福建省漳州市五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试卷及答案解析
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】，选A.2.已知数列的前项和，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，即可得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由，得，验证当时，满足上式.故数列的通项公式.故选：D.【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.3.在数列中，，则等于( )A. 2 013B. 2 012C. 2 011D. 2 010【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．【详解】由，得，又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.4.如果a＜b＜0，那么( )．A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误对于＞符合倒数性质可知，故C成立，对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，故答案为C.考点：不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．5.不等式的解集为（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，即，或．故选D．考点：一元二次不等式的解法．6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A. 1B. －1C. －3D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m 的最大值．【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．考点：椭圆离心率的求法8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 轨迹不存【答案】C【解析】【分析】由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．【详解】由点，得，平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.故选：C.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P 到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．10.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.【答案】【解析】【分析】把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．【详解】，，若，则，即等价于“”，由“”能推出“”，但“”不能推出“”，故“”是的充分不必要条件.故答案：充分不必要.【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．14.已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：15.直线与曲线相交于两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意直线：与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【详解】曲线的渐近线方程为：，由直线与曲线相交于两点，直线的斜率或，即又直线的斜率存在，即倾斜角，故直线的倾斜角的取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.三、解答题(共5小题,共40分)16.等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以（2）由（1）得，，则，设的公差为，则有，解得从而.考点：等差、等比数列的通项公式.17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得，故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，∵，∴Sn＝－记Tn＝，①则Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.18.(1)若，求函数的最小值，并求此时的值；(2)已知，且＋＝1，求的最小值．【答案】(1)4,(2)16【解析】【分析】（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.【详解】（1），，当且仅当，即时取等号.的最小值为，此时.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．19.已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为．由得．因为直线与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得．另一方面，由直线OA到的距离可得，解得．因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线存在，其方程为．考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．20.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】【解析】【分析】运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．【详解】由题意得，知点椭圆内，设，则······①······②因恰为线段的中点，即，由①②作差得，，直线的方程为，即.【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】，选A.2.已知数列的前项和，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，即可得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由，得，验证当时，满足上式.故数列的通项公式.故选：D.【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.3.在数列中，，则等于( )A. 2 013B. 2 012C. 2 011D. 2 010【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．【详解】由，得，又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.4.如果a＜b＜0，那么( )．A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误对于＞符合倒数性质可知，故C成立，对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，故答案为C.考点：不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．5.不等式的解集为（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，即，或．故选D．考点：一元二次不等式的解法．6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A. 1B. －1C. －3D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值．【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．考点：椭圆离心率的求法8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 轨迹不存【答案】C【解析】【分析】由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．【详解】由点，得，平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.故选：C.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．10.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.【答案】【解析】【分析】把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．【详解】，，若，则，即等价于“”，由“”能推出“”，但“”不能推出“”，故“”是的充分不必要条件.故答案：充分不必要.【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．14.已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：15.直线与曲线相交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意直线：与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【详解】曲线的渐近线方程为：，由直线与曲线相交于两点，直线的斜率或，即又直线的斜率存在，即倾斜角，故直线的倾斜角的取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.三、解答题(共5小题,共40分)16.等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以（2）由（1）得，，则，设的公差为，则有，解得从而.考点：等差、等比数列的通项公式.17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得，故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，∵，∴Sn＝－记Tn＝，①则Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.18.(1)若，求函数的最小值，并求此时的值；(2)已知，且＋＝1，求的最小值．【答案】(1)4,(2)16【解析】【分析】（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.【详解】（1），，当且仅当，即时取等号.的最小值为，此时.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．19.已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为．由得．因为直线与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得．另一方面，由直线OA到的距离可得，解得．因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线存在，其方程为．考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．20.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】【解析】【分析】运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．【详解】由题意得，知点椭圆内，设，则······①······②因恰为线段的中点，即，由①②作差得，，直线的方程为，即.【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。
）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.【详解】由三角形面积公式得得面积.本题选择A选项.【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A. 380B. 39C. 35D. 23【答案】A【解析】【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．5.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。
2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题(含解析)_2
2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）椭圆的一个焦点坐标为A. B. C. D.数列为等差数列，为其前n项和，若，则A. 120B. 60C. 80D. 240在各项均为正数的等比数列中，，则A. 有最小值3B. 有最小值4C. 有最大值3D. 有最大值4从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为，那么此椭圆的离心率A. B. C. D.已知命题p：存在，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是A. B. C. D.是等比数列，若“n，p，”是“”成立的充分必要条件，则数列可以是递增数列；递减数列；常值数列；摆动数列A. B. C. D.设函数，若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为A. 8B. 10C. 16D. 22已知数列的通项公式，其前n项和为，若，则的最大值是A. 1B. 3C. 5D. 7设，是椭圆的两个焦点，若C上存在点P满足，则m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）已知，则函数的最大值为______．已知等比数列中，若，则______．下列命题中正确的序号是______．“”是“”的充要条件；若，则，是的充分必要条件；命题“对任意，有”的否定是“存在，有”；若p：，q：，则p是q成立的必要不充分条件．，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，，过作的角平分线的垂线，垂足为M，则的长为______．三、解答题（本大题共4小题）设m是实数，已知命题p：，使函数满足；已知命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．若命题p为真命题，求m的取值范围；若命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围．已知函数．若，求不等式的解集；若，，且，求的最小值．已知椭圆的长轴两端点为，，离心率为，，分别是椭圆C的左，右焦点，且．求椭圆的标准方程；设A，B是椭圆C上两个不同的点，若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于4，求直线AB的方程．若各项均不为零的数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，．证明数列是等比数列，并求的通项公式；设，是否存在正整数k，使得对于恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）椭圆的一个焦点坐标为A. B. C. D.数列为等差数列，为其前n项和，若，则A. 120B. 60C. 80D. 240在各项均为正数的等比数列中，，则A. 有最小值3B. 有最小值4C. 有最大值3D. 有最大值4从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为，那么此椭圆的离心率A. B. C. D.已知命题p：存在，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是A. B. C. D.是等比数列，若“n，p，”是“”成立的充分必要条件，则数列可以是递增数列；递减数列；常值数列；摆动数列A. B. C. D.设函数，若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为A. 8B. 10C. 16D. 22已知数列的通项公式，其前n项和为，若，则的最大值是A. 1B. 3C. 5D. 7设，是椭圆的两个焦点，若C上存在点P满足，则m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）已知，则函数的最大值为______．已知等比数列中，若，则______．下列命题中正确的序号是______．“”是“”的充要条件；若，则，是的充分必要条件；命题“对任意，有”的否定是“存在，有”；若p：，q：，则p是q成立的必要不充分条件．，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，，过作的角平分线的垂线，垂足为M，则的长为______．三、解答题（本大题共4小题）设m是实数，已知命题p：，使函数满足；已知命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．若命题p为真命题，求m的取值范围；若命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围．已知函数．若，求不等式的解集；若，，且，求的最小值．已知椭圆的长轴两端点为，，离心率为，，分别是椭圆C的左，右焦点，且．求椭圆的标准方程；设A，B是椭圆C上两个不同的点，若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于4，求直线AB的方程．若各项均不为零的数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，．证明数列是等比数列，并求的通项公式；设，是否存在正整数k，使得对于恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．。
福建省漳州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
福建省漳州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·临泽期末) 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）下列命题中，是真命题的是（）A . ∃x0∈R，ex0≤0B . ∀x∈R，2x＞x2C . 已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 =﹣1D . 已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3. （2分） (2019高二上·四川期中) 若圆：与圆：外切，则正数的值是（）A . 2B . 3C . 4D . 64. （2分） (2020高二下·化州月考) 已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A . 3：1B . 2：1C . 1：1D . 1：26. （2分）已知M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}且M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（）A . [﹣3， 3]B . [﹣3.3]C . [﹣3，﹣3）D . （﹣3，3]7. （2分） (2018高二上·武邑月考) 下列四个结论中不正确的是（）A . 经过定点P1(x1 ， y1)的直线都可以用方程y－y1＝k(x－x1)表示B . 经过任意不同两点P1(x1 ， y1)，P2(x2 ， y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示C . 不过原点的直线都可以用方程表示D . 经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示8. （2分） (2017高一上·深圳期末) 已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分） (2020高二下·杭州期末) 若圆 x2+y2+mx-=0与直线相切，则（）A .B .C .D .10. （2分）若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为（）A . －1B . 5C . －1或5D . －3或311. （2分）设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A . 3<r<5B . 4<r<6C . r>4D . r>512. （2分）(2019·定远模拟) 某几何体的三视图如图所示，若图中的小正方形的边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·宜昌期中) 过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为________．14. （1分） (2016高一上·广东期末) 如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．15. （1分）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，过圆内一点P（2，3）作弦，则最短弦长为________16. （1分） (2017高一下·惠来期中) 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则 =________．三、解答题 (共6题；共57分)17. （2分）根据所学知识完成填空：（1）已知| |=3，| |=2．若• =﹣3，则与夹角的大小为________．（2）已知 =（m﹣2，﹣3）， =（﹣1，m），若∥ ，则m=________．18. （10分） (2016高一上·金华期中) 若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．19. （15分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5 ．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC ．（3）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小．20. （10分） (2016高二上·嘉兴期末) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥面ABCD，PA=AD=2，∠ABC=60°，E为PD中点．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．21. （10分） (2020高一下·牡丹江期末) 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面 .（1）求证：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.22. （10分） (2020高二下·广东月考) 已知动圆C的圆心为点C，圆C过点且与被直线截得弦长为．不过原点O 的直线l与点C的轨迹交于两点，且．（1）求点C的轨迹方程；（2）求三角形面积的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共57分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_6
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修3第三章；选修2-1第一章，第二章第一、二节.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.【详解】解：全称命题“，”否定是特称命题“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.2.椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.【详解】解：由题意可得，，则.所以的最大值是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.4.若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离【详解】解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.因为点到其左焦点的距离是6，所以点到其右焦点的距离是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6.已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.【详解】解：设，，则，.因为，都在椭圆上，所以，即，整理得，故直线的斜率是.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.9.从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（）A. 2个都是正品B. 恰有1个是正品C. 至少有1个正品D. 至多有1个正品【答案】C【解析】【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”故选：C.【点睛】本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．10.给出下列四个命题：①，；②当时，，；③成立的充要条件是；④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.【详解】解：对于①，由于，所以①正确；对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；对于④，因为，所以等价于，由，可得，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.11.不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.【详解】解：设，不等式对恒成立等价于，因为在上的最小值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. 0.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．【详解】设．因为点在椭圆上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即显然成立．由，可得，则，解得，因为，所以，符合条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题.14.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.【答案】【解析】【分析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.【详解】由题意可得，，事件A与事件B互斥，则.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15.若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.【详解】设直线：，联立，整理得，则，解得.当时，直线与直线之间的距离即点到直线的最小距离是.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16.已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.【答案】3.【解析】【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.【详解】解：由题意可得，则，当且仅当时，取等号，此时的值最小.故，，从而的最小值是2，的最小值是1，故的最小值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出所有男生打卡天数总和再除以男生人数即平均打卡天数；（2）打卡21天的小朋友中男生2人，女生3人，任选2人交流心得，求出基本事件总数和选到男生和女生各1人所包含的基本事件个数即可求解概率.【详解】（1）男生平均打卡的天数.（2）男生打卡21天的2人记为，，女生打卡21天的3人记为，，，则从打卡21天的小朋友中任选2人的情况有，，，，，，，，，，共10种，其中男生和女生各1人的情况有，，，，，，共6种.故所求概率.【点睛】此题考查求平均数和古典概率，关键在于准确求出打卡天数总和以及根据计数原理求出基本事件个数.18.求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点坐标为和，P为椭圆上的一点，且；（2）离心率是，长轴长与短轴长之差为2.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标为和，得知，再由，根据椭圆的定义，得到，然后由求解即可..（2）根据和求解，注意两种情况.【详解】（1）因为焦点坐标为和，所以.因为，所以，即所以.故所求椭圆的标准方程为.（2）由题意可得解得，解得，.故所求椭圆标准方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4].【解析】【分析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．【详解】解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，所以，或，所以，，或，所以a≥3．所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．实数m的取值范围（-∞，4]．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.已知椭圆：的离心率为，且经过点，为椭圆的左焦点.直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用离心率和过点联立方程组计算得到答案.（2）点到直线的距离，，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）因为为椭圆的左焦点，所以的坐标为，则点到直线的距离.联立，整理得，则，，，，从而故的面积为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，三角形的面积，意在考查学生的计算能力.21.某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位：人）：（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率.【详解】（1）由题意得该校学生总人数为人，则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率.（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取人，设为，，，；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取人，设为，.从这6人中任意选取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.设表示事件“两人都满意”，则事件包含的基本事件有，，，，，，共6种.故所求概率【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.22.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，且上的动点到的距离的最大值为4，最小值为2.（1）证明：.（2）若直线：与相交于，两点（，均不与，重合），且，试问是否经过定点？若经过，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据题意，可得，即可解得椭圆的标准方程，设，表示出，，利用坐标法表示，由，即可证明；（2）联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理可得根与系数的关系，由，运用坐标相乘可得，解出与的关系，进行判断即可得出结论.【详解】解：（1）证明：由题意可得，解得，则，故的方程为.设，则.∵，，∴，∵，∴.（2）解：设，，联立，得，则，即，且，，∴.∵，，∴，，即，所以或.当时，直线为，此时过定点，不合题意；当时，直线为，此时直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，联立方程运用韦达定理根据题意判断直线是否恒过定点问题，属于较难题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修3第三章；选修2-1第一章，第二章第一、二节.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.【详解】解：全称命题“，”否定是特称命题“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.2.椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.【详解】解：由题意可得，，则.所以的最大值是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.4.若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离【详解】解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.因为点到其左焦点的距离是6，所以点到其右焦点的距离是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6.已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.【详解】解：设，，则，.因为，都在椭圆上，所以，即，整理得，故直线的斜率是.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.9.从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（）A. 2个都是正品B. 恰有1个是正品C. 至少有1个正品D. 至多有1个正品【答案】C【解析】【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”故选：C.【点睛】本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．10.给出下列四个命题：①，；②当时，，；③成立的充要条件是；④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.【详解】解：对于①，由于，所以①正确；对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；对于④，因为，所以等价于，由，可得，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.11.不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.【详解】解：设，不等式对恒成立等价于，因为在上的最小值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. 0.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．【详解】设．因为点在椭圆上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即显然成立．由，可得，则，解得，因为，所以，符合条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题. 14.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.【答案】【解析】【分析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.【详解】由题意可得，，事件A与事件B互斥，则.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15.若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.【详解】设直线：，联立，整理得，则，解得.当时，直线与直线之间的距离即点到直线的最小距离是.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16.已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.【详解】解：由题意可得，则，当且仅当时，取等号，此时的值最小.故，，从而的最小值是2，的最小值是1，故的最小值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）。
2019-2020年高二数学上学期期中试卷(含解析)
2019-2020年高二数学上学期期中试卷（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．江苏省盐城中学南校区xx高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点与直线的位置关系，即可．解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）考点：四种命题．专题：计算题；简易逻辑．分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题；转化思想．分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，所以，解得a＞，所以实数a的取值范围为，故答案为：．点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．故答案为：y2=16x或x2=﹣12y点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即A（2，3）此时z=2+2×3=8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情况探讨最值，解答：解：=≤当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，综上t的最大值为故答案为：．点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，可得方程的另一解为2，即b=2，∴a=1，b=2；（Ⅱ）原不等式可化为：，显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，综上，原不等式的解集为：．点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是xx高考中常考的题型．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集即可；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．综合得a≤﹣1；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，所以a的取值范围为a≥1．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(四)
福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（四）（考试时间120分钟满分150分）一.单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°2．等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．4．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．5 C．38 D．﹣107．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．3511．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前200项和为．15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．参考答案一.单项选择题1．C．2．B．3．B．4．B 5．A．6．A．7．D．8．A．9．C 10．B 11．D．12．B．二.填空题13．解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．14．解：∵数列{a n}为等差数列，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15，即a3=3，又∵a5=5，∴d==1，∴a n=5+（n﹣5）=n，又∵==﹣，∴所求值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．15．解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]16．解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）17．解：∵T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，∴2T n=2a1+22a2+23a3+…+2n a n，两式相加，得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23（a2+a3）+…+2n﹣1（a n﹣1+a n）+2n a n，又∵，∴3T n=2+2+2+…+2+2n a n=2n+2n a n，∴3T n﹣2n a n=2n，故答案为：2n．三、解答题18．解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．19．解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．∴B1B2=10．∴乙船的航行速度是海里/小时．20．（1）证明：∵S n+a n=﹣n+1，+a n﹣1=﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1，∴当n≥2时，S n﹣1=﹣n﹣1，两式相减得：2a n﹣a n﹣1变形得：2（a n+n）=a n﹣1+（n﹣1），又∵b n=a n+n，∴数列{b n}是公比为的等比数列；（2）解：由（1）可知S1+a1=﹣﹣+1=﹣1，即a1=﹣，又∵b1=a1+1=﹣+1=，∴b n=a n+n=，a n=﹣n+，∴S n=﹣（1+2+…+n）+（++…+）=﹣+=1﹣﹣．21．解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a﹣c）cosB=bcosC整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，∵∠B是三角形的内角，∴B=60°．（II）在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac•cosBac=3故．22．解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，∴△ABC的面积是a2，∴△ADE的面积是a2，∵AD=x，DE=y，∴①=x×AE×sin60°，∴AE=，②y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°=x2+AE2﹣x•AE=x2+（）2﹣2a2，∴y＞0，∴y=，又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，∴y=（a≤x≤2a），（2）y=≥=a，当且仅当x2=，即x=a时“=”成立，此时AE=a，∴使AD=AE=a时，DE最短，最短为a．23．解：（1）∵函数h（x）=的图象过点，∴，解得a=4；（2）由（1）得，h（x）=，∵h（x）+h（1﹣x）==，∴=；（3）==，则b n==，∴=，由T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，得，即对一切n∈N*恒成立，∵（当且仅当n=2时等号成立），∴．故λ的取值范围是．。