2009-2010高数Ⅱ2试卷(54学时)A卷答案

广州大学2009--2010学年第二学期考试卷课程：高等数学Ⅱ2（54学时）参考答案与评分标准一. 填空题（本题15分，每小题3分） 1. 设x z x y y =+，则dz = 21()()xy dx x dy y y++- 2．121(1tan )x x d x -+=⎰233．已知20()sin x x tdt Φ=⎰，则()x 'Φ=22sin x x4．若级数1nn u∞=∑收敛，则lim n n u →∞=05．微分方程320y y y '''-+=的通解为y = 212x xc e c e +二. 单项选择题（本题15分，每小题3分）1．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处偏导数存在是它在该点连续的【 D 】 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件2．由曲线1y x=，直线y x =和2x =所围成的平面图形的面积为【 B 】 （A ）211[]xx d x -⎰ （B ）211[]xx d x -⎰（C ）12011xd x d x x +⎰⎰（D ）1121021[2][]y d y y d y y-+-⎰⎰3. 设(,)f x y 为连续函数，改换二次积分次序ln 1(,)e x d x f x y d y =⎰⎰【 D 】（A ）ln 1(,)e x d y f x y d x ⎰⎰（B ）1(,)y eed y f x y d x ⎰⎰（C ）ln 01(,)x ed y f x y d x ⎰⎰ （D ）1(,)y eed y f x y d x ⎰⎰4．设级数11(1)n pn n -∞=-∑，则【 B 】 （A ）当01p <≤时，级数11(1)n pn n -∞=-∑绝对收敛 （B ）当01p <≤时，级数11(1)n pn n -∞=-∑条件收敛 （C ）当1p ≥时，级数11(1)n pn n -∞=-∑绝对收敛 （D ）当1p >时，级数11(1)n pn n -∞=-∑条件收敛 5．微分方程244xy y y xe '''-+=待定的特解为y *=【 C 】 (A)2()xax b e + (B)2()xx ax b e + （C ）22()xx ax b e + （D ）2xaxe1．设函数(,)f u v 具有一阶连续偏导数，22(,)z f x y xy =-，求z x ∂∂和z y∂∂ 解：设22u x y =- v xy = 则(,)z f u v =z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂22u v u v f x f y x f y f =⋅+⋅=+ ┅┅┅┅┅ 3分 z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ (2)2u v u v f y f x y f x f =⋅-+⋅=-+ ┅┅┅ 6分 2．设函数),(y x z z =由方程2224x y z z ++=所确定，求22zx∂∂解：令222(,,)4F x y z x y z z =++-2x F x = 24z F z =-2x z F z xx F z∂=-=∂- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 222222322(2)2(2)(2)(2)z x z x z x z z x x z x z z z ∂-+⋅-+⋅∂-+∂-===∂--- ┅┅┅┅ 6分3．求微分方程24d yx y x d x+=的通解 解：该方程为一阶线性微分方程 ()2P x x = ()4Q x x = 由常数变易公式，所求通解为22[4]xd x xd xy e xe dx C -⎰⎰=+⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分22[4]x x e xe dx C -=+⎰222[2]2x x x e e C Ce--=+=+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分1．计算1x -⎰解：令t = 则254t x -=2td x dt =- 1x =-时 3t = 1x =时 1t =原式1231(5)8t dt =--⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分1331(5)83t t =--16= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算Dx yd x d y ⎰⎰，其中D 由y x =与y 所围成的闭区域解：01,:D x x y ≤≤≤≤原式10xd x y =⎰⎰┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分12301()2x x d x =-⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分124= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．设(,)f x y为连续函数，化101(,)xd x f x y d y -⎰⎰为极坐标形式的二次积分解：记01,1:D x x y ≤≤-≤≤ 在极坐标下， 区域:D 1012sin cos ,πθρθθ≤≤≤≤+原式(,)(cos ,sin )DDf x y d xd y f d d ρθρθρρθ==⎰⎰⎰⎰┅┅┅ 2分1210s i n c o s(c o s ,s i n )d f d πθθθρθρθρρ+=⎰⎰┅┅┅┅┅┅┅ 6分1．判断级数1!nn n n∞=∑的敛散性 解：1lim n n nu u +→∞lim(1)nnn n n →∞=+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分1l i m11nn n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭11e=< ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分所以原级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数12nn n x n∞=⋅∑的收敛半径和收敛域解：111lim ||lim 212n n n n a n a n ρ+→∞→∞===+收敛半径 12R ρ== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分当2x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛 当2x =时，级数11n n ∞=∑发散收敛域为 [2,2)- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．在区间(1,1)-内，求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数解：记11()n n s x nx∞-==∑ 11x -<<1011()x xn n n n s x dx n x d x x ∞∞-====∑∑⎰⎰1xx=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 求导得 21()(1)s x x =- 11x -<< ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分六．（本题8分）求函数32(,)3410f x y x y x y =+--+的极值解：由2(,)330(,)240x yf x y x f x y y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 得驻点(1,2)-，(1,2) ┅┅┅┅ 2分(,)6xx f x y x = (,)0x y f x y = (,)2y y f x y = ┅┅┅┅┅ 4分 在点(1,2)-处，262120AC B -=-⨯=-<故函数在点(1,2)-处不取极值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 在点(1,2)处，262120AC B -=⨯=>，又60A =>故函数在点(1,2)处取极小值 (1,2)4f = ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分 七．（本题8分）当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气磨 擦所产生的高热使陨石燃烧并不断挥发。

试验表明，陨石体积减少的速 率与陨石的表面积成正比。

现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过 程中始终保持球体形状，若它在进入大气层开始燃烧的前3秒内，其体积减少了78，问此陨石完全燃烧尽需要多长时间？ （注：球的体积343V r π=，球的表面积24S r π=）解：设t 秒时，陨石的半径为()r t ，记陨石开始燃烧时半径00|t r r ==由343V r π=得24dV dr r dt dtπ= 根据题意 dVkS dt=- 0k >为常数 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分于是2244dr rk r dt ππ=-⋅ 即drk dt=- 得r kt C =-+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 由00|t r r ==得 0r r k t =-30|3t r r k ==- 得3t =时，陨石体积为304(3)3r k π-由题设得3300474(3)(1)383r k r ππ-=- 得06r k =0(1)6tr r =-令0r =，得6t =，陨石完全燃烧尽需要6秒 ┅┅┅┅┅┅ 8分。