第2章牛顿运动定律
第2章 牛顿运动定律
分离变量求定积分，并考虑到初始条件：t=0时v=v0，则有
v dv t μ
dt
v v0
2
0R
即
v
1
v0
v0t
R
将上式对时间积分，并利用初始条件t=0时，s=0得
s
R μ
ln 1
μ R
v0t
15
例题2-2 一条长为l质量均匀分布的细链条AB，挂在半径 可忽略的光滑钉子上，开始时处于静止状态。已知BC段 长为L（l/2<L<2l/3），释放后链条做加速运动，如图所示。 试求BC=2l/3时，链条的加速度和速度。
a0
a0
mg
T -ma0
mg
讨论一种非惯性系，做直线运动的加速参考系，在以恒定
加速度 沿a直0 线前进的车厢中，用绳子悬挂一物体。在地面
上的惯性参考系中观察，牛顿运动定律成立。 在车厢中的参考系（非惯性系）内观察，虽然物体所受张
f μN
µ为滑动摩擦系数，它与接触面的材料和表面状态（如 粗糙程度、干湿程度等）有关；其数值可查有关手册。
10
2.2.2 力学中常见的几种力
3、摩擦力。
当两个相互接触的物体虽未发生相对运动，但沿接触面有 相对运动的趋势时，在接触面间产生的摩擦力为静摩擦力。 静摩擦力的大小可以发生变化。
如图所示，用一水平力F推一放置在粗糙水平面上的木箱，
解：取被抛物体为研究对象，物体运动过程
中只受万有引力作用。取地球为参考系，垂 直地面向上为正方向。物体运动的初始条件
v0
是：t=0时，r0=R，速度是v0。略去地球的公 转与自转的影响，则物体在离地心r处的万有
m
引力F与地面处的重力P之间的关系为
1-第2章-牛顿运动定律解读
略。
河北经贸大学信息技术学院 陈玲
T1 B
T2 m2
m3
23
解:
1对地面参考系,设三个物体的加
速度分别是 a1，a2 ，a3； a’表示
A
m2 对于滑轮B的加速度
2由牛顿第二定律和运动学关系 T1
T1
可列方程如下
a1
B
a'
m1g
T2
a2
T2 a3
m2g
河北经贸大学信息技术学院 陈玲
m3g 24
解方程可得结果如下:
问题: 1.第一定律涉及了哪两个基本概念? 答:惯性和力。
2.第一定律定义了一个什么样的参考系? 答:惯性参考系。
3.一艘船在一个风平浪静的海面上匀速的航行,某人站在船 尾纵身向上一跃,问此人能否掉入海里?
河北经贸大学信息技术学院 陈玲
3
第二定律
运动的变化与所加的合动力成正比,并且发生在这合力所沿的直线 的方向上。
保存在巴黎度量局的地窖中的一个铂铱制造的一个金属圆柱体。
河北经贸大学信息技术学院 陈玲
7
2量纲
为了定性地表示导出量和基本量之间的联 系， 不考虑数字因素而将一个导出量用若干基 本量的乘方之积表示出来。这样的表示式称为 该物理量的量纲。
在以SI单位制中
长度的量纲：L
质量的量纲：M 时间的量纲：T
•只有量纲相同的物理量才能相 加减或用等号相连接；
（5）隔离物体分析力： 重力、支持力 Y
（6）运用牛顿第二定律列方程：
N θ
X方向：
a’ mg
Y方向：
0
X
（7）解方程（1）~（4）式得到：
方向：
河北经贸大学信息技术学院 陈玲
2牛顿运动定律
第二章 牛顿运动定律（Newton’s Laws of Motion ）§1 牛顿运动定律▲第一定律(惯性定律)(First law ，Inertia law ): 任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
⎩⎨⎧概念定性给出了力与惯性的定义了“惯性系” 惯性系（inertial frame ）：牛顿第一定律成立的参考系。
力是改变物体运动状态的原因，而并非维持物体运动状态的原因。
▲第二定律（Second lawF ρ：物体所受的合外力。
m ：质量（mass ），它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量（inertial mass ）。
若m = const. ，则有：a m F ρρ= a ρ：物体的加速度。
第一定律▲第三定律（Third Law ）：2112F F ρρ-=说明：1.牛顿定律只适用于惯性系；2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。
Δ§2 SI 单位和量纲（书第二章第2节）Δ§3 技术中常见的几种力（书第二章第3节）Δ§4基本自然力（书第二章第4节）m 1 m 2 F 12 F 21§5 牛顿定律应用举例书第二章第2节的各个例题一定要认真看，下面再补充一例，同时说明作题要求。
已知:桶绕z轴转动，ω= const.水对桶静止。
求：水面形状（z - r关系）解：▲选对象：任选表面上一小块水为隔离体m ；▲看运动：m作匀速率圆周运动raρρ2ω-=；▲查受力：受力gmρ及Nρ，水面⊥Nρ（∵稳定时m受周围水及空气的切向合力为零）；▲列方程：⎩⎨⎧-=-=-)2(sin)1(cos2rmNrmgNzωθθ向：向：θtg为z（r）曲线的斜率，由导数关系知：rzddtg=θ(3)由(1)(2)(3)得：rgrz2ddtgωθ==分离变量： r r gz d d 2ω= 积分： ⎰⎰=zz rr r g z 002d d ω得： 0222z r g z +=ω（旋转抛物面） 若已知不旋转时水深为h ，桶半径为R ,则由旋转前后水的体积不变，有： ⎰=⋅R h R r r z 02d 2ππ⎰=+Rh R r r z r g 02022d 2)2(ππω 得 g R h z 4220ω-=▲验结果： 0222z r g z +=ω ·单位：[2ω]=1/s 2 ，[r ]=m ，[g ]=m/s 2][m m/sm )/s 1(]2[2222z g ==⋅=ω，正确。
2.第二章牛顿运动定律
例1(补): 复式阿特武德机 三个物体质量已知 滑轮质 补 复式阿特武德机. 三个物体质量已知, 量不计, 轴处无摩擦力.求释放后 求释放后m 量不计 轴处无摩擦力 求释放后 1的加速度 a1和m2对B 的加速度a. 的加速度 解：以地为参照系, 分别建立坐标系 以地为参照系 如图所示
A T1
m1 T2 m2
r r r r F → a,v, r r r r r r →v, a → F
r rr r r a →v, r 重点是a, F
r r r (2)受变力, F(r )(万有引力或弹性力等 , F(t ) 受变力, 受变力 万有引力或弹性力等), 万有引力或弹性力等 r r (碰撞或强迫振动等 ,或 F(v)(粘滞力等 , 碰撞或强迫振动等), 粘滞力等), 碰撞或强迫振动等 粘滞力等
τ v0
n
r N r
rr
R
fµ
t µ dv ∫v0 − v2 = ∫0 Rdt v
v dv −µ = R dt
得
dS Q v= dt S t t Rv0 R t d(R + µv0t) ∫0 dS = ∫0 vdt = ∫0 R+ µv0tdt = µ ∫0 R+ µv0t
R + µ v0t S = ln µ R R
几种常见的力(自学) §2-2 几种常见的力(自学)
力 接触力: 接触力: 弹性力和摩擦力 非接触力(场力): 万有引力, 非接触力(场力): 万有引力, 电力和磁力
1. 万有引力
m1m2 F =G 2 r
m1
r
m2
说明: 两个有一定形状大小的物体间的万有引力, 说明: 两个有一定形状大小的物体间的万有引力,是构成物 体所有质点间的引力的合力. 体所有质点间的引力的合力. 重力: 地球对表面物体的万有引力mg 重力: 地球对表面物体的万有引力
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件-第二章 牛顿运动定律
★实验表明：地球是一个近似程度很高的惯性系。 ★实验还表明：相对地球做匀速直线运动的物体也 是惯性系。
中国矿业大学（北京）
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牛顿第三定律
2、牛顿第三定律
两个物体之间的作用力 F 和反作用力 F 沿
同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两
个物体上。
F F
两点说明：
摩擦系数为 ，拉力F作用于物体上。
求：F与水平面之间的夹角 为多大时，能使物体获
得最大的加速度？
F
解：建立直角坐标系oxy，
N
根据牛顿第二定律列式：
f
F cos f ma
G
N F sin mg 0
y
f N
ox
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例题2-2
可解得： f μ(mg F sin ),
瞬时加速度。两者同时存在，同时消失。
F
m
d
v
dt
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牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：
F
ma
m
d
v
dt
直角坐标系中的
自然坐标系中的
分量形式
分量形式
Fx
max
m dvx dt
d2 x m dt2
,
Fy
may
m dvy dt
m
d2 dt
y
2
,
Fz
maz
m dvz dt
最大静摩擦力 fmax 0N 滑动摩擦力 f N
0：静摩擦系数，：滑动摩擦系数。与接触面的 材料和表面粗糙程度有关，还和相对速度有关。
0 1
中国矿业大学（北京）
大学物理第2章 牛顿运动定律
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
第二章-牛顿运动定律
Fi 0
( 静力学基本方程 )
二. 牛顿第二定律
某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上
所有力的合力。
Fi
d(mv) dt
Fi
k
d(mv) dt
取适当的单位，使 k =1 ，则有
Fi
d(mv) dt
dmv dt
m
dv dt
当物体的质量不随时间变化时
Fi
m
dv dt
ma
• 直角坐标系下为
例 一柔软绳长 l ，线密度 ρ，一端着地开始自由下落.
求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？
解 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.
取整个绳为研究对象 设压力为 N
N gl dp p p yv
y
dt
N gl d( yv) dy v gt
dt dt
y
l
d( yv) dyv dv y v 2 yg dt dt dt
• 同时性 —— 相互作用之间是相互依存，同生同灭。
讨论
第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。对于非接触的 两个物体间的相互作用力，由于其相互作用以有限速度传播， 存在延迟效应。
§2.2 力学中常见的几种力
一. 万有引力
质量为 m1、m2 ，相距为 r 的 两质点间的万有引力大小为
m1
F12
r r0
l
λΔ lg
T (l)
T
N
f2
四. 摩擦力
1. 静摩擦力 当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有 相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋 势的力，称为静摩擦力。
说明
静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大 静摩擦力为 fmax=µ0 N ( µ0 为最大静摩擦系数，N 为正压力) 2. 滑动摩擦力 两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现 的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。
第二章牛顿定律
第二章 牛顿定律【基本内容】一、牛顿运动定律概述1、牛顿第一定律定律内容：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
定律意义：引入了惯性的概念，惯性——物体保持其原有运动状态的一种属性；定性确定了力的概念，力——是使物体的运动状态发生改变的原因。
2、牛顿第二定律定律内容：运动的变化与所加的动力成正比，且发生在该力所沿的直线上。
定律意义：定量确定了力的概念；引入了质量的概念，质量——是物体惯性大小的量度。
定律的数学形式am F =在直角坐标系下：yyy xxx madtdv m F madtdv mF ====,在自然坐标系下：nn mavmF madtdv mF ====ρττ2,3、牛顿第三定律当物体A 以力1F作用在物体B 上时，物体B 必以力2F 作用在物体A 上，且1F 与2F大小相等、方向相反，并在同一直线上。
二、力学中常见的力1、万有引力2211221/1067.6,kgmN G rm m GF ⋅⨯==-若忽略地球的自转，则地球表面附近的物体所受的万有引力叫重力。
2RM Gg g m P ==2、弹力 包括拉力、支撑力等。
胡克定律 kxf -=，k 叫弹簧的倔强系数。
3、摩擦力 滑动摩擦力：kk k N f μμ,=——滑动摩擦系数。
静摩擦力：ss s N f μμ,max=——静摩擦系数。
注意：静摩擦力)0(N f μ≤≤是一个范围概念，只有最大静摩擦力才能用等式Nf μ=max 表示。
惯性系中，静摩擦力由平衡条件求出。
三、惯性系与非惯性系惯性系：牛顿定律适用的坐标系称为惯性系。
相对于惯性系作匀速直线运动的参照系均为惯性系。
非惯性系：相对于惯性系作加速度运动的参照系为非惯性系。
【典型例题】如物体处于惯性系，首先进行受力分析，根据具体情况将力分解，再运用牛顿定律，写出微分方程并求解；如物体处于非惯性系，首先引入惯性力（或利用加速度变换将非惯性系转化为惯性系），再按上面步骤求解。
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m mx x l (2)
F 150 N a 0.2m/s2 l 4 m m 2kg
a
F
F
mx g
x Tx F m( g a ) l #
x
Tx
a
若
l x 2
T
x
l 2
m( g a) F 140 N 2
3
哪些参考系是惯性系呢？ •只能靠实验来确定 •相对已知惯性系匀速运动的参考系也是惯性系 •目前惯性系的认识情况是
最好的惯性系：
FK4系 是由1535个恒星平均静止 位形作为基准的参考系
太阳
4
稍好点的惯性系：
一般工程上可用的惯性系 地球(地心或地面)
二、牛顿第二定律
定义质点动量：P m
“虚拟”的力（称为惯性力）
就可在非惯性系中使用牛顿第二定律的形式
22
二、平动加速参考系的(平移)惯性力 设：地面参考系为惯性系 火车参考系相对地面参考系加速平动 加速度为 a0
质点在火车参考系中运动的加速度为 a
y
y
火车
a
23
a0
地面
x
x
在地面参考系中可 使用牛顿第二定律
假设平移惯性力强度处处相等。
37
注意：平移惯性力为 Fi ma0
太阳引力在质点与太阳的连线方向
fs
ma0
S
f s ma0 a0f s ma0 ma0 fs
示意地球表 面海水形状
38
39
落潮 涨潮
地球
落潮
涨潮
月 亮
月球对地面上海水的引潮力
大潮
地
月 日
引潮力常触发地震 地震常发生于阴历初一、 十五附近（大潮期）， 如：
得
T 3m gsin
at g cos
l
m
an 2g sin
2 a an at2 g 1 3 sin 2
an T a
at
mg
an 1 2 g sin tg tg at g cos
1
#
13
讨论
T 3m gsin at g cos
NmM ma0 sin mgcos 0 (3)
结果为： amM
( M m) sin g 2 M m sin #
29
例2 平移惯性力在地球上的效应
实际上地球是一个非惯性系
惯性力必然有实际的效应。
太阳引力失重和潮汐现象都是
平移惯性力在非惯性系中的实际效应。
30
1.太阳引力失重 将太阳看做惯性系，地球 绕太阳的公转加速度为：
0
以地面为参考系 画M的受力图
N 地M
mg
M
a0
y
x
28
N Mm
a0
M
Mg
N Mm
ma 0
m
mg
x
M
y
N 地M
a0
y
x
N Mm
a0
M
以地面为参考系对M列方程 NmM sin Ma0 (1)
ma0 cos mgsin mamM (2)
Mg
以M为参考系（非惯性系）对m 列方程
17
解：任取一质量元dm
d d (T dT ) T dN 0 2 2
T dT
df dN d
化简
df (T dT ) T 0
T
d 2
Td dN 0 ( 1 )
df dT ( 2)
Td dT
df dN
( 3)
18
Td dT
F m(a a0 )
（1）
变形
在火车参考系中形式 上使用牛顿第二定律
F ma0 ma
y
（2）
y
火车
a
a024Fra bibliotek地面x
x
分析：
F ma0 ma
右边是质量乘加速度
1.我们认识的牛顿第二定律形式：
左边是合力
合力是相互作用力之和
14
例3 粗绳的张力（您知道：张力有个分布吗？） 拉紧的绳中任一截面两侧的两部分之间的相互作 用力称该截面处的张力 ----弹性力
如图，质量均匀分布的粗绳拉重物。
F
F
已知： F 150 N a 0.2m/s
l 4m
m 2kg
2
a
mx g
x
Tx
求：距顶端为x 米处绳中的张力
15
已知： 求：距顶端为x米处绳中的张力 解：对绳用牛顿第二定律
讨论
GM S m ˆ0 Fi ma0 2 r rES
MS
S
Fi
f mS
GM S m ˆ0 f mS r 2 rES
1）惯性力可以抵消引力－－太阳引力失重
说明加速效应与引力效应相当（爱因斯坦提出 广义相对论的基本实验事实之一） 2）验证惯性定律的参考系在哪？
太空中的太阳引力失重的参考系
有绞盘
TB TAe 100e0.2510
0.0388 吨力
39kg力
20
在座的哪个人都行！
§4 非惯性系中的惯性力
一、问题的提出
二、平动加速参考系的(平移)惯性力
三、 匀速转动参考系
21
一、 问题的提出 我们知牛顿第二定律必须在惯性系中使用； 又知牛顿定律是质点力学的基础定律。 但有些实际问题只能在非惯性系中解决， 怎么方便地使用牛顿第二定律？ 办法是：在分析受力时，只需加上某种
l
m
an 2g sin
1）上述结果是普遍解 适用于任意位置 2）如特例：
2
T 3m g at 0 an 2 g
T a T n a
mg
at
mg
2 中学时会解 T m g m l
牛顿定律
T mg 2mg
T 3m g
机械能守恒 T mg 2mg
第2章 牛顿运动定律
§1 牛顿运动定律
§2 常见力(自学)
§3 牛顿定律的应用
§4 非惯性系中的惯性力
1
§1 牛顿运动定律 一、牛顿第一定律
二、牛顿第二定律
三、牛顿第三定律
2
一、牛顿第一定律 (惯性定律) 内容 （略） 重要概念
1.惯性 inertia
维持原运动状态的属性 2.惯性系
惯性定律在其中严格成立的参考系 叫惯性参考系，简称惯性系
GM S ˆ0 ) a0 2 (r rES
ˆ0 r
ME
rES
E
f sE
MS
S
将地心看做非惯性系，
Fi
任何质量为m的质点受的平移惯性力为
GM S m ˆ0 Fi ma0 r 2 rES
31
GM S m ˆ0 Fi ma0 2 r rES
MS
S
Fi
2. 非惯性系中
“合力” = 相互作用力之和 + ma0
3.在非惯性系中牛顿第二定律的形式为
F Fi ma
25
3.在非惯性系中牛顿第二定律的形式为
F Fi ma
式中 Fi ma0 就是惯性力
因为是在平移非惯性系中引进的惯性力，
d mg k0 m dt
10
o
f
m
mg
y
d mg k0 m dt
o
f
m
第三步：解上述微分方程
1.分离变量
2.两边分别积分 3.得解
mg
0
d dt k0 g t0 m
t
y
mg (1 e k0
由
k 0t m
)
# （同学自解） y(t )
dy dt
如SL─ 9慧星被木星引潮力撕碎（1992） 。
41
三、 匀速转动参考系 惯性离心力 科里奥利力 1.离心力 inertial centrifugal force 在匀速转动的参考系上考察一个静止物体 转盘相对惯性系的加速度是 2 ˆ a0 rr 则物体的惯性离心力为 2 ˆ fi ma0 m rr
所以叫平移惯性力
惯性力是参考系加速运动引起的附加力，
本质上是物体惯性的体现。 它不是物体间的 相互作用， 没有反作用力， 但有真实的效果。
26
二战中的小故事： 美 Tinosa号潜艇 携带16枚鱼雷 在太平洋 离敌舰4000码 斜向攻击 发射4枚 使敌舰停航 离敌舰 875码 垂直攻击 发射11枚 均未爆炸！
8
§3 牛顿定律的应用
两类问题：已知运动求力
已知力求运动
解题步骤：
桥梁是加速度 a
确定对象 分析运动 画隔离体受力图 列方程 解方程
9
例1 考虑空气阻力的落体运动（变力 直角坐标系） 已知： m, t 0 0 0
f阻力 k0
k0 >0
求： (t ), y (t )
解： 第一步：画质点m的受力图 第二步：列牛顿定律方程 （原理式）
分离变量
分别积分 结果
dT d T
dT TA T 0 d
TB
T dT
df dN d
T
TB TAe
#
讨论
TB
19
如 用绞盘制动一个待下水的船
m 2000 T
0.25