例谈函数值域的主要求法
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
求函数值域的常用方法
解：∵ ，
∴ 的图像如图所示，
由图像知：函数 的值域为
例1求函数 的值域
解： 设
例2求函数Байду номын сангаас的值域。
解：由 = ，令 ，
因为 ， ，则 = ，
于是 ， ，
，所以 。
三、分离常数法
分子、分母是一次函数 的有理函数，可用分离常数法，将原函数化为 ，值域为
例1求函数 的值域
解：∵ ，∵ ，∴ ，
∴函数 的值域为
例2求函数 的值域
四、反解法
利用函数的定义域与值域的关系，通过将原函数变形，反解出x或者与x有关的式子，再根据原函数的定义域求出原函数的值域。
例1求函数 的值域。
解：令 ，则
（1）当 时， ，当且仅当t=1，即 时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0，综上所述，函数的值域为：
例2已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞ ，当a= 时，求函数f(x)的值域
例3求函数的值域：
解：
当且仅当 时，即 时等号成立，
，所以元函数的值域为 .
例4求函数 的值域.
解： ;ⅰ)当 时, , ,此时 ,等号成立,当且仅当 .ⅱ)当 时, , ,此时有
,
等号成立,当且仅当 .综上,原函数的值域为: .
八、数型结合法
函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
例4求函数 的值域
例5求函数 的值域
五、判别式法
对形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即 从而求得y的范围，即值域。注意：主要适用于定义在R上的分式函数，需要注意检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值。
函数值域的求法8大题型
函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y =或y ax b=+的结构，可用“t =”换元；（2）y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用t =”换元；（3）y bx =±型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ad y d cx d c c x c +-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x=+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+-<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
求值域的方法,带例题
1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}.练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题∆≥0，即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x x y x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
求值域的10种方法
求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。
以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。
通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。
这些值将构成函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。
2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。
这些纵坐标的集合构成了函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。
3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。
然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。
4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。
这些纵坐标的集合构成函数的值域。
5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。
这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。
6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。
极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。
函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。
7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。
待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。
8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。
求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。
9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。
函数值域的求法及例题
函数值域的求法及例题
函数值域是一个重要的概念。
它指函数的定义域中的所有可能函数值的集合。
了解函数值域的求法，可以帮助我们更有效地使用函数，对解决实际问题也很有帮助。
函数值域的求法有两种：直接和间接。
直接求法：如果可以确定函数的解析式，则可以直接求出函数值域。
具体步骤如下：
(1) 求函数定义域：即可以使用此函数的所有自变量x的取值范围
(2)求函数值域：即当自变量x在定义域内任意取值时，函数的值的取值范围。
例子：若函数：y=3x+2，
它的定义域为x∈R
那么，函数值域就是y∈R
间接求法：当不能确定函数的解析式时，可以采用间接的求法，即分情况求解。
即将函数定义域上的所有取值情况分类讨论，将其分解为一些能求出函数值域的子问题。
例子：若函数：y=x²，
它的定义域为x∈R
这里分情况讨论：
当x ≥ 0 时，y ≥ 0；
当 x＜0 时，y＜0；
即函数值域为y∈[0，+∞) ∪ (-∞，0]，
总之，了解函数值域的求法是有必要的，有助于我们理解函数的概念，也有助于解决各种函数问题。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
——河南睢县高级中学三（班班慧董墓慧”嫡翮酽酗￡
Ｉ矗■口■■＊■■■曙■峨哪Ｉ一畦疆谁ｎＥ碾■■■强糖髓鼹稳戳《睡巷警ｌ誊饕琵琶静ｗ
ｉ
“、内军５转Ｍ｛飘
解：由ｙ一薹｛｛，得ｅ。一｝笔＞ｏ．
解：ｙ一篇一一１＋志．
一
侧Ｐ
求函数ｙ一等罂的值域．
Ｚ十ＳｌｎＺ
广ｊ蹶龛，滋瓣塞焉｛蠢
＼
＼—／入蠢参
＼
卜√
河路１１号《中学生数理化》（高中版）编辑部文
华邮赋，鞭。鬻；。冁。穗。＿¨ｊ冁。ｉ琴ｌ二冁ｌ｜；％静ｊ。
万方数据
圜～够艚髓碰锻懈丸妃被照砌的‰巾蟛。。＠咖…。
例谈函数值域的主要求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 杨青利
中学生数理化（高三版） MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS (SENIOR HIGH SCHOOL EDITION) 2006(9)
当ｙ一２≠０时，方程有实根，则△≥Ｏ，即ｙ２—６ｙ ＋５≤０，解得１≤了＜２或２＜ｙ≤５． 综上所述，１≤ｙ≤５． 三，不等式法
利用ｎ＋６≥２ｖ，ｒｄ百等相关不等式知识求值域，但 应注意其适用的条件．
侧了求函数Ｙ—ｚ＋．兰了－ｔ－１（ｚ＞１）的值
域．
解：了一（ｚ一１）＋’ｉｊ＋２．
男儿志兮天下事，但有进兮不有止。
化
例设函数值域的
■ 河
南
ｌ
查履Βιβλιοθήκη 瓦ａｘ丁２干＋百ｂｘ云ｄ－瓦ｃ
侧２‘求函数３，一荨群的值域．
Ｌ．Ａ．、口不同时为零）的函数比较适用．
主要求法
解：因为９２２＋ｚ＋１一（ｚ＋÷）２＋了ｏ＞ｏ恒成立，所 以原函数定义域为Ｒ 原函数式可化为：（３，一２）ｚ２＋（ｙ＋１）Ｘ＋ｙ一２
—０．
杨 青
利
当ｙ一２—０，即ｙ一２时，ｚ一０∈ＩＲ．
五．反函数法
到求原函数值域的目的，对于形如３，一兰（ｎ≠ｏ）的函数比较适用．
一（Ｚ００１－Ｄ
利用反函数的定义域就是原函数的值域，通过求反函数的定义域达
疆｝
捌ｒ 憎１
７
４一‰
３ｚ＋１＾Ｌ№Ｉ＾
解：其反函数为ｙ一终，该函数的定义域为｛ｚＩｚ∈Ｒ且ｚ≠３），故
水豳烈ｙ■ｊ二虿削但碳‘
豳
８ 麟
化
高 三
ｙ一磊荔熬鬈麓鏊器霎主兰誓嚣三萋篙霪鬟愁的函数’对于形如
万方数据
２咖…期
由ｚ＞１，得ｚ一１＞０．
Ｚ——１
ｚ一１Ｚ一１＋２≥２√可‘√ｊ与＋２—４，当且仅当￣／亓一
√ｚ～１
ｊ稠●一一；融一
。：。“二“｜㈣端撼ａ＊女赫掬９ Ｉ蚝Ｆ７
ｉ兰＝，即ｚ一２时取等号．
．’．了∈［４，＋。。）．
四、单调性法
侧霉求函数ｙ—ｚ２＋丢（ｚ≤一丢）的值域。 解：‘．。ｙ—ｚ２与ｙ一昙在ｚ≤一丢时均单调递减， ．・．ｙ—ｚ２＋三在（一一，一号］上单调递减． ．．．３ｌ∈［一丢，＋ｏ。）．
本文链接：/Periodical_zxsslh-gzb200609015.aspx
奏≮鞫瀵鬣；，对鬻霎鬻鏊爹蕊ｊ
版
淤ｉ攀麓赣：？麓簪ｉ饕爨警嚣｜｜链擎穗鬻《溱《罄翳鬻瀵
ｌｌ。ｊ黪一》爹毒雹警端≥鬻鼍。｜。ｉ｜｜．攀薯黎淤ｉ｜。
７．
瓷潞麟戮瀛≤≮氅辫鬻谶徽瀚鬻；｜ 攀｜鬻工零戆憋辫【０’亭皆学遣鞠《麟徽訾零挚。呻专ｊ・
≥笔℃一Ｅ司琵墨？。：ｊ‘“。｝“ｊ。１｜“４７＝ｉｔ・ｌ。、
万方数据
侧，
求函数ｙ—ｓｉｎｚｘ＋３ｃｏｓｚ一４的值域．
解：了一１～ｃｏｓ２ｚ＋３ｃ０∞一４一一（ｃｏａｘ一号）２一｛，
．‘．
当ＣＯＳＸ一一１时，Ｙ取得最小值一７；当
Ｙ∈［一７，一１］．
ＣＯＳ９２—１时ｙ取得最大值一１．
．’．
：．判别式法 将函数转化为关于，２７的二次方程Ｆ（９２，ｙ）一０， 利用△≥０即可求ｙ的范围，对于形如了一
２００６年第９期
函数是中学数学的主要内容，而值域是函数的 三要素之一，因而研究函数的值域是同学们必须要 跨越的一道坎．在中学数学里，求函数值域大致有配 方法、判别式法等十种方法． 一．配方法 对于二次函数或可转化为形如Ｆ（Ｘ）一Ａ尸（．２７） －ｔ－Ｂｆ（ｘ）＋Ｃ的函数，其值域均可用配方法来求，但 后一类要注意厂（ｚ）的范围．