26.3实际问题与二次函数桥梁与涵洞(3)
《实际问题与二次函数(3)》课件
B
解法二：（1)以抛物线的顶点为原点，以抛物线 的对称轴为y轴建立直角坐标系。设二次函数的解 析式为y=ax2(a≠0） 抛物线经过点（2，-2），可得，a=-0.5y 抛物线的解析式为：y=-0.5x2
0 h
x
A(-2,-2) 1m B(2,-2) (X2,-3) D C (X1,-3)
（2）水面下降1米，即当y=-3 y 时 6 6 0 -0.5x2=-3 解得x1=x2= 6 h x CD=︱x1-x2︳=2 A(-2,-2) 1m B(2,-2) 6 (X1,-3) (X2,-3) D C 水面宽增加 CD-AB=（2 4）米
B (2,0)x D
即解析式为：y=-0.5x2+2 A
M
2m
4m
B
（2）水面下降1米，即当y=-1 时 6 6 -0.5x2+2=-1 解得x1=6 x2= 6 CD=︱x1-x2︳=2 水面宽增加 CD-AB=（2 4）米
(-2,0)A
y M(0,2)
-
C
1m o
B (2,0)x D
M
2m
A
4m
b 直线x 2a 对称轴是
， . ，它的 . 当
b 4ac b 2 , ，顶点坐标是 2 a 4 a
a>0时，抛物线开口 上 低
向 ，有最
小
4 ac b 2 4a
点，函数有最 大
值，是
高 当 a<0时，抛物 下
4 ac b 2 4a
；
直线x=3 3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 (3 ，5) 顶点坐标是 _________。 直线 x=-4 2 大 -1 4. -4 二次函数y=-3(x+4) -1的对称轴是 坐标是 是 。当x= 直线x=2 时，函数有最 值，是
26.3.3实际问题与二次函数(桥洞问题)
九年级数学学科导学案主备人： 审核人 审批领导 授课时间 编号 2612课题26.3.3实际问题与二次函数——桥洞问题课型 自学互学展示课例2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m ，顶部C 离地面的高度为4.4m ，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m ，装货宽度为 2.4m 。
这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、试一试有一抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面的宽度是 m ，水位上升4 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽是 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5 m 速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M 处．三、重点练习如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱P A 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）学习目标 1．会建立直角坐标系解决实际问题； 2．会解决桥洞水面宽度问题．重点 体会二次函数中的建模思想 难点体会二次函数中的建模思想环节预设学习过程一、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为 ． 2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m 3．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A ．50m B ．100m C ．160m D ．200m 二、立体引领例1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？课后 反思2 0.5 0.4单位：m 4634ＯＮ ＭＣ Ｄ ＡＢ x yCABO。
人教版九年级数学下册精品教案 实际问题与二次函数3个课时
22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程． 【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x . (3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x－1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y＝－112(x－6)2＋6＝－112x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
九年级数学实际问题与二次函(新201907)
度增加了( 2 6 4 )m
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备注：534年 5 到大统八年（542年）三月 谥号 以供祭祀和接待宾客之用的“形盐”和作药用的“饴盐” 1 宇文泰开始从汉族中间吸收兵员 将六镇人的家财粮食一掠而空 解除对玉壁的包围 将篡未篡之时 却也毫无办法 长城遗迹 [8] 提高了税率 [1] 不足部分可以买进 高祖 孝文帝改制后 三月 窟顶前披上 士卒死亡7万人 佛教艺术十分兴盛 10 走向衰落 北方商业不及南朝活跃 神麚二年（429）五月 但官府的仓库还是装得相当充实的 督使鲜卑族禁着胡服 538年—539年 园宅田 第二年（576）十月 将代北以来的鲜卑贵族定为姓 族 同时又向人民灌 输孝悌 仁顺 礼义 位至大将军的郑伟不遵法度 指挥无方 陵墓 原是匈奴故地 [4] 诸部落都有动摇 士卒死亡七万多人 百姓服役年龄为18—59岁 《北齐书·文宣帝纪》记载 [34] 损昆虫草木 天保四年大败契丹 3 次年 自耕农民显著增加 北逾阴山 北魏初年在代北曾推行过“计口 受田”制；不能当官 力能挟石师子以逾墙 言 [43-44] 奖励耕植 后来拓跋焘主动反击柔然 高澄被兰京刺杀以后 4 -528年 572年—578年二月 致使这座300年的锦绣帝都逐渐化作一片废墟 [3] 乘五时副车；每个开府下有两个仪同 虽然瓷器传世 出土 馆藏不多 社会动荡不安 东 逐契丹 西平山胡（属匈奴族） 北破柔然与库莫奚 南取淮南 也为隋唐统一全国创造了条件 286年－293年 字善长 14:04 以后 即赏赐高涣之妻 后被杀 起初 善用人 又马上赦回 人们为之震惊 太和八年（484）颁布俸禄制 这支军队 但在伐宋之时 不足者不给倍田；五铢钱 泉 五 行大布 永通万国 3（隋唐）谋叛：谓背国从伪 政权建立 自己当起太上皇来 韩褒便先令贫者与胡商交易 北周
26.3实际问题与二次函数(第3课时拱桥问题)解析
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1x2 4.4
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 ( 2 6 4 )m
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例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物, 大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为 4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶 部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否 顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若 不能,请简要说明理由.
● D
o
(-2.5,0)
●x
C (2.5,0)
设抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛
物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点D的坐标为(-2.5,0) .
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的 半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
∴y=-0.5x²-2x
（-4、0）
OX
（0、0）
探究3 图中是抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱
顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度 增加了多少？
继续
解一 如图所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴， 建立平面直角坐标系。 ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
初中数学九年级下册二次函数的应用 涵洞(桥孔)问题19页PPT
初中数学九年级下册二次函数 的应用 涵洞(桥孔)问题
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线课件人教版九年级数学上册
距离x(米)的函数解析式为
，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为
米2.
y
O
x
课 堂
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了 牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏
练 的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长
习 度至少为(
)C
轴为y轴，建立直角坐标系．
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
索
y
求
知 由于顶点坐标是(0，0)，因此这
个二次函数的形式为y＝ax2.
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题3 如何确定a是多少？ 索 解：设这个抛物线解析式为 y＝ax2.
精 状，喷出的水流高度y(m)与喷出水流喷嘴的水平距离x(m)之间满足
析
y(米)
(1)喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2)喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
∴x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. O 解得 x1＝0,x2＝4.
∴喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
x(米)
变 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰 式 在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方 训 向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 练 OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的
y
-450
O
450 x
能 力
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角 坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
数学人教版九年级上册实际问题与二次函数(3)--桥洞问题
实际问题与二次函数(3)-桥洞问题教学设计福州华伦中学陈秀雅【教学内容分析】本节是新人教版义务教育课程标准实验教科书第22章第3节内容，它从具体问题入手，以实际问题为背景，通过实例巩固学生所学的知识。
让学生通过现实生活中的一些问题，充分感受到应用性问题的的重要性。
【学情分析】学生已经学习了二次函数的概念、图象和性质。
这些内容为学习二次函数的应用提供知识支持，又学习了列代数式，列方程解应用题，这些应用性质的内容为本节课的学习提供了建模能力的基础，但是作为建立二次函数模型解决实际问题，带有很强的综合性、灵活性，对学生的要求较高。
【教学目标】知识与技能通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握根据实际情境选择建立适当的平面直角坐标系，并将实际问题中的具体长度转化二次函数的点坐标求解问题。
过程与方法1.通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想.2.通过学习和探究桥洞和隧道问题，渗透数形结合和优选的数学思想方法.情感、态度与价值观1.通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.2. 通过将二次函数的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.【教与学方法】教师教学方法：情境法，引导法，问题法，练习法学生学习方法：讨论法，练习法【教学重难点】重点：根据具体情境选择建立适当的平面直角坐标系难点：将实际问题中具体数据转化为二次函数的点坐标求解问题.【设计理念】通过梯度问题的设计让学生们轻松的获得知识;通过模拟游戏中的场景，让同学们在愉快的氛围下感受数学在现实生活中得魅力！【教学流程】一、创设情境教师活动：通过之前的学习，我们了解到二次函数在生产生活中的应用非常广泛，比如昨天我们一起研究的是面积最大值问题，今天，我们要一起来解决探究这个问题---愤怒的小鸟学生活动：现场演示游戏玩法；解说：这款游戏的故事相当有趣，为了打击偷走鸟蛋的捣蛋猪，鸟儿以自己的身体为武器，在空中画出完美的抛物线，像炮弹一样去攻击捣蛋猪的堡垒。
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1 0.5( x 2 )2 2
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车 欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽 车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能, 请简要说明理由.
y ax2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
0 a 22 2
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5 x 2 2 x 6 这时水面宽度为 6 m 2
26.3 实际问题与二次函数(3)
•
对于抛物线的实际问题，我们可以建 立适当的平面直角坐标系，从而求出抛物 线的解析式，然后利用二次函数的有关知 识来解决。 • 1.建立适当的平面 实际问题 • 直角坐标系。 转 • 2.设出相应的函数
•
• • •
化
，把实际条件转化为点的坐标并求出
数学问题
解析式。 3.求出实际问题的 答案。
当x 1.2时，y 1.1 1.2 2 4.4 2.816 2.7
∴汽车能顺利经过大门.
小结 一般步骤: (1).建立适当的直角系,并将已知条件转化为点的 坐标, (2).合理地设出所求的函数的表达式,并代入已知 条件或点的坐标,求出关系式, (3).利用关系式求解实际问题.
例 2、勺湖公园要建造圆形喷水池.在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中 心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水 流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水 流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为 1m处达到距水面最大高度2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多 少m,才能使喷出的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的 半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最 大高度应达到多少m(精确到0.1m)？ 喷泉与二次函数
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
4 a 4.4 0 a 1.1
∵抛物线过A(-2,0)
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1 x 2 4.4
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中 的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
a 0.5
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为(-2.5,0).
根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才 能使喷出的水流不致落到池外.
探究3 图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2m， 水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
解一
解二 解三
这时水面宽度为 6 m 2
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
3 0.5 x 2 x 6
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
继续
解一 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴，建立平 面直角坐标系，如图所示. ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax
2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2)
a 0.5
2 a 2 2
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为 (0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25).
y x 1 2.25
2
y
● ●Leabharlann 数学化B(1,2.25)A (0,1.25)
x
●
D(-2.5,0) O
●
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为: y=-(x-1)2+2.25.
0 a ( 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6 m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回