D2-2 随机变量的概率分布
概率分布函数与概率密度函数
概率分布函数与概率密度函数概率分布函数和概率密度函数是统计学中常见的两个重要概念，它们在描述随机变量分布特征时起着至关重要的作用。
下面我们将分别介绍概率分布函数和概率密度函数的概念、特点和应用。
一、概率分布函数概率分布函数又称为累积分布函数，是描述随机变量取值的概率分布规律的函数。
对于任意一个实数t，概率分布函数F(t)定义为随机变量X的取值小于等于t的概率，即F(t)=P(X≤t)。
概率分布函数的性质有以下几个特点：1. F(t)是一个单调非减的函数，即对于任意s和t（s≤t），有F(s)≤F(t)。
2. F(t)在整个实数轴上取值范围为[0,1]。
3. 当t趋近于负无穷时，F(t)趋近于0；当t趋近于正无穷时，F(t)趋近于1。
4. 概率分布函数是一种分步函数，具有不连续点。
在不连续点上，概率分布函数的值对应着概率的跳跃。
概率分布函数在统计学中有着广泛的应用，可以帮助研究者了解随机变量的分布情况，进而进行参数估计、假设检验、置信区间估计等统计分析工作。
二、概率密度函数概率密度函数是描述随机变量取值的密度分布的函数，通常用f(t)表示。
对于连续型随机变量X，如果存在一个函数f(t)，对于任意实数区间[a,b]，有P(a≤X≤b)= ∫[a,b] f(t)dt。
概率密度函数的性质如下：1. 概率密度函数在整个定义域上非负，即f(t)≥0。
2. 概率密度函数的积分在整个定义域上等于1，即∫(-∞,+∞) f(t)dt=1。
3. 概率密度函数f(t)与概率分布函数F(t)之间存在积分关系，即F(t)=∫(-∞,t) f(u)du。
4. 概率密度函数的图形代表了随机变量在不同取值上的密度大小，可以直观地表示随机变量的分布情况。
概率密度函数在连续型随机变量的分布描述中占据重要地位，例如正态分布、指数分布、均匀分布等常见的概率分布都可以通过概率密度函数来描述其分布规律。
综上所述，概率分布函数和概率密度函数是统计学中两个重要的概念，它们分别适用于离散型随机变量和连续型随机变量的分布描述。
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
高中数学概率分布的计算方法与应用
高中数学概率分布的计算方法与应用概率分布是数学中一个重要的概念，它描述了随机事件发生的可能性以及各种可能性的分布情况。
在高中数学中，概率分布是一个重要的考点，也是解决实际问题的关键。
本文将介绍概率分布的计算方法与应用，并通过具体的题目进行分析和说明，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、离散型随机变量的概率分布计算方法与应用离散型随机变量是指只能取有限个或可列个数值的随机变量。
对于离散型随机变量，我们可以通过列举每个可能取值的概率来描述其概率分布。
下面通过一个例题来说明如何计算离散型随机变量的概率分布。
例题：某班级有30名学生，其中10名学生会弹钢琴。
现从该班级中随机抽取5名学生，求抽到的学生中会弹钢琴的概率。
解析：首先，我们需要确定该问题中的随机变量。
这里的随机变量可以定义为“抽到的学生中会弹钢琴的人数”，记为X。
X的取值范围为0到5。
接下来，我们需要计算每个可能取值的概率。
当X=0时，表示抽到的5名学生中没有人会弹钢琴。
根据组合数的计算公式，可以得到抽到的学生中不会弹钢琴的人数为30-10=20名，因此概率为C(20, 5) /C(30, 5)。
当X=1时，表示抽到的5名学生中有1人会弹钢琴。
根据组合数的计算公式，可以得到抽到的学生中会弹钢琴的人数为10名，不会弹钢琴的人数为30-10=20名，因此概率为C(10, 1) * C(20, 4) / C(30, 5)。
以此类推，我们可以计算出X=2、X=3、X=4和X=5时的概率。
通过以上计算，我们可以得到离散型随机变量X的概率分布表如下：| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|| P | 0.250 | 0.375 | 0.250 | 0.083 | 0.042 | 0.010 |在实际应用中，我们可以利用概率分布来解决各种问题。
分布律与概率密度
分布律与概率密度概念解释在概率论中，分布律和概率密度是两个重要的概念，用于描述随机变量的概率分布。
它们分别适用于离散型随机变量和连续型随机变量。
分布律分布律主要用于描述离散型随机变量的概率分布情况。
离散型随机变量的取值是离散的，例如抛掷一颗骰子所得到的点数。
对于一个离散型随机变量X，其取值可能是有限个或者可数无限个，分别用x1,x2,...表示。
分布律表示的是随机变量X取特定值的概率，通常用P(X=x)表示。
例如，对于抛掷一颗骰子所得到的点数，其分布律可以表示为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6概率密度概率密度主要用于描述连续型随机变量的概率分布情况。
连续型随机变量的取值是连续的，例如某人的身高、体重等。
对于一个连续型随机变量X，其取值是一个区间，而不是一个具体的点。
因此，不能够像离散型随机变量那样直接计算某个取值的概率。
概率密度函数f(x)表示的是随机变量X落在某个区间上的概率密度，而不是具体的概率。
在某个区间上X的概率可以通过计算该区间下概率密度函数的积分来得到。
例如，对于身高在160厘米到170厘米之间的人群，其概率密度函数可以表示为：f(x) = 1/(170-160), 160<=x<=170而在特定的点上，概率密度函数的值并不表示概率。
例如，f(165)并不表示身高为165厘米的人的概率，而是表示在“身高等于165厘米”这一点密度的大小。
总结分布律和概率密度是描述随机变量概率分布的两种方式。
分布律适用于离散型随机变量，用于描述随机变量取特定取值的概率。
概率密度适用于连续型随机变量，用于描述随机变量落在某个区间上的概率密度。
通过理解和掌握这两个概念，我们可以更好地描述和分析随机变量的概率分布特征。
（以上内容只是对分布律和概率密度的简要介绍，实际应用中还有很多细节和深入的内容需要探讨。
2-2离散型随机变量的概率分布
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
泊松资料
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示
上面我们提到
二项分布 np ( n )泊松分布
单击图形播放/暂停 ESC键退出
合理配备维修工人问题
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1,,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
概率论随机函数及其概率分布
XY 1 2
10
1
3
21
1
3
3
P( X 2,Y 2) 2 1 1 , 32 3
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量及其概率分布
例2 一射手进行射击，每次射击击中目标的概率均为p (0<p<1 )，
且假设各次击中目标与否相互独立，射击进行到击中目标两次为止. 设以 X 表示到第一次击中目标所需要的射击次数，以 Y 表示总共
随机变量及其概率分布
若二维随机变量 (X, Y) 的全部可能取值为有限多对或可列无穷多对
则称(X, Y)为二维离散型随机变量
设二维随机变量(X, Y) 的全部可能值为 (xi , y j ) ，i, j 1,2,3, , 而 P(X x i ,Y y j ) pij , i, j 1, 2,3, ,
xn p( xn )
则随机变量函数Y=g(X)的概率分布是：
Y
P(Y yi )
y1 g( x1 )
p( x1 )
y2 g( x2 )
p( x2 )
yn g(xn )
p( xn )
2
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
例1 设随机变量X 的分布律为
随机变量及其概率分布
二维连续型随机变量，在平面内的某个区域内连续地取值 定义 设二维随机变量 (X, Y) 的联合分布函数为F(x, y) ，若存在
非负函数f (x, y) ，对任意实数 x, y ，有
F (x, y) x y f (u, v)dudv
随机变量概率分布的基本概念及性质
随机变量概率分布的基本概念及性质随机变量是概率论中一个非常重要的概念，它指的是一个随机事件中的数值结果。
而随机变量概率分布则是描述一个随机变量在各个取值下出现的概率的函数。
下面我们来详细了解一下随机变量概率分布的基本概念及性质。
一、随机变量随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
其中，离散型随机变量是只能取某些特定值或一些值的一个序列，而连续型随机变量则通常是一个在某个区间内取值的变量。
例如，投骰子时的点数就是一个离散型随机变量，而测量人体身高时得到的数值则是一个连续型随机变量。
二、概率分布函数概率分布函数是指一个随机变量在各个可能取值下出现的概率的函数。
离散型随机变量的概率分布函数通常被称为概率质量函数，连续型随机变量的概率分布函数则被称为概率密度函数。
在离散型随机变量中，概率质量函数可以用下面的公式表示：P(x) = P(X=x)其中，P(x)表示随机变量X在取值x的概率。
在连续型随机变量中，概率密度函数可以用下面的公式表示：f(x) = P(X\in \Delta x) / \Delta x其中，\Delta x表示x的微小区间。
概率密度函数的概率则是在某一个区间上积分后得到的结果。
三、期望期望是指一个随机变量的平均值，其描述了随机变量的集中趋势。
在离散型随机变量中，期望可以用下面的公式表示：E(X) = \sum_{i=1}^{\inf} x_i\times P(x_i)在连续型随机变量中，期望可以用下面的公式表示：E(X) = \int_{-\inf}^{\inf} xf(x)dx四、方差方差是对于一个随机变量的离散程度的度量，它告诉我们该变量距离其期望值的平均偏差。
方差的公式可以用下面的公式表示：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中E表示期望。
方差越大，变量的离散程度就越大。
五、矩矩是用来度量随机变量的特征参数的一种方式。
一般来说，矩可以通过期望来计算。
其中，k阶矩的计算公式为：\mu'_k = E(X^k)此外，矩也可以通过中心矩来计算。
随机变量的函数的变量分布
01
02
均匀分布
在一定区间内均匀分布的随机变 量，如时间间隔、长度等。
03
04
二项分布
成功次数的问题中常用，如抛硬 币、抽奖等。
03
随机变量的函数的变量分布
随机变量函数的分布类型
1
离散型随机变量函数
离散型随机变量函数的取值是离散的， 其分布可以用概率分布列或概率质量函 数来表示。常见的离散型随机变量函数 包括二项式随机变量、泊松随机变量等 。
统计推断
通过分析随机变量的分布，可以 进行统计推断，例如参数估计和 假设检验等。
02
随机变量的分布
离散随机变量的分布
伯努利分布
适用于独立重复试验，如抛硬币、抽奖等。
二项分布
适用于成功次数的问题，如投掷n次硬币，成功k次的概率。
泊松分布
适用于单位时间内随机事件的次数，如放射性衰变次数。
连续随机变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的分布
科学研究
随机变量的函数变量分布在科学研究中也具有广泛的应用价值，例如在物理学、生物学、社会科 学等领域中，可以通过研究随机现象来揭示自然规律和社会现象。
研究展望与未来发展方向
拓展应用领域
将随机变量的函数变量分布应用到更多的领域中，例如在人工智能、大数据分析、物联网等领域中，可以利用这些知 识进行数据分析和预测。
随机变量的函数的方差
方差的性质
如果$X$是一个随机变量，那么对于 任意的常数$a$，有
Var(aX)=a^2Var(X)。
方差的交换律
对于任何两个随机变量$X$和$Y$， 有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
方差的非负性
对于任何随机变量$X$，有 Var(X)>=0。
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解： 利用规范性得
1
+
f ( x)dx
1 0
0
f ( x)dx f ( x)dx
0
1
1
f ( x)dx
kx 1 x dx 1 k 6
P X 0.3
0.3
f x dx
当 x 1 时，X 的取值为1,2,3,4,5,6，不可能小于 x ， 则 F ( x) P X x 0 ；
1 当 1 x 2时，若 X 取1则满足 X x ，有 的概率, 6 1 因此 F ( x) P X x ； 6 1 当 2 x 3时，若 X 取1或2则满足 X x ，有 的 3 1 概率，因此 F ( x) P X x ； 3 1 当 3 x 4时，F ( x) P X x ； 2 2 当 4 x 5时，F ( x) P X x ； 3 5 当 5 x 6时，F ( x) P X x ； 6
例3. 设某随机变量的分布函数为: x0 0, 2 F x Ax , 0 x 1 x 1 求: A 及 P 0.3 X 0.7 解: 利用右连续性知:
x1
lim F x F 1
即: 1 A 12
A 1
2 2
A, B ； （2） X 落在 ( 1, 1]内的概率。
1 1 解得 A , B ， 2 1 1 因此 F ( x) arctan x ； 2
（2）P 1 X 1 F (1) F (1)
1 1 1 1 1 。 2 4 2 4 2
P a X b f ( x)dx
b a
注：该结论只对连续型随机变量成立，离散型随 机变量无此结论。
例7： 设某连续型随机变量的概率密度函数为：
kx 1 x , 0 x 1 f x 0, 其他
求： 的值， X 0.3 及分布函数 F x P k
当 x 6 时， F ( x) P X x 1 。 综上：
0 1 6 13 1 F ( x) P X x 2 2 3 5 6 1
x 1 1 x 2 2 x3 3 x 4 4 x5 5 x6 x6
P 0.3 X 0.7 F 0.7 F 0.3 0.7 0.3 0.4
二、离散型随机变量及其分布
若随机变量 X的全部可能取值为有限多或可列 无穷多，称 X为离散型随机变量。 定义2.2.2 设 xi (i 1, 2,)为离散型随机变量 X
F ( x) 来求，
或
P X 0.1 F (0.1) 1 e
P X 0.1
0.1
0.3
0.1
0.259
f ( x)dx 3e3 x dx 0.259
例7：设 X为一连续型随机变量， x0 为任意常数，
则 P X x0 0 。 证明: 设 X的概率密度函数为f ( x)，对任 意 x 0 ,有
x x
f (t )dt
x
f ( x x)x lim x 0 x lim f ( x x) f ( x)
x 0
0 1
证毕
例6：设随机变量 X 的概率密度函数为
e x0 f ( x) x0 0 试确定常数 ，并求 X 的分布函数及 P X 0.1 。
F ( x) P X x
x
f (t )dt
则称 X 为连续型随机变量，f ( x) 为 X 的概率密度函 数或分布密度函数。
概率密度函数 f ( x) 的图像称为分布曲线，则 连续型随机变量 X 的分布函数 F ( x) 的几何意义是: 以分布曲线 f ( x) 为顶，以 x 轴为底，从 到 x 的一块区域的面积（见下图）。
分布函数 F ( x) 表示X 落在 (, x] 内的概率,
比如求 P x1 X x2 P X x2 P X x1
F ( x2 ) F ( x1 ) 定理2.2.1 任一随机变量 X 的分布函数 F ( x) 具
有如下性质：
（1）F ( x)为非减函数，若 x1 x2,则 F ( x1 ) F ( x2 ) ； （2）lim F ( x) 0 ，lim F ( x) 1 ；
由上面的例子可以看出概率值 P X x 的大小 与 x 的取值有关，因此 P X x 是 x 的函数，就将 其定义为随机变量 X 的分布函数。
定义2.2.1：设 X为一随机变量， x为任意实数， F ( x) P X x称为随机变量的分布函数。 比如刚才例子，掷一枚骰子，用 X 表示点数， 求 X 的分布函数 F ( x) Fra bibliotekP X x。
p
i 1
i
1 或
p
i 1
n
i
反之，若某一数列 pi 具有以上两条性质，均可 做为某离散型随机变量的分布律。
1 （ 例4：P X n n 2 的自然数） n(n 1)
是随机变量 X 的分布律吗？
1 解: 由 n 2 可得 0 n(n 1) 1 1 1 又 n n 2 n( n 1) n2 n 1
其实，若某一函数 F ( x) 满足上述三个性质， 一定可以做为某随机变量 X 的分布函数。可以用此 方法判断一个函数是否分布函数。 例2：设随机变量 X 的分布函数为
F ( x) A B arctan x
试求（1）系数
x
解：（1）由性质可得 lim F ( x) A B 0 x 2 lim F ( x) A B 1 x 2
概率为0的事件是有可能发生的.(几乎不可能事件)
概率为1的事件有可能不发生。 （几乎必然事件）
思考：当 X 为连续型随机变量时
P a X b与 P a X b 的大小关系.
由例6的结论知:
P a X b P a X b P a X b
b
a
f ( x)dx ；
对于定义在 , 上的可积函数 f ( x) ，若满足 性质（1）和（2），则 f ( x) 必可作为某连续型随机 变量的概率密度函数。
证明：只证（4）
F ( x x) F ( x) x F ( x) lim lim x 0 x 0 x
F ( x) P X x pi
xi x
例5：进行两次射击，每次命中目标的概率为0.4, 用 X 表示击中目标的次数，求 X 的分布律及分布 函数。 解:
X 的可能取值为0，1，2 P X 0 0.6 0.6 0.36 P X 1 0.6 0.4 0.4 0.6 0.48 P X 2 0.4 0.4 0.16
x x
（3） ( x) 为右连续函数，对任意实数 x0有 F
x x0
lim F ( x) F ( x0 )
例1. 判断下列函数是否为分布函数 x 2 0, x0 0, 1 ① F1 x , 2 x ② F2 x sin x, 0 x 2 x x 1 不是,因为不满足规范性 不是,因为不满足单调非降性 x0 0, 1 1 ③ F3 x x , 0 x 是 2 2 1 x 2
1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 满足以上两个条件，因此是 X 的分布律。
注：分布函数与分布律的不同之处
分布律描述的是随机变量取某个值的概率；
分布函数描述的是随机变量不超过某个值的概率;
因此通过分布律可求分布函数
3 x
解: 由于
+
f ( x)dx 1 即
3 x 0
3 x
则
+
0
e3 x dx 1
3
e
1
得
3
3e 所以 f ( x) 0
x0 x0
下面求 X 的分布函数 F ( x)
当
x
x
f (t )dt
x 0 时， F ( x) f (t )dt 0 x 0 时，
的所有可能取值，事件 X xi 的概率
P X xi pi , i 1, 2,
称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
分布律经常可写成表格形式：
X P X xi
x1 p1
x2 p2
xn pn
i 1, 2,
1
分布律性质： (1) P X xi pi 0, (2)
第二章
第二节 随机变量的概率分布
一、随机变量的分布函数
二、离散型随机变量的分布律 三、连续型随机变量及概率密度 函数
一、随机变量的分布函数
有了随机变量的概念，就可以将上一章中的随机 事件转化为随机变量来研究 。 如：掷一枚骰子，设 A 表示点数不超过3， B 表 示点数不超过6， C表示点数少于3.5。 显然由上一章知识有:
X 0 pi 0.36
1
0.48
2
0.16
x0 0 0.36 0 x 1 F ( x) P X x 0.84 1 x 2 F ( x) 1 x2
1 0.84
则 X 的分布函数为
0.36
x
O
1 2
三、连续型随机变量及概率密度函数
定义2.2.3 设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数， 若存在一个非负函数 f ( x) ，使对一切 x ，有