高等数学第一章第一节课件

y
y x2
当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
思考：比较 0 2 0 3 和 0 30 2 的大小。
(3) 函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
( 2)
y f ( u) ln u,
u g( x ) sin x 1
xo x0
x 2、函数 y x
为初等函数吗？
3、求曲线 y x ，x 1 及x轴所围成图形
2
（曲边三角形）的面积。
y x2
思考题解答 1、 下列函数能否复合为函数 y f [ g ( x )] ， 若能，写出其解析式、定义域.
T 1
y
1
o
y x [ x]
1
x
四、函数类型
（1）分段函数 在自变量的不同变化范围内，对应法则
用几个式子来表示的函数，称为分段函数。
如
x y x
xo x0
（2）反函数
由y f ( x )确定的y f 1 ( x )称为反函数.
如 y sin x 又如
y f
复合构成.
x 例如 y cot , y u , 2
x u cot v , v . 2
（4）隐函数
由方程F ( x , y ) 0所确定的函数 y f ( x )称为隐函数.
如：
2 2
x y 2 1 2 a b
e y xy e x 1
都为隐函数.
五、 初等函数
图象对称于直线 y x.
( f ( x ), x )
y f ( x)
( x , f ( x ))
x
o
（3）复合函数
设 y u, u 1 x 2 ,
定义:
y 1 x2
设函数 y f ( u) 的定义域D f , 而函数
u ( x ) 的值域为Z , 若 D f Z , 则称
2. y ln sin 2 ( x 3 2)
2
arcsin x 2 1
3. y ln ln sin ( x 1) 4. y e
3
思考题
1、 下列函数能否复合为函数
y f [ g ( x )] ，
若能，写出其解析式、定义域.
(1)
y f ( u) u ,
u g( x ) x x 2
g( x ) 的值域与 f ( u) 的定义域之交集是空集.
x 2、函数 y x xo x0
为初等函数吗？
解：是. 因为此函数可以写成 y x 2 的形式.
(1)
( 2)
y f ( u) u ,
y f ( u) ln u,
u g( x ) x x 2
u g( x ) sin x 1
解： (1)
能 y f [ g ( x)] x x 2
x D { x | 0 x 1},
(2) 不能．因为 g ( x) sin x 1 0
高等数学
主 讲 余 萍
E-mail: pingluyue@
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数的基本概念(复习)
重点：函数定义 基本性质
基本初等函数 函数类型 初等函数
难点：复合函数的复合过程
一、函数的基本概念
要求掌握函数的三大要素，并能判断
两个函数是否相同，会求函数的定义域。
二、基本初等函数 1）幂函数
y arctan x; y arc cot x
三、函数的基本性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) y
称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数;
y
y x
o
y x3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y x (是常数) (a 0, a 1)
2）指数函数 y a x
3）对数函数 y log a x 4）三角函数 y sin x;
(a 0, a 1) y cos x;
y tan x;
y cot x;
y secx;
y csc x
5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则
运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一 个式子表示的函数,称为初等函数.
如
ye
sin x
x ln tan x
2
x
y (1 sin x) e 1
均为初等函数.
练习题：写出下列函数的复合过程。
1. y e
sin 2 ( x 3 2 )
函数 y f [( x )]为x 的复合函数.
其中
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
注意:
1. 不是任何两个函数都可以复合成一个
复合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
2. 复合函数可以由两个以上的函数经过
y
1 y x
在( ,0)及(0,)上无界; 在( ,1]及[1,)上有界.
1
o
1
x
(4) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
o
偶函数
x
奇函数
(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1 及 x2，当 x1 x2 时，恒有： (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f ( x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
1
( x) arcsin x
y arccosx
y arctan x y arc cot x
要求掌握它们的定义域、值域和图象。
注意：
（1）设函数y=f(x)在某一 区域内存在反函数，则x和y 之间必是1-1对应关系；
y
y f 1 ( x )
(2 ) y f ( x )与y f 1 ( x )的