实验三

0
1 e 2 cos 2 t dt
a 2 b2 a
1 3 4 L 2a [1 e 2 e ] 4 128
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1
课内练习1
计算卫星轨道长L和平均速度V 设计模块： 输入：卫星近地点距离h ，远地点距离H ，周期T 输出：轨道长L、平均速度V（=L/T） 算法： 1.利用公式计算长短半轴a，b; 2.利用第一类曲线积分方法计算椭圆周长L； 3.平均速度V=L/T 4.画图 问：如果要演示卫星的运行过程，比如指定运行 的圈数，又该如何设计模块的输入参数？
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ezsurf() 绘莫比乌斯带
x r ( s, t ) cos t 其中 r 2 0.5 s cos(0.5t ) y r ( s , t ) sin t z 0.5s sin( 0.5t )
syms s t r=2+0.5*s*cos(t/2); x=r*cos(t); y=r*sin(t); z=.5*s*sin(t/2); ezsurf(x,y,z,[-1,1,0,2*pi],20)
实验内容与操作
文件名:Mlab3.m h=439;H=2384;R=6400; % 输入重要数据 a=(h+H+2*R)/2;c=(H-h)/2; %计算长半轴和半焦距 e1=c/a; b=sqrt(a*a-c*c); %计算离心率和短半轴 syms e2 t % 定义两个符号变量 f=sqrt(1-e2*cos(t)^2); %定义符号表达式 ft=subs(f,e2,e1*e1); %替换离心率数据 S=int(ft,0,pi/2); % 计算积分 L=4*a*double(S) % 符号数据转换为数值 V=L/(114*60) %计算平均速度 s1=pi*a*b/(114*60); % 每秒扫过的面积 Vmax=2*s1/(h+R) % 最大速度 Vmin=2*s1/(H+R) %最小速度 8/11
a 2 ( a 2 b 2 ) cos 2 t a 2 c 2 cos 2 t
级数展开
2
L 4a
/2
0
1 e 2 cos 2 t dt
1 1 1 e 2 cos 2 t 1 e 2 cos 2 t e 4 cos4 t 8 2
a 2 [1
所以
c2 cos 2 t ] a 2 [1 e 2 cos 2 t ] a2
/2

近似计算
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/2
0

1 1 [1 e 2 cos 2 t e 4 cos 4 t ]dt 2 8 1 2 3 4
2 e ] [1 e 4 128
L 4a
注意： e
c a
• 时间单位取秒，长度单位取公里。 • 令 t 1，在较短时间内形成的扇形假定为 圆扇形。 v l l t
s 2 • 由圆的扇形面积公式， 2 R • 带入下式： 2s • 由圆弧计算公式：l R R 所以
v l 2s l t R
课内练习2： Kepler第二定律 根据Kepler第二定律,从地球到人造卫星的向径在相 等的时间内扫过相等的面积,由此可知,人造卫星在 近地点的速度达到最大 ,而在远地点的速度达到最小. 向径在每秒钟扫过的面积
if nargin==0,n=1;end R=6378; a=(h+H+2*R)/2; c=(H-h)/2;e=c/a; b=sqrt(a*a-c*c); L=2*a*pi*(1-e^2/4-3*e^4/128); V=L/T; %画图 t=0:.01:2*n*pi; x=a*cos(t);y=b*sin(t); comet(x,y);
利用定积分的极限定义。单位圆在第1象限内的面 积为pi/4。因此利用定积分定义中的和式作为此面 积的估计（假定区间n等分，n越大，近似程度越 高）。 思考：对于利用定积分几何意义估计圆周率的方 法，如何提高估计的精度？
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ezplot() 绘三叶玫瑰线
ezplot('sin(3*t)*cos(t)','sin(3*t)*sin(t)',[0,pi]) 动态演示 : rose2.m t=0:.001:2*pi; r=sin(3*t); x=r.*cos(t); y=r.*sin(t); comet(x,y)
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b a2 c2
c a 2 b2 e a a
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椭圆周长 由于
2 2
L 4
2
/2
0
a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t dt
2 2 2 2
椭圆轨道周长
L 4
/2
0
a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t dt
a sin t b cos t a (1 cos t ) b cos t
x =a cos t 椭圆: 0≤ t ≤2 y =b sin t
周长:
L 4
/2
a=(h+H+2R)/2
椭圆短半轴:
0
a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t dt
c=( H – h )/2
椭圆偏心率:
问题1: 椭圆长半轴 a = ?椭圆短半轴 b = ? 问题3: 椭圆周长的积分计算 L = ？
人造地球卫星轨道计算
我国第一颗人造地球卫星 近地点距离 h=439 km,远地点距离 H=2384 km,地 球半径 R=6400 km.卫星绕地球一周114分钟
原始数据处理 近地点距离 h = 439 km, 远地点距离 H =2384 km, 地球半径 R =6400 km 椭圆长半轴: 椭圆半焦距:
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3
R2
2s
2
练习题与思考题
1.采用int、quad分别计算椭圆周长； 选做实验： 2.利用定积分的几何意义，设计实验估算圆周率。 详细叙述实验的原理。（重点：要求将原理、程序、 实验记录、实验结论写在实验报告的左页空白处） 参考：
练习题与思考题（提示）
2.利用定积分的几何意义，设计实验估算圆周率。 详细叙述实验的原理。
function [L,V]=satellite(n) %实现方式 1 %人造卫星平均速度计算 %[L,V]=satellite(n) %L--轨道长 ,V--卫星速度 ,n--动态演示圈数 if nargin==0,n=1;end h=439;H=2384; R=6378; a=(h+H+2*R)/2; c=(H-h)/2;e=c/a; b=sqrt(a*a-c*c); t=0:.01:2*n*pi; x=a*cos(t);y=b*sin(t); L=2*a*pi*(1-e^2/4-3*e^4/128); V=L/(114*60); comet(x,y);
数值积分（近似）函数： quad q = quad(fun,a,b: F = inline('1./(x.^3-2*x-5)'); Q = quad(F,0,2); A function handle: Q = quad(@myfun,0,2); where myfun.m is an M-file: function y = myfun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5);
实验三:定积分计算实验 问题背景与数据处理 椭圆周长的近似计算 实验任务与操作 思考题与练习题
实验准备：Matlab函数 符号积分（精确）函数： int int(fun,var,a,b)
Examples: int(4*x*t,x,2,sin(t)) returns 2*sin(t)^2*t-8*t
L=4.8752e+004, v=7.1275
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function [L,V]=satellite(h,H,T,n) %实现2 %人造卫星平均速度计算 %[L,V]=satellite(n) %L--轨道长,V--卫星速度,n--动态演示圈数 % Examples: %h = 439;H=2384;T=114*60;n=3;[L,V] = satellite2(h,H,T,n)
s1 ab / T
Vmax:=2*s1/(R + h) Vmin:=2*s1/(R + H)
s1 0.5( R h)l h
s1 0.5( R H )l H
远地点

地球
近地点
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Vmin,Vmax的建模推导
•1.通过平均速度来计算（比如在1秒内的平均速 度）提示：弧长、扇形面积