高一数学苏教版必修1课后训练：2.2 函数的奇偶性 Word版含解析
2018版高中数学苏教版必修一学案：2.2.2函数的奇偶性
2.2.2 函数的奇偶性【学习目标】1•理解函数奇偶性的定义2掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3•会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.ET向题导学 ------------------------- 知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢?3* 胛之pl 2 3 /弋/ -3.3)2-a -2-l1iV1 2 3 T7-2-3梳理图象关于y轴对称的函数称为____________ 函数，图象关于原点对称的函数称为________ 函数. 知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴（或原点）对称来定义函数的偶奇性?思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处?①梳理设函数y= f(x)的定义域为A.如果对于任意的x€ A，都有f(-x)= f(x),那么称函数y = f(x)是偶函数；如果对于任意的x€ A，都有f(-x)=- f(x)，那么称函数y= f(x)是奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性.知识点三奇(偶)函数的定义域特征思考如果一个函数f(x)的定义域是(—1,1］，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗?梳理判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于________ 对称.题型探究类型一证明函数的奇偶性命题角度i已知函数解析式，证明奇偶性x 3—x2例1 (1)证明f(x) = x既非奇函数又非偶函数;x —1⑵证明f(x) = (x+ 1)(x—1)是偶函数;⑶证明f(x) = V1 —X2+ x2—1既是奇函数又是偶函数.反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个X,则—x也一定属于定义域.跟踪训练1 (1)证明f(x)= (x—2):既非奇函数又非偶函数；⑵证明f x = x|x是奇函数.命题角度2证明分段函数的奇偶性例2判断函数f(x)=!(x+52—4, "(—6, —1],的奇偶性.心—52 —4, x€ [1 , 6)反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点(1) 定义域是否关于原点对称.(2) 对于定义域内的任意 x ,是否都有f(— x)= f(x)(或一f(x))，只不过对于不同的 x , f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(— x)= f(x)(或—f(x)).命题角度3证明抽象函数的奇偶性例3 f(x), g(x)是定义在 R 上的奇函数，试判断 y = f(x) + g(x), y = f(x)g(x), y = f[g(x)]的奇偶 性.反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些 新函数的奇偶性，主要是代入一 x ,看总的结果.跟踪训练3设函数f(x), g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论 中正确的是 _______ .(填序号) ①f(x)g(x)是奇函数；x<0,是奇函数.②f(x)g(x)是偶函数；③|f(x)|g(x)是偶函数；④f(x)|g(x)|是奇函数.类型二奇偶性的应用命题角度1奇偶函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在［0,+^ )上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；⑵解不等式xf(x)>0.引申探究将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解 析式，研究单调性.跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为［—5,5］，且在区间(1)画出在区间［—5,0］上的图象；⑵写出使f(x)<0的x 的取值集合.命题角度2利用函数奇偶性的定义求值例5 (1)若函数f(x) = ax 2 + bx + 3a + b 是偶函数，定义域为⑵函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x) = — x + 1,求当x<0时f(x)的解析式.［0,5］上的图象如图所示.[a — 1,2a]，贝U a = _______ , b =反思与感悟函数奇偶性的定义有两处常用(1) 定义域关于原点对称.(2) 对定义域内任意x,恒有f( —x) = f(x)(或—f(x))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值.X2+ x, X W 0,跟踪训练5已知函数f(x)i 2为奇函数，则a+ b= _________ .ax2+ bx, x>0曰当堂训练-----------------------------1. ___________________________________ 函数f(x)= 0(x€ R)的奇偶性是.2 .函数f(x)= x( —1<x w 1)的奇偶性是_________ .3 .已知函数y= f(x) + x是偶函数，且f(2) = 1,贝U f( —2) = ________ .4 .若函数f(x)= (m—1)x2+ (m—2)x+ m2—7m + 12 为偶函数，则m 的值是_________.5 •下列说法错误的是 _________ .(填序号)①图象关于原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交.厂《规律与方法■----------------------- 11. 两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个X,如果都有f( —x)=—f(x)? f( —x) + f(x)= 0? f(x) 为奇函数；如果都有f(—x)= f(x)? f(—x)—f(x) = 0? f(x)为偶函数.2. 两个性质：函数为奇函数？它的图象关于原点对称；函数为偶函数？它的图象关于y轴对称.3 .证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(—x)=—f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.答案精析问题导学知识点一思考①②关于y轴对称，③④关于原点对称.梳理偶奇知识点二思考1因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.⑵可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可.知识点三思考由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x,其相反数-x必须也在定义域内，才能进一步判断f( —x)与f(x)的关系.而本问题中，1 € (- 1,1],—1?(- 1,1], f(- 1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了•所以该函数是既非奇函数，也非偶函数.梳理原点题型探究例1证明(1)因为它的定义域为｛x|x€ R且x工1｝，所以对于定义域内的一1,其相反数1x3—x2不在定义域内，故f(x)= 既非奇函数又非偶函数.x—1⑵函数的定义域为R，因函数f(x) = (x+ 1)(x—1) = x2—1,又因f(—x)= (—x)2—1 = x2—1 = f(x), 所以函数为偶函数.⑶定义域为｛—1,1｝,因为对定义域内的每一个x,都有f(x)= 0,所以f(—x)= f(x),故函数f(x)=■ 1 —x2+「x2— 1 为偶函数.又f(—x)=—f(x),故函数f(x)=「1—x2+” x2— 1 为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.2 + x跟踪训练1证明(1 )由>0，得定义域为[—2,2),关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶2 —x函数.⑵函数的定义域为R，因f( —x) = (—x)| —x|= —x|x|=—f(x),所以函数为奇函数.例2解由题意可知f(x)的定义域为(一6, —1] U [1,6),关于原点对称, 当x€ (—6, —1]时，—x€ [1,6),所以f(—x)= (-x-5)2-4 = (x+ 5)2-4= f(x);当x € [1,6)时，一x € (— 6 , —1],所以f(—x)= (—x+ 5)2—4=(x—5)2—4= f(x).综上可知对于任意的x€ (—6,—1] U [1,6),都有f(—x)= f(x),(x+ 5 2—4, x€ (— 6, —1],所以f(x)= 2I ：x —5 —4,x € [1, 6是偶函数.跟踪训练2证明定义域为{xX^ 0}.若x<0,则—x>0,f( —x)= x, f( x) = —x,••• f( —x)=—f(x)；若x>0,则—x<0,2 2 2•f(—x)=—(—x)=—x , f(x) = x ,•f( —x)=—f(x)；即对任意X M 0，都有f( —x) = —f(x).•f(x)为奇函数.例3解•/ f(x), g(x)是定义在R上的奇函数，•f( —x) + g(—x)=—f(x) —g(x) = —[f(x) + g(x)], y= f(x) + g(x)是奇函数.f( —x)g( —x) = [ —f(x)][ —g(x)] = f(x)g(x), y= f(x)g(x)是偶函数.f[g( —x)] = f[ —g(x)] = —f[g(x)], y= f[g(x)]是奇函数.跟踪训练3①③④解析①令h(x)= f(x)g(x)，贝U h(—x)= f( —x) •(—x)=—f(x)g(x)=—h(x), • h(x)是奇函数，故①对，②不对；③令h(x)= f(x)|g(x)，则h(—x)=|f( —x)|g(—x)= |—f(x)|g(x) = |f(x)|g(x) = h(x) h(x)是偶函数，故③对；④令h(x)= f(x)|g(x)|，则h( —x) = f( —x) |g(—x)|=—f(x)|g(x)|=—h(x)，二h(x)是奇函数，故④对.例4 解⑴先描出(1,1), (2,0)关于原点的对称点(一1,—1), (—2,0)，连线可得f(x)的图象如图.(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(—2,0) U (0,2). 引申探究解(1)f(x)的图象如图所示.(2)xf(x)>0 的解集是(一R,—2)U (0,2).跟踪训练4 解(1)如图，在［0,5］上的图象上选取5个关键点O, A, B, C, D.!)■C ADY 7fv P -cAr分别描出它们关于原点的对称点O' , A' , B' , C' , D',再用光滑曲线连接即得.(2)由(1)图可知，当且仅当x€ (—2,0) U (2,5)时，f(x)<0.•••使f(x)<0的x的取值集合为(—2,0) U (2,5).1例 5 (1)3 03解析•••偶函数的定义域关于原点对称,1••• a —1 = —2a,解得a=3，32f(x) = 3X + bx+ b+ 1.又f(x)为偶函数，1 2•- f( —x) = 3(—x) + b( —x) + b+ 11 2=f(x) = -x + bx+ b+ 1,3对定义域内任意x恒成立，2 9即2bx= 0对任意x€ [—-,-]恒成立,3 31•- b = 0.综上，a= 3, b= 0.⑵解设x<0,则—x>0,• f( —x)=—(—x) + 1 = x+ 1 , 又•/函数f(x)是定义域为R的奇函数, • f( —x)=—f(x) = x+ 1 , •当x<0 时，f(x) = —x— 1.跟踪训练5 0[f(2 =—f( —2 ,解析由题意知f1=—f(—1)(4a+ 2b=—2,则|a+ b= 0,a = —1,解得b = 1.当a=—1, b = 1时，经检验知f(x)为奇函数, 故a + b = 0.当堂训练1 •既是奇函数又是偶函数2 •既不是奇函数又不是偶函数3．5 4.2 5•③④。
苏教版数学高一必修1素材 2.2巧用特性妙解奇偶性问题
高中数学-打印版精心校对 2.2 巧用特性妙解奇偶性问题函数奇偶性是函数性质的重要内容之一，同时也是高考的热点和重点.本文就函数奇偶性的几个特殊性质的应用通过典例予以分析.一、定义域的对称性的应用例1已知f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，且其定义域为，则a= ，b= .解析：∵f(x)是偶函数，∴ 定义域应关于原点对称，故有a －1=2a ， 解得 a=13， 另由f(x)是偶函数，知 f(－x)= f(x)恒成立，易得b=0.点评：二、奇函数在x=0有定义时，f(0)=0的应用例4实数a 为何值时，f(x)=2x -2－x·lga 为奇函数.解析：函数的定义域为(-∞，+∞)，则函数f(x)在x=0时有定义，∴f(0)=0，∴20-2－0·lga=0，∴ 1- lga=0，∴a=10. 点评：三、偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)的应用例2已知f(x)是定义在(－1，1)上偶函数，且在[0，1)上是增函数，若f(a －2)－f(4－a 2)<0，求a 的取值范围.解析：∵f(x)是定义在(－1，1)上偶函数，∴f(-x)=f(x)=f(|x|)，则f(a －2)=f(|a －2|)，f(4－a 2)=f(|4－a 2|). 又由f(a －2)－f(4－a 2)<0，得 f(|a －2|)<f(|4－a 2|).由于f(x)在[0,1)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a-2|<|4-a 2|-1< a －2<1-1<4－a 2<1，解得 3<a<2或2<a<5.点评：利用偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)的这条性质可以避免讨论，从而简化了运算. 跟踪练习：1．2．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.2 函数的奇偶性》0
函数的奇偶性一、教材分析本节课选自苏教版高中数学必修1第二章；教材通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义。
然后，为深化对概念的理解。
函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化。
它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上形成对称性。
这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析。
它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用。
二、学情分析学生已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。
尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待提高；三、教学重难点重点：函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断。
难点：函数奇偶性概念的形成。
四、教学目标知识与技能目标：表述函数奇偶性的概念；能利用定义判断函数的奇偶性过程与方法目标：通过体验函数奇偶性概念的形成过程体会到了数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法。
情感态度与价值观目标：体验数学研究严谨性，感受数学对称美。
五、教学过程〔一〕情境导航、引入新课这些图片源于生活，很显然都具有对称性，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也表达了图象对称的美感呢？设计意图：体会数学〔二〕构建概念、突破难点考察以下两个函数：1 2思考1:这两个函数的图象有何共同特征？思考2:对于上述两个函数，f1与f-1，f2与f-2，fa与f-a有什么关系？思考3：对于任意的，都有f-=f吗？思考3:怎样定义偶函数？思考4:函数偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？练1：判断以下函数是否为偶函数？〔口答〕设计意图：由教师引导学生发现偶函数的特点，使得学生有一定的成就感，提高了学生学习的积极性。
苏教版学案数学·必修1 习题：第2章2.2-2.2.2函数的奇偶性 Word版含解析
第2章函数2.2 函数的简单性质2.2.2 函数的奇偶性A级基础巩固1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A．y＝－x2＋5(x∈R) B．y＝－xC．y＝x3(x∈R) D．y＝－1x(x∈R，x≠0)解析：函数y＝－x2＋5(x∈R)既有增区间又有减区间；y＝－x是减函数；y＝－1x(x∈R，x≠0)不是定义域内的增函数；只有y＝x3(x∈R)满足条件．答案：C2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为( )A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1解析：设x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．所以f(－x)＝－f(x)＝x＋1.所以f(x)＝－x－1(x＜0)．答案：B3．若函数f(x)＝x（2x＋1）（x－a）为奇函数，则a等于( )A.12B.23C.34D．1解析：因为f(－x)＝－f(x)，所以－x（－2x＋1）（－x－a）＝－x（2x＋1）（x－a）.所以(2a－1)x＝0.所以a＝12.故选A.答案：A4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a ＋b的值是( )A．－13B.13C.12D．－12解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以b＝0.又a－1＝－2a，所以a＝13.所以a＋b＝13.答案：B5．(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|.所以y＝f(x)|g(x)|为奇函数．答案：C6．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)解析：因为f(x)是偶函数，则f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又当x ≥0时，f (x )是增函数，所以f (2)＜f (3)＜f (π)，从而f (－2)＜f (－3)＜f (π)．答案：A7．如图所示，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．解析：利用f (－2)＝－f (2)或作出函数y ＝f (x )在区间[－2，0]上的图象(关于原点中心对称)可知，f (－2)＝－32. 答案：－328．已知f (x )是奇函数，且x ≥0时，f (x )＝x (1－x )．则当x ＜0时，f (x )＝________ .解析：当x ＜0时，－x ＞0，又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[－x (1＋x )]＝x (1＋x )．答案：x (1＋x )9．已知函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称，即k ＝1，此时f (x )＝－x 2＋3，其单调递增区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和为________．解析：由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.答案：011．已知函数f (x )和g (x )满足f (x )＝2g (x )＋1.且g (x )为R 上的奇函数，f (－1)＝8，求f (1)．解：因为f (－1)＝2g (－1)＋1＝8，所以g (－1)＝72. 又因为g (x )为奇函数，所以g (－1)＝－g (1)．所以g (1)＝－g (－1)＝－72. 所以f (1)＝2g (1)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＋1＝－6.12．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1，x ＞0，x 3＋3x 2－1，x ＜0的奇偶性． 解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．(1)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )3＋3(－x )2－1＝－x 3＋3x 2－1＝－(x 3－3x 2＋1)＝－f (x )；(2)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )3－3(－x )2＋1＝－x 3－3x 2＋1＝－(x 3＋3x 2－1)＝－f (x )，由(1)(2)知，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．B 级 能力提升13．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)．又g (x )是偶函数，所以g (－1)＝g (1)．因为f (－1)＋g (1)＝2，所以g (1)－f (1)＝2.①又f (1)＋g (－1)＝4，所以f (1)＋g (1)＝4.②由①②，得g(1)＝3.答案：B14．已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( )A．f(6)＞f(7) B．f(6)＞f(9)C．f(7)＞f(9) D．f(7)＞f(10)解析：因为函数y＝f(x＋8)为偶函数，其对称轴是y轴，所以y ＝f(x)的对称轴是直线x＝8.所以f(7)＝f(9)，又y＝f(x)在区间(8，＋∞)上是减函数．所以f(9)＞f(10)，故f(7)＞f(10)．答案：D15．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．解析：因为函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|.所以|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|.所以a＝0.答案：016．已知函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间(－1，0)上的单调性并加以证明．解：(1)函数f(x)是偶函数，定义域为R.因为f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2)f(x)在区间(－1，0)上是增函数．证明如下：当x∈(－1，0)时，f(x)＝x2－2|x|＝x2＋2x.设－1＜x1＜x2＜0，则x1－x2＜0，且x1＋x2＞－2，即x1＋x2＋2＞0.因为f(x1)－f(x2)＝(x21－x22)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)．故f(x)在区间(－1，0)上是增函数．17．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求实数a的取值范围．解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．因为2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78＞0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋52＞0， 且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a －2a ＋3)，所以2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3，即3a －2＞0，解得a ＞23. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 18．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图象．解：(1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0； ②当x ＜0时，－x ＞0，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x .综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)图象如图所示．。
高一数学苏教版必修一课后导练：2.2.3函数的奇偶性 Word版含解析
课后导练根底达标1.以下判断中正确的选项是 ( ) A.f(x) =(x )2是偶函数 B.f(x) = (x )3是奇函数C.f(x) =x 2 -1在［ -5 ,3］上是偶函数D.f(x) =23x -是偶函数解析：A 、B 、C 中函数的定义域都不关于原点对称 ,应选D.答案：D2.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数 ,又是偶函数的函数一定是f(x) =0(x ∈R).其中正确命题的个数是 ( )A.1B.2 C解析：偶函数的图象关于y 轴对称 ,但不一定与y 轴相交.反例：y =x 0 ,故①错误 ,③正确.奇函数的图象关于原点对称 ,但不一定经过原点.反例：y =x -1,故②错误.假设y =f(x)既是奇函数又是偶函数 ,由定义可得f(x) =0 ,但未必x ∈R.反例：f(x) =21x - +12-x ,其定义域为{ -1,1} ,故④错误.∴选A.答案：A3.对于定义域是R 的任意奇函数f(x)都有( )A.f(x) +f( -x)>0B.f(x) -f( -x)≤0C.f(x)·f( -x)≤0D.f(x)·f( -x)>0解析：∵f( -x) = -f(x),∴f(x)·f( -x) = -f(x)·f(x)≤0.答案：C4.y =f(x)是奇函数 ,当x>0时 ,f(x) =x(1 +x),当x<0时 ,f(x)等于( )A. -x(1 -x)B.x(1 -x)C. -x(1 +x)D.x(1 +x) 解析：设x<0 ,那么 -x>0,∴f( -x) = -x(1 -x).∵f(x)是奇函数 ,得f(x) =x(1 -x).应选B.答案：B5.函数f(x)的定义域为［a,b ］,函数y =f(x)的图象如右图所示 ,那么函数f(|x|)的图象是( )解析：∵y =f(|x|)是偶函数 ,∴y =f(|x|)的图象是由y =f(x)把x>0的图象保存 ,且关于y 轴对称.应选B.答案：B6.假设y =(m -1)x 2 +2mx +3是函偶数 ,那么m =______________.解析：函数为偶函数 ,图象关于y 轴对称 ,∴对称轴x = -1-m m =0,∴m =0. 答案：07.设函数f(x)在区间 ( -∞, +∞ )内有定义 ,以下函数①y = -|f(x)|;②y =xf(x 2);③y = -f(x);④y =f(x) -f( -x)其中必为奇函数的有____________.解析：对于② ,令g(x) =xf(x 2),那么g( -x) = -xf ［ ( -x)2］ = -xf(x 2) = -g(x),∴y =xf(x 2)为奇函数.对于④,令g(x) =f(x) -f( -x),那么g( -x) =f( -x) -f(x) = -g(x),∴y =f(x) -f( -x)为奇函数.∴填②④.答案：②④8.判断函数f(x) =⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-032,00,032x x x x x 的奇偶性. 解析：由可知函数的定义域为R.当x>0时 , -x<0.f( -x) =2( -x) +3 = -(2x -3) = -f(x) ,当x =0时,f( -x) = -f(x) =0.当x<0时, -x>0.f( -x) =2( -x) -3 = -(2x +3) = -f(x) ,∴f( -x) = -f(x).∴此函数为奇函数.9.判断函数f(x) =(x -1)xx -+11( -1<x<1)的奇偶性. 解析：∵ -1<x<1,定义域关于原点对称 ,又f(x) = -xx x -+-11)1(2 = -21x -, ∴f( -x) = -2)(1x -- = -21x - =f(x),∴f(x)为偶函数. 10.奇函数y =f(x)是定义在 ( -2 ,2 )上的减函数 ,假设f (m) +f(2m -1)>0求实数m 的取值范围. 解析：由f(m) +f(2m -1)>0得f(m)> -f(2m -1),又∵f(x)是奇函数 ,∴f(m)>f(1-2m).由f(x)是 ( -2 ,2 )上的减函数 ,可得⎪⎩⎪⎨⎧-<<-<-<<-,21,2212,22m m m m解得 -21<m<31. ∴所求实数m 的取值范围是 -21<m<31. 综合训练11.f(x +1)是偶函数 ,那么函数y =f(2x)的图象的对称轴是 ( )A.x =1B.x =21C.x = -1D.x = -21 解析：∵f(x +1)是偶函数 ,故f(x)关于直线x =1对称 ,∴y =f(2x)关于直线x =21对称.应选B 答案：B12.f(x) =x 5 +ax 3 +bx -8,且f( -2) =10,那么f(2)等于 ( )A. -26B.-18 C解析：令g(x) =f(x) +8 =x 5 +ax 3 +bx,那么g(x)是奇函数 ,∴g( -2) +g(2) =0.∴f( -2) +8 +f(2) +8 =0.∵f( -2) =10,∴f(2) = -26.∴选A.答案：A13.函数f(x) =ax 2 +bx +c(-2a -3≤x ≤1)是偶函数 ,那么a =___________,b =____________. 解析：由f(x)是偶函数 ,∴-2a -3 = -1,a = -1且f(x)的图象关于y 轴对称.又二次函数的对称轴为x = -a b 2, ∴有 -ab 2 =0,即b =0. 答案： -1 014.设奇函数f(x)的定义域为［ -5,5］,假设当x ∈［0 ,5］时 ,f(x)的图象如右图所示 ,那么不等式f(x)<0的解是______________.解析：利用奇函数图象的对称性解题.由图象及对称性得f(x)<0的解集为 ( -2 ,0 )∪ (2 ,5］.答案： ( -2 ,0 )∪ (2 ,5 )15.设定义在［ -2,2］上的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减 ,假设f(1 -m)<f(m),那么实数m 的取值范围.解析：∵f(x)是偶函数.∴f( -x) =f(x) =f(|x|)∴不等式f(1 -m)<f(m) ⇔f(|1 -m|)<f(|m|).又当x ∈［0,2］时 ,f(x)是减函数.∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->-.22,212|,||1|m m m m解得 -1≤m<21. 拓展提升16.y =f(x)是奇函数 ,它在 (0 , +∞)上是增函数 ,且f(x)<0,试问F(x) =)(1x f 在 ( -∞ ,0 )上是增函数还是减函数 ?证明你的结论.解析：任取x 1,x 2∈( -∞,0),且x 1<x 2那么有 -x 1> -x 2>0.∵y =f(x)在 (0 , +∞ )上是增函数 ,且f(x)<0.∴f( -x 2)<f( -x 1)<0. ①又∵f(x)是奇函数 ,∴f( -x 2) = -f(x 2),f( -x 1) = -f(x 1). ②由①②得f(x 2)>f(x 1)>0.于是F(x 1) -F(x 2) =)(11x f -)(12x f =)()()()(2112x f x f x f x f •->0,即F(x 1)>F(x 2). ∴F(x) =)(1x f 在 ( -∞ ,0 )上是减函数.。
高一数学苏教版必修1课后训练：2.2.2函数的奇偶性 Word版含解析
课后训练千里之行 始于足下1．对于定义在R 上的任意奇函数f (x ) ,以下式子中恒成立的序号是________．(1 )f (x )－f (－x )≥0； (2 )f (x )－f (－x )≤0； (3 )f (x )·f (－x )≤0； (4 )f (x )·f (－x )≥0； (5 )f (x )＋f (－x )＝0； (6 )()1()f x f x =--. 2．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数 ,其定义域是[a －1,2a ] ,那么a ＝________ ,b ＝________.3．f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8 ,且f (－2 )＝10 ,那么f (2 )＝________.4．奇函数f (x )在x <0时 ,函数解析式为f (x )＝x (x －1 ) ,那么当x >0时 ,函数解析式f (x )＝______________.5．假设f (x )是定义在R 上的偶函数 ,在 (－∞ ,0]上是单调减函数 ,且f (2 )＝0 ,那么使得f (x )<0的x 的取值范围是______．6．假设f (x )是定义在R 上的奇函数 ,且f (x －2 )＝－f (x ) ,给出以下4个结论：①f (2 )＝0；②f (x )＝f (x ＋4 )；③f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④f (x ＋2 )＝f (－x ) ,其中所有正确结论的序号是______．7．判断以下函数的奇偶性：(1 )43()1x x f x x -=-； (2 )2()1x f x x =+； (3 )323231,0,()31,0.x x x f x x x x ⎧+-<⎪=⎨-+>⎪⎩； (4 )2()a f x x x=+ (a ∈R )．8．设f (x )为定义在R 上的偶函数 ,当0≤x ≤2时 ,y ＝x ；当x >2时 ,y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4 )且过点A (2,2 )的抛物线的一局部．(1 )求函数f (x )在 (－∞ ,－2 )上的解析式；(2 )在直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3 )写出函数f (x )的值域．百尺竿头 更进一步设函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) ,且x >0时 ,f (x )<0 ,f (1 )＝－2.(1 )证明：f (x )为奇函数；(2 )证明：f (x )在R上为单调减函数；(3 )假设f (2x＋5 )＋f (6－7x )>4 ,求x的取值范围．参考答案与解析千里之行1．(3 ) (5 )解析：由奇函数的定义知,f (－x )＝－f (x ) ,∴f (x )·f (－x )＝f (x )·[－f (x )]＝－[f (x )]2≤0 ,且f (x )＋f (－x )＝0 ,∴(3 ) (5 )正确, (1 ) (2 ) (4 )错, (6 )当f (－x)≠0时成立,故不恒成立．2.130解析：∵函数具有奇偶性时,定义域必须关于原点对称,故a－1＝－2a,∴13a=,又对于f (x )有f (－x )＝f (x )恒成立,∴b＝0.3．－26解析：方法一：令g (x )＝x5＋ax3＋bx ,那么g (x )是奇函数．∴f (－2 )＝g (－2 )－8＝－g (2 )－8＝10 ,∴g (2 )＝－18 ,∴f (2 )＝g (2 )－8＝－18－8＝－26.方法二：∵f (－x )＋f (x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x )－8＋x5＋ax3＋bx－8＝－16 ,∴f (－2 )＋f (2 )＝－16 ,又f (－2 )＝10 ,∴f (2 )＝－16－f (－2 )＝－16－10＝－26.4．－x (x＋1 )解析：设x>0时,那么－x<0 ,由条件,得f (－x )＝－x (－x－1 )∵函数为奇函数,∴f (－x )＝－f (x ) ,∴－f (x )＝－x (－x－1 ) ,∴f (x )＝－x (x＋1 ) (x>0 )．5．(－2,2 )解析：方法一：f (2 )＝0 ,f (－2 )＝0 ,f (x )在(－∞ ,0]上单调递减,又∵f (x )为偶函数,∴f(x)在[0 ,＋∞ )上单调递增,当x∈(－2,0]时,f(x)<f(－2 )＝0 ,当x∈[0,2 )时,f (x )<f (2 )＝0 ,∴使f (x )<0的x的取值范围是(－2,2 )．方法二：∵f (x )是偶函数,且在(－∞ ,0]上是单调减函数,∴f (x )在[0 ,＋∞ )上是单调增函数,∵f (2 )＝0 ,∴f (－2 )＝f (2 )＝0 ,由单调性易知使f (x )<0的x的取值范围是(－2,2 ) ,借助图形更直观,如图．6．①②④解析：由题意,知f (0 )＝－f (2 ) ,∴f (2 )＝－f (0 ) ,又f (x )是R上的奇函数,∴f (0 )＝0 ,∴f (2 )＝0 ,故①正确；∵f (x )＝－f (x＋2 )＝f (x＋4 ) ,∴②正确；∵f (x )为奇函数,∴图象关于原点对称,③不正确；∵f (－x )＝－f (x )＝f (x＋2 ) ,∴④正确．7．解：(1 )433()1x xf x xx-==-,但f (x )的定义域为{x|x≠1} ,关于原点不对称,故此函数是非奇非偶函数．(2 )f (x )的定义域为R ,∵对任意的x ∈R ,都有()()22()()11x x f x f x x x --===-++- ,∴函数f (x )为奇函数．(3 )f (x )的定义域为 (－∞ ,0 )∪ (0 ,＋∞ ) ,关于原点对称．当x >0时 ,－x <0 ,那么f (－x )＝ (－x )3＋3 (－x )2－1＝－x 3＋3x 2－1＝－ (x 3－3x 2＋1 )＝－f (x )．当x <0时 ,－x >0 ,那么f (－x )＝ (－x )3－3 (－x )2＋1＝－x 3－3x 2＋1＝－ (x 3＋3x 2－1 )＝－f (x )∴对定义域内的任意x ,都有f (－x )＝－f (x )∴函数f (x )为奇函数．(4 )当a ＝0时 ,f (x )＝x 2 ,对任意x ∈ (－∞ ,0 )∪ (0 ,＋∞ ) ,f (－x )＝ (－x )2＝x 2＝f (x ) ,∴函数f (x )为偶函数．当a ≠0时 ,2()a f x x x=+ (a ≠0 ,x ≠0 ) ,取x ＝±1 ,得f (－1 )＋f (1 )＝2≠0 ,f (－1 )－f (1 )＝－2a ≠0 ,∴f (－1 )≠－f (1 ) ,f (－1 )≠f (1 ) ,∴函数f (x )既不是奇函数 ,也不是偶函数．8．解： (1 )当x >2时 ,设f (x )＝a (x －3 )2＋4.又因为过A (2,2 ) ,所以f (2 )＝a (2－3 )2＋4＝2 ,解得a ＝－2 ,所以f (x )＝－2 (x －3 )2＋4.设x ∈ (－∞ ,－2 ) ,那么－x >2 ,所以f (－x )＝－2 (－x －3 )2＋4.又因为f (x )在R 上为偶函数 ,所以f (－x )＝f (x ) ,所以f (x )＝－2 (－x －3 )2＋4 ,即f (x )＝－2 (x ＋3 )2＋4 ,x ∈ (－∞ ,－2 )．(2 )图象如下列图 ,(3 )由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}．百尺竿头(1 )证明：∵x ,y ∈R ,f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．令x ＝y ＝0 ,∴f (0 )＝f (0 )＋f (0 ) ,∴f (0 )＝0.令y ＝－x ,代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) ,得f (0 )＝f (x )＋f (－x ) ,而f (0 )＝0 ,∴f (－x )＝－f (x ) (x ∈R ) ,∴f (x )为奇函数．(2 )证明：任意x 1 ,x 2∈R ,且x 1<x 2 ,由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )知f (x 2－x 1 )＝f (x 2 )＋f (－x 1 )．∵x 2－x 1>0 ,∴f (x 2－x 1 )<0 ,且f (x )为奇函数 ,∴f (－x 1 )＝－f (x 1 ) ,∴f (x 2 )＋f (－x 1 )＝f (x 2 )－f (x 1 )＝f (x 2－x 1 )<0 ,即f (x 2 )<f (x 1 ) ,∴f (x )在R 上为单调减函数．(3 )解：∵f (2x ＋5 )＋f (6－7x )＝f (2x ＋5＋6－7x )＝f (11－5x )．而f (1＋1 )＝f (1 )＋f (1 )＝－2－2＝－4 ,即f (2 )＝－4 ,∴4＝－f (2 )＝f (－2 )．∴f (2x ＋5 )＋f (6－7x )>4等价于f (11－5x )>f (－2 )．由 (2 )知 ,f (x )在R 上为单调减函数 ,∴11－5x <－2 ,解得135x > ,∴x 的取值范围为13,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
高中数学(苏教版必修一)教师用书第2章 2.2.2 函数的奇偶性 Word版含解析
函数的奇偶性．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．．会判断函数的奇偶性．(重点)．掌握函数奇偶性的运用．(难点)[基础·初探]教材整理函数奇偶性的概念阅读教材～，完成下列问题．．偶函数()的定义域为，如果对于一般地，设函数＝任意(－)＝，都有∈的()，那么称函数＝()是偶函数．．奇函数一般地，设函数＝()的定义域为，如果对于任意的∈，都有(－)＝－()，那么称函数＝()是．奇函数．奇偶性奇函数()是如果函数或偶函数()具有奇偶性．，我们就说函数．奇、偶函数的图象性质轴()偶函数的图象关于对称，图象关于轴对称的函数一定是偶函数．对称，图象关于()奇函数的图象关于原点一定是奇函数．对称的函数原点．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()函数()＝的图象关于()对称．( )()偶函数的图象一定与轴相交．( )()若对函数()有(－)＝()，则()为偶函数．( )()奇函数的图象一定过()．( )【答案】()√()×()×()×．若()是定义在区间[－]上的奇函数，则＝.【解析】易知－＋＝，∴＝－.【答案】－[小组合作型]()若函数()的图象如图--，则()为函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)图--()判断下列函数的奇偶性．①()＝；②()＝＋；③()＝＋.【精彩点拨】()观察图象的对称性．()利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看()与(－)的关系．【自主解答】()因为函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数．。
高一数学苏教版必修1同步训练2.1.3函数的简单性质第二课时奇偶性 Word版含解析
第二课时奇偶性．下列说法中，正确的序号是．①图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数②奇函数的图象一定经过原点③偶函数的图象若不经过原点，则它与轴交点的个数一定是偶数④图象关于轴成轴对称的函数一定是偶函数．．()一次函数＝＋(≠)是奇函数，则＝；()二次函数＝＋＋(≠)是偶函数，则＝.．已知函数＝()为奇函数，若()－()＝，则(－)－(－)＝.．已知偶函数＝()在区间[]上是单调增函数，则(－)与(π)的大小关系是．．已知()是区间(－∞，＋∞)上的奇函数，()＝－，()＝，则(－)与()的大小关系是．．已知奇函数()在<时，()＝(－)，则当>时，()＝.．设()是(－∞，＋∞)上的奇函数，(＋)＝－()，当≤≤时，()＝，则()等于．．若定义在上的函数()满足：对任意、∈有(＋)＝()＋()＋，则下列说法一定正确的序号是．①()为奇函数②()为偶函数③()＋为奇函数④()＋为偶函数．判断下列函数的奇偶性：()()＝＋；()()＝＋；()()＝＋，∈[－)；()()＝(\\((－(，<，(＋(，>.))．若()是偶函数，()是奇函数，且()＋()＝，求()和()的解析式．．函数()＝是定义在(－)上的奇函数，且()＝，求函数()的解析式．．若函数()＝(∈)，则函数＝(－)在其定义域上是单调递(填“增”“减”)的(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数．．设函数＝()是奇函数．若(－)＋(－)－＝()＋()＋，则()＋()＝.．已知函数()＝＋＋＋是偶函数，其定义域是[－]，则＝，＝.．若φ()，()都是奇函数，()＝φ()＋()＋在(，＋∞)上有最大值，则()在(－∞，)上有最小值是．．若函数()＝(＋)(＋)(常数、∈)是偶函数，且它的值域为(－∞，]，则该函数的解析式()＝.．老师给了一个函数＝()，三个学生甲、乙、丙各指出这个函数的一个性质：甲：对于∈，函数的图象关于轴对称；乙：在(－∞，]上函数递减；丙：在[，＋∞)上函数递增．请构造一个这样的函数：.．若()是定义在上的奇函数，且(－)＝－()，给出下列个结论：①()＝；②()＝(＋)；③( )的图象关于直线＝对称；④(＋)＝(－)．其中所有正确结论的序号是．．(易错题)已知定义域为的函数()在(，＋∞)上为减函数，且函数＝(＋)为偶函数，则下列关系正确的序号为．①()>() ②()>() ③()＝() ④()>() ⑤()<() ⑥()<() ⑦()>() ⑧()＝() ⑨()＝().(易错题)()已知函数()满足关系式()＋()＝，试判断()的奇偶性．()已知函数()＝(\\(＋＋，<，，＝，,－＋－，>.))判断()的奇偶性并证明．。
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函数的奇偶性练习
1．奇函数f (x )在区间［3,7］上为单调增函数，最小值为5，那么函数f (x )在区间［－7，－3］上为单调__________函数，且最__________值为__________．
2．函数f (x )是R 上的偶函数，且在［0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是__________．
①f (－2)＞f (0)＞f (1)；②f (－2)＞f (1)＞f (0)；
③f (1)＞f (0)＞f (－2)；④f (1)＞f (－2)＞f (0)．
3．下列函数中是奇函数且在(0,1)上单调递增的函数是__________．
①f (x )＝x ＋1x ；②f (x )＝x 2－1x
；
③(f x ；④f (x )＝x |x |．
4．下列函数是奇函数的是__________． ①(1)1x x y x -=-；②y ＝－3x 2；③y ＝－|x |；④y ＝πx 3－35
x ；⑤y ＝x 3·|x |． 5．若φ(x )，g (x )都是奇函数，f (x )＝a φ(x )＋bg (x )在(0，＋∞)上有最大值5，则f (x )在(－∞，0)上有__________．(填最值情况) 6．设函数()(1)()x x a f x x
++=为奇函数，则a ＝__________． 7．若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达
式为__________．
8．已知f (x )＝x 3＋1x
，且f (a )＝1，则f (－a )＝____． 9．判断函数()(][)
22(5)4,6,1,(5)4,1,6x x f x x x ⎧+-∈--⎪⎨--∈⎪⎩＝的奇偶性． 10．已知函数f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0)，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性并说明理由． 11．若函数()22,0,,0,x x x f x ax x x ⎧-+>=⎨+≤⎩当a 为何值时，f (x )是奇函数？ 12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2
－4x ＋3．
(1)求f ［f (－1)］的值；
(2)求函数f (x )的解析式；
(3)求函数f (x )在区间［t ，t ＋1］(t ＞0)上的最小值．
参考答案
1．解析：根据题意作出如图所示的草图即可知．
答案：增 大 －5
2．解析：由条件得f (－2)＝f (2)，
因为f (x )在［0，＋∞)上单调递增，
所以f (0)＜f (1)＜f (2)，
即f (－2)＞f (1)＞f (0)．
答案：②
3．解析：由定义可知①④是奇函数，
但对于函数f (x )＝x ＋
1x 来说， 当x ＝12时，1()2f ＝52
， 当x ＝13时，1()3
f ＝103， 所以①不是递增函数．
答案：④
4．解析：先判断定义域关于原点是否对称，再确定f (－x )与－f (x )的关系．①中定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)关于原点不对称，所以排除①；②③均是偶函数；④⑤中函数的定义域是R ，可得f (－x )＝－f (x )，则它们是奇函数．
答案：④⑤
5．解析：由条件得f (－x )＝a φ(－x )＋bg (－x )＝－a φ(x )－bg (x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，它的图象关于原点对称．
答案：最小值－5
6．解析：由f (－x )＋f (x )＝0得(1)()(1)()x x a x a x x x
++--+-＝0，解得a ＝－1． 答案：－1
7．解析：当x ＜0时，－x ＞0，
f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，
∵f (x )为奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ．
综上所述，()222,0,2,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ 答案：()222,0,2,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩
8．解析：f (x )＝x 3＋1x
的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝(－x )3＋1x -＝31x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 因此f (－a )＝－f (a )＝－1．
答案：－1
9．解：f (x )的定义域为(－6，－1］∪［1,6)，关于原点对称．
当x ∈(－6，－1］时，－x ∈［1,6)，
f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )；
当x ∈［1,6)时，－x ∈(－6，－1］，
f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )．
综上可知，对于x ∈(－6，－1］∪［1,6)，
都有f (－x )＝f (x )，
所以f (x )为偶函数．
10．解：当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )
2＝f (x )，
所以f (x )为偶函数．
当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0)，不妨取x ＝±1， f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，
所以f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．
所以函数既不是奇函数又不是偶函数．
11．解：假设f (x )是奇函数，则有f (－x )＝－f (x )．
当x ＞0时，－x ＜0，
则f (－x )＝a (－x )2＋(－x )＝ax 2－x ．
又∵x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ，
∴－f (x )＝x 2－x ．
∵f (－x )＝－f (x )，
即ax 2－x ＝x 2－x ，
∴a ＝1．
下面证明()22,0,,0
x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩是奇函数．
证明：当x ＞0时，－x ＜0，
则f (－x )＝(－x )2＋(－x )
＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；
当x ≤0时，－x ≥0，
则f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )，
于是22(),0,()(),0.
x x x f x x x x ⎧--+>=⎨-+≤⎩－ ∴f (－x )＝－f (x )．
∴假设成立，a ＝1．
12．解：(1)因为f (－1)＝－f (1)＝0，故f ［f (－1)］＝f (0)，
由奇函数的性质知f (0)＝0，
从而有f ［f (－1)］＝0．
(2)当x ＝0时，由奇函数的性质知f (0)＝0；
当x ＜0时，－x ＞0，
故f (x )＝－f (－x )
＝－［(－x )2－4(－x )＋3］
＝－x 2
－4x －3． 综上所述，2243,0,()=0,0,43,0.x x x f x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩
(3)当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1，对称轴为x ＝2．
当0＜t ≤1时，区间［t ，t ＋1］(t ＞0)在对称轴的左侧，此时f (x )min ＝f (t ＋1)＝t
2－2t ；
当1＜t ≤2时，对称轴在区间［t ，t ＋1］(t ＞0)内部，此时f (x )min ＝f (2)＝－1；
当t ＞2时，区间［t ，t ＋1］(t ＞0)在对称轴的右侧，此时f (x )min ＝f (t )＝t 2－4t ＋3． 综上所述，()2min 22,01,1,12,43, 2.t t t f x t t t t ⎧-<≤⎪-<≤⎨⎪-+>⎩
＝。