2018年人教版数学选修1-1圆锥曲线漫谈
2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.2.1 精品
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
焦点
焦距
范围
性 对称性
质
顶点
轴长
离心率
渐近线
__(_±__c,_0_)__
__(0_，__±__c)_
__2c__
__x≥__a_或_x_≤__－__a _
__y_≥_a_或__y_≤_－__a_
_____关__于_x_轴__，_y_轴__对_称__，__关_于__原__点_中__心__对_称____
―→
求出离心率
设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得
ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2.
3分
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
∴ba2＝2c，∴b2＝2ac.
6分
∴c2－2ac－a2＝0，∴ac2－2×ac－1＝0. 即 e2－2e－1＝0，∴e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去).
(2)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为 F(c,0)，虚轴端点为 B(0，b)，则 kFB＝－bc.
又渐近线的斜率为±ba， 所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1(－ba显然不符合)，
②与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可表 示为ax22－by22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)；与双曲线ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 共渐近线的双曲线方程可表示为ay22－bx22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为 16，离心率为54； (2)顶点间的距离为 6，渐近线为 y＝±32x.
2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2.1 精品
抛物线几何性质的应用
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x 轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积 为4，求此抛物线的标准方程．
[思路点拨] 求A，B的坐标 ―→ 求出弦长|AB| ―→ 写出△AOB的面积，利用面积列方程解
由题意，抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦
解析： 抛物线 y2＝10x 的焦点在 x 轴上，所以①不正确； 又抛物线 y2＝10x 的准线为 x＝－52，横坐标为 1 的点到焦点的距 离为：1＋52＝72≠6，所以③不正确；抛物线的通径长为：2p＝ 10≠5，所以④不正确．
设垂足为 C(2,1)，则 kOC＝12－ －00＝12，而连接垂足和焦点的斜 率为：052－ －12＝－2，由 2×－12＝－1 可知两者垂直，适合题意．
合作探究 课堂互动
抛物线的标准方程与性质
对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线的横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向 过焦点的某条直线作垂线，垂足为(2,1)． 适合抛物线y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条 件的序号) [思路点拨] 本题主要考查抛物线的简单几何性质，根据 抛物线的几何性质，用排除法解决问题．
解析： (1)焦点是 F(－8,0)，准线是 x＝8，表明抛物线顶点 在原点，焦点在 x 轴负半轴，故抛物线的标准方程可设为 y2＝－ 2px(p>0)，所以 p＝16.因此所求抛物线的标准方程为 y2＝－32x.
(2)依题意，|OB|＝8 3，∠BOy＝30°. 设 B(x，y)，则 x＝|OB|sin 30°＝4 3，y＝|OB|cos 30°＝12. 因为点 B(4 3，12)在 x2＝2py 上， 所以(4 3)2＝2p×12，解得 p＝2. 故抛物线 E 的方程为 x2＝4y.
2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1 精品
方法二：(定义法) 由题意知双曲线的两个焦点分别为 F1(0，－3)，F2(0,3)且 A(4， －5)在双曲线上， 则 2a＝||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5， ∴a＝ 5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
(2)方法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
合作探究 课堂互动双曲线定源自的应用如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A， B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
[思路点拨] 条件中给出了角的关系，根据正弦定理，将 角 的 关 系 转 化 为 边 的 关 系 ． 由 于 A ， B 可 视 为 定 点 ， 且 |AB| ＝ 4，从而可考虑用定义法求轨迹方程．
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．
解析： (1)由题设知，a＝3，c＝4， 由 c2＝a2＋b2 得，b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
P＝{M|__||_M__F_1|_－__|M__F_2_||_＝__2_a__,0<2a<|F1F2|}
双曲线的标准方程
标准方程 焦点坐标 a，b，c 关系
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
ax22－by22＝1
ay22－bx22＝1
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
c2＝___a_2＋__b_2___
2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2.2 精品
8分
从而 A(1，－2 2)，B(4,4 2)，
设O→C＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2)＝(1＋4λ，－2 2＋
4 2λ)，又因为 y23＝8x3，即[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得 λ＝0 或 λ＝2.
10 分
综上：λ＝0 或 λ＝2.
4．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相 交于两点A，B，求线段AB的长．
解析： 方法一：如图，由抛物线 的标准方程可知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，所以直线 AB 方程为 y＝x－1
①
将方程①代入抛物线方程 y2＝4x， 得(x－1)2＝4x. 化简得 x2－6x＋1＝0. 解得 x1＝3＋2 2，x2＝3－2 2. 将 x1，x2 的值代入方程①中，得 y1＝2＋2 2， y2＝2－2 2，即 A，B 的坐标分别是 (3＋2 2，2＋2 2)，(3－2 2，2－2 2)． ∴|AB|＝ 4 22＋4 22＝8.
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 并整理，得
ky2－8y－32k＋8＝0
①
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得 y1＋y2＝8k， 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1.
∴8k＝2，∴k＝4，此时①中，Δ>0. ∴弦 AB 所在的直线方程为 4x－y－15＝0.
12 分
直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类 是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉 及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线 与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根 与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应 注意“点差法”的运用．
高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义(K12教育文档)
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第二章 圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；()(),,.F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上()(),,.C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程二、求曲线方程的两种类型：()1、已知曲线求方程；用待定系数法()()()2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：3、方程()()222222221010x y y x a b a b a ba b +=>>+=>>①或②()2222+10x y a b a b=>>二、几何性质：1,.x a y b ≤≤、范围：2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,.A a A aB b B b --、顶点2224,,a b c a b c =+、之间的关系：()225101c b e e a a ==-<<、离心率：0,1e e →→越圆越扁扩展：()222222222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()222222221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.24.AB F ABF a ⑤为过焦点的弦，则的周长为()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:()()222121212114l k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()212121222110114k l y y y y y k k ⎡⎤=+-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为双曲线一、双曲线及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a-=>、定义：3、方程：()() 222222221,01,0 x y y xa b a ba b a b-=>-=>①或②()22221,0x ya ba b-=>二、几何性质：1,x a y R≥∉、范围：2x y O、对称性：关于轴、轴、原点对称.()()121212,0,,0=2.A a A aA A aB B b-=3、顶点：实轴2，虚轴222.a b c c a b=+4、、、之间的关系：()22511c be ea ae==+>、离心率:越大，开口越阔22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫=±-==± ⎪⎝⎭6、渐近线：的渐近线为()2222222210x y x y m m a b a b -=-=>说明：与有相同离心率.抛物线一、抛物线及其标准方程P l PF PF l d -⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭1、定义：且2、标准方程及几何性质 标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->简图焦点 ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、 准线 2p x =-2px =2p y =-2p y =范围 0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤对称性 x 轴y 轴顶点 ()0,0离心率1e =P 说明：①越大，开口越阔.②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.扩展：Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？()1.Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线1Q ②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线2、过焦点的弦长()22A B A B AB AF BFp p x x p x x =+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++如图，。
2018学年高中数学选修1-1课件：2.1 圆锥曲线 精品
[再练一题] 3.已知动圆 M 与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝9 外切且与圆 C2：(x－3)2＋y2＝1 内切， 则动圆圆心 M 的轨迹是________.
【导学号：24830023】 【解析】 设动圆 M 的半径为 r.因为动圆 M 与圆 C1 外切且与圆 C2 内切， 所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.相减得|MC1－MC2|＝4. 又因为 C1(－3,0)，C2(3,0)，并且 C1C2＝6>4， 所以点 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的双曲线的右支. 【答案】 以 C1，C2 为焦点的双曲线的右支
和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求动圆圆心的轨迹.
【精彩点拨】 根据椭圆的定义判断.
【自主解答】 (1)由正弦定理，得BCA＋BAC＝54，又 AB＝8，∴BC＋AC＝10 ＞AB，
由椭圆定义可知，点 C 的轨迹是以点 A、B 为焦点的椭圆.
【答案】 (1)以点 A、B 为焦点的椭圆 (2)如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M 内切于圆 C1，
【提示】 |PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2)
探究 3 如果把定义中的“绝对值”去掉，变为动点 P 满足 PF1－PF2＝2a(2a ＜F1F2)，那么点 P 的轨迹是什么？
【提示】 动点 P 的轨迹是双曲线的一支(靠近焦点 F2 的一支).
探究 4 如果把双曲线定义中的条件“2a＜F1F2”去掉，动点 P 的轨迹是什 么？
数学语言
PF1＋PF2＝ 2a＞F1F2
平面内与两个定点F1，F2 距离的差的绝对值 等于
双曲线
常数( 小于F1F2的正数 )的点的轨迹叫做双曲线， 两个 定点F1，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点 间
2018学年高中数学人教A版课件选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 精品
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
[小组合作型]
双曲线定义的应用
(1)双曲线1x62 －y92＝1 上一点 A 到点(5,0)的距离为 15，则点 A 到点(－
5,0)的距离为( )
A．7
B．23
C．7 或 23
如图所示，在△F1PF2 中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0，∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
1．本题在解题过程中运用了方程的思想，在解方程时，又运用了整体代换 的思想．
将 P，Q 两点坐标代入可得12a26522a－52－295bb9622＝＝11，， 所以双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
解之得ba22＝＝196，，
法二 设双曲线方程为xm2＋yn2＝1(mn<0)． ∵P，Q 两点在双曲线上，
∴m2995m＋6＋212625nn5＝＝11，，
解得mn＝＝9－. 16，
【答案】 16
4．若点 P 到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为 2，则点 P 的轨迹方程为 ________．
【解析】 由题意并结合双曲线的定义，可知点 P 的轨迹方程为双曲线的 上支，且 c＝3,2a＝2，则 a＝1，b2＝9－1＝8，所以点 P 的轨迹方程为 y2－x82＝ 1(y≥1)．
∵双曲线经过点(－5,2)，∴2λ5－6－4 λ＝1， ∴λ＝5 或 λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x52－y2＝1. (3)∵a＝4，c＝5， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， ∴所求双曲线的标准方程为1x62 －y92＝1 或1y62 －x92＝1.
2018年高中数学人教A版选修1-1第2章圆锥曲线与方程2.1.1习题含解析
)
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C.钝角三角形
D. 等腰直角三角形
解析 :由椭圆定义知 |PF 1|+|PF 2|= 2a= 8.
又 |PF1 |-|PF 2|= 2,∴ |PF1 |= 5,|PF 2|= 3.
∵ |F 1F 2|= 2c= 2 16 -12 = 4,
∴ △PF 1F2 为直角三角形 . 答案 :B
∴ 设所求椭圆方程为
??2 ??2
??2 + ??2-5 = 1.
∵ 点 (-3,2)在所求椭圆上
,∴?9?2 +
4
??2 -5 =
1.
∴ a2=
15
或
2
a=
3(舍去
).
∴ 所求椭圆方程为
??2 ??2
+ = 1.
15 10
??2 ??2
★8.已知椭圆方程为 ??2 + ??2 = 1( ??> ??> 0), 点 ??是椭圆上一点 , ??1, ??2 是椭圆的两个焦点 ,且∠
, 则????·
???的? 最大值为 ( )
A.2
B.3
C.6
D.8
解析 :由题意得 F (-1,0), 设点 P(x0,y0),
则 ?0?2 = 3
1 - ??02
4
( - 2≤x0≤ 2),
????·???=? ??0( ??0 + 1) + ??02 = ??02 + ??0 + ??02
= ??02 + ??0 + 3
cos∠ F 1PF 2=
|???1?|2 + |???2?|2 -|??1??2|2 2|???1?||???2?|
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圆锥曲线漫谈
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。
圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。
如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。
人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。
相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。
因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。
它也有一条轴，即抛物线的轴。
在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。
这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。
由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。
人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。
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