高等数学同济第七版第一章ppt课件
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同济高数第一章第一节
定义在R上的任意函数 上的任意函数， 证明 定义在 上的任意函数，都可以表示为 一个奇函数与一个偶函数之和。 一个奇函数与一个偶函数之和。 证 设 f ( x) x ∈ R 1 1 记 ϕ( x ) = [ f ( x ) − f ( − x )], ψ( x ) = [ f ( x ) + f ( − x )] 2 2 1 ϕ( − x ) = [ f ( − x ) − f ( x )] = − ϕ( x ) 奇函数 2 1 ψ( − x ) = [ f ( − x ) + f ( x )] = ψ( x ) 偶函数 2
例6 证明
3x + 1 y= 2 有界 x +4
3 x + 1 | 3 x + 1 | 3 | x | +1 证 | 2 |= 2 ≤ 2 x +4 x +4 x +4 3| x | 1 3( x 2 + 1) 1 = 2 + 2 ≤ + 2 x + 4 x + 4 2( x + 4) 4
3 1 7 ≤ + = 2 4 4 3x + 1 ∴y= 2 x +4
第一章 函数、极限与连续 函数、
第一节 函数
一、集合 总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素 记为： 记为： a ∈ M , a ∉ M , 集合分类： 集合分类： 有限集 无限集 集合表示： 集合表示： A = {a1 , a 2 ,L , a n }
函数的两要素: 定义域与对应法则 函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数与表示自变量的字母无关 指出下列函数是否相同，为什么？ 例5 指出下列函数是否相同，为什么？
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
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3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1
那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注 函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映 合射
逆映射
区邻 间域
构造 复合映射
初等函数 函
反函数
数
复合函数 构造
四则运算
第一讲 映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件 下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)
2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
f (x) A ,
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
最新同济大学高等数学第七版上册定积分精品课件
则有
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
证 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，故原函数存在，设 F( x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
f [(t)](t)dt
f [(t)]d(t)
F[(t)] F[( )] F[( )]
2
三、小结
1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对 应。
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入 新的变量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分 部积分公式的用法类似。
作业
P254 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 3 ; 6; 7 (4), (9), (10)
2 2arctant 1 2 .
0
2
例7
设
f
(x)
12xx, 1 x
,
x0 x0,
2
求 f ( x 1)dx . 0
解 令 x1 t，
原式
1
f (t)dt
1
f ( x)dx
1
1
1
2xdx
0 1 x dx
0
1 1 x
x2 1
0
(1
2 ) dx
0
1
1 x
1 1 2 ln(1 x) 0 2 ln 2 . 1
T f ( x)dx .
a
0
aT
证 a f ( x)dx
0
T
aT
a f ( x)dx 0 f ( x)dx T f ( x)dx ,
aT
f ( x)dx
xT t
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函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0 )
2. 函数间断点
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
即
m m f (c) n f (d) M mn
由介值定理, 存在 [a,b], 使
m f (c) n f (d ) f ( )
mn
即
m f (c) n f (d ) (m n) f ( )
三、 极限
1. 极限定义的等价形式 (以 x x0为例 )
lim f (x) A
xx0
" "
3, [ f (x
5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10) ] f (10 3) f (7) f [ f (12) ]
f (12 3 ) f (9) 6
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
由
e 2 (x) 1 x
得 (x) ln(1 x) ,
x (,0]
5.
已知
f
(x)
x f
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与(x) f [ f (x)]
相同
2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
(1) y 1 sin x 1
不是
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
π 2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
例6. 设 f (x) 在 [a , b] 上连续, 且 a c d b , 证明:
必有一点 [a ,b], 使
m f (c) n f (d ) (m n) f ( )
证: f (x) C[a,b], f (x)在[a,b] 上有最大值M
及最小值m, 故
(m n)m m f (c) n f (d) (m n)M
解: 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则
3
lim
x0
x2 xk
x C 0
因
3
lim
x0
x2 xk
x
lim 3 x0
x2 x3k
x lim 3 x0
x 123k
(1
x
3 2
)
故 k1 6
阅读与练习
1. 求 f (x) (1 x)sin x 的间断点, 并判别其类型. x (x 1)(x 1)
x
存在, 则 f (x) 必在 ( , )内有界.
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x
时, 有
A f (x) A
又 f (x) C[X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使
取
f (x) M1 , x [X , X ]
y M1 f (x)
解:
f
(sin
x
1 sin
) x
1 sin 2
x
sin
2
x
1
(sin x 1 )2 3
f (x) x2 3
sin x
例1. 设 f (x) f ( xx1) 2x , 其中 x 0 , x 1 ，求 f (x).
解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .
令
t
x1 x
,
即
x
1 1t
O
D
x
2. 特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数 f : D f (D) 为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链 f : D1 f (D1) g : D g(D) D1
D
g g(D)D1
f g f
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
[
( x1
f
)
2f ((xf 1)()x2 )时ff(,(xx11))fff(((xxx)22)f)]2[0(f, 2)(xF2f()x(1x)1F)f f((xx(1x2)2)
)f(0x0,2
)]
故由零点定理知 , 存在 (x1 , x2 ), 使 F ( ) 0, 即
f ( ) f (x1) f (x2 ) .
求
lim
(1
2x
3x
)
1 x
.
解:
x
令 f (x)
(1
2x
3x
1
)x
3
(13) x
(32) x
1
1 x
则
1
3 f (x) 33x
利用夹逼准则可知 lim f (x) 3 .
x
作业
P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 13
6. 判断极限不存在的方法
例7. 求下列极限：
(1) lim (sin
x
(2)
lim
x1
1 x2 sinπ x
x 1 sin
x)
(3)
lim
x0
1 1
x x
cot x
提示: (1) sin x 1 sin x
2sin x 1 x cos x 1 x
2
2
2sin
1
cos x 1 x
2( x 1 x)
lim [ f (x) A] 0
xx0
(即 f (x) A 为无穷小)
f (x0 ) f (x0 ) A
xn (xn x0) , xn n x0 ,
有
lim
n
f
(xn )
A
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x
,
代入原方程得
f
(11t )
f
(t)
2 1t
,
即
f
(11x)
f
(x)
2 1 x
令
1 1 x
uu1 ,
即
x
1 1u
,
代入上式得
f (uu1)
f
(11u )
2(u1) u
,
即
f ( xx1)
f
(11x)
2( x1) x
画线三式联立
f (x) x 1 1 1 x 1 x
二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
解: lim (1 x)sin x 1 sin1 x 1 x (x 1)(x 1) 2 x = –1 为第一类可去间断点 lim f (x)
x1
x = 1 为第二类无穷间断点
lim f (x) 1, lim f (x) 1
x 0
x 0
x = 0 为第一类跳跃间断点
2. 求
lim
x0
2 1
tan x ~ x
1 cos x
~
1 2
x2
arctan x ~ x arcsin x ~ x ln(1 x) ~ x
ex1~ x
ax 1 ~ x ln a (1 x) 1 ~ x
4. 两个重要极限
(1) lim sin 1 0
(2) lim(1 1 ) 1 或 lim(1
1
) e
0
0
注: 代表相同的表达式 5. 求极限的基本方法
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
2x 1 x
)
~
2x 1 x
e
lim (
x0
cos sin
x x
2x 1 x
)
e2
复习: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim v(x)u(x)
lim 1 u(x) v(x) exx0
x x0
lim v(x) ln1 u(x)
exx0
例8. 确定常数 a , b , 使 lim (3 1 x3 a x b) 0
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0 )
2. 函数间断点
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
即
m m f (c) n f (d) M mn
由介值定理, 存在 [a,b], 使
m f (c) n f (d ) f ( )
mn
即
m f (c) n f (d ) (m n) f ( )
三、 极限
1. 极限定义的等价形式 (以 x x0为例 )
lim f (x) A
xx0
" "
3, [ f (x
5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10) ] f (10 3) f (7) f [ f (12) ]
f (12 3 ) f (9) 6
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
由
e 2 (x) 1 x
得 (x) ln(1 x) ,
x (,0]
5.
已知
f
(x)
x f
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与(x) f [ f (x)]
相同
2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
(1) y 1 sin x 1
不是
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
π 2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
例6. 设 f (x) 在 [a , b] 上连续, 且 a c d b , 证明:
必有一点 [a ,b], 使
m f (c) n f (d ) (m n) f ( )
证: f (x) C[a,b], f (x)在[a,b] 上有最大值M
及最小值m, 故
(m n)m m f (c) n f (d) (m n)M
解: 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则
3
lim
x0
x2 xk
x C 0
因
3
lim
x0
x2 xk
x
lim 3 x0
x2 x3k
x lim 3 x0
x 123k
(1
x
3 2
)
故 k1 6
阅读与练习
1. 求 f (x) (1 x)sin x 的间断点, 并判别其类型. x (x 1)(x 1)
x
存在, 则 f (x) 必在 ( , )内有界.
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x
时, 有
A f (x) A
又 f (x) C[X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使
取
f (x) M1 , x [X , X ]
y M1 f (x)
解:
f
(sin
x
1 sin
) x
1 sin 2
x
sin
2
x
1
(sin x 1 )2 3
f (x) x2 3
sin x
例1. 设 f (x) f ( xx1) 2x , 其中 x 0 , x 1 ，求 f (x).
解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .
令
t
x1 x
,
即
x
1 1t
O
D
x
2. 特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数 f : D f (D) 为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链 f : D1 f (D1) g : D g(D) D1
D
g g(D)D1
f g f
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
[
( x1
f
)
2f ((xf 1)()x2 )时ff(,(xx11))fff(((xxx)22)f)]2[0(f, 2)(xF2f()x(1x)1F)f f((xx(1x2)2)
)f(0x0,2
)]
故由零点定理知 , 存在 (x1 , x2 ), 使 F ( ) 0, 即
f ( ) f (x1) f (x2 ) .
求
lim
(1
2x
3x
)
1 x
.
解:
x
令 f (x)
(1
2x
3x
1
)x
3
(13) x
(32) x
1
1 x
则
1
3 f (x) 33x
利用夹逼准则可知 lim f (x) 3 .
x
作业
P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 13
6. 判断极限不存在的方法
例7. 求下列极限：
(1) lim (sin
x
(2)
lim
x1
1 x2 sinπ x
x 1 sin
x)
(3)
lim
x0
1 1
x x
cot x
提示: (1) sin x 1 sin x
2sin x 1 x cos x 1 x
2
2
2sin
1
cos x 1 x
2( x 1 x)
lim [ f (x) A] 0
xx0
(即 f (x) A 为无穷小)
f (x0 ) f (x0 ) A
xn (xn x0) , xn n x0 ,
有
lim
n
f
(xn )
A
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x
,
代入原方程得
f
(11t )
f
(t)
2 1t
,
即
f
(11x)
f
(x)
2 1 x
令
1 1 x
uu1 ,
即
x
1 1u
,
代入上式得
f (uu1)
f
(11u )
2(u1) u
,
即
f ( xx1)
f
(11x)
2( x1) x
画线三式联立
f (x) x 1 1 1 x 1 x
二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
解: lim (1 x)sin x 1 sin1 x 1 x (x 1)(x 1) 2 x = –1 为第一类可去间断点 lim f (x)
x1
x = 1 为第二类无穷间断点
lim f (x) 1, lim f (x) 1
x 0
x 0
x = 0 为第一类跳跃间断点
2. 求
lim
x0
2 1
tan x ~ x
1 cos x
~
1 2
x2
arctan x ~ x arcsin x ~ x ln(1 x) ~ x
ex1~ x
ax 1 ~ x ln a (1 x) 1 ~ x
4. 两个重要极限
(1) lim sin 1 0
(2) lim(1 1 ) 1 或 lim(1
1
) e
0
0
注: 代表相同的表达式 5. 求极限的基本方法
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
2x 1 x
)
~
2x 1 x
e
lim (
x0
cos sin
x x
2x 1 x
)
e2
复习: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim v(x)u(x)
lim 1 u(x) v(x) exx0
x x0
lim v(x) ln1 u(x)
exx0
例8. 确定常数 a , b , 使 lim (3 1 x3 a x b) 0