第3章 拉普拉斯变换

定义复数变量： 定义复数变量：
双边拉普拉斯逆变换： 双边拉普拉斯逆变换：
原函数
∫σ 2π j
1
F ( s )e ds = Lb −1 ( F ( s ))
st
3.2 拉普拉斯变换
考虑实际信号的起始时间： 考虑实际信号的起始时间： 单边拉氏变换： 单边拉氏变换：
F ( s ) = ∫ − f ( t )e dt
K1 K2 Ki Kn = + + L+ + L+ s − P1 s − P2 s − Pi s − Pn
N ( s) K i = [( s − pi ) ]s = Pi D( s )
3.3 拉普拉斯反变换
2)F(s)的极点包含一对共轭复根：− α ± jβ
对F(s)展开后，共轭复根对应的展开项系数K1和K2为共轭关系。 F(s)展开后 共轭复根对应的展开项系数K 展开后， 为共轭关系。 D(s)=0的 次重根， 3)F(s)的极点包含重根：设P1为D(s)=0的r次重根，
3.1.3 常用函数的拉普拉斯变换（单 边）
u(t )
−u (−t )
1 S
1 S
ROC : Re[ s ] > 0
ROC : Re[ s ] < 0
e u (t )
− at
δ (t )
t u (t )
n
1 ROC : Re[ s ] > − a s + a
1
ROC : Re[ s ] > −∞
n! ROC : Re[ s ] > 0 s n+1
N ( s) F ( s) = D( s ) Br Br − 1 B2 B1 = + +L+ + r r −1 2 ( s − P1 ) ( s − P1 ) ( s − P1 ) ( s − P1 ) Kn K r +1 + +L+ ( s − Pr +1 ) ( s − Pn )
3.3 拉普拉斯反变换
F ( s ) f ( 0) + s s
(−1)
−
∫
t −∞
f (τ ) d τ
3.2 拉普拉斯变换的基本性质
尺度变换 初值定理 终值定理 卷积定理
f (at )
+ t →0
1 s F a a
s→∞
lim f (t) = f (0 ) = limsF(s) +
lim f (t) = f (∞) = limsF(s)
t →∞ s→0
f1 ( t ) * f 2 ( t )
f 1 ( t ). f 2 ( t )
F 1 ( s ). F 2 ( s )
1 F1 ( s ) * F2 ( s ) 2π j
3.3 单边拉普拉斯反变换
一、查表+性质 查表+ 部分分式展开法（要求F(s)是有理式 是有理式） 二、部分分式展开法（要求F(s)是有理式）
−jω t
dt
1 ∞ f (t ) = F(ω)ejω t dω = F−1(F(ω)) 2π ∫−∞
狄里赫利条件： 狄里赫利条件：
∫
∞
−∞
f (t ) d t < ∞
(充分条件 )
− σt
令时间函数收敛： 令时间函数收敛：
f ( t )e
3.2 拉普拉斯变换
对 f ( t )e
− σt
做傅立叶变换： 做傅立叶变换：
∞ −∞
F1 (ω ) = ∫
f ( t )e − (σ + jω ) t dt
f(t)的双边拉普拉斯变换： f(t)的双边拉普拉斯变换： 的双边拉普拉斯变换
象函数
F(s) = ∫
f (t ) =
∞
−∞
s = σ + jω − st f (t )e dt = Lb ( f ( t ))
σ + j∞
− j∞
s的m阶多项式
N (s ) (s F ( s) = D( s )
s的n阶多项式
1.m≥n时 F(s)=多项式 1.m≥n时：F(s)=多项式＋真分式 多项式＋ 2.m<n时 F(s)=真分式 2.m<n时：F(s)=真分式
3.3 拉普拉斯反变换
1)F(s)的极点（D(s)=0）均为实数，且无重根
N ( s) N ( s) F ( s) = = D( s ) ( s − P1 )( s − P2 )L ( s − Pn )
s+2 F (s) = s ( s + 3)( s + 1) 2
3)F(s)的极点包含重根： 3)F(s)的极点包含重根： 的极点包含重根

1 dr−i Bi = [(s − P )r F(s)] 1 r −i (r − i)! d s s= p
i = 1,2,3,Lr
1
K j = [( s − p j ) F ( s )]s = Pj
例：
j = (r + 1), (r + 2),..., n
3.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
要求 确定σ的取值范围， lim f ( t )e −σt = 0 ，确定σ的取值范围，σ > σ 0
t →∞
即为函数f(t)的拉普拉斯变换的收敛域 即为函数f(t)的拉普拉斯变换的收敛域。 的拉普拉斯变换的收敛域。 双边拉氏变换的收敛域：双边拉氏变换可看作两个单 双边拉氏变换的收敛域： 边拉氏变换的叠加， 边拉氏变换的叠加，分别求出两个单边拉氏变换的收 敛域，再求其交集。 敛域，再求其交集。 注意： 注意： 两个时间信号的拉氏变换的形式可能相同， 两个时间信号的拉氏变换的形式可能相同，但收敛域 不同 收敛域包含虚轴，则说明f(t)的傅立叶变换存在 否则， 的傅立叶变换存在， 收敛域包含虚轴，则说明f(t)的傅立叶变换存在，否则， f(t)的傅立叶变换不存在 包含δ(ω)）。 f(t)的傅立叶变换不存在（包含δ(ω)）。 的傅立叶变换不存在（
− st 0
∞
= L( f ( t ))
1 σ + j∞ f (t ) = F ( s )e st dsu( t ) = L−1 ( F ( s )) 2πj ∫σ − j∞
通常情况均为单边拉氏变换。 通常情况均为单边拉氏变换。 当s＝jω时，拉普拉斯变换即为傅立叶变换。 jω时 拉普拉斯变换即为傅立叶变换。
3.2 拉普拉斯变换的基本性质
线性 时移 频移 时域微 分 时域积 分
∑k f (t)
f ( t − t 0 )u( t − t 0 )
i=1 i i
n
∑ k .F ( s )
i =1 i i
n
e
− st 0
F (s)
f ( t )e
df ( t ) dt
s0 t
F ( s − s0 )
sF ( s ) − f (0 )
第3章 拉普拉斯变换
浙江科技学院 电气学院 李津蓉
引言
拉普拉斯变换是系统分析的重要数学工具
对系统进行频域分析,求解输出信号 对系统进行频域分析 求解输出信号 求解常系数线性微分方程
傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式
3.1 拉普拉斯变换的定义及收敛域
傅立叶变换
F(ω) = ∫ f (t )e
−∞
∞