浙江省宁波市余姚三中20152016学年高一(下)期中数学试题(卷)(解析版)

2015-2016学年某省某市余姚三中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7=10，则S9=（）A．9 B．10 C．45 D．902．在△ABC中，三边a，b，c满足a2=b2+c2+bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2D．±24．若α，β为锐角，且满足cosα=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了3个伙伴；第2天，4只蜜蜂飞出去，各自找回了3个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总只数为（）A．243 B．729 C．1024 D．40966．在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．7．一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西30°，另一灯塔在船的北偏西15°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．海里 C．10海里D．海里8．化简的结果是（）A．﹣cos1 B．cos 1 C．cos 1 D．9．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定 D．等腰三角形10．等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别为S n和T n，对一切自然数n都有，则=（）A．B．C．D．二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分.将答案填在答题卷相应位置上.）11．在等比数列{a n}中，若a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5=．12．已知sin（α+45°）=，则sin2α=．13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，c=4，则a=，=．14．sin2α=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为．15．已知某企业的月平均利润增长率为a，则该企业利润年增量长率为．16．设当x=θ时，函数f（x）=sinx+2cosx取得最大值，则cosθ=．17．设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为．三、解答题（本大题共5小题，满72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（1）求和：S n=1．（2）a n=，求此数列的前n项和S n．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．=0（n≥2），a1=1，20．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n+2S n S n﹣1（1）求证数列数列是等差数列（2）求a n．21．已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，x∈R（1）求f（）的值；（2）若sina=，且a∈（，π），求f（+）．22．已知数列{a n}的前n项和S n=，数列{b n}的通项为b n=f（n），且f（n）满足：①f （1）=；②对任意正整数m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．（1）求a n与b n；（2）设数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．2015-2016学年某省某市余姚三中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7=10，则S9=（）A．9 B．10 C．45 D．90【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a7=10，∴S9=（a1+a9）===45．故选：C．2．在△ABC中，三边a，b，c满足a2=b2+c2+bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【分析】由已知可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，从而根据余弦定理可得cosA==﹣，结合X围0＜A＜π，即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2+bc，∴b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA===﹣，由于0＜A＜π，∴解得：A=120°，故选：C．3．已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2D．±2【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方等于（﹣1）×（﹣2），开方即可求出y的值，然后利用zx的积与y的值求出xyz即可．【解答】解：∵xz=（﹣1）×（﹣2）=2，y2=2，∴y=﹣（正不合题意），∴xyz=﹣2．故选C．4．若α，β为锐角，且满足cosα=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了3个伙伴；第2天，4只蜜蜂飞出去，各自找回了3个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总只数为（）A．243 B．729 C．1024 D．4096【考点】等比数列的前n项和．【分析】设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，由题意可得数列{a n}成等比数列，它的首项为4，公比q=4，由通项公式易得答案．【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，由题意可得数列{a n}成等比数列，它的首项为4，公比q=4∴{a n}的通项公式：a n=4•4n﹣1=4n，∴到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6=46=4096只蜜蜂．故选：D6．在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三角函数值，求出A+B的大小，然后求出C的值即可．【解答】解：由tanA+tanB+=tanAtanB可得tan（A+B）==﹣=因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°故选A7．一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西30°，另一灯塔在船的北偏西15°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．海里 C．10海里D．海里【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据题意，作出对应的三角形，结合三角形的边角关系即可得到结论．【解答】解：设两个灯塔分别为C，D，则CD=10，由题意，当船在B处时，∠ABC=60°，∠CBD=∠CDB=15°，即CD=BC=10．在直角三角形CAB中，AB=BCcos60°=10×=5，则这艘船的速度是=10海里/小时，故选：C．8．化简的结果是（）A．﹣cos1 B．cos 1 C．cos 1 D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数关系式即可化简求值．【解答】解：．故选：C．9．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定 D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】把已知等式的左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦，右边利用正弦定理变形，然后根据二倍角的正弦函数公式化简，由A和B为三角形的内角，根据正弦函数图象与性质得到A与B角度之间的关系，根据角度之间的关系即可得到三角形ABC的形状．【解答】解：由正弦定理得：==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为：=，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选B10．等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别为S n和T n，对一切自然数n都有，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别为S n和T n，利用等差数列的性质化简后，得到a5=S9，b5=T9，然后将n=9代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值．【解答】解：∵S9==9a5，T n==9b5，∴a5=S9，b5=T9，又当n=9时，==，则===．故选B二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分.将答案填在答题卷相应位置上.）11．在等比数列{a n}中，若a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5=5．【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由{a n}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25，再由完全平方和公式知（a3+a5）2=25，再由a n＞0，能求出a3+a5的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，且a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a32+2a3a5+a52=25，即（a3+a5）2=25．再由a3=a1•q2＞0，a5=a1•q4＞0，q为公比，可得a3+a5=5，故答案为：5．12．已知sin（α+45°）=，则sin2α=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果．【解答】解：sin（α+45°）=，可得（sinα+cosα）=，可得（1+2sinαcosα）=．∴sin2α=．故答案为：．13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，c=4，则a=，=．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求a的值，由正弦定理可得=，从而得解．【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，可得a=，由正弦定理可得：===．故答案为：，．14．sin2α=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为﹣．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系求出（cosα﹣sinα）2，然后由角的X围求出结果．【解答】解；∵sin2α=2sinαcosα=sin2α+cos2α=1∴（cosα﹣sinα）2=1﹣=∵＜α＜∴cosα﹣sinα=﹣故答案为：﹣15．已知某企业的月平均利润增长率为a，则该企业利润年增量长率为（1+a）12﹣1．【考点】函数的值．【分析】由月平均增长率计算出每月的产量，进而求出一年的总产量，由增长率公式求解．【解答】解：某企业的月平均利润增长率为a，设第1年1月份的产值为1，则第1年的总产值是下面等比数列的各项和：1，（1+a），（1+a）2，…，（1+a）11，即S1=，第2年的总产值是等比数列（1+a）12，（1+a）13，…，（1+a）23的各项和，即S2=．因此，年平均增长率为=（1+a）12﹣1．∴该企业利润年平均增长率为（1+a）12﹣1．故答案为：（1+a）12﹣1．16．设当x=θ时，函数f（x）=sinx+2cosx取得最大值，则cosθ=．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】把f（x）化简为一个角的正弦函数即可求解．【解答】解：∵f（x）=sinx+2cosx=（sinx+cosx）设cosα=，sinα=即f（x）=sin（x+α）当x=θ时，函数f（x）=sinx+2cosx=sin（x+α）取得最大值即θ+α=+2kπk∈Z∴cosθ=cos（+2kπ﹣α）=sinα=故答案为：17．设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为3．【考点】数列的求和．【分析】根据课本中推导等差数列前n项和的公式的方法﹣倒序相加法，观察所求式子的特点，应先求f（x）+f（1﹣x）的值．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）+f（1﹣x）=+=+==，即f（﹣5）+f（6）=，f（﹣4）+f（5）=，f（﹣3）+f（4）=，f（﹣2）+f（3）=，f（﹣1）+f（2）=，f（0）+f（1）=，∴所求的式子值为：=3．故答案为：3三、解答题（本大题共5小题，满72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（1）求和：S n=1．（2）a n=，求此数列的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分组分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）S n=（1+2+…+n）+=+=+1﹣．（2）a n=，∴此数列的前n项和S n=++…+==﹣．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC 的面积S=absinC=×××=．=0（n≥2），a1=1，20．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n+2S n S n﹣1（1）求证数列数列是等差数列（2）求a n．【考点】数列递推式；等差关系的确定．【分析】（1）a n+2S n S n﹣1=0（n≥2），a1=1，可得S n﹣S n﹣1+2S n S n﹣1=0，化为：﹣=2，即可证明．（2）由（1）可得：=1+2（n﹣1）=2n﹣1．可得S n，再利用递推关系即可得出．【解答】（1）证明：∵a n+2S n S n﹣1=0（n≥2），a1=1，∴S n﹣S n﹣1+2S n S n﹣1=0，化为：﹣=2，∴数列数列是等差数列，首项为1，公差为2．（2）解：由（1）可得：=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴S n=，n=1时也成立．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n=．21．已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，x∈R（1）求f（）的值；（2）若sina=，且a∈（，π），求f（+）．【考点】三角函数中的恒等变换应用；运用诱导公式化简求值．【分析】（1）把x=代入函数，利用特殊角的三角函数值即可求解；（2）利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据sinα的值求出cosα，代入f（）进行化简．【解答】解：（1）f（）=cos2+sin=（）2+（2）f（x）=cos2x+sinxcosx===∴f（）===∵sinα=，且α∈（，π）∴cosα=﹣f（）==22．已知数列{a n}的前n项和S n=，数列{b n}的通项为b n=f（n），且f（n）满足：①f （1）=；②对任意正整数m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．（1）求a n与b n；（2）设数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；抽象函数及其应用．【分析】（1）根据条件结合数列的递推公式以及等比数列的定义进行求解即可．（2）求出数列{a n b n}的通项公式，利用错位相减法进行求解即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n=，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n=﹣=n，﹣1当n=1时，a1=S1=满足a n=n，即a n=n．∵对任意正整数m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n），∴当m=1时，f（1+n）=f（1）f（n）=f（n），即f（n）是公比q=的等比数列，则b n=f（n）=•（）n﹣1=（）n，（2）a n b n=n•（）n，则T n=1•（）+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，①T n=（）2+2•（）3+3•（）4+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，②两式相减得T n=+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣n•（）n+1 =﹣n•（）n+1=1﹣（）n﹣n•（）n+1即T n=2﹣（）n+1﹣n•（）n+2•2016年6月14日。