河北省邯郸大名县第一中学2020届高考数学模拟试题 文
河北省大名县第一中学2020届高三9月月考数学(理)试题(普通班) Word版含解析
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）已知 P 1,3 ， C1 与 C2 的交点为 A, B ，求 PA PB 的值．
f (x) x a 2x 2 (a R)
23、已知函数
.
（1）当 a 2 时，求不等式 f (x) 2 的解集；
2020 届高三模拟考试试卷
2020 届高三模拟考试试卷
c ln 1 ln3 lne 1
3
，即 c 1 0 b 1 2 a a b c 本题正确选项： A
6、【答案】C
【解析】解： A 60 ， a 4 3 ， b 4
2020 届高三模拟考试试卷
2020 届高三模拟考试试卷
sin B b sin A 4 sin 60 1
sin
3x
3
3x
，由
3
k
2
，
x k 5
x 5
k Z ，得 3 18 ， k Z ，取 k 0 ，得 18 为其中一条对称轴.故选 A.
8、【答案】C
【解析】试题分析： Sn1 Sn an 3 an1 an 3 an 为等差数列，公差为 3，所
由正弦定理得：
a
43 2
a b
B 60
B 30故选 C.7、【答案】A【解析】解：
f
(x)
2 sin
3x
2 3
的周期为
2 3
，图象向右平移
1 2
个周期后得到的函
数为
g
x
，则
g
河北省大名县一中中学2020-2021学年高考考前提分仿真卷含解析【附17套高考模拟卷】
河北省大名县一中中学2020-2021学年高考考前提分仿真卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -2．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )A ．1B ．2C ．3D ．63．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1035．若x，y满足约束条件-0210x yx yx≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z=32xy++的取值范围为（）A．[2453，] B．[25，3] C．[43，2] D．[25，2]6．已知F是双曲线22:4||C kx y k+=（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）A．2k B．4k C．4 D．27．若样本1231,1,1,,1nx x x x++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22nx x x x++++，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为88．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A．(722+πB．(1022+πC．(1042+πD．(1142+π9．集合{|20}NA x x B=-≤=，，则A B=（）A．1B．1,2C．0,1D．0,1,2A ．2-或2 B ．-1或1 C ．1 D ．211．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河北省邯郸市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年河北省邯郸市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|(x +1)(x −3)≤0}，则A ∩B =( )A. (−3,3]B. [−3,1)C. (−1,3)D. [−1,1)2. 若复数z =2i+4i−1，则z =( ) A. −1+3i B. −1−3i C. 1+3i D. 1−3i3. 若3m =b ，则log 32b =( )A. 2mB. m 2C. m 2D. √m4. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. CA ⃗⃗⃗⃗⃗C. BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 数学考试中，甲、乙两校的成绩平均分相同，但甲校的成绩比乙校整齐，若甲、乙两校的成绩方差分别为s 12和s 22，则( )A. s 12>s 22B. s 12<s 22C. s 12=s 22D. s 1>s26. 在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+√2ac ，√2cosA +cosC 的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 7. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为4，离心率为√3，则其虚轴长为( ) A. 8√2 B. 4√2 C. 2√2 D. 4√638. 已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，则四棱锥的四个面中，互相垂直的面共有( )A. 5组．B. 4组．C. 3组．D. 6组．9. 已知x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0，若z =x +λy 的最小值为6，则λ的值为( )A. 2B. 4C. 2和4D. [2,4]中的任意值10. 设抛物线y 2=16x 的焦点为F ，经过点P(1,0)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF|+4|BF|=( )A. 18B. 20C. 24D. 2611. 设函数f(x)={3−x ,x ≤0f(x −1),x >0，则方程f(x)=x +2实根的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 4个以上12. 已知定义在R 上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R 上恒成立，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为( )A. (−1,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 某班级的学生中，是否有外省市旅游经历的人数情况如右表所示．从这个班级中随机抽取1人，则抽到的人是男生的概率为____；若已知抽到的人有外省市旅游经历，则该学生是男生的概率为_________．14. 在等比数列{a n }中，已知a 3=4，a 7−2a 5−32=0，则a 7=______ ．15. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)−cosωx(ω>0).若函数f(x)的图象关于直线x =2π对称，且在区间[−π4,π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ．16. 已知三棱锥S −ABC 中，SA =BC =√41,SB =AC =√29,SC =AB =√30，则该三棱锥的外接球表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，且满足a n+1=S n +2n+1(n ∈N ∗)．(1)证明：数列{S n 2n}为等差数列 (2)求S 1+S 2+S 3+⋅⋅⋅+S n ．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=√2，AC=2，∠BAC=∠A1AC=45°，∠BAA1=60°，F为棱AC的中点，E在棱BC上，且BE=2EC．(Ⅰ)求证：A1B//平面EFC1；(Ⅱ)求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．19.甲、乙两公司在A、B两地同时生产某种大型产品(这两个公司每天都只能固定生产10件产品)，在产品发货给客户使用之前需要对产品进行质量检测，检测结果按等级分为特等品，一等品，二等品，报废品．只有特等品和一等品是合格品，且可以直接投入使用，二等品需要加以特别修改才可以投入使用，报废品直接报废，检测员统计了甲、乙两家公司某月30天的生产情况及每件产品盈利亏损情况如下表所示：检测结果特等品一等品二等品报废品甲公司产品件数210542016乙公司产品件数240182814每件特等品每件一等品每件二等品报废品甲公司盈2万元盈1万元亏1万元亏2万元乙公司盈1.5万元盈0.8万元亏1万元亏1.2万元(1)分别求甲、乙两个公司这30天生产的产品的合格率(用百分数表示)．(2)试问甲、乙两个公司这30天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由．(3)若从乙公司这30天生产的不合格产品中随机抽取2件产品，记抽取二等品的件数为X，求X的分布列及期望．20.已知函数f(x)=xe x，g(x)=x2−x−a，a∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)+g(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．21.已知椭圆x2+y2=1及定点E(−1,0)，直线l：y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，且以3CD为直径的圆过点E，求直线l的方程．22.在直角坐标系xOy中，直线l的斜率为1，在y轴截距为a−3，圆C的标准方程为(x−3)2+(y−43)2=4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程；(ρ>0)与直线l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB (Ⅱ)若射线θ=π3的中点，求a的值．23.已知函数f(x)=|x+3|−|m−x|(m∈R)．(1)当m=2时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若不等式f(x)≤6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，∴A∩B={x|−1≤x<1}=[−1,1)．故选：D．先求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：∵z=2i+4i−1=(4+2i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=−2−6i2=−1−3i，∴z=−1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得z=−1−3i，则z=−1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．3.答案：B解析：解：∵3m=b，∴m=log3b∴log32b=12log3b=m2．故选：B．先求出m=log3b，由此能求出log32b的值．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．4.答案：A解析：解：由平面向量加法的平行四边形法则，可知在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．直接利用平面向量的加法的法则写出结果即可．本题考查向量的平行四边形法则的应用，是基础题．5.答案：B解析：∵甲乙两校的成绩平均分相同，但甲校的成绩比乙校整齐， ∴甲校的方差比乙校的成绩方差小即s 12<s 22，故选B .6.答案：A解析：本题考查运用余弦定理、两角和与差的三角函数公式求三角函数式的最大值，属于考查运用知识解决问题的能力及计算能力的题．解：在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+√2ac ，可得a 2+c 2−b 2=√2ac ，由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=√22， 由0<B <π，可得B =π4，A +C =3π4，C =3π4−A ，则√2cosA +cosC =√2cosA +cos(3π4−A)=√2cosA −√22cosA +√22sinA =√22cosA +√22sinA =cos(A −π4)，由0<A <3π4，可得−π4<A −π4<π2， 则A =π4时，cos(A −π4)取得最大值1．故选A ．7.答案：B解析：根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．解：根据题意，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=√3，则有e=ca=√3，则c=√3a=2√3，则b=√c2−a2=2√2，则该双曲线的虚轴长2b=4√2；故选：B．8.答案：A解析：本题考查了面面垂直的判定定理，属于基础题.根据线面之间的关系对四个选项进行判断即可，解：PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD；由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，由底面ABCD为正方形，得AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；又因为AD//BC，所以AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB；由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由底面ABCD 为正方形，得CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，所以互相垂直的面共有5组，故选A ．9.答案：B解析：解：x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0的可行域如图：z =x +λy 的最小值为6，可知目标函数恒过(6,0)点，由可行域可知目标函数经过A 时，目标函数取得最小值．由{x +y −6=0x −2y =0解得A(2,1)， 可得：2+，λ=6，解得λ=4．故选：B ．画出约束条件的可行域，利用的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．10.答案：C解析：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A ，B 的横坐标．属于中档题．根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A ，B 的横坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+4|BF|．解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则∵P(1,0)∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 2,−y 2)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1) ∵2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2(1−x 2,−y 2)=(x 1−1,y 1)∴x 1+2x 2=3，−2y 2=y 1，将A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)代入抛物线y 2=16x ，可得y 12=16x 1，y 22=16x 2，又∵−2y 2=y 1，∴4x 2=x 1，又∵x 1+2x 2=3，解得x 2=12，x 1=2，∵|AF|+4|BF|=x 1+4+4(x 2+4)=2+4+4×(12+4)=24．故选：C ． 11.答案：A解析：解：由f(x)=x +2，设函数y =f(x)和y =x +2，当x ≤0，此时，f(x)=3−x ，当x >0时，f(x)=f(x −1)，函数f(x)的周期为1，作出函数f(x)的图象如图：∵f(−1)=31=3，∴f(0)=1，画出函数y =f(x)与y =x +2的图象如图：两个函数的图象只有2个交点．方程f(x)=x +2实根的个数是：2个．故选：A ．作出函数y=f(x)和y=x+a的图象，利用两个函数的图象确定a的取值范围即可．本题主要考查函数图象的应用，将方程根的个数转化为函数交点个数是解决本题的关键，利用数形结合是解决此问题的突破点．12.答案：D解析：解：定义在R上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R上恒成立，可知函数f(x)是减函数，函数y=f(|x|)是偶函数，当x>0时，可得x>1，当x<0时，可得x<−1，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．故选：D．利用函数的导数判断函数的单调性，结合不等式转化求解即可．本题考查函数的导数判断函数的单调性，不等式的解法，考查计算能力．13.答案：1532;2 5 .解析：本题考查古典概型概率计算公式的运用，属于基础题．利用古典概型概率计算公式直接求解即可．解：因为6+9+9+8=32(人)这个班级的32人中随机抽取1人，则抽到的人是男生的情况有6+9=15种，故抽到男生的概率为1532；从外省市旅游经历的6+9=15人中抽取一人，其中是男生的共有6种情况，故是男生的概率为615=25．故答案为1532;2 5 .14.答案：64解析：本题考查等比数列的通项公式和等比数列的性质，是基础题．利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，再利用等比数列的性质求出a7．解：在等比数列{a n}中，∵a3=4，a7−2a5−32=0，∴a1q2=4，a1q6−2a1q4−32=0，∴4q4−8q2−32=0，解得q2=4或q2=−2(舍)，∴a7=a3q4=4q4=4×16=64．故答案为64．15.答案：{13,56,34}解析：本题考查了两角和与差的三角函数公式，和正弦型函数的图像和性质，首先要熟悉公式，然后在本题中由单调性列出不等式是关键．解：函数f(x)=sin(ωx+π6)−cosωx(ω>0)化简可得，f(x)=sinωxcos π6+cosωxsinπ6−cosωx=√32sinωx−12cosωx=sin(ωx−π6 )∵f(x)的图像关于直线x=2π对称，∴2πω−π6=π2+kπ,k∈z∴ωk+232=3k+26......①∵f(x)在区间[−π4,π4]上是单调函数，当f(x)在区间[−π4,π4]上是单调递增时，可以得到，{2kπ−π2≤−π4ω−π62kπ+π2≥π4ω−π6,解得{ω≤8k+83ω≤−8k+43，∵ω>0,∴0<ω≤43......②由①得：当k=0时,ω=13,满足②式,当k=1时,ω=56,满足②式,当k=2时,ω=43,满足②式,所以ω的取值集合为{13,56,34}，故答案为{13,56,34}16.答案：50π解析：解：将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，由题意可得a2+b2=41，b2+c2=29，c2+a2=30，设三棱锥的外接球的半径为R，则4R2=a2+b2+c2=50，所以该外接球表面积为50π．故答案：50π．构造长方体，使得面上的对角线长分别为√41，√29，√30，则长方体的对角线长等于三棱锥S−ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥S−ABC外接球的表面积．本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．17.答案：(1)证明：由S n+1−S n=a n+1得S n+1−S n=S n+2n+1，即S n+1−2S n=2n+1，整理得S n+12n+1−S n 2=1，因为n=1时，S12=a12=1，所以数列{S n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列；(2)解：由(1)可知，S n2n=n，即S n=n·2n，令T n=S1+S2+⋯+S n，Tn=1·2+2·22+⋯+(n−1)·2n−1+n·2n①2Tn=1·22+2·23…+(n−1)·2n+n·2n+1②，①−②，得−T n=2+22+⋯+2n−n·2n+1，整理得T n=2+(n−1)·2n+1．解析：本题考查了“构造法”、等差数列的通项公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由条件可知，S n+1−S n=S n+2n+1，整理得S n+12n+1−S n2n=1，即可证明；(2)由(1)可知，S n2=n，即S n=n·2n，利用“错位相减法”即可求和．18.答案：证明：(Ⅰ)法一：连接A1C交C1F于D，连接DE，因为A1DDC =A1C1FC=BEEC=21，所以A1B//DE，又A1B⊄平面EFC1，DE⊂平面EFC1，所以A1B//平面EFC1．法二：如图所示，取BE的中点D，取B1C1的靠近B1的三等分点D1，连接AD、A1D1、D1B、D1D，因为B1D1//BD，且B1D1=BD，所以四边形B1D1DB为平行四边形，所以DD1//BB1，又因为AA1//BB1，所以AA1//1，又AA1=BB1=DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1//AD，又EF为△CAD的中位线，所以EF//AD，所以A1D1//EF，因为C1D1=BE，C1D1//BE，所以四边形C1D1BE为平行四边形，所以D1B//C1E，又因为A1D1⊂平面A1D1B，BD1⊂平面A1D1B，EF⊂平面EFC1，C1E⊂平面EFC1，A1D1∩D1B=D1，EF∩C1E=E，所以平面A1D1B//平面EFC1，又A1B⊂平面A1D1B，所以A1B//平面EFC1，解：(Ⅱ)连接A1F，BF，由AB=AA1=√2，AF=1，∠BAC=∠A1AC=45°，由余弦定理可得：A1F=BF=1，又∠BAA1=60°，所以A1B=√2，所以由勾股定理可得A1F⊥AC，A1F⊥BF，又BF∩AC=F，且BF⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1F⊥平面ABC，所以A1F是三棱柱ABC−A1B1C1的高．又S△ABC=12×√2×2×√22=1，所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积：V=S△ABC×A1F=1×1=1．解析：(Ⅰ)法一：连接A1C交C1F于D，连接DE，推导出A1B//DE，由此能证明A1B//平面EFC1．法二：取BE的中点D，取B1C1的靠近B1的三等分点D1，连接AD、A1D1、D1B、D1D，推导出四边形B1D1DB为平行四边形，四边形AA1D1D为平行四边形，从而EF//AD，A1D1//EF，四边形C1D1BE 为平行四边形，从而D1B//C1E，进而平面A1D1B//平面EFC1，由此能证明A1B//平面EFC1，(Ⅱ)连接A1F，BF，推导出A1F是三棱柱ABC−A1B1C1的高．由此能求出三棱柱ABC−A1B1C1的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)甲公司这30天生产的产品的合格率为：210+5430×10=88%，乙公司这30天生产的产品的合格率为：240+1830×10=86%． (2)甲公司这30天生产的产品的总利润更大，理由如下：甲公司这30天生产的产品的总利润为210×2+54×1−20×1−16×2=422(万元)， 乙公司这30天生产的产品的总利润为240×1.5+18×0.8−28×1−14×1.2=329.6(万元)， 因为422万>329.6万，所以甲公司这30天生产的产品的总利润更大， (3)由题意知X 的可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=C 142C 422=13123，P(X =1)=C 281C 141C 422=56123，P(X =2)=C 282C 422=1841， 则X 的分布列为：故 E (X)=0×13123+1×56123+2×1841=43．解析：本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查计算能力，属于中档题． (1)计算合格品数量与产品总数的比值即可； (2)分别计算利润，比较即可；(3)由题意可知X 的可能取值为0，1，2，分别求出其概率，列出分布列，求出数学期望．20.答案：(Ⅰ)f′(x)=e x (x +1)，令f′(x)=0得x =−1，当x <−1时，f′(x)<0；当x >−1时，f′(x)>0，所以函数f(x)的递减区间为(−∞,−1]，递增区间为(−1,+∞)； (Ⅱ)f(x)+g(x)≥0恒成立等价于a ≤xe x +x 2−x ， 令F(x)=xe x +x 2−x ，则F′(x)=xe x +e x +2x −1， F′(x)为增函数且满足F′(0)=0，显然当x >0时，F′(x)>0；当x <0时F′(x)<0；当x =0时F′(x)=0， 所以F(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增， ∴F(x)≥F(0)=0，∴a ≤F(0)=0，故a 的取值范围是(−∞,0]． 解析：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过解关于导函数的不等式，从而求出函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)f(x)+g(x)≥0恒成立等价于a ≤xe x +x 2−x ，令F(x)=xe x +x 2−x ，通过求导得到函数F(x)的单调性，从而判断出a 的范围．21.答案：解：由{y =kx +2x 2+3y 2−3=0得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0． ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0①，设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②， 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4． 要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时， 则y 1x 1+1⋅y 2x 2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0． ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0③，将②式代入③整理解得k =76.经验证，k =76，使①成立． 综上可知，直线l 的方程为y =76x +2．解析：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD 为直径的圆过E 点，则CE ⊥DE ，将它们联立消去x 1，x 2即可得出k 的值．22.答案：解：(Ⅰ)由点斜式方程得直线l 的方程为x −y +a −34=0，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入以上方程中，所以，直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθa −34=0． 同理，圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0． (Ⅱ)在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3),A(ρ2,π3),B(ρ3,π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0可得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，所以ρ2+ρ3=3+3√3．因为点M恰好为AB的中点，所以ρ1=3+3√32，即M(3+3√32,π3 )．把(3+3√32,π3)代入ρcosθ−ρsinθa−34=0，得3(1+√3)2×1−√32+a−34=0．所以a=94．解析：(Ⅰ)利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用二次方程组和中点坐标求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二次方程的应用．23.答案：解：(1)当m=2时，f(x)≥3，即|x+3|−|2−x|≥3，①当x<−3时，得−5≥3，所以x∈⌀；②当−3≤x≤2时，得x+3+x−2≥3，即x≥1，所以1≤x≤2；③当x>2时，得5≥3，成立，所以x>2．故不等式f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．(2)因为|x+3|−|m−x|≤|x+3+m−x|=|m+3|，由题意得|m+3|≤6，则−6≤m+3≤6，解得−9≤m≤3．故m的取值范围是[−9,3]．解析：(1)当m=2时，不等式变为|x+3|−|2−x|≥3，去掉绝对值符号，转化求解即可．(2)利用绝对值的几何意义，得到|m+3|≤6，即可求解m的范围．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。
河北省大名县第一中学2020届高三9月月考数学(文)试题(清北班二) Word版含答案
一轮复习阶段性检测（二)范围：集合、简易逻辑、函数导数、向量、数列、三角函数及解三角形、不等式、立体几何 命题人：安素敏一、单选题(每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x|－3x<0}，B ＝{1，a}，且A∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 2．已知为虚数单位，实数，满足，则（ ）A ．4B ．C ．D ．3．条件，条件，则是的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 4．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰的直角三角形 D ．等腰直角三角形 5．在中，，，则C 的取值范围是 （ ） A ．B ．C ．D ．6．已知向量,a b 的夹角是3π， 2,1a b ==，则a b a b +⋅-的值是A B ．23 C ．5 D ．26 7．已知函数()()936,10{,10x a x x f x a x ---≤=>，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是A ．(1,3)B ．(]1,2 C ．(2,3) D ．24,311⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知，则A ．B ．C ．D ．9．已知数列{}n a 满足：11,7a =对于任意的n *∈N ，17(1),2n n n a a a +=-则14131314a a -= A ．27- B ．27 C ． 37- D ．3710．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是()A ．24 cm 2B ．643cm 2 C．(6+cm 2 D．(24+cm 2 11．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()y f x =在()0+∞，上非负且可导，满足， ()()21xf x f x x x +≤-+-',若0a b <<,则下列结论正确的是( )A ．()()af b bf a ≤B ．()()af b bf a ≥C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤ 二、填空题（每题5分，共20分）13．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且733n n S n T n +=+，则2519248101418b +b +b +b a a a a +++=__________（用最简分数做答）．14．已知，实数满足若的最大值为2，则实数______．15．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________. 16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= __ ___.F ED 1C 1B 1B CD A 1A三、解答题 17．（10分）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角的对边,,A B C ， 2a c =. （1）若,2B D π=为AC 的中点，求cos BDC ∠；（2）若()2222222cos a b cA bc +-=+，判断ABC ∆的形状，并说明理由.18．（12分）已知公比为q 的等比数列{}n a 前6项和为621S =，且122342a a a 、、成等差数列.（1）求n a ；（2）设{}n b 是首项为2，公差为1a -的等差数列，其前n 项和为n T ，求不等式0n n T b ->的解集.19．（12分）如图，已知D 是ABC ∆边BC 上一点. （1）若45B =，且1AB DC ==，求ADC ∆的面积；（2）当90BAC ∠=时，若::2BD DC AC =AD =DC 的长.20．（12分）如图所示，四棱锥ABCD P -,底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥面ABCD ，2=PA ,过点A 作F PC AF E PB AE 于于⊥⊥,,连接EF ．（Ⅰ）求证：AEF PC 面⊥；（Ⅱ）若面AEF 交侧棱PD 于点G ，求多面体AEFG P -的体积.21．（12分）已知函数，其中为常数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在实数,使的极大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22．（12分）已知函数.（I ）求f （x ）的单调区间及极值； （II ）若关于x 的不等式恒成立，求实数a 的集合.参考答案BDABA ACDDD AA 13．319 14．1 15．丙 16．3217（1）依题意，由,22B a c π==，可得sin A =D 为AC 的中点， 2B π=，故BD AD =，所以2BDC A ∠=，故23cos cos212sin 5BDC A A ∠==-=-. （2）因为()2222222cos b cA b c a -=+-，由余弦定理可得， ()2222cos 2cos b c A bc A -=①cos 0A =时， ,2A ABC π=∆为直角三角形；②当()2222cos 2b cA bc -=时，即()()222020bbc c b c b c --=⇒+-=，因为,0b c >，故2b c =， ABC ∆为直角三角形 ③因为2a c =，所以2b c =与2A π=不可能同时成立，故ABC ∆不可能是等腰直角三角形，综上所述， ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，但不可能是等腰直角三角形.18．（1）122342a a a 、、成等差数列， 12243a a a ∴+=，即1242,2a a q =∴=.则()616122112a S -==-，解得1112,33n n aa -=∴=. （2）由（1）得()1117,21333n na b n -⎛⎫-=-∴=+--=⎪⎝⎭， ()211321236n n n nT n n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，()()114006n nn n T b --->⇒->，解得()*114n n N <<∈，即不等式0n n T b ->的解集为*{|114}n N n ∈<<.19、(1)过A 点作AE BD ⊥于E ，则 AE=AB45sin2=, 则122ADC AE DC ∆==的面积（2）,2,,DC a BD a AC ===设则所以cos AC ACB BC ∠== 因此由2222cos AD AC CD AC CD ACB =+-⋅⋅∠得22223216,4, 4.a a a a a DC =+-⋅=== 20、（Ⅰ）证明： PA ⊥面ABCD,BC 在面ABCD 内， ∴ PA ⊥BC BA ⊥BC,PA∩BA=A,∴BC ⊥面PAB ， 又∵AE 在面PAB 内∴ BC ⊥AE AE ⊥PB,BC∩PB=B,∴AE ⊥面PBC 又∵PC 在面PBC 内∴AE ⊥PC, AF ⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC ⊥面AEF 6分（Ⅱ） PC ⊥面AEF, ∴ AG ⊥PC, AG ⊥DC ∴PC∩DC=C AG ⊥面PDC, ∵GF 在面PDC 内∴AG ⊥GF △AGF 是直角三角形， 由（1）可知△AEF 是直角三角形，AE=AG=2,EF=GF=36 ∴33=∆AEF S , 33=AGF S 又AF=362,∴332=AEFG S , PF=332∴9433233231=⨯⨯=-AEFG P V 13分 考点：线面垂直的证明，体积求解. 21、（1），，，，则曲线在处的切线方程为.（2）的根为，，当时，，在递减，无极值；当时，，在递减，在递增；为的极大值，令，，在上递增，，不存在实数，使的极大值为.22．（I）函数的定义域为.因为，1分令，解得，2分当时，；当时，，3分所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分故在处取得极小值. 5分（II）由知，. 6分①若，则当时，，即与已知条件矛盾；7分②若，令，则，当时，；当时，，所以，9分所以要使得不等式恒成立，只需即可，再令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减；在上单调递增，即，所以，综上所述，的取值集合为. 12分。
2020届河北省大名县第一中学高三12月月考数学(文)试题(PDF版)
2020届河北省大名县第一中学高三12月月考数学（文）试题一、单选题(每题5分，共60分）1．设集合{A x y ==，集合{}220B x x x =->，则()R A B ⋂ð等于（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．()0,1D ．∅2．已知复数11iz i+=-，则i z +=（ ） A ．0 B ．1 C D ．2 3．若sin 78m =，则sin 6=（）A B C D 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A ．23岁 B ．32岁C ．35岁D ．38岁5．在ABC ∆中，60,3,2BAC AB AC ∠=︒==，若D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则BE AC ⋅=（ ）A ．54-B ．12- C ．43 D ．43- 6．执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出,a b 的值分别为（ ） A ．sin1,cos1B ．sin1,sin1C ．cos1,cos1D ．cos1,sin17．函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．（6题图）8．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 9．已知函数()2sin cos (0)66f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，把()f x 的图像上各点向左平移6π个单位长度得到函数()g x ，则()g x 的一条对称轴为（ ） A ．0x =B ．3x π=C ．2x π=D ．34x π=10．已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与直线22x a b+=相切，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．3 B C D ．211．三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形.若球O 的表面积为16π，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A B C ．D ．12．已知对任意的21[,e ]ex ∈，不等式2e x ax >恒成立（其中e 2.71828=是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．e(0,)2B ．(0,e)C ．(,2e)-∞-D ．24(,)e -∞ 二、填空题（每题5分，共20分） 13．抛物线212y x =的准线方程是_____. 14．已知1x =是函数2()()x f x x ax e =+的一个极值点，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为__________．15．若,x y 满足约束条件2101010x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则2y z x +=的取值范围为___________．16．已知在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为__________． 三、解答题17．已知数列{}n a 满足()*1102n n a a n N +-=∈，且234,2,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()*11111n n n b n N a a +=-∈--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围. 18．在ABC ∆ C 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且,,A B C 成等差数列． （1）若32AB BC ⋅=-，b =ac +的值；（2）求2sin sin A C -的取值范围． 19．如图，在三棱锥P ABC -中PA ⊥底面ABC ，D 为BC 上一点，24AC AB ==，BD CD ==（1）证明：AD ⊥平面PAB .（2）若A 到PB 的距离等于AD ，求三棱锥P ABC -的体积.20．某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1）经分析发现可用线性回归模型拟合当地该商品销量y （百件）与返还点数t 之间的相关关系. 请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+，并预测若返回6个点时该商品每天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整. 已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：（ⅰ）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X 的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0. 1）；（ⅱ）将对返点点数的心理预期值在[)1,3和[)11,13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，设抽出的2人中，至少有一个人是“欲望膨胀型”消费者的概率是多少？ 参考公式及数据：①1221ni ii nii t y nt yb tnt==-=-∑∑，a y bt =-；②5118.8i ii t y==∑.21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆O ：222(0)x y r r +=>与x 轴交于点M ，N ，P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆. （1）求圆O 与椭圆E 的方程； （2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点A ，B ，求AB 的取值范围. 22．已知函数()ln f x x ax =+(1)讨论函数()f x 的单调性； (2)当0a <时，求函数()f x 的零点个数．参考答案CDBCA DACDD AA 13． 12y =-14．32- 15．4(,2],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 1617．（1）2n n a =（2）213n T -<≤- 【详解】 （1）由1102n n a a +-=知()*12,n n a n N a +=∈∴数列{}n a 是等比数列，且公比为2q =. 234,2,a a a +成等差数列，()()32411122,24228a a a a a a ∴+=++=+ 12a ∴=2n n a ∴=（2）122311111111n T a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪⎪----⎝⎭⎝⎭ 11111111111n n n a a a a ++⎛⎫+⋯+-=- ⎪----⎝⎭ 1111111221n n ++=--=---易知n T 单调递减，123n T T ∴≤=- 当n →+∞时， 1n T →-n T ∴的取值范围为213n T -<≤-18．（1）2）(2-. 【详解】（1）因为,,A B C 成等差数列，所以3B π=．因为32AB BC ⋅=-，所以3cos()2ac B π-=-，所以1322ac =，即3ac =．因为b =，2222cos b a c ac B =+-，所以223a c ac +-=，即2()33a c ac +-=． 所以2()12a c +=，所以a c +=． （2）22sin sin 2sin()sin 3A C C C π-=--＝1cos sin )sin 22C C C C =+-=．因为203C π<<(C ∈．所以2sin sin A C -的取值范围是(． 19．（1）见解析；（2）4 【详解】（1）证明：在ABC ∆中，24AC AB ==，BD CD ==cos ABC ∠==所以在ABD ∆中，2472237AD =+-⨯=，故AD =因为222437AB AD BD +=+==，所以AB AD ⊥. 因为PA ⊥底面ABC ，所以PA AD ⊥， 又PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB .（2）过点A 作AE PB ⊥，垂足为E ，则AE AD ==.在Rt PAB ∆中，设PA a =，则PB ==因为AB AP PB AE ⨯=⨯，则2a =()22434a a =+，解得212a =，所以PA a ==所以13P ABC ABC V S PA -∆=⨯⨯123ABD S PA ∆=⨯⨯1122432=⨯⨯⨯=.20．（1）0.320.08y t =+，2百件.（2）平均数为6，中位数为5.7；（ⅱ）35【详解】 （1）123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455t y ++++++++====，522222211234555ii t==++++=∑，()()()551155222211518.853 1.04ˆ0.3255553iiii i i i ii i t t y y t y t ybt t tt ====----⨯⨯===-⨯--=∑∑∑∑，ˆ 1.040.3230.08a y bt =-=-⨯=， 则y 关于t 的线性回归方程为0.320.08y t =+，当6t =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（2）（i ）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X 的平均值x ，及中位数的估计值分别为：20.140.360.380.15100.1120.056x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 中位数的估计值为10020602525 5.7603--+⨯=+≈（ⅱ）由题可知，6人中“欲望紧缩型”消费者人数为：2643⨯=人，“欲望膨胀型”消费者人数为：1623⨯=人，则抽出的两人中至少有1人是“欲望膨胀型”消费者的概率是：1124222635C C C p C +== 21．(1) 圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=.(2)[3,3. 详解：(1)因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b y b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=. 当0y b =时，()12PMN max S ab ∆==② 由①，②解得2a =，所以b =，1c =.所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=.(2)①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得331,,1,,322A B AB ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m A x kx m B x kx m =+++.因为直线l1=，即221m k=+，联立22143x yy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y可得()2224384120k x kmx m+++-=，()()22221212228412 484348320,,4343km m k m k x x x xk k-∆=+-=+>+=-=++.AB===令2134tk=+，则213344tk<=≤+，所以AB43t<≤，所以AB，所以33AB<≤.综上，AB的取值范围是⎡⎢⎣⎦.22．（1）当0a≥时，()f x在(0,)+∞上单调递增；当0a<时，()f x在1(0,)a-上递增，在1(,)a-+∞上递减．（2）当1ae<-时，函数()f x没有零点；当1ae=-时，函数()f x有一个零点；当1ae-<<时，函数()f x有两个零点．【详解】()f x的定义域为()0,+∞．(1)()11'axf x ax x+=+=，①当0a≥时，()'0f x>，故()f x在()0,+∞上单调递增；②当0a<时，令()'0f x=，则1xa=-，在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上，()'0f x >，()f x 单调递增， 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()'0f x <，()f x 单调递减． 综上所述：当0a ≥时， ()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．(2) 由(1)可知，当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．故()max 111f x f ln a a ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①当11ln a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即1a e <-时，10f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时函数()f x 没有零点． ②当11ln a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1a e =-时，10f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时函数()f x 有一个零点． ③当11ln a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即10a e -<<时，10f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令01b <<且1b a<-，则ln 0b <，()ln ln 0f b b ab b =+<<， 故()10f b f a ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故()f x 在1,b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点；再者，22111112f ln ln a a a a a⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1t a =-，则(),t e ∈+∞；再令()2ln g t t t =-，(),t e ∈+∞ 则()2'10g t t=-<，故()g t 在(),e +∞上单调递减，故()()20g t g e e <=-<，210f a ⎛⎫<⎪⎝⎭． 故2110f f a a ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在211,a a⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点． 故()f x 在()0,+∞上有两个零点．综上所述：当1ae<-时，函数()f x没有零点；当1ae=-时，函数()f x有一个零点；当1ae-<<时，函数()f x有两个零点．。
2020届河北省大名县第一中学高三12月月考数学(文)试题
2020届河北省大名县第一中学高三12月月考数学（文）试题一、单选题(每题5分，共60分）1．设集合{A x y ==，集合{}220B x x x =->，则()R A B ⋂ð等于（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．()0,1D ．∅2．已知复数11iz i+=-，则i z +=（ ） A ．0 B ．1 C D ．2 3．若sin 78m =，则sin 6=（）A B C D 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A ．23岁 B ．32岁 C ．35岁D ．38岁5．在ABC ∆中，60,3,2BAC AB AC ∠=︒==，若D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则BE AC ⋅=（ ）A ．54-B ．12- C ．43 D ．43- 6．执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出,a b 的值分别为（ ） A ．sin1,cos1B ．sin1,sin1C ．cos1,cos1D ．cos1,sin17．函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．（6题图）8．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 9．已知函数()2sin cos (0)66f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，把()f x 的图像上各点向左平移6π个单位长度得到函数()g x ，则()g x 的一条对称轴为（ ） A ．0x =B ．3x π=C ．2x π=D ．34x π=10．已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与直线22x a b+=相切，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．3 B C D ．211．三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形.若球O 的表面积为16π，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A B C ．D ．12．已知对任意的21[,e ]ex ∈，不等式2e x ax >恒成立（其中e 2.71828=是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．e (0,)2B ．(0,e)C ．(,2e)-∞-D ．24(,)e -∞ 二、填空题（每题5分，共20分） 13．抛物线212y x =的准线方程是_____. 14．已知1x =是函数2()()x f x x ax e =+的一个极值点，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为__________．15．若,x y 满足约束条件2101010x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则2y z x +=的取值范围为___________．16．已知在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为__________． 三、解答题17．已知数列{}n a 满足()*1102n n a a n N +-=∈，且234,2,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()*11111n n n b n N a a +=-∈--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围. 18．在ABC ∆ C 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且,,A B C 成等差数列． （1）若32AB BC ⋅=-，b =ac +的值；（2）求2sin sin A C -的取值范围． 19．如图，在三棱锥P ABC -中PA ⊥底面ABC ，D 为BC 上一点，24AC AB ==，BD CD ==（1）证明：AD ⊥平面PAB .（2）若A 到PB 的距离等于AD ，求三棱锥P ABC -的体积.20．某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1）经分析发现可用线性回归模型拟合当地该商品销量y （百件）与返还点数t 之间的相关关系. 请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+，并预测若返回6个点时该商品每天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整. 已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：（ⅰ）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X 的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0. 1）；（ⅱ）将对返点点数的心理预期值在[)1,3和[)11,13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，设抽出的2人中，至少有一个人是“欲望膨胀型”消费者的概率是多少？ 参考公式及数据：①1221ni ii nii t y nt yb tnt==-=-∑∑，a y bt =-；②5118.8i ii t y==∑.21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆O ：222(0)x y r r +=>与x 轴交于点M ，N ，P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆. （1）求圆O 与椭圆E 的方程； （2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点A ，B ，求AB 的取值范围. 22．已知函数()ln f x x ax =+(1)讨论函数()f x 的单调性； (2)当0a <时，求函数()f x 的零点个数．参考答案CDBCA DACDD AA13．12y =- 14．32- 15．4(,2],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 1617．（1）2nn a =（2）213n T -<≤-【详解】 （1）由1102n n a a +-=知()*12,n n a n N a +=∈∴数列{}n a 是等比数列，且公比为2q =. 234,2,a a a +成等差数列，()()32411122,24228a a a a a a ∴+=++=+ 12a ∴= 2n n a ∴=（2）122311111111n T a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪⎪----⎝⎭⎝⎭ 11111111111n n n a a a a ++⎛⎫+⋯+-=- ⎪----⎝⎭ 1111111221n n ++=--=---易知n T 单调递减，123n T T ∴≤=- 当n →+∞时， 1n T →-n T ∴的取值范围为213n T -<≤-18．（1）2）(2-. 【详解】（1）因为,,A B C 成等差数列，所以3B π=．因为32AB BC ⋅=-，所以3cos()2ac B π-=-，所以1322ac =，即3ac =．因为b =2222cos b a c ac B =+-，所以223a c ac +-=，即2()33a c ac +-=． 所以2()12a c +=，所以a c +=． （2）22sin sin 2sin()sin 3A C C C π-=--＝1sin )sin 2C C C C =+-=．因为203C π<<(C ∈．所以2sin sin A C -的取值范围是(． 19．（1）见解析；（2）4 【详解】（1）证明：在ABC ∆中，24AC AB ==，BD CD ==2cos7ABC ∠==，所以在ABD ∆中，2472237AD =+-⨯=，故AD =因为222437AB AD BD +=+==，所以AB AD ⊥. 因为PA ⊥底面ABC ，所以PA AD ⊥， 又PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB .（2）过点A 作AE PB ⊥，垂足为E ，则AE AD ==在Rt PAB ∆中，设PA a =，则PB ==因为AB AP PB AE ⨯=⨯，则2a =，即()22434a a =+，解得212a =，所以PA a ==所以13P ABC ABC V S PA -∆=⨯⨯123ABD S PA ∆=⨯⨯1122432=⨯⨯⨯=.20．（1）0.320.08y t =+，2百件.（2）平均数为6，中位数为5.7；（ⅱ）35【详解】 （1）123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455t y ++++++++====，522222211234555ii t==++++=∑，()()()551155222211518.853 1.04ˆ0.3255553ii i i i i i ii i tty y t y t ybt t tt ====----⨯⨯===-⨯--=∑∑∑∑，ˆ 1.040.3230.08a y bt =-=-⨯=，则y 关于t 的线性回归方程为0.320.08y t =+，当6t =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（2）（i ）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X 的平均值x ，及中位数的估计值分别为：20.140.360.380.15100.1120.056x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 中位数的估计值为10020602525 5.7603--+⨯=+≈（ⅱ）由题可知，6人中“欲望紧缩型”消费者人数为：2643⨯=人，“欲望膨胀型”消费者人数为：1623⨯=人，则抽出的两人中至少有1人是“欲望膨胀型”消费者的概率是：1124222635C C C p C +== 21．(1) 圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=.(2)[3,3. 详解：(1)因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b y b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=. 当0y b =时，()12PMN max S ab ∆==② 由①，②解得2a =，所以b =1c =.所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=.(2)①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得331,,1,,322A B AB ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m A x kx m B x kx m =+++.因为直线l1=，即221m k=+，联立22143x yy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y可得()2224384120k x kmx m+++-=，()()22221212228412 484348320,,4343km m k m k x x x xk k-∆=+-=+>+=-=++.AB===令2134tk=+，则213344tk<=≤+，所以AB43t<≤，所以AB3AB<≤.综上，AB的取值范围是⎡⎢⎣⎦.22．（1）当0a≥时，()f x在(0,)+∞上单调递增；当0a<时，()f x在1(0,)a-上递增，在1(,)a-+∞上递减．（2）当1ae<-时，函数()f x没有零点；当1ae=-时，函数()f x有一个零点；当1ae-<<时，函数()f x有两个零点．【详解】()f x的定义域为()0,+∞．(1)()11'axf x ax x+=+=，①当0a≥时，()'0f x>，故()f x在()0,+∞上单调递增；②当0a<时，令()'0f x=，则1xa=-，在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上，()'0f x >，()f x 单调递增， 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()'0f x <，()f x 单调递减． 综上所述：当0a ≥时， ()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．(2) 由(1)可知，当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．故()max 111f x f ln a a ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①当11ln a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即1a e <-时，10f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时函数()f x 没有零点． ②当11ln a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1a e =-时，10f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时函数()f x 有一个零点． ③当11ln a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即10a e -<<时，10f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令01b <<且1b a<-，则ln 0b <，()ln ln 0f b b ab b =+<<， 故()10f b f a ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故()f x 在1,b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点；再者，22111112f ln ln a a a a a⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1t a =-，则(),t e ∈+∞；再令()2ln g t t t =-，(),t e ∈+∞ 则()2'10g t t=-<，故()g t 在(),e +∞上单调递减，故()()20g t g e e <=-<，210f a ⎛⎫<⎪⎝⎭． 故2110f f a a ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在211,a a⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点． 故()f x 在()0,+∞上有两个零点．综上所述：当1ae<-时，函数()f x没有零点；当1ae=-时，函数()f x有一个零点；当1ae-<<时，函数()f x有两个零点．。
河北省邯郸市大名一中2020届高三数学上学期第七周周测试题文
河北省邯郸市大名一中2020届高三数学上学期第七周周测试题文一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知直线l1：x•sinα+y-1=0，直线l2：x-3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（）A. B. C. D.2.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A. B.B.C. D.3.设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A. B. C. D.4.直线与曲线有两个不同的交点,则实数的k的取值范围是.A. B. C. D.5.直线恒过定点M，则直线关于M点对称的直线方程为( )A. B.C. D.6.过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=1相切，且与直线ax+y-1=0垂直，则实数a的值为（）A. 0B.C. 0或D.7.直线l过点（0，2），被圆C：x2+y2-4x-6y+9=0截得的弦长为2，则直线l的方程是（）A. B.C. D. 或8.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A. B. C. D.9.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为A. B. C. D.10.若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A. 2B.C.D.11.椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）A. B. C. D.12.已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b，若圆x2+y2=4上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为（）A. B. C. D.13.圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（）A. B. C.D.14.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k（k>0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B 间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）15.一条光线经过点A（2，3）射到直线x＋y＋1＝0上，被反射后经过点B（1，1），则入射光线所在直线的方程为________.16.在[-1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x-5）2+y2=9相交”发生的概率为______．17.已知，为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若，，成等差数列，则C的离心率为______ ．18.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=______．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）19.已知抛物线的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,且．求抛物线C的方程；若平行于AB的直线l与抛物线C相切于点P,求的面积．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AB与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．文数周测答案DABAB CDABA DDBA15. 5x－4y＋2＝0解：设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），则，解得：A′（-4，-3）．由于反射光线所在直线经过点A′（-4，-3）和B（1，1），所以反射光线所在直线的方程为，即4x-5y+1=0．解方程组，解得得反射点，所以入射光线所在直线的方程为：5x-4y+2=0．故答案为5x－4y＋2＝0.16.解：圆（x-5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x-5）2+y2=9相交，则＜3，解得-＜k＜．∴在区间[-1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x-5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为．17.解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a，即4c=2a，∴e==．故答案为．18.1解：由已知x2+y2+2ay-6=0的半径为，圆心（0，-a），公共弦所在的直线方程为ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．19.解：（1）因为过焦点，所以，抛物线的准线方程为，设点A、B坐标分别是，，则，设直线方程为，代入抛物线方程得，即，则，，所以，抛物线方程为；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得：（*），由直线与抛物线相切得，且，所以，代入方程（*）得，所以切点的坐标为，而直线的方程为，点到直线的距离，所以的面积.20.解：（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率e===，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．由已知＞0，x 1+x2=-，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理得：（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴．∴7m2=12（k2+1），满足＞0．∴点O到直线AB的距离d===为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．。
2020年河北省邯郸市高考数学第一次模拟试卷(文科)
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{y|y＝10x}，则A∩B＝（）A．∅B．[0，4）C．（0，4）D．（﹣3，0）2．若复数z的虚部为3，且z+z=4，则z2＝（）A．﹣5+12i B．5+12i C．﹣5﹣12i D．5﹣12i 3．log4√84=（）A．14B．38C．13D．124．在平行四边形ABCD中，若CE→=4ED→，则BE→=（）A．−45AB→+AD→B．45AB→−AD→C．−AB→+45AD→D．−34AB→+AD→5．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下面结论正确的是（）A．甲、乙成绩的中位数均为7B．乙的成绩的平均分为6.8C ．甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差6．设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a =2√5，c ＝3，tan （B +π4）＝﹣3，则b ＝（ ） A ．√7B ．7C ．√17D ．177．若双曲线mx 2+y 2＝1的离心率等于实轴长与虚轴长的乘积，则m ＝（ ） A ．−15B ．﹣5C ．−115D ．﹣158．已知AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A ，B 的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD ⊥圆柱的底面，则必有（ ） A ．平面ABC ⊥平面BCD B ．平面BCD ⊥平面ACDC ．平面ABD ⊥平面ACDD ．平面BCD ⊥平面ABD9．已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，2x +y ≤6x +y ≥2，，若实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为（ ）A ．[23，+∞)B ．(0，23]C ．[12，+∞)D ．(0，12]10．直线1经过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 且与C 交于A ，B 两点，1与C 的准线交于点D ．若BD →=−4BF →，则l 的斜率为（ ） A ．±2B ．±√10C ．±4D ．±√1511．已知函数f(x)={−x 2−4x +1，x ≤02−2−x，x ＞0，，若关于x 的方程(f(x)−√2)(f(x)−m)=0恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．（1，2）B ．（2，5）∪{1}C ．{1，5}D ．[2，5）∪{1}12．已知定义域为R 的函数f （x ）满足f(12)=12，f′(x)+4x ＞0，其中f ′（x ）为f （x ）的导函数，则不等式f （sin x ）﹣cos2x ≥0的解集为（ ） A ．[−π3+2kπ，π3+2kπ]，k ∈Z B ．[−π6+2kπ，π6+2kπ]，k ∈ZC ．[π3+2kπ，2π3+2kπ]，k ∈ZD ．[π6+2kπ，5π6+2kπ]，k ∈Z二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为 ． 14．在等比数列{a n }中，a 1+a 3＝9（a 2+a 4），则公比q ＝ ．15．已知函数f(x)=a2sin2x +cos2x 的图象关于直线x =π12对称，则f(π4)= ． 16．已知三棱锥P ﹣ABC 每对异面的棱长度都相等，且△ABC 的边长分别为√11，3，4，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．在数列{a n }，{b n }中，a n ＝b n +n ，b n ＝﹣a n +1． （1）证明：数列{a n +3b n }是等差数列． （2）求数列{a n +3b n2n }的前n 项和S n ． 18．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的每条棱的长度都相等，D ，F 分别是棱A 1B 1，BC 的中点，E 是棱B 1C 1上一点，且DE ∥平面A 1BC 1． （1）证明：CE ∥平面AB 1F ．（2）求四棱锥A ﹣B 1FCE 的体积与三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积之比．19．某总公司在A，B两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售．产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场．检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示：表1甲公司得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]件数1010404050天数1010101080表2甲公司得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]件数105404550天数2010201070表3每件正品每件次品甲公司盈2万元亏3万元乙公司盈3万元亏3.5万元（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）．（2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由．（3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望．20．已知函数f（x）＝x3e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，求m的取值范围．21．已知椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点．（1）若l过点F，点M，N到直线y＝2的距离分别为d1，d2，且d1+d2=143，求l的方程；（2）若点M的坐标为（0，1），直线m过点M交C于另一点N′，当直线l与m的斜率之和为2时，证明：直线NN′过定点．（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝k|x﹣3|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ+27ρ=6(cosθ+2sinθ)．（1）求E的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E与C恰有4个公共点，求k的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣5|﹣|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m对任意x∈R，任意t∈R恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{y|y＝10x}，则A∩B＝（）A．∅B．[0，4）C．（0，4）D．（﹣3，0）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{y|y＝10x}＝{x|x＞0}，∴A∩B＝（0，4）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z的虚部为3，且z+z=4，则z2＝（）A．﹣5+12i B．5+12i C．﹣5﹣12i D．5﹣12i【分析】由已知得到z的实部，进一步求得z，展开平方得答案．解：由z+z=4，可知z的实部为2，则z＝2+3i，∴z2＝（2+3i）2＝﹣5+12i．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．log4√84=（）A．14B．38C．13D．12【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解． 解：log 4√84=14log 48=14×32×log 22=38， 故选：B ．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．4．在平行四边形ABCD 中，若CE →=4ED →，则BE →=（ ）A ．−45AB →+AD →B ．45AB →−AD →C ．−AB →+45AD →D ．−34AB →+AD →【分析】直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果．解：在平行四边形ABCD 中，若CE →=4ED →，所以CE →=45CD →，则BE →=BC →+CE →=AD →+45CD →=−45AB →+AD →． 故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下面结论正确的是（ ）A ．甲、乙成绩的中位数均为7B ．乙的成绩的平均分为6.8C ．甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差【分析】在A 中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B 中，求出乙的成绩的平均分为7；在C 中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差． 解：在A 中，将乙十次的成绩从小到大排列， 为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，∴中位数为7+82=7.5，故A 错误；在B 中，乙的成绩的平均分为：110（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）＝7，故B 错误；在C 中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同，故C 错误；在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a =2√5，c ＝3，tan （B +π4）＝﹣3，则b ＝（ ） A ．√7B ．7C ．√17D ．17【分析】由tan B ＝[tan （B +π4）−π4]可得tan B 的值，由B 在三角形中求出cos B 的值，由余弦定理可得b 的值．解：由tan （B +π4）＝﹣3可得tan B ＝[tan （B +π4）−π4]=tan(B+π4)−tan π41+tan(B+π4)tan π4=−3−11−3=2， 所以cos B =√5，由a =2√5，c ＝3， 由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√20+9−12=√17， 故选：C ．【点评】本题考查角的转化及余弦定理的应用，属于中档题．7．若双曲线mx 2+y 2＝1的离心率等于实轴长与虚轴长的乘积，则m ＝（ ） A ．−15B ．﹣5C ．−115D ．﹣15【分析】利用已知条件列出方程，转化求解即可．解：双曲线mx 2+y 2＝1的离心率等于实轴长与虚轴长的乘积，可得：实轴长：2，虚轴长为：2√−1m ，离心率为：√1−1m ，所以√1−1m =2⋅2√−1m ，解得：m ＝﹣15． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．8．已知AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A ，B 的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD ⊥圆柱的底面，则必有（ ） A ．平面ABC ⊥平面BCD B ．平面BCD ⊥平面ACDC ．平面ABD ⊥平面ACDD ．平面BCD ⊥平面ABD【分析】画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出结果即可．解：因为AB 是圆柱上底面的一条直径，所以AC ⊥BC ，又AD 垂直圆柱的底面， 所以AD ⊥BC ，因为AC ∩AD ＝A ， 所以BC ⊥平面ACD ，因为BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面ACD ． 故选：B ．【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的结构特征的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．9．已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，2x +y ≤6x +y ≥2，，若实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为（ ） A ．[23，+∞)B ．(0，23]C ．[12，+∞)D ．(0，12]【分析】利用可行域，判断目标函数的最大值的最优解的位置，然后利用直线的斜率推出结果即可．解：x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，2x +y ≤6x +y ≥2，，的可行域如图：实数λ满足y ＝λx +λ，恒过（﹣1，0），目标函数取得最大值，由{x =y2x +y =6解得B （2，2）； 正数λ的最大值为：22+1=23，所以实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为：（0，23]． 故选：B ．【点评】本题考查线性规划的简单应用，是中档题．10．直线1经过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 且与C 交于A ，B 两点，1与C 的准线交于点D ．若BD →=−4BF →，则l 的斜率为（ ） A ．±2B ．±√10C ．±4D ．±√15【分析】画出图形，求解直线的斜率，通过转化求解三角形角的正切函数值即可．解：过B 作BE 垂直准线，垂足为E ，则|BF |＝|BE |，又BD →=−4BF →，所以|BD |＝4|BE |，所以tan∠DBE=√15，则l的斜率为：√15．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题．11．已知函数f(x)={−x2−4x+1，x≤02−2−x，x＞0，，若关于x的方程(f(x)−√2)(f(x)−m)=0恰有5个不同的实根，则m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，5）∪{1}C．{1，5}D．[2，5）∪{1}【分析】化简方程，求出函数的值，画出函数的图象，利用数形结合，求解函数的实数根，推出m的范围即可．解：函数f(x)={−x2−4x+1，x≤02−2−x，x＞0，，关于x的方程(f(x)−√2)(f(x)−m)=0可得：2f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m＝[2f（x）﹣1][f（x）﹣m]＝0可得f（x）=12或f（x）＝m．作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：方程f（x）=12只有一个实数根，所以方程f（x）＝m有2个实数根，故m的取值范围：[2，5）∪{1}．故选：D．【点评】本题考查函数与方程的应用，分段函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是难题．12．已知定义域为R的函数f（x）满足f(12)=12，f′(x)+4x＞0，其中f′（x）为f（x）的导函数，则不等式f（sin x）﹣cos2x≥0的解集为（）A．[−π3+2kπ，π3+2kπ]，k∈Z B．[−π6+2kπ，π6+2kπ]，k∈ZC．[π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z D．[π6+2kπ，5π6+2kπ]，k∈Z【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解：设g（x）＝f（x）+2x2﹣1，∴g′（x）＝f′（x）+4x＞0在R上恒成立，∴g（x）在R上单调递增，不等式f（sin x）﹣cos2x＝f（sin x）+2sin2x﹣1，且g（1 2）＝0，不等式f（sin x）﹣cos2x≥0∴g（sin x）≥g（12），sin x≥1 2，∴π6+2kx ≤x ≤5π6+2kπ，k ∈Z ． 故选：D ．【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为37．【分析】这7个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国．韩国，由此能求出他去旅游的国家来自亚洲的概率．解：小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，这7个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国．韩国，则他去旅游的国家来自亚洲的概率p =37．故答案为：37．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．在等比数列{a n }中，a 1+a 3＝9（a 2+a 4），则公比q ＝ 19．【分析】根据等比数列的定义与性质，即可求出公比q 的值． 解：等比数列{a n }中，a 1+a 3＝9（a 2+a 4）， 且a 2+a 4＝q （a 1+a 3），所以9q ＝1，解得q =19．故答案为：19．【点评】本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．15．已知函数f(x)=a 2sin2x +cos2x 的图象关于直线x =π12对称，则f(π4)= √33．【分析】由题意利用三角函数的图象对称性的性质，求得f （π4）的值．解：∵函数f(x)=a2sin2x +cos2x 的周期为π，它的图象关于直线x =π12对称，∴f （0）＝f （π6）＝1=√34a +12，∴a =2√33，∴f （π4）=a 2=√33，故答案为：√33．【点评】本题主要考查三角函数的图象对称性的性质，属于中档题．16．已知三棱锥P ﹣ABC 每对异面的棱长度都相等，且△ABC 的边长分别为√11，3，4，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为 9√2π ．【分析】将三棱锥补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为√11，3，4，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，可以求出a 2+b 2+c 2＝18，从而确定外接球的直径，进而得到外接球的体积．解：∵三棱锥P ﹣ABC 每对异面的棱长度都相等，∴该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为√11，3，4， 设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且不妨假设a 2+b 2=(√11)2=11，b 2+c 2＝32＝9，a 2+c 2＝42＝16， ∴a 2+b 2+c 2＝18，∴三棱锥外接球的直径为√a 2+b 2+c 2=3√2，∴外接球的体积为4π3×(3√22)3=9√2π． 故答案为：9√2π．【点评】本题考查球的体积的计算，将三棱锥补成长方体是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．在数列{a n }，{b n }中，a n ＝b n +n ，b n ＝﹣a n +1． （1）证明：数列{a n +3b n }是等差数列． （2）求数列{a n +3b n2n }的前n 项和S n ． 【分析】第（1）题可将b n ＝﹣a n +1代入a n ＝b n +n 计算可得数列{a n }的通项公式，然后根据b n ＝﹣a n +1可得数列{b n }的通项公式，即可计算出数列{a n +3b n }的通项公式，再根据等差数列的定义法可证明数列{a n +3b n }是等差数列； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{a n +3b n2n }的通项公式，然后根据通项公式的特点可采用错位相减法计算出前n 项和S n ．【解答】（1）证明：由题意，将b n ＝﹣a n +1代入a n ＝b n +n ，可得 a n ＝b n +n ＝﹣a n +1+n ，即2a n ＝n +1， ∴a n =n+12，n ∈N*， ∴b n ＝﹣a n +1=−n+12+1=1−n2，n ∈N*， ∴a n +3b n =n+12+3•1−n 2=2﹣n ， ∵（a n +1+3b n +1）﹣（a n +3b n ）＝2﹣（n +1）﹣（2﹣n ）＝﹣1， ∴数列{a n +3b n }是以﹣1为公差的等差数列．（2）解：由（1）知，a n +3b n2n=2−n 2n，则S n =a 1+3b 121+a 2+3b 222+a 3+3b 323+⋯+a n +3b n 2n =12+022+−123+⋯+2−n2n ， ∴12S n =122+023+−124+⋯+3−n 2n +2−n2n+1， 两式相减，可得12S n =12+−122+−123+⋯+−12n −2−n 2n+1 =12−（122+123+⋯+12n ）−2−n 2n+1 =12−122−12n ⋅121−12−2−n 2n+1=n2n+1，∴S n =n2n ． 【点评】本题主要考查数列求通项公式，等差数列的判别，以及运用错位相减法求和的问题，考查了转化与化归思想，整体思想，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．18．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的每条棱的长度都相等，D ，F 分别是棱A 1B 1，BC 的中点，E 是棱B 1C 1上一点，且DE ∥平面A 1BC 1． （1）证明：CE ∥平面AB 1F ．（2）求四棱锥A ﹣B 1FCE 的体积与三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积之比．【分析】（1）推导出DE∥A1C1，从而E是B1C1的中点，进而B1E∥FC，B1E＝FC，四边形EB1FC是平行四边形，CE∥B1F，由此能证明CE∥平面AB1F．（2）推导出AF⊥BC，BB1⊥AF，从而AF⊥平面BCC1B1，由此能求出四棱锥A﹣B1FCE 的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积之比．解：（1）证明：∵DE⊂平面A1B1C1，平面A1B1C1∩平面A1BC1＝A1C1，DE∥平面A1BC1，∴DE∥A1C1，∵D是棱A1B1的中点，∴E是B1C1的中点，又F是棱BC的中点，∴B1E∥FC，B1E＝FC，∴四边形EB1FC是平行四边形，∴CE∥B1F，∵B1F⊂平面AB1F，CE⊄平面AB1F，∴CE∥平面AB1F．（2）解：∵F是棱BC的中点，∴AF⊥BC，∵BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AF，∵BB1∩BC＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，设BC＝2a，则AF=√3a，四棱锥A﹣B1FCE的体积为：V1=13×√3a×12×(2a)2=2√33a3．三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为：V2=√34(2a)2×2a=2√3a3．∴四棱锥A﹣B1FCE的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积之比为：V1 V2=1 3．【点评】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥与三棱柱的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．某总公司在A，B两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售．产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场．检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示：表1甲公司得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]件数1010404050天数1010101080表2甲公司得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]件数105404550天数2010201070表3每件正品 每件次品 甲公司 盈2万元 亏3万元 乙公司盈3万元亏3.5万元（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）． （2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由． （3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X ，求X 的分布列及其数学期望．【分析】（1）计算正品数与产品总数的比值即可；（2）分别计算利润，比较即可；（3）计算X （单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150的概率，由期望的定义可得答案，解：（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：50×80+40×1050×100=88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：50×70+45×10100=79%．（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大 理由如下：甲公司这100天生产的产品的总利润为（50×80+40×10）×2+（50×100﹣50×80﹣40×10）×（﹣3）＝7000（万元），乙公司这100天生产的产品的总利润为（50×70+45×10）×3+（50×100﹣50×70﹣45×10）×（﹣3.5）＝8175（万元），因为7000万＜8175万，所以乙公司这100天生产的产品的总利润更大， （3）X （单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150，P （X ＝100）=80100=0.8． P （X ＝50）=10100=0.1，P（X＝150）=10100=0.1，则X的分布列为X10050P0.80.1故EX＝100×0.8+50×0.1+（﹣150）×0.1＝70（万元），【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）＝x3e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥mx2对x∈一、选择题恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x）＝x2e x（x+3），令f′（x）≥0，令f′（x）＜0，进而可得函数得单调递增，递减区间．（2）当x＝0时，原不等式为0≥0，显然成立，当x≠0时，原不等式等价于m≤xe x对x∈R恒成立，设g（x）＝xe x（x≠0），只需求出g（x）的最小值，即可得到答案．解：（1）f′（x）＝3x2e x+x3e x＝x2e x（x+3），令f′（x）≥0，得x≥﹣3，则f（x）的单调递增区间为[﹣3，+∞）；令f′（x）＜0，得x＜﹣3，则f（x）的单调递减区间为[﹣∞，﹣3）；（2）当x＝0时，不等式f（x）≥mx2，即0≥0，显然成立，当x≠0时，不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，等价于m≤xe x对x∈R恒成立，设g（x）＝xe x（x≠0），g′（x）＝（x+1）e x，令g ′（x ）＜0，得x ＜﹣1，令g ′（x ）＞0，得x ＞﹣1，且x ≠0，所以g （x ）min ＝g （﹣1）=−1e，所以m ≤−1e，即m 的取值范围为（﹣∞，−1e]．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，以及恒成立问题，属中档题． 21．已知椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）若l 过点F ，点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，且d 1+d 2=143，求l 的方程；（2）若点M 的坐标为（0，1），直线m 过点M 交C 于另一点N ′，当直线l 与m 的斜率之和为2时，证明：直线NN ′过定点．【分析】（1）由若l 过椭圆的右焦点F （1，0），设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与椭圆方程，消去x ，得交点M ，N 的纵坐标关系，因为点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）=143，转化为m 的方程，求得m 即可．（2）分类讨论，当直线NN '的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，消去一个变量，由韦达定理得出N ，N '的坐标的关系式，再由当直线l 与m 的斜率之和为2，列出方程，求出直线方程，即可得直线NN '过定点（﹣1，﹣1）． 解：（1）易知F （1，0），设直线l 的方程为x ＝my +1， 由{x =my +1x 22+y 2=1得（m 2+2）y 2+2my ﹣1＝0．则y M +y N =−2m m 2+2． 因为d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）＝4+2m m 2+2=143． 所以m ＝1或m ＝2．故l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0．（2）证明：当直线NN '的斜率不存在时，设N （x 0，y 0），则N '（x 0，﹣y 0）． 由k l +k m ＝2，得y 0−1x 0+−y 0−1x 0=2，解得x 0＝﹣1．当直线NN '的斜率存在时，设直线NN '的方程为y ＝kx +t （t ≠1），N （x 1，y 1），N '（x 2，y 2）．由{y =kx +t x 22+y 2=1得（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0． 所以x 1+x 2=−4kt 1+2k2，x 1x 2=2t 2−21+2k2；因为k l +k m ＝2． 所以y 1−1x 1+y 2−1x 2=(kx 2+t−1)x 1+(kx 1+t−1)x 2x 1x 2=2k +(t−1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −2(t −1)kt t 2−1=2k −2kt t+1=2． 所以t ＝k ﹣1，所以直线NN '的方程为y ＝kx +k ﹣1，即y +1＝k （x +1）． 故直线NN '过定点（﹣1，﹣1）． 综上，直线NN '过定点（﹣1，﹣1）．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类讨论的思想方法，转化的思想，方程思想以及运算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝k |x ﹣3|．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ+27ρ=6(cosθ+2sinθ)． （1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线E的极坐标方程为ρ+27ρ=6(cosθ+2sinθ)．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣6x﹣12y+27＝0，整理得（x﹣3）2+（y﹣6）2＝18．（2）易知曲线E过定点M（3，0）其图象关于直线x＝3对称的“V”字形．由于曲线E是以（3，6）为圆心3√2为半径的圆，所以k＞0，当x≥3时，曲线C的方程为y＝kx﹣3k，即kx﹣y﹣3k＝0，则圆心（3，6）到直线的距离d=|3k−6−3k|√1+k=6√1+k3√2，解得k2＞1，由于k＞0，所以k＞1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣5|﹣|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m对任意x∈R，任意t∈R恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）原不等式等价为|2x﹣5|+|2x﹣1|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m，由绝对值不等式的性质分别求得此不等式的左右两边的最小值和最大值，解绝对值不等式，可得所求范围．解：（1）|2x ﹣5|﹣|2x +1|＞1等价为{x ≤−125−2x +2x +1＞1或{−12＜x ＜525−2x −2x −1＞1或{x ≥522x −5−2x −1＞1， 解得x ≤−12或−12＜x ＜34或x ∈∅，所以原不等式的解集为（﹣∞，34）；（2）不等式f （x ）+|4x +2|＞|t ﹣m |﹣|t +4|+m 等价为|2x ﹣5|+|2x ﹣1|＞|t ﹣m |﹣|t +4|+m ， 可令h （x ）＝|2x ﹣5|+|2x ﹣1|，则h （x ）≥|2x ﹣5﹣2x ﹣1|＝6， 当且仅当（2x ﹣5）（2x +1）≤0，取得等号，即h （x ）min ＝6， 而|t ﹣m |﹣|t +4|+m ≤|t ﹣m ﹣t ﹣4|+m ＝m +|m +4|，由题意可得6＞m +|m +4|，即m ﹣6＜m +4＜6﹣m ，解得m ＜1， 则m 的取值范围是（﹣∞，1）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和等价转化思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
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河北省邯郸大名县第一中学2020届高考数学模拟试题文一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知为虚数单位，，则在复平面上复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的女学生人数为A．24 B．16 C．12 D．84．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的表面积为（）A．B．C．D．6．已知是函数的极小值点，则（）A．-16 B．16 C．-2 D．27．已知菱形的边长为2，，点，分别为，的中点，则（）A．3 B．1 C．D．8．设当时，函数取得最大值，则（）A．B．C．D．9．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，若沿点，连线折成如图所示的多面体，使平面，则该多面体的正视图的面积为（）A．B．C．D．10．如图，长方体中，，，点分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是A．B．C．D．11．如图，点在圆上，且点位于第一象限，圆与正半轴的交点是，点的坐标为，，若则的值为（）A． B． C． D．12．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数.若，则__________．14．若实数，满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，，则__________．15．过原点作圆的两条切线，则两条切线所成的锐角是_________.16．在中，角、、所对的边分别边、、，若，，则的取值范围是__．三、解答题：共70分。
解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．在数列中，，且（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和。
18．在三棱锥中，平面平面，，．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC；（Ⅱ）求证：平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．19．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：服务时间超过1小时服务时间不超过1小时男20 8女12 m（Ⅰ）求；（Ⅱ）将表格补充完整，并判断能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？服务时间超过1小时服务时间不超过1小时合计男20 8女12 m合计（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数. 附：20．已知为抛物线：的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与轴垂直时，．（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．21．已知函数的图象在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若对于，，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分。
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（I）写出曲线与圆的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）已知函数，.(Ⅰ)当，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数满足，且恒成立，求的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．A【解析】【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用复数的几何意义即可得出结论．【详解】由题知，则在复平面上复数对应的点为（1，-2），位于第四象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．D【解析】【分析】根据题意现算出二年级女生的人数，得到三年级女生的人数，再利用分层抽样的方法抽取，即可得到答案.【详解】由题意，抽到二年级女生的概率是0.19，所以二年级的女生人数为人，所以三年级女生的人数为人，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，在三年级抽取的女学生人数为人，故选D.本题主要考查了简单的随机抽样与分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．B【解析】【分析】由题意可得，利用“乘1”与均值不等式可得结果.【详解】∵双曲线和椭圆有相同的焦点，∴∴当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为3故选：B【点睛】本题考查了圆锥曲线的简单几何性质，考查了均值不等式的应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.5．C【解析】【分析】由于题意可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求得底面的半径r，求出底面圆的面积，即可求解表面积．【详解】∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形∴圆锥的母线长为l＝3，底面周长即扇形的弧长为3＝2π，∴底面圆的半径r＝1，可得底面圆的面积为π×r2＝π，圆锥的表面积为：4π．故选C．本题考查弧长公式及旋转体的表面积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．6．D【解析】【分析】可求导数得到f′（x）＝3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【详解】∵f（x）＝3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x＝2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a＝2．故选：D．【点睛】本题考查函数极小值点的定义，考查了根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，属于基础题．7．D【解析】【分析】先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把表示出来，然后进行数量积计算。
【详解】点为的中点所以;点F为CD的中点，所以,==因为菱形的边长为2,所以,又因为，运用数量积公式，可求＝＝＝=故本题选D。
【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质。
8．D【解析】【分析】先化简已知得f(x)=，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时的值.【详解】由题得f(x)=,其中当，即时，函数取到最大值.所以.故选：D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．A【解析】【分析】由图及条件可证，可得AB，由此可求正视图的面积.【详解】由题意，得，，由平面，得，所以，∴所求多面体的的正视图的面积为．故选A.【点睛】本题考查了折叠体问题，考查了三视图的知识及空间线面、线线位置关系，属于基础题. 10．A【解析】【分析】由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角．【详解】由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，∵A1E∥B1G，∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．连接FB1，在三角形FB1G中，AA1＝AB＝2，AD＝1，B1FB1G，FG，B1F2＝B1G2+FG2．∴∠FGB1＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°．故选：A．【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．A【解析】【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A的坐标,由A，B的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合+=1，即可解得的值．【详解】半径r＝|OB|1，由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）；∵点B的坐标为（，），|BC|，∴，∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又+=1，∴解得sin或，又点位于第一象限，∴0<<，∴sin，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．12．B【解析】【分析】构造函数和，则函数的图象过定点，画出函数的图象，求出直线与相切时的值，然后结合图象可判断出所求的取值范围．【详解】令和，则函数的图象过定点．画出函数的图象，如下图所示．由消去整理得.令，解得或（舍去）.又易知曲线在处的切线的斜率为1．结合图象可得：当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有3个不同的实根；当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有2个不同的实根；当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有1个实根或没有实根；当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有2个不同的实根．综上可得所求的范围为．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是运用转化的思想方法，将方程根的个数的问题转化为两函数图象公共点个数的问题；二是运用数形结合的思想进行求解，以增强解题的直观性．解题时的注意点是确定两图象公共点个数变化时的临界位置．13．【解析】【分析】通过求出，代入解析式求得结果.【详解】因为所以本题正确结果：【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.14．【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得的比值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线过点时，取得最大值7；过点时，取得最小值2，所以.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15．【解析】【分析】根据题意作出图像，由圆方程可得圆心，圆的半径为：，由圆的切线性质可知，解，问题得解。