第3章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换

第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中,为了把复杂的计算转化为较简单的计算,往往采用变换的方法。
拉普拉斯变换(简称拉斯变换)就是其中的一种。
拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。
用变拉普拉斯换分析和综合线性系统(如线性电路)的运动过程在工程上有着广泛的应用。
本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。
第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义,且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛,则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换,记作)]([)(t f L s F =函数F (s ) 也可叫做)(t f 的像函数。
若F (s )是)(t f 的拉)(t f 是F (s )的拉氏逆变换(或叫做()s F 的像原函数),记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中,只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。
为了研究方便,以后总假定在)0,(-∞内,)(t f ≡0。
另外,拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的,但我们只讨论s 是实数的情况,所得结论也适用于s 是复数的情况。
例1 求指数函数at e t f =)((a a ,0≥是常数)的拉氏变换。
解 由拉氏变换定义有 :dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛,有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u , 的拉氏变换。
解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛,且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L ( 例3 求at t f =)((a 为常数)的拉氏变换。
拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N 。
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。
一、拉氏变换的基本概念定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 的某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 的函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=0)()( (12.1)称(12.1)式为函数()f t 的拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。
函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作 )()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
信号与系统拉普拉斯变换

电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
LdiL(t) dt
设
L i L ( t ) I L ( s ) L v , L ( t ) V L ( s )
应用原函数微分性质
V L ( s ) L s L ( s ) I i L ( 0 ) s I L ( s ) L L L ( 0 )i
F (s) B A ( (s s) ) b a n m (( s s p z 1 1 ) )s s ( ( p z2 2 ) ) ( (s s z p m n ) )
零点 极点
z 1 ,z 2 ,z 3 z m 是 A s 0 的 ,称 F 根 s 的 为零 因 A ( s ) 为 0 F ( s ) 0
两边取拉氏变换:
s 2 Y ( s ) s ( 0 ) y y ( 0 ) 5 [ s ( s ) Y y ( 0 ) 6 Y ] ( s ) 2 F ( s )
整理得:
Y (s)s2 2 F 5 (s s )6(s 5 s )2 y (0 5 s ) 6 y(0 )
26
4
4
Fs1 ss21 1s21 s s1 2
21
用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换
L fs(t)0 f(n)T (t n)e T sd tt f(n)e T nsT
0
n 0
抽样信号 拉的 氏变换可s表 域示 的为 级数。
例f(如 t)eαtu(t)则 ,
Lfs(t) eαnTesnT
ILs Ls LiL0
VLs
电感元件的s模型
27
L T tf()d F s (s)f(1s )(0)
28
电容元件的s域模型
(整理)拉氏变换讲稿

第2+章 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换简称拉氏变换,是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程,这不仅运算方便,使系统的分析大为简化,而且在经典控制论范畴,直接在频域中研究系统的动态特性,对系统进行分析、综合和校正,具有很广泛的实际意义。
2-1 复数和复变函数1.复数的概念复数,ωσj s +=其中σ、ω均为实数,分别称为S 的实部和虚部,记做Re()s σ=,)Im(s =ωj =虚部分别相等,一个复数为零,它的实部和虚部均必须为零。
2.复数的表示方法:表达复数的直角坐标系平面称为复平面或S 平面。
(1)点表示法(2)向量表示法复数S 用从原点指向点(ωσ,)的向量来表示。
向量的长度称为复数S 的模或绝对值。
22ωσ+==r s向量与σ轴(横轴)的夹角θ称为复数的幅角,即σωθarctan =。
(3)三角表示法:由上图可看出:cos r σθ=⋅,θωsin ⋅=r 因此复数的三角表示法为:(cos sin )s r j θθ=+(4)指数表示法:利用欧拉公式:cos sin j e j θθθ=+,复数S 也可用指数表示为:j s r e θ=⋅3.复变函数、极点与零点的概念以复数ωσj s +=为自变量,按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数,G(s)可写成:()G s u jv =+,在线性控制系统中,通常遇到的复变函数G(s)是S 的一个给定值,G(s)就唯一被确定。
若有复变函数 1212()()()()()()()m n k s z s z s z G s s s p s p s p ---=---当12,m s z z z =时,()0G s =,称12,z z ,·,m Z 为G(s)的零点; 当120,,n s p p p =时,()G s =∞,称120,,p p ,·,m P 为G(s)的极点。
2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义一、拉氏变换设有时间函数()f t ,0t ≥,则()f t 的拉氏变换记做[]()L f t 或()F s ,并定义为:[]0()()()st L f t F s f t e dt ∞-==⋅⎰ 式(2—1) 式中s 为复数,称()f t 为原函数,()F s 为象函数。
第三章_拉氏变换

激励的初始值为 e(0 ) 0 求响应的拉氏变换。
解: E(s) L[e(t)] R(s) L[r(t)]
对微分方程取拉氏变换:
[s2R(s) sr(0 ) r(0 )] a1[sR(s) r(0 )] a0R(s) b1[sE(s) e(0 )] b0E(s)
R( s )
(sb1 b0 )E(s) s2 a1s a0
拉普拉斯在数学和物理学方面也有重 要贡献,以他的名字命名的拉普拉斯变换 和拉普拉斯方程,在科学技术的各个领域 有着广泛的应用。
拉普拉斯变换的定义
一、拉普拉斯变换的定义
F(s) f (t)estdt 0
f (t) : 时域函数,原函数,t < 0 时等于0。 F(s) : f(t)的拉普拉斯变换,复频域函数,象函数。 s = + jω 复频率
L[ f (t t0 )(t t0 )] est0 F(s)
例3 求e-b(t-a) 的拉氏变换,a,b为任意实数。
5、初值定理和终值定理
(1)初值定理
设 L[ f (t)] F(s) 且 lim sF (s) 存在 s
则
f
(0
)
lim
s
sF
(
s)
(2)终值定理
设
L[ f (t)] F(s)
f (t) L1[F(s)] 拉普拉斯反变换
例1、求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换。
解:
F (s) L[ (t)] (t)estdt 0
est t0 1
例2、求单位阶跃函数 ε(t) 的拉普拉斯变换。
解:
F ( s) L[(t )] (t )e st dt 0
e st dt e st
s p1 s p2
拉普拉斯变换

精心整理§13拉普拉斯变换重点:1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点:1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用§13-1.2.由1它计及t=0-至0+,f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电路的计算带来方便。
2)象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s),U(s),原函数f(t)用小写字母表示,如i(t),u(t)。
3)象函数F(s)存在的条件:3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数拉氏变换的若干性质和定理时域延迟为一非负实数频域延迟或存在所有奇点均在或为与的卷积应用拉氏变换的性质,同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
表13-2拉氏变换简表已知的像函数。
解:已知,求)=的象函数。
例13-3求函数的像函数。
解:求函数的像函数。
根据微分性质,因为,所以求函数的像函数。
求函数的像函数。
求函数的像函数。
1)利用公式2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数3)把F(S)分解为简单项的组合,也称部分分式展开法。
则§13-3拉普拉斯反变换的部分分式展开2.部分分式展开法用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理),即将展开成部分分式,成为可在拉氏变换表中查到的的简单函数,然后通过反查拉氏变换表求取原函数。
设,的阶次不高于的阶次,否则,用除,以得到一个的多项式与一个余式(真分式)之和。
部分分式为真分式时,需对为分母多项式作因式分解,求出=0的根。
即1方法一:按2)若=0有共轭复根和则,因为F(s)为实系数多项式之比,故和为共轭复数。
设,3)=0的具有重根时,因含有的因式。
则,;;……;总结上述得由F(s)求f(t)的步骤:1)n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和;234例13-8已知其中所以解法二:例13-9已知求原函数。
(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档

[
f1 (t )
f2 (t)]
1 2
j
[F1(s)
F2 (s)]
=
1 2
j
j
j F1( p)F2 (s p)dp
3. 拉普拉斯逆变换 (1) 部分分式展开法
首先应用 海维赛展开定理将 F (s) 展开成部分分式,然后将各部分分式逐项进行逆变换,
最后叠加起来即得到原函数 f (t) 。
(2)留数法
1
1s s2
1 es 1 es
2
本文例 4-3下载后请自行对内容图4-2编(c) 辑修改删除,
应用微分性质求图 4-3(a)中 f1t , f2 (t), f3t 的象函数下面说明应用微分性质应注意的
问题,图 4-3(b)f1t , f2 t, f3t是的导数f1t , f2t , f3t 的波形。
1 t estd t 2 2 t estd t
0
1
1
t 1 est 1 1 estd t 2 1 estd t 2 t estd t
s
0
s 0
0
1
1 es s
1 s2
es
1 s2
2 e2s s
2 es s
2 e2s s
1 s2
es
1 s2
1 es
2
方法二:利用线性叠加和时移性质求解 由于
F
(s) 则 [ df (t)] dt
sF (s)
f (0 )
[
d
nf dt
(t)
n
]
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
式中
第三章(拉氏变换)

L [ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = F1 ( s ) F2 ( s )
t→0
t→∞
lim f (t ) = lim sF ( s) +
s →∞
s →0
lim f (t ) = lim sF ( s )
n
d n F ( s) L [(−t ) f (t )] = ds n
∞ f (t ) L[ ] = ∫ F (η )dη s t
m m−1
式中,系数 都为实数, 和 是正整数 是正整数, 式中,系数ai和bi都为实数,m和n是正整数 pi为F (s) 极点
Kn K1 K2 F(s) = + +L+ s − p1 s − p2 s − pn
Ki = (s − pi )F(s) s= p , i = 1,2,Ln
i
(1)极点为实数,无重根 (m<n) 极点为实数, 10(s + 2)(s + 5) 例1:求下列函数的逆变换 F(s) = s(s +1)(s + 3) K3 K1 K2 解:将F(s)展开成部分分式形式: + F(s) = + s s +1 s + 3
7 2 4 − (s +1) − × 2 5 = 5 + 5 s +2 (s +1)2 + 4
7 −2t 2 −t 4 −t ∴ f (t) = [ e − e cos 2t − e sin 2t)]u(t) 5 5 5
1 − e −2 s K1 K 2 s + K 3 F (s) = =( + )(1 − e − 2 s ) s ( s 2 + 4) s s2 + 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
定义复数变量: 定义复数变量:
双边拉普拉斯逆变换: 双边拉普拉斯逆变换:
原函数
∫σ 2π j
1
F ( s )e ds = Lb −1 ( F ( s ))
st
3.2 拉普拉斯变换
考虑实际信号的起始时间: 考虑实际信号的起始时间: 单边拉氏变换: 单边拉氏变换:
F ( s ) = ∫ − f ( t )e dt
K1 K2 Ki Kn = + + L+ + L+ s − P1 s − P2 s − Pi s − Pn
N ( s) K i = [( s − pi ) ]s = Pi D( s )
3.3 拉普拉斯反变换
2)F(s)的极点包含一对共轭复根:− α ± jβ
对F(s)展开后,共轭复根对应的展开项系数K1和K2为共轭关系。 F(s)展开后 共轭复根对应的展开项系数K 展开后, 为共轭关系。 D(s)=0的 次重根, 3)F(s)的极点包含重根:设P1为D(s)=0的r次重根,
3.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单 边)
u(t )
−u (−t )
1 S
1 S
ROC : Re[ s ] > 0
ROC : Re[ s ] < 0
e u (t )
− at
δ (t )
t u (t )
n
1 ROC : Re[ s ] > − a s + a
1
ROC : Re[ s ] > −∞
n! ROC : Re[ s ] > 0 s n+1
N ( s) F ( s) = D( s ) Br Br − 1 B2 B1 = + +L+ + r r −1 2 ( s − P1 ) ( s − P1 ) ( s − P1 ) ( s − P1 ) Kn K r +1 + +L+ ( s − Pr +1 ) ( s − Pn )
3.3 拉普拉斯反变换
F ( s ) f ( 0) + s s
(−1)
−
∫
t −∞
f (τ ) d τ
3.2 拉普拉斯变换的基本性质
尺度变换 初值定理 终值定理 卷积定理
f (at )
+ t →0
1 s F a a
s→∞
lim f (t) = f (0 ) = limsF(s) +
lim f (t) = f (∞) = limsF(s)
t →∞ s→0
f1 ( t ) * f 2 ( t )
f 1 ( t ). f 2 ( t )
F 1 ( s ). F 2 ( s )
1 F1 ( s ) * F2 ( s ) 2π j
3.3 单边拉普拉斯反变换
一、查表+性质 查表+ 部分分式展开法(要求F(s)是有理式 是有理式) 二、部分分式展开法(要求F(s)是有理式)
−jω t
dt
1 ∞ f (t ) = F(ω)ejω t dω = F−1(F(ω)) 2π ∫−∞
狄里赫利条件: 狄里赫利条件:
∫
∞
−∞
f (t ) d t < ∞
(充分条件 )
− σt
令时间函数收敛: 令时间函数收敛:
f ( t )e
3.2 拉普拉斯变换
对 f ( t )e
− σt
做傅立叶变换: 做傅立叶变换:
∞ −∞
F1 (ω ) = ∫
f ( t )e − (σ + jω ) t dt
f(t)的双边拉普拉斯变换: f(t)的双边拉普拉斯变换: 的双边拉普拉斯变换
象函数
F(s) = ∫
f (t ) =
∞
−∞
s = σ + jω − st f (t )e dt = Lb ( f ( t ))
σ + j∞
− j∞
s的m阶多项式
N (s ) (s F ( s) = D( s )
s的n阶多项式
1.m≥n时 F(s)=多项式 1.m≥n时:F(s)=多项式+真分式 多项式+ 2.m<n时 F(s)=真分式 2.m<n时:F(s)=真分式
3.3 拉普拉斯反变换
1)F(s)的极点(D(s)=0)均为实数,且无重根
N ( s) N ( s) F ( s) = = D( s ) ( s − P1 )( s − P2 )L ( s − Pn )
s+2 F (s) = s ( s + 3)( s + 1) 2
3)F(s)的极点包含重根: 3)F(s)的极点包含重根: 的极点包含重根
1 dr−i Bi = [(s − P )r F(s)] 1 r −i (r − i)! d s s= p
i = 1,2,3,Lr
1
K j = [( s − p j ) F ( s )]s = Pj
例:
j = (r + 1), (r + 2),..., n
3.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
要求 确定σ的取值范围, lim f ( t )e −σt = 0 ,确定σ的取值范围,σ > σ 0
t →∞
即为函数f(t)的拉普拉斯变换的收敛域 即为函数f(t)的拉普拉斯变换的收敛域。 的拉普拉斯变换的收敛域。 双边拉氏变换的收敛域:双边拉氏变换可看作两个单 双边拉氏变换的收敛域: 边拉氏变换的叠加, 边拉氏变换的叠加,分别求出两个单边拉氏变换的收 敛域,再求其交集。 敛域,再求其交集。 注意: 注意: 两个时间信号的拉氏变换的形式可能相同, 两个时间信号的拉氏变换的形式可能相同,但收敛域 不同 收敛域包含虚轴,则说明f(t)的傅立叶变换存在 否则, 的傅立叶变换存在, 收敛域包含虚轴,则说明f(t)的傅立叶变换存在,否则, f(t)的傅立叶变换不存在 包含δ(ω))。 f(t)的傅立叶变换不存在(包含δ(ω))。 的傅立叶变换不存在(
− st 0
∞
= L( f ( t ))
1 σ + j∞ f (t ) = F ( s )e st dsu( t ) = L−1 ( F ( s )) 2πj ∫σ − j∞
通常情况均为单边拉氏变换。 通常情况均为单边拉氏变换。 当s=jω时,拉普拉斯变换即为傅立叶变换。 jω时 拉普拉斯变换即为傅立叶变换。
3.2 拉普拉斯变换的基本性质
线性 时移 频移 时域微 分 时域积 分
∑k f (t)
f ( t − t 0 )u( t − t 0 )
i=1 i i
n
∑ k .F ( s )
i =1 i i
n
e
− st 0
F (s)
f ( t )e
df ( t ) dt
s0 t
F ( s − s0 )
sF ( s ) − f (0 )
第3章 拉普拉斯变换
浙江科技学院 电气学院 李津蓉
引言
拉普拉斯变换是系统分析的重要数学工具
对系统进行频域分析,求解输出信号 对系统进行频域分析 求解输出信号 求解常系数线性微分方程
傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式
3.1 拉普拉斯变换的定义及收敛域
傅立叶变换
F(ω) = ∫ f (t )e
−∞
∞