2019学年第二学期九年级数学练习13
2019版九年级数学下学期第二次联考试卷(含解析)
2019版九年级数学下学期第二次联考试卷（含解析）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣42．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④3．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1 B．C．D．5．下列各式属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．1cm7．如图，在四个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这四个三角形中，形状与众不同的是（）A．B．C．D．8．如图，两个半圆，大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（）A．34πcm2B．128πcm2C．32πcm2D．16πcm2二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，化成一般形式是，其二次项的系数和一次项系数的和是．10．选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分）（Ⅰ）计算：＝（Ⅱ）用计算器计算：≈（保留三位有效数字）．11．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：12．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为．13．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是．14．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝．15．如图所示：AP、PB、AB分别是三个半圆的直径，PQ⊥AB，面积为9π的圆O与两个半圆及PQ 都相切，而阴影部分的面积是39π，则AB的长是．16．如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，则格点P的坐标是．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）已知a＝，b＝，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．18．（6分）已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？19．（6分）如图，已知矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B（4，3），反比例函数y＝图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）．（1）求反比例函数的解析式及E点的坐标；（2）若矩形OABC对角线的交点为F，请判断点F是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．20．（6分）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．21．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；（2）以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．22．（8分）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．23．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．24．（12分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a ＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．25．（12分）如图，点E在菱形ABCD的对角线BD上，连接AE，且AE＝BE，⊙O是△ABE的外接圆，连接OB．（1）求证：OB⊥BC；（2）若BD＝，tan∠OBD＝2，求⊙O的半径．xx江西省南昌市八一中学九年级（下）第二次联考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4【分析】原式利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c ＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．【解答】解：∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，所以①正确；∵x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，所以②错误；∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，而a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∴a﹣2b+c＝﹣3b，∵b＞0，∴﹣3b＜0，所以④错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．3．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1 B．C．D．【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，故选：B．【点评】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．5．下列各式属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，由此结合选项可得出答案．【解答】解：A、含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；B、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；C、含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；D、被开方数含分母，故本选项错误；故选：B．【点评】此题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件，属于基础题，难度一般．6．在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．1cm【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝8cm，CD＝4cm．∵CD⊥AB，∴CP＝CD＝2．根据勾股定理，得OP ＝＝2（cm）．故选：A．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．解题关键是正确理解圆中过一点的最长的弦和最短的弦．7．如图，在四个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这四个三角形中，形状与众不同的是（）A．B．C．D．【分析】分别求A、B、C、D选项中各边长，可以判定B、C、D中三角形为直角三角形，A为钝角三角形，即可解题．【解答】解：图A中三角形各边长为、、，故该三角形为钝角三角形；图B中各边长2、4、，故该三角形为直角三角形，且两直角边的比值为1：2；图C中各边长长、、，故该三角形为直角三角形，且两直角边的比值为1：2；图D中各边、2、5，故该三角形为直角三角形，且两直角边的比值为1：2，故B、C、D选项中的三角形均相似，故选：A．【点评】本题中考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，考查了相似三角形的证明，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求证B、C、D选项中的直角三角形相似是解题的关键．8．如图，两个半圆，大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（）A．34πcm2B．128πcm2C．32πcm2D．16πcm2【分析】作辅助线，连接OE和OB，根据已知条件，可知△OEB为直角三角形，根据勾股定理可将直角三角形的各边长表示出来，阴影的面积等于以OB和OE为半径的半圆的面积差．【解答】解：若大半圆的圆心为O，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵弦AB与小半圆相切，AB∥CD，∴小圆半径为OE，∴OE⊥AB，EB＝AB＝8cm，在Rt△OBE中，OB2＝OE2+EB2，∴OB2﹣OE2＝EB2＝64，S阴影＝﹣＝＝32πcm2；故图中阴影部分的面积为32πcm2．故选C．【点评】注意：不规则图形面积的求法可用几个规则图形面积相加或相减求得．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，化成一般形式是x2﹣2x﹣9＝0 ，其二次项的系数和一次项系数的和是﹣1 ．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：①由方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，得x2﹣2x﹣35＝﹣26，即x2﹣2x﹣9＝0；②x2﹣2x﹣9＝0的二次项系数是1，一次项系数是﹣2，所以其二次项的系数和一次项系数的和是1+（﹣2）＝﹣1；故答案为：x2﹣2x﹣9＝0；﹣1．【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，在去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．10．选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分）（Ⅰ）计算：＝0.1（Ⅱ）用计算器计算：≈0.316 （保留三位有效数字）．【分析】（1）此题需根据二次根式的乘法法则进行计算，再把所得结果进行化简即可得出答案．（2）此题须先把转化成，再与进行相乘，即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）＝＝＝0.1；（Ⅱ）＝＝≈0.316，故答案为：0.1，0.316．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，此题较简单，在解题时要注意最后结果要化简．11．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：y＝﹣5x2﹣50x﹣128【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（﹣5，﹣3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝﹣5（x+5）2﹣3，即y＝﹣5x2﹣50x﹣128，故答案为y＝﹣5x2﹣50x﹣128．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．12．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为2．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了．【解答】解：易得△ABA1∽△BA1B1，∴相似比为A1B：AB＝sin∠A＝4：5，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，同理可得到其他三角形之间也是这个情况，那么所有的阴影部分面积之和应等于＝3×4÷2×＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．13．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x＝0代入即可求得交点坐标为（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确y轴上点的坐标横坐标为0．14．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝30°．【分析】首先证明∠ACC′＝∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′＝30°即可解决问题．【解答】解：由题意得：AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC＝75°，∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝75°，∴∠CAC′＝180°﹣2×75°＝30°；由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝30°，故答案为30°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC＝AC′，∠BAC＝∠ACC′＝75°是解题关键．15．如图所示：AP、PB、AB分别是三个半圆的直径，PQ⊥AB，面积为9π的圆O与两个半圆及PQ 都相切，而阴影部分的面积是39π，则AB的长是32 ．【分析】设最大圆的圆心O1，中园圆心O2，小圆O3，小圆半径y，中圆半径x，过O点作ON ⊥AB于N，根据相切两圆的性质求出则OO1、OO3、O1N、O3N的长，由勾股定理得到方程求出xy＝3（x+y），根据已知求出xy＝48，代入即可求出AB．【解答】解：设最大圆的圆心O1，中园圆心O2，小圆O3，小圆半径y，中圆半径x，过O点作ON⊥AB于N，则OO1＝x+y﹣3 OO3＝y+3 O1N＝O1P+PN＝X﹣Y+3，O3N＝Y﹣3，由勾股定理根据ON2＝OO12﹣O1N2＝OO32﹣O3N2，∴（x+y﹣3）2﹣（x﹣y+3）2＝（y+3）2﹣（y﹣3）2，解方程得：xy＝3（x+y），因为图中阴影部分的面积是39π，所以[π（x+y）2﹣πx2﹣πy2]﹣9π＝39π，∴xy＝48，x+y＝16，∴AB＝32，故答案为：32．【点评】本题主要考查对相切两圆的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能推出xy＝3（x+y）和xy＝48是解此题的关键．16．如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，则格点P的坐标是（1，4）或（3，4）．【分析】根据题意作图，因为不全等，可以作相似比为1：2的相似三角形，根据图形即可得解．【解答】解：如图：此时AB对应PA或PB，且相似比为1：2．故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用即根据题意作图解此题．还要注意别漏解．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）已知a＝，b＝，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用平方差公式分别化简各式进而计算得出答案；（2）利用（1）中所求，结合分母有理化的概念得出有理化因式，进而化简得出答案．【解答】解：（1）∵a＝＝＝+，b＝＝＝﹣，∴ab＝（+）×（﹣）＝1，a+b＝++﹣＝2；（2）＝+＝（﹣）2+（+）2＝5﹣2+5+2＝10．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键．18．（6分）已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？【分析】因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k的式子表示方程的解，根据△ABC是等腰三角形，分AB＝AC，BC＝AC，两种情况讨论，得出k的值．【解答】解法一：∵△＝[﹣（2k+2）]2﹣4（k2+2k）＝4k2+8k+4﹣4k2﹣8k≥0，（2分）∴x＝∴x1＝k+2，x2＝k，（4分）设AB＝k+2，BC＝k，显然AB≠BC而△ABC的第三边长AC为10（1）若AB＝AC，则k+2＝10，得k＝8，即k＝8时，△ABC为等腰三角形；（2）若BC＝AC，则k＝10，即k＝10时．△ABC为等腰三角形．（9分）解法二：由已知方程得：（x﹣k﹣2）（x﹣k）＝0∴x1＝k+2，x2＝k（4分）[以下同解法一]．【点评】解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k的值，从而证得△ABC为等腰三角形．19．（6分）如图，已知矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B（4，3），反比例函数y＝图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）．（1）求反比例函数的解析式及E点的坐标；（2）若矩形OABC对角线的交点为F，请判断点F是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）把已知点代入反比例函数的解析式，求出其解析式；再进一步把当x＝4时代入，从而求出E点的坐标．（2）利用矩形及相似三角形的性质，判断出F点与反比例函数图象的关系．【解答】解：（1）把D（1，3）代入y＝，得3＝，∴k＝3．∴y＝．∴当x＝4时，y＝，∴E（4，）．（2）点F在反比例函数的图象上．理由如下：连接AC，OB交于点F，过F作FH⊥x轴于H．∵四边形OABC是矩形，∴OF＝FB＝OB．又∵∠FHO＝∠BAO＝90°，∠FOH＝∠BOA，∴△OFH∽△OBA．∴＝＝＝，∴OH＝2，FH＝．∴F（2，）．即当x＝2时，y＝＝，∴点F在反比例函数y＝的图象上．【点评】本题比较复杂，把反比例函数y ＝的图象、矩形的性质及相似三角形的性质相结合，考查了学生对所学知识的综合运用能力．20．（6分）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小明先挑选或小亮先挑选的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意可列表或树状图如下：第一次12 3 4第二次1（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（5分）从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P （和为奇数）＝；（2）不公平．（8分）∵小明先挑选的概率是P（和为奇数）＝，小亮先挑选的概率是P（和为偶数）＝，∵，∴不公平．（10分）【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；（2）以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【分析】根据平移作图的方法作图即可．根据图形特征或平移规律可求得坐标为①C1（4，4）；②C2（﹣4，﹣4）．【解答】解：根据平移定义和图形特征可得：①C1（4，4）；②C2（﹣4，﹣4）．【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．中心对称是旋转180度时的特殊情况．22．（8分）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE；（2）如图2，连接BD，∵CE丄AB，∴∠E＝90°，∴BC＝＝＝5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴，∴BC2＝CD•CE，∴CD＝＝，∴OC＝＝，∴⊙O的半径＝．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．【分析】根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）＝56，解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为56m2得出等式是解题关键．24．（12分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a ＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N 的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，∴y＝2x﹣2，则，得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0，解得x＝1或x＝﹣2，∴N点坐标为（﹣2，﹣6），∵a＜b，即a＜﹣2a，∴a＜0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，∴E（﹣，﹣3），∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），设△DMN的面积为S，∴S＝S△DEN+S△DEM＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝，（3）当a＝﹣1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，有，﹣x2﹣x+2＝﹣2x，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴G（﹣1，2），∵点G、H关于原点对称，∴H（1，﹣2），设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x+t，﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t，x2﹣x﹣2+t＝0，△＝1﹣4（t﹣2）＝0，t＝，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y＝﹣2x+t，t＝2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．25．（12分）如图，点E在菱形ABCD的对角线BD上，连接AE，且AE＝BE，⊙O是△ABE的外接圆，连接OB．（1）求证：OB⊥BC；（2）若BD＝，tan∠OBD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOE＝∠BOE，求出OE平分AB且垂直于AB，即可得出结论；（2）解直角三角形求出CG和EF，根据勾股定理得出方程，求出r即可．【解答】（1）证明：连接OA、OE，设OE交AB于F，∵AE＝BE，∴∠AOE＝∠BOE，∵OA＝OB，∴AF＝BF，OE⊥AB，∴∠OFB＝∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠EBF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠CBD＝∠ABD，∵OB＝OE，∴∠OBE＝CEB，∴∠OBE+∠CBD＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC；（2）解：连接AC交BD于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，BG＝BD＝，∴∠BGC＝90°，∴∠GCB+∠GBC＝90°，∵∠OBD+∠CBG＝90°，∴∠GCB＝∠OBD，在Rt△BCG中，tan∠GCB＝tan∠OBD＝2，∴＝2，∴CG＝，∴BC＝＝＝8，∴AB＝8，∴BF＝4，在Rt△BEF中，tan∠BEF＝tan∠OBD＝2，∴＝2，∴EF＝2，设⊙O的半径为r，在Rt△BOF中，OF2+BF2＝OB2，（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5．【点评】本题考查了菱形性质、解直角三角形、勾股定理、圆周角定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．。
北师大版数学九年级下册第二章二次函数综合探究——最值问题及存在性问题课时对应练习(Word版含答案)
第13课时二次函数综合探究——最值问题及存在性问题1．已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n,直线y2＝kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式．2．如图,已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1,0）、B（3,0）、C（0,3）．（1）试求出抛物线的解析式；（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q,使得△QAC的周长最小,试求出△QAC 的周长的最小值,并求出点Q的坐标；（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发,在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y 轴的正方向运动,试问,经过几秒后,△P AC是等腰三角形？3．如图,抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣x+b交于A,C两点,与x轴交于点A,B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C）,过点P作PN⊥AB交AC与点M,垂足为N,连接AP,CP．设点P的横坐标为m．（1）求b的值；（2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围；（3）求△P AC的面积S关于m的函数解析式,并求使得△APC面积最大时,点P的坐标；（4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标．4．已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α,0）,B（β,0）,且1α+1β=−2,（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小？若存在,请画出图形（保留作图痕迹）,并求出周长的最小值；若不存在,请说明理由．（3）若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标．5．如图,抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2,0）,D两点,与y轴交于点C,对称轴x＝3交x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是x轴上方抛物线上一动点,过点M作MN⊥x轴于点N,交直线BC于点E．设点M的横坐标为m,用含m的代数式表示线段ME的长,并求出线段ME长的最大值．（3）若点P在y轴的正半轴上,连接P A,过点P作P A垂线,交抛物线的对称轴于点Q．是否存在点P,使以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等？若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．6．（2019•广州）已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现,随着m 的变化,抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ,抛物线G 与函数H 的图象交于点P ,结合图象,求点P 的纵坐标的取值范围．7．已知抛物线y ＝mx 2+（1﹣2m ）x +1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B（1）求m 的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ,并求出点P 的坐标；（3）当14＜m ≤8时,由（2）求出的点P 和点A ,B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有,求出该最值及相对应的m 值．8．已知O 为坐标原点,抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A （x 1,0）,B （x 2,0）,与y 轴交于点C ,且O ,C 两点间的距离为3,x 1•x 2＜0,|x 1|+|x 2|＝4,点A ,C 在直线y 2＝﹣3x +t 上．（1）求点C 的坐标；（2）当y 1随着x 的增大而增大时,求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位,记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ,直线y 2向下平移n 个单位,当平移后的直线与P 有公共点时,求2n 2﹣5n 的最小值．【参考答案】1．（1）∵抛物线y 1＝﹣x 2+mx +n ,直线y 2＝kx +b ,y 1的对称轴与y 2交于点A （﹣1,5）,点A 与y 1的顶点B 的距离是4．∴B （﹣1,1）或（﹣1,9）,∴−m 2×(−1)=−1,4×(−1)n−m 24×(−1)=1或9, 解得m ＝﹣2,n ＝0或8,∴y 1的解析式为y 1＝﹣x 2﹣2x 或y 1＝﹣x 2﹣2x +8；（2）①当y 1的解析式为y 1＝﹣x 2﹣2x 时,抛物线与x 轴交点是（0,0）和（﹣2,0）, ∵y 1的对称轴与y 2交于点A （﹣1,5）,∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点（﹣2,0）,把（﹣1,5）,（﹣2,0）代入得{−k +b =5−2k +b =0, 解得{k =5b =10, ∴y 2＝5x +10．②当y 1＝﹣x 2﹣2x +8时,解﹣x 2﹣2x +8＝0得x ＝﹣4或2,∵y 2随着x 的增大而增大,且过点A （﹣1,5）,∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点（﹣4,0）,把（﹣1,5）,（﹣4,0）代入得{−k +b =5−4k +b =0, 解得{k =53b =203； ∴y 2=53x +203．2．（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （1,0）、B （3,0）、C （0,3）,∴把此三点代入得{a +b +c =09a +3b +c =0c =3,解得{a =1b =−4c =3,故抛物线的解析式为,y ＝x 2﹣4x +3；（2）点A 关于对称轴的对称点即为点B ,连接B 、C ,交x ＝2于点Q ,可得直线BC：y＝﹣x+3,与对称轴交点Q（2,1）,BC=3√2,可得△QAC周长为√10+3√2．（3）设t秒后△P AC是等腰三角形,因为P在对称轴上,所以P点坐标为（2,t﹣1）于是①当P A＝CA时；根据勾股定理得：（2﹣1）2+（t﹣1）2＝12+32；解得t＝4秒或t＝﹣2秒（负值舍去）．②PC＝P A时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝（2﹣1）2+（t﹣1）2；解得t＝3秒；③CP＝CA时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝12+32；解得t＝（4+√6）秒或t＝（4−√6）秒所以经过4秒,或3秒,或4+√6秒,或4−√6秒时,△P AC是等腰三角形．3．（1）令x2﹣2x﹣3＝0,解得：x1＝﹣1,x2＝3,即A＝（﹣1,0）,B（3,0）,把A（﹣1,0）代入y＝﹣x+b,得b＝﹣1,则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）把x＝m代入抛物线解析式得：y＝m2﹣2m﹣3,把x＝m代入直线解析式得：y＝﹣m﹣1,∴NP＝﹣（m2﹣2m﹣3）,MN＝﹣（﹣m﹣1）,∴MP＝NP﹣NM＝﹣（m2﹣2m﹣3）+（﹣m﹣1）＝﹣m2+m+2,m 的取值范围是﹣1＜m ＜2；（3）过点作CE ⊥AB 于点E ,则S △APC ＝S △AMP +S △CMP =12MP •AN +12MP •NE =12MP •AE =−32m 2+32m +3, ∵﹣1＜0,开口向下,∴当m =−b 2a =12时,S △APC 面积最大,此时P （12,−154）；（4）分三种情况：①当P 为抛物线顶点时,此时MC ＝PC ,△CMP 为等腰三角形,P 点坐标为P 1（1,﹣4）；②当P 为C 关于抛物线对称轴对称的点时,此时MP ＝MC 时,△CMP 为等腰三角形,∵点C （2,﹣3）,对称轴为：x ＝1,∴点P 坐标为P 2（0,﹣3）；③当P 为MC 的垂直平分线上点时,此时PM ＝PC ,△CMP 为等腰三角形,P 3（√2−1,2﹣4√2）．4．（1）由题意可得：α,β是方程﹣mx 2+4x +2m ＝0的两根,由根与系数的关系可得, α+β=4m ,αβ＝﹣2,∵1α+1β=−2,∴α+βαβ=−2,即4m −2=−2,解得：m＝1,故抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6,∴抛物线的对称轴l为x＝2,顶点D的坐标为：（2,6）,又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0,2）,点E与点C关于l对称,∴E点坐标为：（4,2）,作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,则D′的坐标为；（﹣2,6）,E′坐标为：（4,﹣2）,连接D′E′,交x轴于M,交y轴于N,此时,四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE,如图1所示：延长E′E,′D交于一点F,在Rt△D′E′F中,D′F＝6,E′F＝8,则D′E′=√D′F2+E′F2=√62+82=10,设对称轴l与CE交于点G,在Rt△DGE中,DG＝4,EG＝2,∴DE=√DG2+EG2=√42+22=2√5,∴四边形DNME的周长最小值为：10+2√5；（3）如图2,P为抛物线上的点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,则△PHQ≌△DGE,∴PH＝DG＝4,∴|y|＝4,∴当y＝4时,﹣x2+4x+2＝4,解得：x1＝2+√2,x2＝2−√2,当y＝﹣4时,﹣x2+4x+2＝﹣4,解得：x3＝2+√10,x4＝2−√10,无法得出以DE为对角线的平行四边形,故P点的坐标为；（2−√2,4）,（2+√2,4）,（2−√10,﹣4）,（2+√10,﹣4）．5．（1）由题意得,点D 的坐标为（8,0）,把点A 、D 的坐标代入y ＝ax 2+bx +4{4a −2b +4=064a +8b +4=0, 解{a =−14b =32． 故抛物线解析式为y =−14x 2+32x +4．（2）由题意,点C ,点B 坐标分别为（0,4）,（3,0）,则直线CB 解析式y =−43x +4,点M 坐标为（m ,−14m 2+32m +4）,点E 坐标为（m ,−43m +4）,①当﹣2＜m ≤0时,ME =−43m +4﹣（−14m 2+32m +4）=14m 2−176m , m ＝﹣2时,ME =203,由二次函数性质可知,ME ＜203；②当0＜m ＜8时,ME =−14m 2+32m +4﹣（−43m +4）=14m 2−176m =−14（m −173）2+28936 当m =173时,ME 取得最大值,最大值为28936． 综上所述,当﹣2＜m ≤0时,ME =14m 2−176m ,当0＜m ＜8时,ME =−14m 2+176m ．当m =173时,ME 取得最大值,最大值为28936． （3）存在,∵P A ⊥PQ ,BQ ⊥x 轴∴∠APQ ＝∠ABQ ＝90°,∴△APQ 和△ABQ 中．点P 和点B 是对应点,∵以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△BAQ 全等,只有两种情况：设点P （0,c ）,Q （3,n ）（c ＞0）,∴AB ＝5,BQ ＝n ,P A =√4+c 2,PQ =√9+(c −n)2,①△P AQ ≌△BAQ ,∴P A ＝BA ,PQ ＝BQ ,∴√4+c 2=5,√9+(c −n)2=n ,∴c =√21或c =−√21（舍）,∴P （0,√21）,②△PQA ≌△BAQ ,∴P A ＝BQ ,PQ ＝AB ,∴√4+c 2=n ,√9+(c −n)2=5,∴c 1=32,n 1=−52或c 2=−32,n 2=52（舍）故点P 坐标为P 1（0,√21）,P 2（0,32）． 6．（1）∵y ＝mx 2﹣2mx ﹣3＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3,抛物线有最低点 ∴二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值为﹣m ﹣3（2）∵抛物线G ：y ＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3∴平移后的抛物线G 1：y ＝m （x ﹣1﹣m ）2﹣m ﹣3∴抛物线G 1顶点坐标为（m +1,﹣m ﹣3）∴x ＝m +1,y ＝﹣m ﹣3∴x +y ＝m +1﹣m ﹣3＝﹣2即x +y ＝﹣2,变形得y ＝﹣x ﹣2∵m ＞0,m ＝x ﹣1∴x ﹣1＞0∴x ＞1∴y 与x 的函数关系式为y ＝﹣x ﹣2（x ＞1）（3）法一：如图,函数H ：y ＝﹣x ﹣2（x ＞1）图象为射线x ＝1时,y ＝﹣1﹣2＝﹣3；x ＝2时,y ＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H 的图象恒过点B （2,﹣4）∵抛物线G ：y ＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3x ＝1时,y ＝﹣m ﹣3；x ＝2时,y ＝m ﹣m ﹣3＝﹣3∴抛物线G 恒过点A （2,﹣3）由图象可知,若抛物线与函数H 的图象有交点P ,则y B ＜y P ＜y A ∴点P 纵坐标的取值范围为﹣4＜y P ＜﹣3法二：{y =−x −2y =mx 2−2mx −3整理的：m （x 2﹣2x ）＝1﹣x∵x ＞1,且x ＝2时,方程为0＝﹣1不成立∴x ≠2,即x 2﹣2x ＝x （x ﹣2）≠0∴m =1−x x(x−2)＞0∵x ＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣37．（1）解：当m＝0时,函数为一次函数,不符合题意,舍去；当m≠0时,∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B,∴△＝（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）2＞0,∴1﹣4m≠0,∴m≠1 4,∴m的取值范围为m≠0且m≠1 4；（2）证明：∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m,∴y＝m（x2﹣2x﹣3）+x+1,抛物线过定点说明在这一点y与m无关,显然当x2﹣2x﹣3＝0时,y与m无关,解得：x＝3或x＝﹣1,当x＝3时,y＝4,定点坐标为（3,4）；当x＝﹣1时,y＝0,定点坐标为（﹣1,0）,∵P不在坐标轴上,∴P（3,4）；（3）解：|AB|＝|x A﹣x B|=√b2−4ac|a|=√(1−2m)2−4m(1−3m)|m|=√1−4m+4m2−4m+12m2m2=√(1−4m)2m2=|1−4mm|＝|1m−4|,∵14＜m ≤8, ∴18≤1m ＜4, ∴−318≤1m−4＜0, ∴0＜|1m−4|≤318, ∴|AB |最大时,|1m−4|=318, 解得：m ＝8,或m =863（舍去）,∴当m ＝8时,|AB |有最大值318,此时△ABP 的面积最大,没有最小值,则面积最大为：12|AB |y P =12×318×4=314． 8．（1）令x ＝0,则y ＝c ,故C （0,c ）,∵OC 的距离为3,∴|c |＝3,即c ＝±3,∴C （0,3）或（0,﹣3）；（2）∵x 1x 2＜0,∴x 1,x 2异号,①若C （0,3）,即c ＝3,把C （0,3）代入y 2＝﹣3x +t ,则0+t ＝3,即t ＝3, ∴y 2＝﹣3x +3,把A （x 1,0）代入y 2＝﹣3x +3,则﹣3x 1+3＝0, 即x 1＝1,∴A （1,0）,∵x 1,x 2异号,x 1＝1＞0,∴x 2＜0,∵|x 1|+|x 2|＝4,∴1﹣x 2＝4,解得：x 2＝﹣3,则B （﹣3,0）,代入y 1＝ax 2+bx +3得,{a +b +3=09a −3b +3=0, 解得：{a =−1b =−2,∴y 1＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4,则当x ≤﹣1时,y 随x 增大而增大．②若C （0,﹣3）,即c ＝﹣3,把C （0,﹣3）代入y 2＝﹣3x +t ,则0+t ＝﹣3,即t ＝﹣3, ∴y 2＝﹣3x ﹣3,把A （x 1,0）,代入y 2＝﹣3x ﹣3,则﹣3x 1﹣3＝0,即x 1＝﹣1,∴A （﹣1,0）,∵x 1,x 2异号,x 1＝﹣1＜0,∴x 2＞0∵|x 1|+|x 2|＝4,∴1+x 2＝4,解得：x 2＝3,则B （3,0）,代入y 1＝ax 2+bx ﹣3得,{a −b −3=09a +3b −3=0, 解得：{a =1b =−2, ∴y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4,则当x ≥1时,y 随x 增大而增大,综上所述,若c ＝3,当y 随x 增大而增大时,x ≤﹣1； 若c ＝﹣3,当y 随x 增大而增大时,x ≥1；（3）①若c ＝3,则y 1＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4,y 2＝﹣3x +3, y 1向左平移n 个单位后,则解析式为：y 3＝﹣（x +1+n ）2+4, 则当x ≤﹣1﹣n 时,y 随x 增大而增大,y 2向下平移n 个单位后,则解析式为：y 4＝﹣3x +3﹣n , 要使平移后直线与P 有公共点,则当x ＝﹣1﹣n ,y 3≥y 4, 即﹣（﹣1﹣n +1+n ）2+4≥﹣3（﹣1﹣n ）+3﹣n , 解得：n ≤﹣1,∵n ＞0,∴n ≤﹣1不符合条件,应舍去；②若c ＝﹣3,则y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4,y 2＝﹣3x ﹣3, y 1向左平移n 个单位后,则解析式为：y 3＝（x ﹣1+n ）2﹣4, 则当x ≥1﹣n 时,y 随x 增大而增大,y 2向下平移n 个单位后,则解析式为：y 4＝﹣3x ﹣3﹣n , 要使平移后直线与P 有公共点,则当x ＝1﹣n ,y 3≤y 4,即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n,解得：n≥1,综上所述：n≥1,2n2﹣5n＝2（n−54）2−258,∴当n=54时,2n2﹣5n的最小值为：−258．。
2019-2020学年山东省济宁十三中九年级(下)开学数学试卷 解析版
2019-2020学年山东省济宁十三中九年级（下）开学数学试卷一、选择题：（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各数中，负数是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣2|C．（﹣2）2D．（﹣2）02．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x6 3．（3分）据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值（GDP）为900300亿元．用科学记数法表示900300亿是（）A．9.003×1012B．90.03×1012C．0.9003×1014D．9.003×10134．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π6．（3分）化简÷的结果是（）A．B．C．D．2（x+1）7．（3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3D．39．（3分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④10．（3分）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m 上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．﹣3≤m≤1C．﹣3≤m≤3D．﹣1≤m≤0二、填空题：（每题3分，满分15分）11．（3分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝．12．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为．13．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是环．14．（3分）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为．三、解答题：（满分55分）16．（8分）（1）计算：（）﹣1+（3.14﹣π）0+|2﹣|+2sin45°﹣；（2）化简求值：（﹣）÷，当a＝﹣1时，请你选择一个适当的数作为b的值，代入求值．17．（6分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在170≤x＜175（cm）的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．18．（6分）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠P AC＝30°，AC＝2．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A、PC围成的封闭图形的面积．19．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．20．（8分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？21．（9分）如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．①求△AOP的面积；②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（11分）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．2019-2020学年山东省济宁十三中九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各数中，负数是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣2|C．（﹣2）2D．（﹣2）0【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质、相反数的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，故此选项错误；B、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项正确；C、（﹣2）2＝4，故此选项错误；D、（﹣2）0＝1，故此选项错误；故选：B．2．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x6【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和积的乘方运算法则等知识分别化简得出即可．【解答】解：A、x2+x3不能合并，错误；B、x2•x3＝x5，错误；C、x3÷x2＝x，正确；D、（2x2）3＝8x6，错误；故选：C．3．（3分）据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值（GDP）为900300亿元．用科学记数法表示900300亿是（）A．9.003×1012B．90.03×1012C．0.9003×1014D．9.003×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：将900300亿元用科学记数法表示为：9.003×1013．故选：D．4．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设这个队胜x场，负y场，根据在10场比赛中得到16分，列方程组即可．【解答】解：设这个队胜x场，负y场，根据题意，得．故选：A．5．（3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．6．（3分）化简÷的结果是（）A．B．C．D．2（x+1）【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝•（x﹣1）＝，故选：A．7．（3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a的不等式组进而求出答案．【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，∴，解得：a＜2．则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选：C．8．（3分）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3D．3【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程．【解答】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．设∠BAB′＝n°．∵＝4π，∴n＝120即∠BAB′＝120°．∵E为弧BB′中点，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3，∴最短路线长为3．故选：D．9．（3分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④【分析】①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出＝＝，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE＝AF；故①正确；∵AB∥CD，∴＝，∵AF：FB＝1：2，∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，∴＝，∴＝，∵AC＝AB，∴＝，∴AN＝AB；故②正确；作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，∴CH＝MH＝CM，∵GH⊥CM，∴GM＝GC，∴∠GMH＝∠GCH，∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，∴∠FMG＝∠DCE，∵∠ADF＝∠DCE，∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，（补充方法：延长MF交CG的延长线于T，证明CG＝GT，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题）设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴＝＝，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，故选：C．10．（3分）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m 上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．﹣3≤m≤1C．﹣3≤m≤3D．﹣1≤m≤0【分析】根据x＝y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵x＝y，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选：B．二、填空题：（每题3分，满分15分）11．（3分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝（x﹣1）（x﹣3）．【分析】原式变形后，提取公因式即可．【解答】解：原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝（x﹣1）（x﹣3），故答案为：（x﹣1）（x﹣3）12．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为x＞3．【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．【解答】解：∵正比例函数y＝x也经过点A，∴kx+b＜x的解集为x＞3，故答案为：x＞3．13．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是8.5环．【分析】由加权平均数公式即可得出结果．【解答】解：该队员的平均成绩为（1×6+1×7+2×8+4×9+2×10）＝8.5（环）；故答案为：8.5．14．（3分）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为﹣31009．【分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，每四个点符号为一个周期，依此规律即可得出结论．【解答】解：由题意可得，A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009+1，∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，故答案为：﹣31009．三、解答题：（满分55分）16．（8分）（1）计算：（）﹣1+（3.14﹣π）0+|2﹣|+2sin45°﹣；（2）化简求值：（﹣）÷，当a＝﹣1时，请你选择一个适当的数作为b的值，代入求值．【分析】（1）分别计算负指数幂、零次幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减法；（2）先化简分式，然后将x的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝2019+1++2×﹣2＝2020+2﹣+﹣2＝2020；（2）原式＝•＝＝，当a＝﹣1时，取b＝2，原式＝＝1．17．（6分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在170≤x＜175（cm）的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．【分析】（1）根据D部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，（2）用总人数乘以C、E所占的百分比求得C、E部分人数，从而补全条形图；（3）用360°乘以E部分所占百分比即可求解；（4）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）总人数为13÷26%＝50人，答：两个班共有女生50人；（2）C部分对应的人数为50×28%＝14人，E部分所对应的人数为50﹣2﹣6﹣13﹣14﹣5＝10；频数分布直方图补充如下：（3）扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为×360°＝72°；（4）画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，所以这两人来自同一班级的概率是＝．18．（6分）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠P AC＝30°，AC＝2．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A、PC围成的封闭图形的面积．【分析】（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O 即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△P AO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段P A、PC围成的封闭图形的面积进行计算．【解答】解：（1）作法：①过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，②以O点为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O为所作；（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠P AC＝30°，AC ＝2，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，求证：PB、PC为⊙O的切线；证明：∵∠BPD＝120°，P AC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴P A＝PC，连接OP，∵OA⊥P A，PC⊥OC，∴∠P AO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△P AO≌Rt△PCO（HL）∴OA＝OC，∴PB、PC为⊙O的切线；（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，∵OP平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝×2＝2，∴劣弧AC与线段P A、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO ﹣S扇形AOC＝2××2×2﹣＝4﹣2π．19．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．20．（8分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，整理，得：x2﹣360x+32400＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．21．（9分）如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．①求△AOP的面积；②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论；②假设存在，以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，通过解直角三角形和勾股定理求出点M1、M2的坐标，此题得解．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4），∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），点B（6，4）．（2）①延长DP交OA于点E，如图3所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接PM1、PM2，如图4所示．∵点P（2，2），O（0，0），∴点M1（2，0）；∵点A（1，4），点O（0，0），∴直线OA的关系式为y＝4x．设点M2（n，4n），∵S△AOP＝3，OA＝＝，∴PM2＝＝＝＝，即289n2﹣340n+100＝0，解得：n＝，∴点M2（，）．故在▱OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（，）．22．（11分）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，可以求得点A、B、C的坐标，再根据将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D，可以求得点D的坐标．从而可以求得直线AD的函数解析式；（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值，进而可以得到点P的坐标；②根据①中关系式和题意，可以求得点P对应的坐标，从而可以求得sin∠P AD的值．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C 的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴∠OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠P AD的值是或．。
2019-2020学年第二学期九年级数学期末考试试卷及答案
第1页，共8页 数学试卷 第2页， 共8页密 封 线 学校 班级 姓名 学号封 线 内 不 得 答 题2019-2020学年第二学期九年级联考数学试卷及答案题号一 二 三 四 总分人 复核人 总分 得分本试卷满分为150分，考时间为120分钟.1. 下列各数：1.414，2，－13，0，其中是无理数的为 （ ） A ．1.414 B . 2 C ．－13D ．02. 2017年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的人数约有89 000人，将89 000用科学记数法表示为 （ ）A ．89×103B ．8.9×104C ．8.9×103D ．0.89×1053. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为 ( )A B C D4.不等式组⎩⎨⎧x ≥－1，x<2的解集在数轴上表示正确的是 ( )A BC D 5. 下列几何体中，主视图是三角形的是 （ ）A B C D 6市某中学九年级（1）班开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材，全班50名同学筹款情况如下表：筹款（元） 5 10 15 20 25 30 人数 3 7 11 11 13 5 则该班同学筹款金额的众数和中位数分别是 （ ） A ．11，20 B ．25，11 C ．20，25 D ．25，20 7BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝55°，则∠1等于 ( ) A ．55° B ．45° C ．35° D ．25°( 第7题 ) ( 第8题 ) （第10题）8. 如图，A ，D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D＝32°，则∠OAC 为 ( )A ．64°B ．58°C ．72°D ．55° 9. 某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是 ( )A ．(a －10%)(a ＋15%)万元B ．a(1－90%)(1＋85%)万元C ．a(1－10%)(1＋15%)万元D ．a(1－10%＋15%)万元 10. 今年五一节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t(min )．所走的路程为s(m )，s 与t 之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是 ( ) A ．小明中途休息用了20 minB ．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70 mC ．小明在上述过程所走的路程为6 600 mD ．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度得 分 评卷人 得分 评卷人二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.把答案写在题中横线上的.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题意的选项字母填入题后的括号内.第3页，共8页数学试卷 第4页，共8页密 封 线 内 不 得 答 题11. 因式分解：x 3-4x = ___________ ．12.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，若△ADE 与△ABC 的周长之比为2∶3，AD ＝4，则DB ＝ ．13.若关于x 的一元二次方程x 2－4x －m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是____ ．14. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．(第12题 ) (第17题) 15．分式方程2x x －1－11－x＝1的解是 16．函数y ＝1－xx ＋2中，自变量x 的取值范围为 ． 17. 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED ′ .18观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32 768，86＝262 144，……，则81＋82＋83＋84＋……＋82 015的和的个位数字是得 分 评卷人19.（6分）计算：－14＋12sin 60°＋－(π－5)020. （6分）先化简，再求值：(m －n)2－m(m －2n)，其中m ＝3，n ＝ 2.21.（8分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出将△ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形△A 1B 1C 1； (2)请画出△ABC 关于原点O 成中心对称的图形△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．22. (10分) 今年“五·一”节期间，某商场举行抽奖促销活动．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第5页，共8页 数学试卷 第6页， 共8页密 封 线 学校 班级 姓名 学号封 线 内 不 得 答 题（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果； （2）求抽奖人员获奖的概率23(10分)如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B ，C ，E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B ，C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)得 分 评卷人24. （本题满分8分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费. 为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）. 请你根据统计图解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是__________________.（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨—20吨”部分的圆心角的度数； （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？用户用水量频数分布直方图 用户用水量扇形统计图 户数（单位：户）吨 10-15吨 30-35 40 30 20 100 10 15 20 25 30 35 用水量（单位：吨）25.(10分)已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为线段AB 上一动点． (1)求证：BD ＝AE ；(2)当D 是线段AB 中点时，求证：四边形AECD 是正方形．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第7页，共8页数学试卷 第8页，共8页密 封 线 内 不 得 答 题26.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数2+=nx y 的图象与反比例函数xmy = 在第一象限内的图象交于点A ，与x 轴交于点B ，线段OA ＝5，C 为x 轴正半轴上一点，且sin ∠AOC ＝45． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．27. 如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD ＝2∠BAC .过点C 作CE⊥DB，垂足为E ，直线AB 与CE 相交于F 点． (1)求证：CF 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为52，弦BD 的长为3，求CF 的长．28. 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC∥x 轴，点P 时直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。
2019年下期九年级数学期考试题与参考答案
2019年下期九年级期考试题数学参考答案第1页，共9页2019年下期九年级期考试题数学参考答案第2页，共9页2019年下期九年级期考试题数学参考答案第3页，共9页2019年下期九年级期考试题数学参考答案第4页，共9页2019年下期九年级期考试题数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
）1-10：ACCAA ADBCC二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
）11．1：2 12．m＜2 13．14．5﹣5 15．0 16．﹣8 17．三、解答题(一)( 本大题共3小题，每小题6分，共18分。
)18．解：（x+2）（x﹣5）＝18，x2﹣3x﹣28＝0，……………………………………2分（x﹣7）（x+4）＝0 ……………………………………4分∴x﹣7＝0，x+4＝0 ……………………………………5分解得：x1＝7，x2＝﹣4．……………………………………6分19．解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求作的菱形；…………………………………………3分（2）∵AC＝8，BD＝6，且四边形ABCD是菱形，∴AO＝4，DO＝3，且∠AOD＝90°……………………………4分则AD＝＝＝5．……………………………6分20．证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，AD＝BD．……………………………………2分中，EC∥BD，EC＝BD，2019年下期九年级期考试题数学参考答案第5页，共9页∴EC∥AD，EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．……………………………………4分又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．……………………………………6分四、解答题(二)( 本大题共3小题，每小题8分，共24分。
)21．解：（1）在这4个补给站中任意选择一个补给站服务，每个补给站被选择的可能性相同，………………………1分∴小明选择补给站C（球王故里）的概率是；………………………3分（2）画树状图分析如下：…………………6分共有16种等可能的结果，小明和小红恰好选择同一个补给站的结果有4种，……7分∴小明和小红恰好选择同一个补给站的概率为＝．………………8分22．解：（1）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得：（1+30%）x＝52，…………………………………2分解得：x＝40．答：今年年初猪肉的价格为每千克40元．…………………………………3分（2）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）千克，依题意，得：（52﹣39﹣y）（100+10y）＝1320，…………………………………6分整理，得：y2﹣3y+2＝0，解得：y1＝2，y2＝1．…………………………………7分∵让顾客得到实惠，∴y＝2．答：猪肉的售价应该下降2元．……………………………………8分2019年下期九年级期考试题数学参考答案第6页，共9页2019年下期九年级期考试题 数学参考答案 第7页，共9页23．（1）证明：AD ∥BCFAG MCGAGF CGF AFG CMG∴∠=∠∠=∠∴∠=∠AFG ∆∽CMG ∆……………4分（2）证明：∵AFG ∆∽CMG ∆GF AF GM CM∴= ∵AD ∥BC ， ∴AF EF BM EM= …………………………………6分 又∵CM ＝BM ，AF EF CM EM GF EF GM EM=∴=……………………………………8分 五、解答题(三)( 本大题共2小题，每小题10分，共20分。
鲁教版2019学年度初三数学第二学期期末测试题A(含答案详解)
鲁教版2019学年度初三数学第二学期期末测试题A （含答案详解）1．若方程x 2﹣（m 2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m 等于（ ）A ．﹣2B ．2C ．±2D ．42．函数y=中自变量x 的取值范围为（ ）A ．x≥0B ．x≥﹣2C ．x≥2D ．x≤﹣23．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 轴负半轴的夹角为15°，点B 在函数y=ax2（a ＜0）的图象上，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．4．下列计算结果正确的是（ ）A B 6=±C 5=D ．3+=5．关于x 的一元二次方程（x +1）2=2（x +1）的解是（ ）A ．121,0x x ==B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．121,1x x ==- 6．下列二次根式中的最简二次根式是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如果点C 是线段AB 的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )A ．AB ∶AC=AC ∶BC B ．AB ∶BC=BC ∶ACC ．AC ∶BC=BC ∶ABD ．AC ∶AB=AB ∶BC8．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A ．x ﹣1＝0B ．x 3+x ＝3C ．x 2+3x ﹣5＝0D ．ax 2+bx+c ＝09．下列二次根式中是最简二次根式的是( )A B C D 10．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处已知AB=8，BC=10，则tan ∠EFC 的值为（ ）A ．34B ．43C ．35D ．4511．已知直角三角形斜边长为10cm ，则它的斜边上的中线的长度等于_______．12．两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为______．13．把14．将一元二次方程x 2+4x+1=0化成（x+a ）2=b 的形式，其中a ，b 是常数，则a+b=________15．如图，在△ABC 中，点D 为AC 上一点，且，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ．若AB=15，则EF=___________．16．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是________．17．对于实数a 、b ，定义运算“*”：a*b=，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8．若x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的两个根，那么x 1*x 2=_____． 18．﹣1是方程x 2+bx ﹣5=0的一个根，则b=__________，另一个根是__________． 19．关于x 的一元二次方程2x 2+3x-m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 __________．20．对于任意不相等的两个正数a ，b ，定义一种运算※，如下：a ※b如3※=12※4=_________ ．21．如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为边向正方形内作等边△BCE ，连接AE 、DE ．（1）请直接写出∠AEB 的度数，∠AEB ＝ ；（2）将△AED 沿直线AD 向上翻折，得△AFD ．求证：四边形AEDF 是菱形；（3）连接EF ，交AD 于点 O ，试求EF 的长？22．已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简－＋. 23．网络购物无疑已被越来越多的人所接受，对人们生活的影响不断加深．李先生是淘宝店主之一，进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件．如果每件提价1元出售，其销售量将减少20件．如果李先生的网店销售这批服装要获利12000元，并且投入尽量少，那么这种服装售价应为多少元? 该网店进多少件这种服装?24．如图，在Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒， CD 是AB 边上的中线， DE AB ⊥于点D ，交AC 于点E ．求证： AED DCB ∠=∠．25．计算下列各题（1）（2）（3）（4）26．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，双曲线y＝(x>0)的图象分别与BC、AB交于点D、E，连接DE，若E是AB的中点.（1）求点D的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标.27．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD, CD=6，BC=4，∠ABD =∠C，P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:∠BPE =∠C, 交BD于点E.（1）求证：△BCP∽△PDE；（2）如果CP= x , BE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）P点在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形，若能，求x的值，若不能，说明理由.参考答案1．A【解析】设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1+x2=m2-4=0，解得m1=2，m2=-2，当m=2时，原方程变形为x2+2=0，△=0-2×4＜0，此方程无实数解；当m=-2时，原方程变形为x2-2=0，△=0+2×4＞0，此方程有两个不等的实数解，所以m=-2．故选A。
2019-2020年九年级数学中考一轮复习回家作业(含答案)：函数(第13课时函数).docx
【学习目标】了解函数的概念及三种表示方法；理解自变量的取值范围和函数值的意义；能够确定简单的整式、分式、二次根式在实际问题中自变量的取值范围，并会求出函数值；能根据图象信息，结合实际意义分析问题、解决问题．【课前热身】1．在面积为10 的三角形中，一边长y 关于这边上的高x 的函数关系式是_______．2． (2013 ．岳阳 ) 在函数 y＝x 2 中，自变量x 的取值范围是_______．3．小明的父母出去散步，从家走了20min 到一个离家900m的报亭，母亲随即按原速度返回家．父亲在报亭看了10min 报纸后，用 15min 返回到家中，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是_______．（填序号）4．如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中x 表示时间， y 表示小明离他家的距离，则小明从学校回家的平均速度为_______km／ h.5． (2013 ．龙东 ) 如图，爸爸从家( 点 O)出发，沿着扇形AOB上 O→AB →BO的路径匀速散步．设爸爸距家( 点 O)的距离为s，散步的时间为 t ，则下列图形中能大致刻画s 与 t 之间函数关系的图象是( )6．根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x 的值为 5 ，2则输出的函数值为( )A．3B．2 25C．5D．25 2547．有一本书，每20 页厚为1mm，设从第 1 页到第x 页的厚度为y(mm)，则A．y1x B．y20x C．y1x D．y20 2020x8．星期天，小明与小刚骑自行车去距家50km的某地旅游，匀速行驶 1.5h 的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人在自行车修理点修车，用了0.5h ，然后以原速继续前行，行驶1h 到达目的地．请在下面的平面直角坐标系中画出符合他们行驶的路程与行驶时间t(h)之间关系的函数图象．【课堂互动】知识点 1 函数自变量取值范围的确定例 1(2013 ．齐齐哈尔 ) 在函数yxxx32 中，自变量x的取值范围是_______．例 2已知 y 关于 x 的函数图象如图所示，则当y<0 时，自变量 x 的取值范围是 ()A． x<0B．－ 1<x<1 或 x>2C． x>－ 1D． x<－ 1 或 1<x<2跟踪训练1．（ 2013．资阳）在函数y＝1中，自变量 x 的取值范围是( )x1A．x≤1B．x≥1C． x<1D． x>12．（ 2013．巴中）在函数y＝x 3中，自变量 x 的取值范围是 _______．2x4知识点 2 确定函数值例 1（ 2013．上海）如果函数f(x)＝3，那么 f( 2) ＝ _______．1x2例 2（ 2013．湘潭）如下图，根据所示程序计算，若输入x＝ 3 ，则输出结果为_______．跟踪训练1．如果函数 f(x)＝1那么 f(3)＝ _______．1x2．若函数 y＝2，则当 x＝1 时， y＝ _______．x知识点 3图象信息题例(2013 ．绍兴 ) 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温 ( ℃）与开机后用时(min) 成反比例关系，直至水温降至30℃．饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为30℃时，接通电源后，水温y( ℃ ) 和时间x(min)的关系如右图所示．为了在上午第一节下课时(8 ： 45) 能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的A． 7：20 B ． 7： 30C．7：45D．7：50跟踪训练1．（ 2013. 贵阳）如图，在直径为AB的半圆⊙ O上有一动点P 从点 A 出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到点B，然后再以相同的速度沿着直径回到点 A 停止，线段OP的长度 d 与运动时间t 之间的函数关系用图象描述大致是( )2. （ 2013．鸟鲁禾齐）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8 小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出物资的速度均保持不变）．若该仓库库存物资 w(t) 与时间 t(h) 之间的函数关系如图所示，则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是( )A ． 8.4h B． 8.6hC ． 8.8h D． 9h3.如图 1，在矩形 MNPQ中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→ P→ Q→ M的方向运动至点 M处停止，设点 R 运动的路程为 x，△ MNR的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则当x ＝9 时，点 R 应运动到A．点 N处B．点 P 处C．点 Q处D．点 M处知识点 4函数图象的应用例在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a， b 两个情景：情景 a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；情景 b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．(1) 情景 a， b 所对应的函数图象分别为_______， _______（填序号）(2)请你为剩下的函数图象写出一个合适的情景．跟踪训练1．看图说故事，请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x， y 满足如图所示的函数关系，要求：(1)指出变量 x 和 y 的含义；(2)利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量．2．星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家，他离家的距离y(km) 与时间 t（ min ）的关系如图所示．根据图象回答下列问题：(1)小明家离图书馆的距离是 _______km；(2)小明在图书馆看书的时间为 _______h；(3)小明去图书馆时的速度是 _______km／ h.2019-2020 年九年级数学中考一轮复习回家作业（含答案）：函数( 第 13 课时函数)【课前热身】1． y＝202.x ≥－ 23．④② 4.65．C6． B7． A x8．【课堂互动】知识点 1例 1 x≥ 0 且 x≠ 2 且 x≠ 3例2B 跟踪训练1． D2． x≥ 3知识点 2例 11例22跟踪训练1．－12.2 2知识点 3例A跟踪训练1． A 2． C3． C知识点 4例(1) ③ ① (2) 小芳离开家到商店买完学习用具之后就赶回了家跟踪训练1．小明的爷爷晚饭后出去散步，5min 后到达离家2km 的公园，在公园里的健身器材处锻炼了6min，由于即将下雨，小明的爷爷花了 4min 就赶回了家里．请问小明的爷爷回家的速度比出去时的速度快多少？2． (1)3 (2)1 (3)15。
2019九年级中考数学模拟试卷含参考答案(12)
2019九年级中考数学模拟试卷含参考答案（12）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．﹣3的倒数是（）A．3 B．C．﹣D．﹣32．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．2a3+a2＝3a5B．（3a）2＝6a2C．（a+b）2＝a2+b2D．2a2?a3＝2a54．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口44亿，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×10106．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°7．如图，钟面上的时间是8：30，再经过t分钟，时针、分针第一次重合，则t为（）A．B．C．D．8．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示成绩（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（）A．4.65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.709．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．abc＞010．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，πC．，D．2，11．如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB ＝5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．1012．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（）A．4 B．5 C．6 D．14二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．因式分解：a3﹣ab2＝．14．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现2个男婴、1个女婴的概率是．15．用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形有枚棋子．16．如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BOC＝124°，则∠A＝．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算：﹣24﹣+|1﹣4sin60°|+（2015π）0．18．（6分）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．19．（7分）佳佳调査了七年级400名学生到校的方式，根据调查结果绘制出统计图的一部分如图：（1）补全条形统计图；（2）求扇形统计图中表示“步行”的扇形圆心角的度数；（3）估计在3000名学生中乘公交的学生人数．20．（8分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝100千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？（结果保留根号）21．（8分）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．22．（8分）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），BC＝6，求∠ABN的度数；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．23．（9分）如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．【分析】利用倒数的定义，直接得出结果．【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：C．【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是负数的倒数还是负数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3．【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式判断即可．【解答】解：A、2a3与a2不是同类项不能合并，故A选项错误；B、（3a）2＝9a2，故B选项错误；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C选项错误；D、2a2?a3＝2a5，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查了合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式，熟练掌握法则是解题的关键．4．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．【解答】解：44亿＝4.4×109．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．6．【分析】依据AB∥EF，即可得∠BDE＝∠E＝45°，再根据∠A＝30°，可得∠B＝60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1＝∠BDE+∠B＝105°．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠BDE＝∠E＝45°，又∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠1＝∠BDE+∠B＝45°+60°＝105°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．7．【分析】解决这个问题就要弄清楚时针与分针转动速度的关系：每一小时，分针转动360°，而时针转动30°，即分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．【解答】解：设从8：30点开始，经过x分钟，时针和分针第一次重合，由题意得：6x﹣0.5x＝755.5x＝75x＝，答：至少再经过分钟时针和分针第一次重合．故选：B．【点评】此题考查一元一次方程的应用，钟表上的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追及问题非常相似，行程问题中的距离相当于这里的角度，行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度．8．【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题．【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是 4.70，4.75．故选：C．【点评】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题．9．【分析】由抛物线的开口方向向上可以得到a＞0，由与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以推出c＜0，而对称轴为x＝＞0可以推出b＜0，由此可以确定abc的符号．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∵对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＜0，∴abc＞0．故选：B．【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定．10．【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．【解答】解：连接OB，∵OB＝4，∴BM＝2，∴OM＝2，＝＝π，故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．11．【分析】由基本作图得到AB＝AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1＝∠3，于是得到∠2＝∠3，根据等腰三角形的判定得AB＝EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO＝OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB＝AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，而BO⊥AE，∴AO＝OE，在Rt△AOB中，AO＝＝＝4，∴AE＝2AO＝8．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．12．【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2，同理FG2+LK2＝HL2，S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．【解答】解：∵在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝3，同理可证FG2+LK2＝HL2＝1，∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝1+3＝4．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2是解题的关键．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．14．【分析】列举出所有情况，看出现2个男婴、1个女婴的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：可能出现的情况如下表婴儿1 婴儿2 婴儿3男男男男男女男女男男女女女男男女男女女女男女女女一共有8种情况，出现2个男婴、1个女婴的情况有3种，故答案为．【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【解答】解：设第n个图形的棋子数为Sn．第1个图形，S1＝1；第2个图形，S2＝1+4；第3个图形，S3＝1+4+7；…第n个图形，S n＝1+4+7+…+（3n﹣2）＝．故答案为：；【点评】主要考查了图形的变化类问题，同时还考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．16．【分析】根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB，根据内心的性质得到∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠BOC＝124°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣124°＝56°，∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝112°，∴∠A＝180°﹣112°＝68°，故答案为：68°．【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．【分析】根据实数的运算法则以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣16﹣2+|1﹣2|+1＝﹣16﹣2+2﹣1+1＝﹣16．【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．18．【分析】首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分即可得到不等式组的解集及整数解．【解答】解：，解①得：5x+6＞2x﹣6，5x﹣2x＞﹣6﹣6，3x＞﹣12，x＞﹣4，解②得：3（1﹣5x）≥2（3x+1）﹣6，3﹣15x≥6x+2﹣6，﹣15x﹣6x≥2﹣6﹣3，﹣21x≥﹣7，x≤，∴不等式组的解集为：﹣4＜x≤，∴该不等式组的整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法和确定其整数解，属常规题，其步骤一般为：去分母，去括号，移项合并同类项，将x的系数化为1．19．【分析】（1）乘公交的学生数＝400﹣步行人数﹣骑自行车人数﹣乘私车人数；（2）先计算步行所占调查人数的比，再计算步行扇形圆心角的度数；（3）先计算乘公交的学生占调查学生的百分比，再估计3000人中乘公交的人数．【解答】解：（1）乘公交的人数为：400﹣80﹣20﹣60＝240（人）补全的条形图如右图所示（2）“步行”的扇形圆心角的度数为：360°×＝72°（3）因为调查的七年级400名学生中，乘公交的学生有240人，所以乘公交的学生占调查学生的百分比为：×100%＝60%．所以3000名学生中乘公交的约为：3000×60%＝1800（人）答：3000名学生中乘公交的学生有1800人．【点评】本题考查了条形图和扇形图及用样本估计总体．题目难度不大，看懂条形图和扇形图是解决本题的关键．20．【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出答案．【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝100千米，∴CD＝BC?sin30°＝100×＝50（千米），AC＝＝50（千米），AC+BC＝（100+50）千米，答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走（100+50）千米；（2）∵cos30°＝，BC＝100（千米），∴BD＝BC?cos30°＝100×＝50（千米），CD＝BC＝50（千米），∵tan45°＝，∴AD＝＝50（千米），∴AB＝AD+BD＝（50+50）千米，答：开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走（50+50）千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．21．【分析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A地道B的速度＝客车由普通公路的速度+45，列出方程，解出检验并作答．【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，根据题意得：，解得x＝4经检验，x＝4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．【点评】本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据速度＝路程÷时间列出相关的等式，解答即可．22．【分析】（1）得出AN、AB，利用直角三角形的性质解答即可；（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD＝90°即可；【解答】解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN＝4，∴AM＝MC＝2，∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝∠BCN＝90°，∴△ACN∽△BNC，∵BC＝6，∴AC＝2，∴AB＝2AN＝8，∴∠ABN＝30°，（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝90°，∴∠NCB＝90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD＝NB＝ND，∴∠CND＝∠NCD，∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC，∵∠MNC+∠CND＝90°，∴∠MCN+∠NCD＝90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．【点评】本题考查圆的切线的判定、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据待定系数法得出a，k，b的值，进而得出不等式的解集即可；（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，解得：，所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC＝＝＝．∵＜0，，﹣1＜m＜2，∴当时，S△APB的值最大．∴当时，，S△APB＝，即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）（3）存在三组符合条件的点，当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），可得坐标如下：①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．故：P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
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2019学年第二学期九年级数学练习（十三）
班级________ 姓名______________ 学号_________ 成绩_________
1. 若点P（a，b）在第四象限，则点Q（，）在 ( )
（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限;
2. 两圆的直径分别是4和6，圆心距为2，则这两圆的位置关系是( )
（A）外离；（B）相交；（C）外切；（D）内切;
3. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）
A．； B．； C．；D．1；
4．下列判断正确的是 ( )
（A）对角线相等的四边形是平行四边形；
（B）对角线互相垂直的四边形是平行四边形；
（C）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（D）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形;
5．已知：在△ABC中，∠A = 60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件,现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB = AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“tan B = tan C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的说法有 ( )
（A）3个；（B）2个；（C）1个；（D）0个;
6. 的算术平方根是 _________________
7．若正六边形的边长是1，则它的半径是 _________________
8．在1~9这九个数中，任取一个数能被3整除的概率是 ____________
9．函数的定义域是 ______________
10．如果反比例函数的图像经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于11．已知等腰直角三角形的重心到它的直角顶点的距离为4cm，那么这个重心到此三角形另外两个顶点的距离都是 __________cm
12.已知过（k≠0）图像上一点，作轴、轴的垂线，它们与两坐标轴围成的四
边形的面积是，则的值是_________________
13．如图，在梯形ABCD中，AD // BC，BC = 2AD．设，，那么
___________________________（结果用、的式子表示）
14．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是___ 米
15．如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，我们称这个三角形为“等线三角形”，这条边称为“等线边”．在等线三角形ABC中，AB为等线边，且AB=3，AC=2，那么BC= _______________
16．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E 的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么A E= _________________
17．计算：- cot2300
18. 解方程组：
19．已知：如图，在△ABC中，点在边上，将△沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，点在线段的延长线上，如果，，．
求：（1）的值；（2）的值．
20．某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤120时，具有一次函数的关系，如下表所示．
x50 80 100 120
y40 34 30 26
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果现计划每天比原计划多修建20米，那么可提前15天完成修建任务，求现计划平均每天的修建费．
21．直线过点，与轴交于点，与轴交于点，以点为顶点的抛物线经过点，且交轴于点。
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点在轴上，且△ACD与△PBC相似，求点的坐标；
（3）如果直线与直线关于直线BC对称，求直线的表达式。
22．已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，
cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．
（1）求证：AP=OQ；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．。