自主招生数学专题讲义 第1讲：近年来自主招生试卷解读、应试策略、集合
自主招生讲义
那么两个切点的连线方程为
1 k1k2
3. 根轴：到两个圆（不是同心圆）的幂相等的点恰好 构成一条直线，这条直线称为这两个圆的根轴. 根轴 垂直于两圆连心线.
解析几何
一、直线和圆锥曲线
4. 根轴的主要性质： 两圆相交，根轴就是公共弦所在直线； 两圆相切，根轴就是公切线； 三个圆之间每两个圆有一条根轴，那么三条根轴三线共点.
切线就是两圆的根轴，其方程由两圆方程相减得
(D 2 x0 ) x (E 2 y0 ) y F x02 y02 0
因为P点在圆上，所以 x02 y02 Dx0 Ey0 F，
代入得切线方程为
x0 x
y0 y
D(x0 2
x)
E( y0 2
y)
F
0.
二、圆锥曲线的参数方程
解析几何
分析B选项
1
1 2 sin
1
2 1 sin
ep
1 e cos(
)
2
2
与直角坐标系的“左加右减”类似，这里的
说明这个图形
2
是由 ep 向负方向(即顺时针方向)旋转四分之一圈得到，因
1 e cos
此还是椭圆.
同理D选项是双曲线.
解析几何
四、圆锥曲线的切线
1. 标准圆锥曲线切线方程：设 P( x0 , y0 )是圆锥曲线上一点， 那么以P为切点的切线方程如下：
2
3
2，
所以三角形的最小面积为
1 2 2 ( 3 1) 3 2
2
2
解析几何
例2 已知等腰三角形的底边过点P(2,1)，两腰所在直线分别为x+y-2=0和
7x-y+4=0，求底边所在直线方程.
2013 年自主招生专题第一讲 ：集合与命题
2013 年自主招生专题第一讲：集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读近年来名牌高校自主招生考试竞争愈演愈烈，了解自主招生考试特点，合理安排日常学习，积极备考对各位考生意义重大。
下面简要分析一下自主招生数学考试的特点，并对一些有代表性的试题作简要分析。
自主招生试题特点：试题总难度高于高考，多数题目达到高考中高难度，部分题目达到竞赛难度，试题灵活多变，毫无规律可寻，但各个学校的试题已经开始形成各自的风格。
总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。
应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约60% 左右。
2、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料，对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。
自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。
3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。
4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。
高频考点一览：一、试题特点分析：1.突出对思维能力和解题技巧的考查。
关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。
关键步骤提示： 二、应试和准备策略()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)n n ni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，31. 注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。
剩下的就是个人的现场发挥。
2. 注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。
3. 适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己知彼，百战百胜。
近年来自主招生数学试卷解读及应试策略
近年来自主招生数学试卷解读及应试策略上海华东师大二附中 范端喜 200241自从2006年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校高考改革试验“破冰”以来，各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台，全国自主招生高校不断增多，而且各高校自主招生比例也在增大. 2010年自主招生中一些名牌高校首次实行联合统一考试，如清华大学等5所高校实行“五校联考”. 2011年自主招生呈三足鼎立之势：以清华大学为首的7所高校自主招生称为“华约”；以北京大学为首的13所高校自主招生称为“北约”；9所工科院校组成的自主招生联盟称为“卓越联盟”. 这引起教育界人士和家长们的高度关注，更引起了广大中学生对自主招生考试的兴趣.2012年的自主招生考试难度不减. “华约”、“北约”的自主招生考试中，教材基本内容大约占60%，其余内容涉及竞赛的相关知识. 2012年自主招生考试热点知识为：三角、方程的根的问题、排列组合、二项式定理、概率、解析几何、平面几何、组合、导数、不等式等.1. 试卷特点分析1.1基础知识、基本技能仍是考查的重点没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水、无本之木. 基础知识、基本技能是数学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提.纵观清华大学、北京大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学等高校近几年自主招生笔试题目，我们会发现，大部分的题目仍是比较基础的问题. 以复旦大学为例，其笔试30道左右的选择题中，也多半是考查学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点.1.2考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及高中数学教学大纲的所有内容，如函数、集合、数列、复数、三角、排列组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等.然而，高校自主招生考试命题是由大学教授完成的，试题侧重考查高等数学与初等数学的衔接. 仍以复旦大学为例，以下是几个在近几年该校自主招生考试中出现的频率较高的知识点：三角、函数和方程问题、排列组合和概率统计、不等式等.1.3注重数学知识和其他科目知识的整合，考查学生应用知识解决问题的能力例如，2010年清华大学等“五校联考”有这样一个问题：已知基因型为AA Aa aa 、、的比例为:2:,2 1.u v w u v w ++=且（1）求子一代AA Aa aa 、、的比例；（2）子二代与子一代比例是否相同？这是一道与生物学知识有密切联系的数学问题，若考生缺乏有关生物学方面的知识，则肯定不能解决此问题. 这道题目在考生中引起了强烈的反响，它考查了学生应用数学解决问题的能力. 本题详细解答见《名牌大学自主招生高效备考 数学》的第十讲，为了简便，下称本书.2011年“华约”又考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：有一个圆柱形水杯，质量为a 克（底面质量不计），重心在中轴线中点，装满水时，水的质量为b 克.（1）若3b a =,求水装到一半时，重心到底面的距离与整个水杯高度之比；（2）水的质量是多少时，整体重心最低？2012年复旦大学也考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：某船从B 点出发，以速度v 匀速向东航行，观察者在B 点正南距离为s 的A 点进行观察，当观察者感觉速度是B 处速度的14时，观察者的视线跟随行船偏转的角度为( ). A. 30 B. 60 C. 45 D. 2251.4突出对思维能力和解题技巧的考查近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，难度上有时与全国高中数学联赛一试试题相当.例如，2007年上海交通大学冬令营自主招生试题中有这样一个问题：设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ：（1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，横有0()0.f x ≠这两小问解决的策略和方法是：换一个角度，将函数看成一个关于a 的一次函数. 该题的详解见本书第四讲.又如，对解决学习型问题的能力的考查，一直是高中数学教学大纲中提到的对学生能力要求较高的问题. 学习型问题要求对过去没有学习过的概念、公式、定理或方法，在当前情景下通过阅读理解，即时学习，并运用其解决与之相关的问题.学习型问题对培养学生的阅读理解问题、独立获取知识的能力以及创新精神和实践能力都是大有裨益的，在平时的学习中应适当加以训练.2007年清华大学自主招生考试中有这样一个学习型问题（见本书第一讲）：对于集合2M ⊆R (2R 表示二维点集)，称M 为开集，当且仅当0,0,P M r ∀∈∃>使得{}20.P PP r M ∈<⊆R判断集合{}{}(,)4250(,)0,0x y x y x y x y +->≥>与是否为开集，并证明你的结论.2010年复旦大学自主招生考试32道试题中，有六七道题涉及此方面的问题，例如：设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点. 用Z 表示整数集，则在下列集合{}1(1),0,(2)\0,(3),0,1n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫∈≥∈≠⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭Z R Z (4)Ζ整数集中，以0为聚点的集合有（ ）. A (2)(3) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(1)(2)(4).该题的详细解答请参考本书的第一讲.“开集”、“聚点”等是高等数学中非常重要的概念，同学们以后会在数学分析、拓扑等课程中学习到.1.5 考试题量大、对考生熟练程度要求极高由于自主招生考试只是针对少数特长生、优秀精英学生的考试，无论是“北约”、“华约”，还是“卓越联盟”、复旦大学“千分考”等，对考生的解题速度都有很高的要求.2012年，“北约”考试题型是文理科各7道（文科1-7题，理科3-9题），全部是解答题，语、数、外三科合在一起，考试时间共计3小时；“卓越联盟”试卷有6道解答题、6道填空题，考试时间是90分钟；“华约”试卷有10道选择题、5道解答题，考试时间是90分钟；复旦大学“千分考”十门共计200道选择题，其中数学题32道，考试时间为3小时，平均每道题54秒.2. 应试和准备策略针对自主招生试题的上述特点，大家在复习时应注意以下几点：2.1注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，知识一般都是靠平时积累，剩下的就是个人的临场发挥. 数学需要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩.另外，对有些平时不太注意或高考不一定考的知识点，如矩阵、行列式等也不能忽视.2.2适当做一些近几年的自主招生考试的真题俗话说，知己知彼，百战百胜. 同学们可适当地训练自己报考的或其他高校近几年自主招生考试的试题，熟悉一下题型是有益的.自主招生考试中有一些题是前几年的考试真题改编，甚至是原题，例如前面提到的2007年上海交通大学冬令营的问题，其实在2004年上海交通大学冬令营中就已出现过类似问题（见本书第四讲）：已知432()(58)69.f x ax x a x x a =++-+-试求出：当实数x 取何值时，（1）总有()=0f x ；（2）总有()0f x ≠.又如，下面两题是同一类问题：（2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）求：cos ()2sin y θθθ=∈+R 的值域. （2005年复旦大学，本书第十二讲）求：1sin 2cos x y x +=+的最大值. 再如，下面3道都是姊妹题：（2012年复旦大学，本书第十七讲） 记2012=1232012⨯⨯⨯⨯！为从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是 .A.504B.503C.502D.501（2003年上海交通大学，本书第十七讲）100！的末尾有 个连续的零.（2006年上海交通大学，本书第十七讲）2005！的末尾有 个连续的零.大家留意一下2012年苏州大学自主招生的最后一道压轴题（见本书第七讲）：已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166,n n n b a b +=+ 且112,4,,.n n a b a b ==求其实，这道题就是2004年复旦大学自主招生的试题.2.3注重知识的延伸全国重点院校自主招生考试试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍易.有些问题有一定的深度，这就要求考生平时要注意知识点的延伸.例如，2012年复旦大学“千分考”的第128题（见本书第七讲）：{}101101______.2211A. B. D.332n n n n x x x x x x -++===设，，，则数列的极限为 这道题实际上是利用特征方程特征根求数列通项公式.又如，2012年复旦大学“千分考”的第113题（见本书第十五讲）：设1234,,,P P P k P k (1,2,3)(2,4,1)(1,,5)(4,+1,3)是空间直角坐标系中一个体积为1的四面体的四个顶点，其中k 是实数，那么k 的值为 .A.-B.-C.-D.- 1或2 1或2 3或4 6或12这道题实际上是要用到用四阶行列式表示四面体的体积公式，是教材中三阶行列式表示三角形面积公式的一个推广.再如，2008年复旦大学“千分考”的第88题（见本书第十五讲）：123312323131220x x x x x x x x x x x x x x ++=设、、是方程的三个根，则行列式=( ). A.4 B.1 C.0 D.2--此题要用到两个课本之外的知识点，即三次方程的韦达定理和公式3332223()().a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---三次方程的韦达定理虽不难推导，但平时同学们对三次方程比较陌生. 而该公式对于参加过数学竞赛的同学并不陌生.再看一下2010年“五校联考”中有这样一个问题：在三角形ABC ∆，H 为垂心，O 为外心，中线AD 交OH 于G ，求AGH OGDS S ∆∆. 参加过数学竞赛的同学都清楚，这实际上是一道与欧拉线有关的问题，若平时接触或了解欧拉线的知识，则做这道题就不费吹灰之力.2.4 关注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的内容；注重教材之外、课本中没有出现的知识 自主招生与高考大约有60%-70%的知识点是重合的，如数列、解析几何、不等式等，这些知识点无论是高考还是自主招生都是重点，但下面几个知识点要提醒考生注意：（1）三角：高考对三角的要求比较低，高考中一般出现在解答题的第一或第二题，属于送分题. 但在自主招生中，三角所占的比例比较高，尤其是三角变换，而积化和差、和差化积公式在自主招生考试中是“家常便饭”. 大学教授对三角比较重视是有道理的，这是因为大学里很多内容，比如：微积分、复变函数、傅里叶级数等都要用到三角.以下两题分别是2012年“卓越联盟”和“北约”自主招生试题，都有相当的挑战性.（2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）设()sin()(0,)f x x ωφωφ=+>∈R ，设)0(<T T ，若存在T ，使)()(x Tf T x f =+恒成立，则ω的范围为 .（2012年“北约”，本书第十二讲）有唯一解的sin4sin2sin sin3求使得在[)-=x x x x a0π，.a（2）平面几何：这块内容是高中数学联赛加试中必考的，但除了少数省市，如北京市、江苏省等在高考中还没涉及平面几何内容，大多数省市高考不考平面几何.显然，初中也学习过平面几何，但由于时间长，多数同学早已忘得一干二净，所以平面几何得分率很低，多数同学在考试中碰到平面问题时，往往不知所措.以下两道题是2012年“北约”自主招生考试中与平面几何中圆有关的真题：（2012年“北约”，本书第十九讲）求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形.∆的外接圆圆心为O，求O到三角形三边的距离比（用三角形的（2012年“北约”）如果锐角ABC角和三角函数表示）.（3）组合：熟悉和学习过数学竞赛的同学知道，组合是全国高中数学联赛加试中必考的内容之一（联赛加试共四道），2012年“华约”和“北约”分别考到一道组合问题，其中“北约”的组合问题带有数论的味道，下面是2012年“华约”和“北约”自主招生真题：n n≥位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比（2012年“华约”，本书第十八讲）有(2)赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能值.，，，中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，（2012年“北约”，本书第十八讲）在122012最多能取多少个数？2.5 加强运算能力的训练，提高解题速度前面提到，自主招生考试中对考生解题速度要求极高，在此提醒同学们注意的是，平时少用计算器，尤其是上海的考生. 首先我要说的是适当的使用计算器并不是坏事，但确实有不少学生过分依赖计算器，而自主招生考试中是禁止使用计算器的，所以习惯使用计算器的不少上海学生，在自主招生考试中会手忙脚乱，不知所措.（注：本文是根据作者编著《名牌大学自主招生高效备考数学》（华东师范大学出版社）一书改编）。
学而思自主招生讲义第一章
Ge eneral Course es for Univers sity Autonom mous Enrollm ment（2013）
数学第一 一讲
【本讲概要 要】
函数 数与方程
函 函数问题是高 高中代数的重中 中之重，从高 高中所学习的 的函数性质等 等问题出发，可以引申出 出很多很有趣 趣 的问题，往 往往需要一定 定的代数恒等变 变形能力和分 分析能力才能 能够解决。 而 而方程则和函 数问题密切相 相关，方程解 解的形式，解 解的多少，解 解所在的区间 间是方程问题 题中的三个核 核 心问题。 在 在解决函数问 题时， 形象化 化的分析和具 具体的代数演 演算二者缺一 一不可， 对学生 生往往具有较 较高的要求。
【例 15】已 已知方程 f ( x) x 的根叫做函数 f ( x) 的不动点，求证： (1) ) 若 x0 是 f ( x) 的不动点， ，则 x0 也是 f ( f ( x)) 的不 不动点； (2) ) 若 f ( x) 没有 有不动点，则 则 f ( f ( x)) 若存在不动点 若 数个. ，必然为偶数
2 B. 2,0
C. 0,
D. ,0
（2） （2011 北约）求 f x x 1 2 x 1 ... 2011x 1 的最小值 的
【例 2】试构 构造函数 f x ，其定义 义域为 0,1 ，值域为 0,1 （1） 对于 于 a 0,1 , f ( x) a 只有 有一解； （2） 对于 于 a 0,1 , f ( x) a 有无 无穷多个解
2
【例 5】 （20 012 卓越）已 已知函数 f x （Ⅰ Ⅰ）求 f x 的单调区间 （Ⅱ Ⅱ）若 a 0 ，设 ， | xi | f x1 f x2 f x3 1 a
自主招生数学讲义(上)
自主招生讲义（上）第一讲函数的性质 (3)一、知识要点 (3)二、热身练习 (6)三、真题讲解 (7)四、强化训练 (9)第二讲导数 (14)一、知识方法拓展 (14)二、热身练习 (16)三、真题精讲 (17)四、重点总结 (19)五、强化训练 (19)第三讲微积分初步 (30)一、知识方法拓展 (30)二、热身练习 (32)三、真题讲解 (33)四、重点总结 (36)五、强化训练 (36)六、参考答案 (41)第四讲方程与根 (44)一、知识方法拓展 (44)二、热身训练 (46)三、真题精讲 (48)四、重点总结 (50)五、强化训练 (50)第五讲基本不等式及其应用 (56)一、知识方法拓展 (56)二、热身练习： (57)三、精讲名题： (58)四、强化训练 (60)第六讲不等式的证明与应用 (63)一、知识方法拓展 (63)二、热身练习： (64)三、精解名题： (65)四、强化训练 (68)第七讲递推数列 (70)一、知识方法拓展 (70)二、热身练习 (73)三、真题精讲 (74)四、重点总结 (77)五、强化训练 (77)第八讲数列求和，极限和数学归纳法 (81)一、知识方法拓展 (81)二、热身练习 (82)三、真题精讲 (83)四、重点总结 (88)五、强化训练 (88)第一讲 函数的性质一、知识要点1、映射对于任意两个集合,A B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素,x 在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称:f A B →为一个映射，记作:,f A B →其中b 称为像，a 称为原像。
如果:f A B →是一个映射且对任意,,,x y A x y ∈≠都有()(),f x f y ≠则:f A B →是A 到B 上称之为单射.如果:f A B →是映射且对任意,y B ∈都有一个x A ∈使得(),f x y =则称:f A B →是A 到B 上的满射.如果既是单射又是满射，则:f A B →是A 到B 上叫做一一映射.如果是从集合A 到集合B 上的一一映射，并且对于B 中每一个元素b ，使b 在A 中的原像a 和它对应，这样所得的映射叫做:f A B →的逆映射，记作1:.f B A -→2、函数方程问题（1）代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数例.设220,,ab a b ≠≠求()1af x bf cx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解. （【解析】分别用1,x x t t ==带入）（2）待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.例.已知()()1f x f x =是一次函数，()()()1n n f x f f x -=且()1010241023f x x =+，求()f x . （【解析】设()()0f x ax b a =+≠求解）3、函数对称性以及周期性1）已知函数()y f x =，若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于：直线x a =对称，则()g x =()2f a x -；:f A B →:f A B →直线y b =对称，则()()2g x b f x =-；点(),a b 对称，则()()22g x b f a x =--。
自主招生数学讲义
⎧ ⎨ ⎩
n
n +
1
n∈Z,n
≥
0} பைடு நூலகம்②
R
\
{0}
，③
⎧ ⎨ ⎩
1 n
n∈Z,n
≠
0} ，④整数集 Z
，以
0
为聚点的有(
).
A．②③
B．①④
C．①③
D．①②④
【例 24】对于平面上的点集 Ω ，如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包含于 Ω ，则称 Ω 为平面上的凸集，
给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：
人．
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2014 年自主招生数学讲义
{ } 【例 10】设集合 P = {x − y, x + y, xy} ，Q = x2 + y2, x2 − y2,0 ，若 P = Q ，求 x, y 的值及集合 P 、Q ．
{ } { } 【例 11】已知集合 M = x, xy, x − y 、 N = 0, x , y 且 M = N ，求 x, y 的值.
样的(A，B)对的个数是
.
A.8
B.9
C.26
D.27
{ } 【例 15】已知集合 A = (x, y) | x2 + mx − y + 2 = 0, x ∈ R ， B = {(x, y) | x − y +1 = 0 ， 0 ≤ x ≤ 2} ，
若 A ∩ B ≠ ∅ ，求实数 m 的取值范围．
f
[ϕ
(
x)]
<
⎫ 0⎬
，求
M
∩N．
⎩
2
⎭
【例 17】设[x] 表示不大于 x 的最大整数，集合 A = {x | x2 − 2[x] = 3} ，B = {x | 1 < 2x < 8}，则 A ∩ B = 8
【精品讲义】2016年竞赛与自主招生专题第一讲：集合与命题(教师版)(数理化网)
2016年竞赛与自主招生专题第一部分 近年来自主招生数学试卷解读从2015年开始自主招生考试时间推后到咼考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在咼考出分后再考自主招生，是否咼考考完了，自主招生并不是失去其 意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距 .所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。
函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。
1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约 60% 左右。
、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料， 对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。
自主招生中，有不少 试题都来源于这些材料。
、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。
、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。
高频考点一览：试题特点分析:1. 突出对思维能力的考查。
n n n【2014年北约】已知x ^^i =1,2, ...n ）叮X =1.求证：□（ 72+人）二（血+1）.i zt i zt【解析】不等式；柯西不等式或 AM -GM 平均不等式.法一：AM -GM 不等式.调和平均值 H n = —— g =也 （J 2+X i ），送〔止J总的来说, 应试策略:n血+X i )，=■厂斗［y^+X i丿X i'令右（0 + X i ）彳耳（Q+X i可得血一n 二料（渥+X i（7^+1 n n 上述两式相加得? -匹料（后X i ） 1 红4〕i W+X i 丿即（近 +1 ）＜和（72 +X i ），即（72十1 i 兰叮（72+X i）n法二：由n X i =1.及要证的结论分析，由柯西不等式得i 土（72+x）仿+ 丄'（血+1）2，＜X i丿1 n n 1从而可设y =—，且n y i =n 一—1.从而本题也即证X 土X n (d + yi )工(72+1)".i 二从而n（72+x）（刁+丄*（72+1），即n（72+x W2 + yi）工（/2+1），i V X i 丿in n假设原式不成立，即n （72+x ）＜（血+1、，则n （迈+ y）＜（v2+o.i ±i ±n_ L —2n从而n （V2十X帖+ yi ）＜W2 +1），矛盾得证.i2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。
自主招生数学典例解析
一、数学能力和数学思想
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1. 注重考查学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际 问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加 强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养。
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色 (2)知识点的考查覆盖面广, 侧重点有所不同
知识点涉及高中数学教学大纲的所有内容, 如集合、函数、 三角、数列、向量、解析几何、立体几何、复数等.
考虑到大学与中学、高等数学与初等数学的衔接，近几年 在试题中出现频率较高的有 :函数和方程、排列组合和概率 统计、不等式等. 还出现了微积分、行列式、矩阵等新颖考点的相关试题.
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色
(4)突出思维能力和解题技巧的考查
2010年复Hale Waihona Puke 大学自主招生有几道这方面的试题 :
设集合 X 是实数集 R的子集, 如果点 x0 R满足 :对任意a 0, 都存在 x X , 使得 0 x x0 a, 那么称 x0 为集合 X 的聚点. 用Z 表示整数集, 则在下列集合 :
解决策略: 等价转换 f (x) 0 (a) 0
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色 (4)突出思维能力和解题技巧的考查
学习能力型问题对培养学生的阅读理解能力、独立获取 知识的能力以及创新精神和实践能力都是十分重要的.
2007年清华大学自主招生有一道试题 : 对于集合 M R2, 称 M 为开集, 当且仅当 P0 M , r 0, 使得 P R2 | PP0 r M . 判断集合 (x, y) | 4x 2 y 5 0 与 (x, y) | x 0, y 0 是否为开集? 并证明你的结论.
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第一讲近年来自主招生数学试卷解读
集合与命题
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第一部分近年来自主招生数学试卷解读
一、各学校考试题型分析：
交大：
题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；
考试时间：90分钟，满分100分；
试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；
考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体
几何
复旦：
题型：试题类型全部为选择题（四选一）；
全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；
试题难度：基本相当于高考；
考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；
考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等
同济：
题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；
考试时间：90分钟，满分100分；
试题难度：基本上相当于高考；
考试知识点分布：常规高考内容
二、试题特点分析：
1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。
关键步骤提示：
2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。
关键步骤提示：
三、 应试和准备策略
()()()42432
22342(2)(2)(1)(2)(1)
f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1
1
1
(,),(,),(,)n n n
i i i i i i i i i i i
d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，
1. 注意知识点的全面
数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。
剩下的就是个人的现场发挥。
2. 注意适当补充一点超纲内容
如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。
3. 适当做近几年的自主招生的真题
俗话说，知己知彼，百战百胜。
同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。
4. 注重知识的延伸加深
复旦，交大，清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍简单。
有些问题稍有一定的深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。
例如2008年复旦自主招生的第88题：
关键步骤提示：上式＝
此题若是知道三次方程的韦达定理，则容易解决。
但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉，对三次方程的韦达定理则比较陌生。
又比如，柯西不等式可以解决许多不等式问题，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生对此此不等式并不十分熟悉。
但柯西不等式其实应用得非常广泛，我们将在不等式一讲中将会介绍它。
23312112
3
3
2
3
1
1
2
333
1231223()
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=-++32123123
121323123
333222
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3()()
ax bx cx d x x x b x x x a
c x x x x x x a
d x x x a a b c abc a b c a b c ab ac bc +++=⎧
++=-⎪⎪⎪
++=
⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
++-=++++---设的个根为则有
第二部分：集合与命题 一、 知识补充：
二、 真题精析：
关键步骤提示：
关键步骤提示：
()A B C A B C A B A C B C A B C
⋃⋃=++-⋂+⋂+⋂+⋂⋂(2)(2)3(2)01
4(2)()02
a a a a a a +-++=+-=,X X Y X Y X X Y X X Y ⊆⊆∴=⇒⊆ 而
关键步骤提示：
三、 仿真训练 仿真训练一
某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
2
2
122
222
Sin Sin Cos Sin Cos θ
θ
θθ
θ+=++1111122222211212,,,,,S R C R C S C S S R C R C S C S C C C C C C ⊂≠⊂≠∴∈∉∉∈∉∉=+=+ 必存在 若，则很明显；同理，，必存在，若 则很明显；否则，令即可（
）
想一想，除了令还可以怎样令？
关键步骤提示：
{}{}36
110,.,
1,1,3,6,1113162k M x x x N A A K A A M =≤≤∈-=-⋅+-⋅+-⋅=仿真训练二
已知集合对它的非空子集将中每个元素都乘以（）再求和（如可求得和为（）（）（））称为
集合的特殊和。
求集合的所有非空子集特殊和的总和。
{}{}
1091,3,62,4,5,7,8,9,102457891010864213579522
52152
A
U A U A U A C C A C ==+--+-+++++-++++=-⨯=-⨯分析：本题所求的“特殊和”有如下特点：
奇数元素前面添上负号，偶数元素前面添上正号，再代数求和。
例如：对于，则考虑的“特殊和”为与的“特殊和”的和
（）（）同理，对其它非空集合也有这样特点，将它们两两配对（空集与本身集合除外），值为（）。