1+2+3+…+n=故第个等式为故填：【点睛】此题考察了归纳推理的运用，属于数的归纳，此类题目通常既要观察式或者数与序号之间的关系，还要联络相关知识，比方等差数列等.16.函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，那么不等式的解集为_______.【答案】【解析】【分析】构造函数F〔x〕=x2f〔x〕，结合题意，得出F〔x〕在〔-∞，0〕是增函数，原不等式等价为 ,结合函数的单调性和奇偶性求解即可.【详解】2f〔x〕+xf′〔x〕＜0，x＜0；那么2xf〔x〕+x2f′〔x〕＞0，即[x2f〔x〕]′＞0；令F〔x〕=x2f〔x〕，那么当x＜0时，＞0，即F〔x〕在〔-∞，0〕上是增函数，∵F〔x-2021〕=〔x-2021〕2f〔x-2021〕，F〔-1〕=f〔-1〕，∴不等式等价为F〔x-2021〕-F〔-1〕＜0，∵偶函数f〔x〕是定义在R上的可导函数，f〔-x〕=f〔x〕，∴F〔-x〕=F〔x〕，∵F〔x〕在〔-∞，0〕是增函数，∴F〔x〕在〔0，+∞〕是减函数，由F〔2021-x〕=F〔x-2021〕＜F〔-1〕=F〔1〕得，|x-2021|＞1，解得x＞2021或者x＜2021．故填：{x|x＜2021或者x＞2021}．【点睛】此题考察了导函数的应用，考察了函数奇偶性和单调性的应用；假设题目中给出含有f′〔x〕的不等式，通常做法是构造函数，使所构造函数的导函数与不等式相结合. 三、解答题：〔本大题一一共6个小题，一共70分；解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.设命题函数在区间上单调递减；命题函数的值域是.假如命题为真命题，为假命题，务实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求出p，q为真命题时m的范围，再由可得p和q有且只有一个是真命题，分类求解后，取并集得答案.【详解】命题为真命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，所以 .命题为真命题等价于恒成立，解得或者 .由题意，和有且只有一个是真命题，那么真假，解得；假真，解得.综上所述,所务实数.【点睛】此题考察了利用复合命题的真假求参数，考察了函数单调性与导函数的关系；复合命题“p或者q〞有真那么真，“p且q〞有假那么假，“非p〞，真假相反.18.向量,.〔Ⅰ〕假设，求的值；〔Ⅱ〕令,把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半〔纵坐标不变〕，再把所得图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，试求函数的单调增区间及图象的对称中心.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用两个向量垂直的性质以及，求得tanx的值，再利用二倍角的正切公式，求得tan2x的值；〔Ⅱ〕利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律求得g〔x〕的解析式，再利用正弦函数的单调性和图象的对称性，得出结论【详解】〔Ⅰ〕∵，∴，即.易知，〔否那么，题设“〞不成立〕，∴.∴.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，由题意，得.假设函数为单调递增，那么有 ()，得 ()，∴的单调增区间为().由 ()，得 ().即函数)图象的对称中心为 ().【点睛】此题考察了两个向量垂直的性质，向量数量积的坐标运算在三角函数的关系式中的应用，考察了二倍角的正切公式，考察了函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，以及正弦函数的单调性和图象的对称性. 是综合题.19.在中，内角所对应的边分别为，.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕试求的面积.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用正弦定理和二倍角公式，求的值；〔Ⅱ〕利用二倍角公式、诱导公式，两角和的正弦公式，求得sinA，再利用三角形面积公式求的面积.【详解】〔Ⅰ〕在中，∵，那么由正弦定理，得，∴，即.又，∴.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，且为的内角，∴，因此，.在中，有.∴.【点睛】此题考察了正弦定理，三角函数的诱导公式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，以及三角形面积公式在解三角形中的应用，考察了计算才能和转化思想.注意在等式变形中，一般两边不要直接约去公因式，而是通过移项、提取公因式求解.20.函数，不等式的解集为.〔Ⅰ〕务实数的值；〔Ⅱ〕假设关于的不等式恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕4；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕解不等式得, 根据解集，务实数的值；〔Ⅱ〕结合绝对值不等式的几何意义，不等式恒成立恒成立恒成立，解不等式，即可务实数的取值范围.【详解】〔Ⅰ〕∵，∴不等式，即，∴，∴∴,而不等式的解集为，∴且，解得.〔Ⅱ〕由题设及〔Ⅰ〕，结合绝对值的几何意义得不等式恒成立恒成立恒成立.∴或者解得或者.故所务实数.【点睛】此题考察理解绝对值不等式问题，考察了不等式的恒成立问题；在解有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义，能有效的防止分类讨论不全面的问题.21.于2021年设立了水下考古研究中心，以此推动全的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和博物馆。
2021-2022年高三上学期期中统考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期期中统考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①； ②； ③； ④． 其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④ 6.若数列的前项和，则数列的通项公式 A. B. C. D. 7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若的最小值为，则A.B.C. D.9.在中,角的对边分别为,且22coscos sin()sin 2A BB A B B --- .则 A ． B ．C ．D ．10.函数是上的奇函数，1212()[()()]0x x f x f x --<,则的解集是 A . B. C. D.11.设函数2()2,()ln 3xf x e xg x x x =+-=+-，若实数满足，则A ．B ．C ．D ．12.给出下列四个命题，其错误的是①已知是等比数列的公比，则“数列是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. ②若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有(21)(21)0f x f x ++--=.③若存在正常数满足 ，则的一个正周期为 . ④函数与图像关于对称.A. ②④B. ④C.③D.③④第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.＝ ． （ ） 14.122133434344nn n n n ---+⋅+⋅++⋅+= ．15.在中，，，，则 ．16.设, 则当 ______时, 取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知(2cos ,2sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,. (Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.18.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且. (Ⅰ)求函数的解析式； (Ⅱ)解不等式19. (本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和. (Ⅰ) 若，求数列的通项公式； (Ⅱ) 记,，且成等比数列,证明:().20.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,. (Ⅰ) 求山路的长;(Ⅱ) 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 21．（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制CBA定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ①； ②试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.22．(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值； (Ⅱ)令21()()22aF x f x ax bx x=-++（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．xx.11理科数学 参考答案及评分标准一、二、13. 14. 15. 16. 三．解答题17解: (Ⅰ)∵∴又∵2222||4cos 4sin 4a a αα==+=,1sin cos ||2222=+==ββ……3分 ∴()222244448a ba ab b =-=-+=+=, ………………5分∴.…………………6分(Ⅱ)∵a 2b (2cos 2cos ,2sin 2sin )(2,0)αβαβ+=++= ∴即 …………………8分两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ……10分∵且 ∴ …………………12分18.解：(Ⅰ)设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上，…………………2分代入，得 …………………4分 (Ⅱ)方法1或 ………8分112212x x ⎧-<<⎪⎪⇔⎨⎪≥⎪⎩或112212x x ⎧--<<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ …………………10分 或不等式的解集是x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭…………………12分 方法2：等价于或 解得或所以解集为11{|}22x x --<< 19解(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分 所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴295,26,3,31n a a d a n ==∴=∴=-或2926,5,3,332n a a d a n ===-=-+ 即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴∴ …………7分 ∵成等比数列，∴ ∴ …………8分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴…10分 ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边= 右边=∴左边=右边∴()成立. ……………12分 20解: (Ⅰ) ∵,∴∴, …………………2分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π …………4分 根据得104063sin 12604sinC655AB AC B m ==⋅=所以山路的长为米. …………………6分 (Ⅱ)由正弦定理得50013565631260sin sinB===A AC BC () …………8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为 ，由题意得1265000(218)35v<-+++≤，………10分 整理得71500250062503,57114v v <-≤∴<≤∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内. …………………12分 21．解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分 （Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立 ……4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ……7分 ②对于函数模型：当时，是增函数，则()()min 104lg10221f x f ==-=>． ∴恒成立． ………8分设，则．当时，()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<，所以在上是减函数， ……10分 从而()()104lg10220g x g ≤=--=．∴，即，∴恒成立．故该函数模型符合公司要求． ……12分 22.解：(Ⅰ)依题意，的定义域为， 当时，，21132()32x x f x x x x--'=--=……………………2分由 ，得，解得由 ，得，解得或，在单调递增，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)1()ln ,[,3]2a F x x x x =+∈，则有在上有解， ∴≥， 22000111(1)222x x x -+=--+所以 当时，取得最小值……………8分(Ⅲ)方法1由得，令，令2()2ln 1,()10g x x x g x x'=+-=+>，∴在单调递增，……………10分 而，∴在，即，在，即，∴在单调递减，在单调递增，……………12分 ∴极小值=,令，即时方程有唯一实数解. 14分方法2：因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设2()2ln 2g x x m x mx =--，则令， 因为所以（舍去），， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，当时，取最小值. ……………10分 若方程有唯一实数解，则必有 即22222222ln 20x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩所以因为所以……………12分设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.∵，∴方程(*)的解为，即，解得………14分25288 62C8 拈26628 6804 栄 22440 57A8 垨^22609 5851 塑Z34942 887E 衾23056 5A10 娐434858 882A 蠪3 32263 7E07 縇。
山东省2024-2025学年高三上学期期中检测数学模拟试卷(含答案)
（2）由（1）得， cn n 2n ，
设数列cn 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn 1 21 2 22 3 23 n 2n ，
2Sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n1 ，相减得，
2 1 2n
Sn 21 22 23 2n n 2n1 1 2 n 2n1 .
x
x
f (x) 的减区间是 (
1 , ); 增区间是 (0,
1 ).
2a
2a
f (x) 极大值为 f (x)极大值 =f (
1 ) 1 (1 ln 2a); 2a 2
无 f (x)极小值.无极小值
（2）依题意：设 A f (x) x 1, B g(x) x 0 A B
2x 1, 0 x 1 g(x) {x, 1 x 2 . B (, 2]
4 x, x 2
① 若 1 1，在 x (1, ), f (x) (, 1 1 ln 2a) A B
2a
22
1 1 ln 2a 2 a 1 e5
22
2
故 a [ 1 e5, 1 ) ； 22
② 若 0 1 1, 在 x (1, ), f (x) (, f (1)) A (, 2], 2a
∴ Sn n 1 2n1 2 ，
∴数列cn 的前 n 项和为 n 1 2n1 2 . 18.（1）依题意， f x sin 2x cos 2x 2 sin(2x ) ，
4
所以 f x 的最小正周期为 π ；
由 π 2kπ 2x π π 2kπ, k Z ，得 3π kπ x π kπ, k Z ，
2024-2025 年高三上学期期中检测模拟试卷
一、单选题
1．已知集合 A x 5 2x 1 5 ， B x y 9 3x ，则 A B （ ）
数学高三期中考试卷
数学高三期中考试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡上。
）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}3. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x + 1的导数是：A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 3C. 3x^2 - 9x + 4D. 3x^2 - 9x + 14. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 1B. 4C. 5D. 75. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)6. 若直线y = 2x + 1与直线y = -x + 4平行，则它们的斜率k的比值为：A. -1B. 1C. 2D. 07. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值为：A. 11B. 13C. 15D. 178. 已知等比数列{b_n}的首项b_1 = 4，公比q = 3，求b_3的值为：A. 36B. 48C. 64D. 729. 函数y = sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. 3πD. 4π10. 已知复数z = 1 + i，求|z|的值为：A. 1B. √2C. 2D. √3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案写在答题卡上。
）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值为______。
12. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (2, 1)，求向量a与向量b的夹角的余弦值为______。
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余江县桃李中学2013-2014届高三上学期
期中考试数学试卷(理)
一、选择题
1.已知函数f(x)=lg （-x ）的定义域为M,函数⎩⎨⎧<+->=1
,132
,2x x x y x
的定义域为N,则
M C R ∩N=( )
A 、[0,1)
B 、(2,+∞)
C 、(0,+∞)
D 、[0,1)∪(2,+∞)
2.复数i(2i)z =--（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，|3|b a +等于( )
7. A 10. B 13. C 15.D
4．设A ＝{20|≤≤x x }，B ＝{21|≤≤y y }，在下列各图中，能表示从集合A 到集合B 的
函数的是( )
5．函数()()lg 1f x x =-的大致图象是（ ）
6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如图所示，则
下列结论中一定成立的是（ ）
A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 7．给出下列说法: ①命题“若6
π
α=
，则sin 2
1
=
α”的否命题是假命题; ②命题p:存在R x ∈,使sinx>1,则⌝p:任意R x ∈，1sin ≤x ；③“)(22
z k k ∈+=ππ
ϕ”是“函数y=sin(2x +ϕ)为偶函数”的充要条件; ④
命题p:存在x ∈(0,
2π),使2
1
cos sin =+x x ,命题q:在△ABC 中,若B A sin sin >则A>B,那么命
题(⌝p)且q 为真命题. 其中正确的个数是( )
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
8．函数()2sin(),(0,)
2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )
A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3π
9．在四边形ABCD 中, )2,4(),2,1(-==BD AC ，则四边形的面积为 （ ）
A ．5
B ．25
C ．5
D ．10
10．已知2cos sin cos )(2a
x x b x a x f -
-=的最大值是2
1，且43)3(f =π，则=π-)3(f （ ）
A ．2
1
B ．43-
C ．4321或-
D ．4
3
0-或 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题
11．计算定积分=+⎰-dx x x 1
1
2)sin ( .
12．已知函数cos (0)
()(1)1
(0)x
x f x f x x π⎧=⎨
-+>⎩≤，则44
()()33
f f +-= ． 13．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集 用区间表示为 .
14．如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,
22
sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为
15. 给出下列个命题： ①若函数 R ）为偶函数，则
范围是15[,]24
②已知0ω>,函数()sin()4f x x π
ω=+
在(,)2
π
π上单调递减,则ω的取值
③函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2
A π
ϕ><
）的图象如图所示，则
()f x 的解析式为()sin(2)3
f x x π
=+；
④设ω＞0，函数sin()23
y x π
ω=+
+的图象向右平移
43
π
个单位后与原图
象重合，则ω的最小值是3
2
. 其中正确的命题为____________. 三、解答题
()6
k k Z π
φπ=+
∈()sin(2)(3
f x a x x π
φ=+
+∈x
y O
3π
712
π
1-
16．(12分)已知集合A ＝{x|2x －a x ＋2a －12＝0}，集合B ＝{x|2x －5x ＋6＝0}，是否存实
数a ，使得集合A ，B 能同时满足下列三个条件：①A≠B ；②A ∪B ＝B ；③(A∩B)≠∅若存在，求出实数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
17. (12分)已知函数)(x f y =,若存在0x ，使得00)(x x f =,则称0x 是函数)(x f y =的一个不动
点，设二次函数2()(1)2f x ax b x b =+++-. (1) 当2,1a b ==时，求函数)(x f 的不动点；
(2) 若对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围；
18．(12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角且向量=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=n C m 2cos ,1 )
23,2cos 2sin 3(C C + 共线．
（1）求角C 的大小：
（2）设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2acosC+c=2b ，试判断△ABC 的形状．
19．(12分)设曲线1()n y x n N +*=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =.
（1）当1(1,1)n =时，求曲线在点处的切线方程； （2）求1299a a a +++…的值。
20．(13分)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1||=OC ，且
AOC x ∠=， 其中O 为坐标原点.
（1）若3
4
x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OD OC +的最小值;
（2）若[0,]2
x π
∈，向量)cos 2sin ,cos 1(,x x x n BC m --==，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.
21．(14分）设函数f （x ）=
，其中a ＞0．
（1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）若方程f （x ）=0在（0，2）内恰有两个实数根，求a 的取值范围； （3）当a =1时，设函数f （x ）在[t ，t +3]（∈t （﹣3，﹣2））上的最大值为H （t ），最小
值为h （t ），记g （t ）=H （t ）﹣h （t ），求函数g （t ）的最小值．。