高考数学二轮复习 第二部分 指导二 模板1 三角变换与三角函数图象性质问题课件 文
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
高三数学二轮复习教案：专题二 第1讲 三角函数的图像与性质
专题二三角函数、解三角形、平面向量第1讲三角函数的图象与性质自主学习导引真题感悟1．(·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是解析利用三角函数的图象与变换求解．结合选项可知应选A.答案 A2．(·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围． 解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即 ω＝k 2＋13(k ∈Z )． 又 ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－ 2. 即λ＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2. 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 53x －π6≤1， 得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2， 故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．考题分析本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，去求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下．网络构建高频考点突破考点一：三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】(·北京东城模拟)在平面直角坐标系xOy中，将点A(1，3)绕原点O顺时针旋转90°到点B，那么点B的坐标为________；若直线OB的倾斜角为α，则sin 2α的值为________．[审题导引]根据三角函数的定义求出点B的坐标，进而求出角α，可求sin 2α.[规范解答]如图所示，∵点A的坐标为(3，1)，∴∠AOx＝60°，又∠AOB＝90°，∴∠BOx＝30°，过B作BC⊥x轴于C，∵OB＝2，∴OC＝3，BC＝1，∴点B的坐标为(3，－1)，则直线OB的倾斜角为5π6，即α＝5π6，∴sin 2α＝sin 5π3＝－sin2π3＝－32.[答案](3，－1)－3 2【规律总结】三角函数的定义与诱导公式的应用(1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单．(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件．【变式训练】1．(·惠州模拟)在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 解析 在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x ＞cos x ，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案 C2．(·海淀一模)若tan α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos α ＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－45. 答案 －45考点二：三角函数图象变换及函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】(1)(·宿州模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝cos 2x 的图象经过怎样的变换得到 A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π12个单位D ．向右平移π12个单位(2)(·泰州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是________．[审题导引] (1)应用诱导公式把两个函数化为同名函数，然后比较二者的差异可得；(2)先由图象求出f (x )的周期，从而得ω的值，再由关键点求φ，由最小值求A ，故得f (x )，可求f .[规范解答] (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， 故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝cos 2x 的图象向右平移π12个单位得到，故选D. (2)如图所示，T 4＝712π－π3＝π4，∴T ＝π.则ω＝2.又2×π3＋φ＝π，∴φ＝π3，又易知A ＝2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin 2π3＝62. [答案] (1)D (2)62【规律总结】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式及其图象变换的规律方法(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A ，由函数的周期确定ω，由图象上的关键点确定φ.(2)一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作把曲线y ＝sin ωx 上所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度而得到的．【变式训练】3．(·临沂模拟)若函数y ＝3sin x －cos x 的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A.π6B.π4C.π3D.2π3解析 y ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，函数图象向右平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －π6，要使所得到的图象关于y 轴对称，则有m ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即m ＝π3＋k π，k ∈Z ，所以当k ＝0时，m ＝π3，选C.答案 C4．(·房山一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析 T 2＝π－3π8，∴T ＝5π4， ∴ω＝2πT ＝85.又85×3π8＋φ＝3π2，∴φ＝910π.答案 85 910π考点三：三角函数图象与性质的综合应用【例3】(·北京东城11校联考)已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω＞0)的最小正周期是π.(1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)若A 为锐角△ABC 的内角，求f (A )的取值范围．[审题导引] 把f (x )化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式后求单调区间与对称中心，再根据A 的范围求f (A )的取值范围．[规范解答] (1)f (x )＝1＋cos 2ωx 2－32sin 2ωx＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋12， T ＝2π2ω＝π，ω＝1.f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12， －π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π.函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z ， 令2x ＋π3＝π2＋k π，x ＝π12＋k π2， ∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，12，k ∈Z . (2)0＜A ＜π2，π3＜2A ＋π3＜4π3，－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＜12， －12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋12＜1， 所以f (A )的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1. 【规律总结】三角函数性质的求解方法(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求解．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期．[易错提示] (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解．(2)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解．【变式训练】5．(·朝阳模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若f (α)＝7210，求sin 2α的值；(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210， 所以22(cos α＋sin α)＝7210，所以cos α＋sin α＝75.平方得，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝4925， 所以sin 2α＝2425.(2)因为g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝22(cos x ＋sin x )·22(cos x －sin x )＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 所以，当x ＝0时，g (x )的最大值为12；当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.名师押题高考【押题1】已知π2＜θ＜π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－35，则tan(π－θ)的值为 A.34 B.43 C ．－34 D ．－43解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝－35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin θ＝45，∴tan θ＝－43，tan(π－θ)＝－tan θ＝43.答案 B[押题依据] 本题以选择题的形式考查了同角三角函数的基本关系式及诱导公式，重点突出、考查全面，题目考查内容基础性较强，符合高考的方向，故押此题．【押题2】(·北京东城一模)已知函数f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 22x .(1)求f (x )的最小正周期(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求y ＝g (x )的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 22x＝sin 4x ＋cos 4x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期为π2.(2)依题意，y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4＋1. 因为0≤x ≤π4，所以－π4≤4x －π4≤3π4.当4x －π4＝π2，即x ＝3π16时，g (x )取最大值2＋1；当4x －π4＝－π4，即x ＝0时，g (x )取最小值0.[押题依据] 将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，也是三角函数的重要内容，本题考查内容重点突出，难度适中，故押此题．。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )
高考数学二轮复习专题2三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质文
高考数学二轮复习专题 2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质文1．高考对三角函数图象的考察主要包含三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求分析式或求分析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考察．2．高考对三角函数性质的考察是要点，以解答题为主，考察y＝ A sin ( ωx＋φ ) 的周期性、单一性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形联合进行综合考察，试题难度属中低档．角的观点与引诱公式1．角的观点．(1)终边同样的角不必定相等，相等的角终边必定同样 ( 填“必定”或“不必定” ) ．(2) 确立角α所在的象限，只需把角α 表示为α＝2kπ＋α 0[k∈Z，α0∈[0，2π )]，判断出α0所在的象限，即为α 所在象限．2．引诱公式．引诱公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依照，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三角函数定义与同角三角函数基本关系1．三角函数的定义：设α是一个随意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P ( x, y)，y则 sin α＝y， cos α＝x， tan α＝x.2．同角三角函数的基本关系．(1)sin2α＋cos2α＝1.sinα(2)tanα＝cosα．三角函数的性质三角函数的基天性质列表以下：函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象(续上表 )定义域R值域[ －1，1]周期性最小正周期为 2π奇偶性奇函数π－2＋ 2kπ，在π2＋ 2kπ单一性( k∈Z) 上递加，π2＋ 2kπ，在3π2＋ 2kπ( k∈Z) 上递减对称中( kπ， 0) ，k∈ Z 心坐标对称轴π方程x＝kπ＋2，k∈ZR[ －1， 1]最小正周期为 2π偶函数在 [2 kπ－π， 2kπ ]( k∈Z) 上递加，在[2 kπ， 2kπ＋π ]( k∈Z) 上递减πkπ＋2，0， k∈Zx＝ kπ， k∈ZR最小正周期为π奇函数π－2＋ kπ，在π2＋ kπ( k∈Z) 上都是增函数kπ2， 0 ，k∈ Z三角函数的变换正弦曲线 y＝sin x 的变换(此中ω＞0)：判断下边结论能否正确（请在括号中打“√”或“×”） .（ 1）角 α 终边上点 P 的坐标为－ 1 ， 3，那么 sin α＝ 3 12 ，cos α＝－ ；同理角2 22 α 终边上点 Q 的坐标为（ x 0， y 0），那么 sin α＝ y 0，cos α＝ x 0 . （ × ）（ 2）锐角是第一象限角，反之亦然 . （ × ）（ 3）终边同样的角的同一三角函数值相等. （ √ ） （ 4）常函数 f （ x ）＝ a 是周期函数，它没有最小正周期 . （ √ ）（ 5） y ＝ cos x 在第一、二象限上是减函数 . （ × ）（ 6） y ＝ tan x 在整个定义域上是增函数 . （× ）1. （2015·福建卷）若sin 5tan α的值等于（ D ）α＝－ 13，且 α 为第四象限角，则12 12 55A.5B. －5C. 12D. －12252分析：解法一由于 α 为第四象限的角， 故 cos α＝ 1－ sin α＝ 1－（－ 13） ＝512sin α－13513，因此 tan α ＝cos α＝ 12＝－ 12.13由于 α 是第四象限角，且 sin5解法二 α＝－ 13， 因此可在 α 的终边上取一点P （ 12，－ 5），y 5则 tan α＝ x ＝－ 12. 应选 D.2. 已知 α 的终边经过点A （ 5a ，－ 12a ），此中 a ＜ 0，则 sin α的值为（B ）A. －12B.12C.5D. －513131313π3.（2014·新课标Ⅰ卷）在函数①y＝ cos|2 x| ，②y＝ |cos x| ，③y＝ cos 2x＋6，④y ＝tan2x－π中，最小正周期为π的全部函数为（）4AA. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③分析：①中函数是一个偶函数，其周期与y＝cos 2x同样，＝2π＝π；②中函数y＝22ππ|cos x|的周期是函数y＝cos x 周期的一半，即T＝π；③ T＝2＝π；④ T＝2.应选A.4. （2015·陕西卷）如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似知足函数y＝3sin （π＋）＋. 据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ C）6xφkA.5B.6C.8D.10分析：依据图象得函数的最小值为2，有－ 3＋k＝ 2，k＝ 5，最大值为3＋k＝ 8.。
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质课件
例 1 若 sin θ＝－54，tan θ＞0，则 cos θ＝________． 解析：由已知 sin θ＝－45，tan θ＞0，知 θ 在第三象限， ∴cos θ＝－ 1－sin2 θ ＝－ 1－－452＝－35. 答案：－35
(1)三角函数线是研究三角函数性质的主要依据，在函 数值大小比较时经常运用．
则 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ccooss22θθ＋－ssiinn22θθ＝11＋－ttaann22θθ
＝－35.
例 2 设向量 a＝sin2π＋4 2x，cos x＋sin x，b＝(4sin x，cos x－sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知常数 ω>0，若 y＝f(ωx)在区间－π2 ，23π上是增函 数，求 ω 的取值范围；
(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的 化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式及公式的 应用条件．
1．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重
合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝(B)
A．－45
B．－53
3
4
C.5
D.5
解析：∵角 θ 的终边在直线 y＝2x 上，∴tan θ(x)＝Asin(ωx ＋φ)的解析式．
解析：由图象，知最大值为 3.则 A＝ 3.12T＝21π，故 ω
＝2.所求解析式为 y＝ 3sin(2x＋φ)．
∵点 Mπ3 ，0在图象上，∴φ＝－23π＋2kπ(k∈Z)．
取 φ＝－23π，∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
根据三角函数的图象特征转化为求函数的周期、最值、 单调区间问题，并且用代数式表示．
2．已知 ω>0，0＜φ＜π，直线 x＝π4 和 x＝5π 4 是函数 f(x)＝sin(ωx
2024届高考数学二轮复习专题1三角函数与解三角形课件
即 cos A＝－12，
由 A 为三角形内角得 A＝23π，
△ABC
面积
S＝12bcsin
A＝12×1×
23＝
3 4.
专题一 三角函数与平面向量
类型四 平面向量及其应用
1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，
则( )
A．λ＋μ＝1
B．λ＋μ＝－1
A．79 解析：因为
sin
B．19 (α－β)＝sin
αcos
C．－19 β－sin βcos
α＝13，
cos αsin β＝16，
所以 sin αcos β＝12，
所以 sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝12＋16＝23，
则 cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×49＝19.
答案：－
3 2
专题一 三角函数与平面向量
3．(2023·全国甲卷)函数 y＝f(x)的图象由函数 y＝cos (2x＋π6)的图象向左平移π6个
单位长度得到，则 y＝f(x)的图象与直线 y＝12x－12的交点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：把函数 y＝cos(2x＋π6)向左平移π6个单位可得 函数 f(x)＝cos(2x＋π2)＝－sin 2x 的图象， 而直线 y＝12x－12＝12(x－1)经过点(1，0)，且斜率为12，
Bcos Bcos
AA－ssiinn
CB＝1，所以ssiinn
（（AA－＋BB））－
sin sin
CB＝sin
（A－sinBC）－sinB＝1，
专题一 三角函数与平面向量
高考数学复习考前增分指导二规范——解答题的7个解题模板及得分说明模板1三角变换与三角函数图象性质考题
在区间－π6 ，π4 上是增函数，
(10 分)
f－π3 ＝－14，f－π6 ＝－12，fπ4 ＝ 43，
(12 分)
所以 f(x)在区间－π3 ，π4 上的最大值为 I，
最小值为－12.
(13 分)
第6页
得分说明 ①无化简过程，直接得到 f(x)＝12sin2x－π6 ，扣 5 分； ②化简结果错误，中间某一步正确，给 2 分. ③单调性正确，计算错误，扣 2 分； ④若单调性出错，给 1 分；
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3.洁净整齐保得分，简明扼要是关键 若书写整齐，表示清楚，一定会得到合理或偏高分数，若 不规范可能就会吃亏.若写错需更正，只需划去，不要乱涂 乱划，不然易丢分.
4.狠抓基础保成绩，分步处理克难题
(1)基础题争取得满分.包括定理、公式要准确，数学语言要 规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题 争取多得分.第(Ⅰ)问普通难度不大，要确保得分，第(Ⅱ)问 若不会，也要依据条件或第(Ⅰ)问结论推出一些结论，可能 就是得分点.
规范——解答题7个解题模板及得分说明
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1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分 高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步 骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场 答题应尽可能按得分点、步骤规范书写.
2.不求巧妙用通法，通性通法要强化 高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本方法，给出详 细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较轻 易抓住得分点.
cos
1 x2sin
x＋
23cos
x－
3cos2x＋
43＝12sin
xcos
x－
23cos2x＋
3 4
高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题二 1 第1讲 三角函数的图象与性质
专题二三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ三角函数的最值·T16高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12题或第14、15题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.卷Ⅱ三角函数的单调性·T10卷Ⅲ三角函数图象的应用·T152017卷Ⅰ三角函数的图象变换·T9卷Ⅱ三角函数的最值·T14卷Ⅲ余弦函数的图象与性质·T62016卷Ⅱ三角函数的图象变换与性质·T7卷Ⅲ同角三角函数的基本关系·T5三角函数的图象变换·T14三角函数的定义、诱导公式及基本关系(基础型)三角函数的定义若角α的终边过点P(x，y)，则sin α＝yr，cosα＝xr，tan α＝yx(其中r＝x2＋y2)．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．[注意]“奇变偶不变，符号看象限”．基本关系sin2x＋cos2x＝1，tan x＝sin xcos x.[考法全练]1．若sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan(π－α)＝()A.43 B.23C．－23D．－43解析：选A.由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－cos 2 α＝45，所以tan(π－α)＝－tan α ＝－sin αcos α＝－45－35＝43.2．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C.因为α是第三象限的角，tan α＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以cos α＝－11＋tan 2 α＝－55，sin α＝－255，则sin⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，故选C. 3．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则 1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝____________．解析：因为1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.答案：sin θ－cos θ4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4，3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．解析：因为tan α＝y x ＝－34，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ()－π－αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.答案：－345．(2018·武汉调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝____________．解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：2三角函数的图象与解析式(综合型)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换y ＝sin x 的图象――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)的图象――――――――――――――――→横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――→纵坐标变为原来的A （A ＞0）倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． [典型例题]命题角度一 由“图”定“式”(一题多解)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，2π3，⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的图象如图所示，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为( )A ．0B ．1 C. 2D. 3【解析】 法一：由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，2π3的图象，得最小正周期T ＝2πω＝43⎝⎛⎭⎫2π3＋π12＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫2π3，－2代入，得sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，2π3，由f (x 1)＝f (x 2)得sin ⎝⎛⎭⎫2x 1＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2＋π6(x 1，x 2∈⎭⎫⎣⎡⎦⎤－π12，2π3，x 1≠x 2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，2π3，所以0≤2x ＋π6≤3π2，所以2x 1＋π6＋2x 2＋π6＝π，所以x 1＋x 2＝π3，所以f (x 1＋x 2)＝2sin5π6＝1，故选B. 法二：由f (x )＝2sin ()ωx ＋φ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，2π3的图象，得最小正周期T ＝2πω＝43⎝⎛⎭⎫2π3＋π12＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫2π3，－2代入，得sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，2π3，因为f (x 1)＝f (x 2)且x 1≠x 2，由图象得x 1＋x 2＝π3，所以f (x 1＋x 2)＝2sin 5π6＝1，故选B.【答案】 B由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT .记住三角函数的周期T 的相关结论：①两个相邻对称中心之间的距离等于T2.②两条相邻对称轴之间的距离等于T2.③对称中心与相邻对称轴的距离等于T4.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A ，ω，B 已知)，也可代入图象与直线y ＝B 的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．命题角度二 图象变换(1)(一题多解)(2018·南昌调研)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象可以由函数y ＝cos x2的图象( )A ．向右平移π3个单位长度得到B ．向右平移2π3个单位长度得到C ．向左平移π3个单位长度得到D ．向左平移2π3个单位长度得到(2)(2018·石家庄质量检测(一))若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112 B.52 C.12D.32【解析】 (1)法一：由y ＝cos x2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象可以由y ＝cos x 2的图象向右平移2π3个单位长度得到． 法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B.(2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，所以－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，所以ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为52，故选B.【答案】 (1)B (2)B(1)平移规律由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法．(2)图象变换的实质图象变换的实质——点的坐标的变换，三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与y 轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等．命题角度三 图象的应用已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3cos x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为____________．【解析】 方程g (x )＝0同解于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解．【答案】 [3，2)巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．[对点训练]1.(2018·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝1－cos （2ωx ＋2φ）2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f (x )的图象经过点(1，0)，得f (1)＝1－cos （2ω＋2φ）2＝0，得2ω＋2φ＝2k π(k ∈Z )，即2φ＝2k π－2ω(k ∈Z )．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B. 2．(2018·广州调研)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6B.π12C.π4D.π3解析：选A.由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.三角函数的性质(综合型)三角函数的单调区间(1)y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．(2)y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．(3)y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．三角函数的奇偶性、对称轴方程(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．[典型例题](1)(2018·柳州模拟)下列函数中同时具有以下性质的是( ) ①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3 上是增函数；④图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π12，0.A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(2)(2018·郑州第一次质量预测)若将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g (x )的图象，若函数g (x )是奇函数，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4 (k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6 (k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12 (k ∈Z )【解析】 (1)因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A 选项；当x ＝π3时，对于B ，y＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝0，对于D ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝32，又图象关于直线x ＝π3对称，从而排除B ，D 选项，因此选C.(2)由题意知g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋φ，因为g (x )是奇函数，所以2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝－2π3＋k π(k ∈Z )，又0<φ<π，所以φ＝π3，所以g (x )＝3sin(2x ＋π)＝－3sin 2x ，由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )．故选B.【答案】 (1)C (2)B(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．(2)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A >0，ω<0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．[对点训练]1．(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A ．[π3，π]B ．[π3，2π3]C ．[0，2π3]D ．[2π3，π]解析：选A.因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π，故选A.2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2 C.3π4D ．π 解析：选A.法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎨⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.法二：因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x－cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎨⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.三角函数图象与性质的综合问题(综合型)[典型例题]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2sin x cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)先将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤π3，2π上的值域． 【解】 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2sin x cos x＝sin 2x cosπ3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，先将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象．令t ＝12x ＋π6，则函数g (x )可转化为y ＝2sin t . 因为π3≤x ≤2π，所以π3≤t ≤7π6，所以当t ＝π2，即x ＝2π3时，y max ＝g ⎝⎛⎭⎫2π3＝2；当t ＝7π6，即x ＝2π时，y min ＝g (2π)＝－1.所以函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤π3，2π上的值域为[－1，2]．求解三角函数的最值或值域，最基本的方法就是换元法，通常有两种类型：(1)“一角一函数”型：通过三角恒等变换，将问题转化为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的最值或值域问题，可利用t ＝ωx ＋φ换元转化为基本的三角函数y ＝A sin t (或y ＝A cos t )的最值或值域问题求解．(2)“二次函数”型：将问题转化为y ＝a sin 2(ωx ＋φ)＋b sin(ωx ＋φ)＋c 的最值或值域问题，可通过t ＝sin(ωx ＋φ)换元转化为y ＝at 2＋bt ＋c 的最值或值域问题求解．求解函数在指定区间上的最值或值域，要注意换元后“元”的取值范围．[对点训练]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0≤φ≤π2图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且在x ＝π8时取得最大值1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，98π时，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．解：(1)T 2＝π2⇒T ＝π⇒2πω＝π⇒ω＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，因为0≤φ≤π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(2)画出该函数的图象如图，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰好有三个根，且点(x 1，a )和(x 2，a )关于直线x ＝π8对称，点(x 2，a )和(x 3，a )关于直线x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8.一、选择题1．(2018·南宁模拟)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6解析：选B.由函数图象可知，A ＝2，又函数f (x )的图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ＝32，由于|φ|<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故选B. 2．(2018·郑州质量检测(二))已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2－cos 2x ，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：选C.f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2－cos 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到奇函数y ＝2sin 2x 的图象．故选C.3．(2018·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，83 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，83D.⎣⎡⎦⎤38，2解析：选B.因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，2π3，所以ωx ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π4ω＋π6，2π3ω＋π6，因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，所以⎩⎨⎧－π4ω＋π6≥2k π－π2，k ∈Z ，2π3ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .又ω>0，所以0<ω≤12，选B. 4.(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：选A.因为f (0)＝2sin φ＝3，所以sin φ＝32，又|φ|<π，所以φ＝π3或2π3，又f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πω6＋φ＝0，所以πω6＋φ＝k π(k ∈Z )，所以ω＝⎝⎛⎭⎫k π－π3×6π＝6k －2(k ∈Z )，或ω＝⎝⎛⎭⎫k π－2π3×6π＝6k －4(k ∈Z )，又ω>0，且T 4＝2π4ω＝π2ω>π6，所以ω<3，所以ω＝2，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，将其图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )图象的对称轴方程满足2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，故选A.5.(2018·惠州第二次调研)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)(|θ|≤π2，A >0)的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增．所以选项B 正确．6．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上的最小值为－1B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－π12，0D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎡⎦⎤0，π2解析：选C.因为函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，所以y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，所以3φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[0，1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2 x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3有增有减，故D 错误．故选C.二、填空题7．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝⎛⎭⎫16＝________．解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫16＝－4sinπ6＝－2.答案：－28．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f (0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，若将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后所得函数的图象关于原点对称，则φ＝________．解析：因为f (0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，则sin φ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2ω＋φ，所以ω＝4k ＋2，k ∈Z ，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后所得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ωπ12＋φ的图象关于原点对称，则ωπ12＋φ＝k π，k ∈Z ，由ω＞0，0＜φ＜π2得ω＝10，φ＝π6.答案：π69．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则φ＝________．解析：因为f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，由函数的解析式可得a 2＋1＝2，即a 2＝3.若a ＝3，则f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3，由函数图象的对称性可得2×π4＋φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π3(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝2π3；若a ＝－3，则f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3，由函数图象的对称性可得2×π4＋φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π3(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝π3.综上可得φ＝π3或2π3.答案：π3或2π3三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋32sin 2x cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，求f (x )的最值．解：f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋32sin 2x cos 2x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋34sin 4x ＝1－12sin 2 2x ＋34sin 4x＝1－12·1－cos 4x 2＋34sin 4x＝34sin 4x ＋14cos 4x ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋34. (1)T ＝2π4＝π2.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，则当4x ＋π6＝π2，即x ＝π12时，函数f (x )取最大值54；当4x ＋π6＝7π6，即x ＝π4时，函数f (x )取最小值12.所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，函数f (x )的最大值是54，最小值是12.11．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3sin 2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1 ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1.因为点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z .因为0<ω<1， 所以k ＝0，ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1.由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：x ＋π6－5π6－π20 π2 π 7π6 x －π －2π3－π6 π3 5π6 π f (x )－113112．设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0，2π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3（1＋cos 2ωx ）2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3，设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝⎛⎭⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，因为f (x )max ＝1，所以⎝⎛⎭⎫T 22＋4＝π2＋4， 整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，所以ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ－π3.因为y ＝f (x ＋φ)是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝0.又0<φ<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，所以单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，又因为x ∈[0，2π]，所以当k ＝0时，递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3；当k ＝1时，递减区间是⎣⎡⎦⎤7π6，5π3.所以函数g (x )在[0，2π]上的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3，⎣⎡⎦⎤7π6，5π3.。
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[解题模板] 第一步 三角函数式的化简，一般化成 y＝ Asin(ωx＋φ)＋h 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋h 的形式； 第二步 由 T＝|2ωπ|求最小正周期； 第三步 确定 f (x)的单调性； 第四步 确定各单调区间端点处的函数值； 第五步 明确规范地表达结论.
针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不 全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题 程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化.
模板1 三角变换与三角函数图象性质问题 【例 1】(满分 13 分)(2015·北京卷)已知函数 f(x)＝sin x－2 3sin22x.
(1)求 f (x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，23π上的最小值.
规范——解答题的8个解题模板
题型概述 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和 压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已 经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答 题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点.解答题综合 考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解 决问题的能力.
Hale Waihona Puke 感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
[规范解答] (1)因为 f (x)＝sin x＋ 3cos x－ 3. ＝2sinx＋π3－ 3. 所以 f (x)的最小正周期为 2π. (2)因为 0≤x≤23π时， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π，即 x＝23π时，f (x)取得最小值. 所以 f (x)在区间0，23π上的最小值为 f 23π＝－ 3.