初中数学新定义题型方法归纳,历年江苏中考有关于新定义材料阅读创新题试题分类汇编及答案解析
阅读理解及定义型问题(复习讲义)(解析版)中考数学重难点题型专题汇总
阅读理解及定义型问题（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01新定义型阅读理解题常见的两种类型1.新定义概念型阅读题:解新定义概念型阅读题,要把握新概念的现实模型,理解新概念的形2.新定义运算型阅读题:把新定义运算转化为一般的实数运算是解这类阅读理解题的关键.【特别提醒】(1)正确理解新定义运算的含义,认真分析题目中的定义,严格按照新定义的运算顺序进行运算求解,切记不可脱离题目要求.(2)在新定义的算式中,若遇有括号的也要先算括号里面的.(3)材料中的新概念、新运算与我们已学过的概念、运算有着密切的联系,注意“新”“旧”知识之间的联系与转化.考点02新公式应用型阅读题新公式应用型阅读题常见的三种类型1.新数学公式型:通过阅读材料,给出新的数学公式,根据新的数学公式解决所给问题.2.新变换法则型:通过阅读材料,给出新的数学变换法则,根据新的变换法则解决所给问题.3.新规定型:通过阅读材料,给出新的规定,根据新规定解决所给问题.【知识归纳】新公式应用型阅读题的解题策略1.通过对所给材料的阅读，从中获得新的数学公式或某种新的变换法则.2.分析新公式的结构特征及适用范围.3.将新公式转化为已学知识，寻找解决问题的突破口，进而利用新公式解决问题.解一元一次不等式的注意事项解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本类似，只是注意在不等式的两边同乘或同除一个负数时，不等号的方向要发生改变．在数轴上表示不等式的解集时，要注意“分界点”和“方向”，大于向右画，小于向左画，含等于号的画成实心点，不含等于号的要画成空心圆圈．考点03新解题方法型阅读题新解题方法型阅读题常见的两种类型1.以例题的形式给出新方法:材料中首先给出一道例题及其解题方法,然后仿照新的解题方法解决与例题类似的问题.这类新方法型阅读题在中考中最为常见,值得关注.2.以新知识的形式给出新方法:先给出体现一个新解题方法的阅读材料,通过阅读体会新方法的实质,然后用新方法解决相关的问题.【特别提醒】(1)认真阅读题目,理解掌握新的解题方法是解决新问题的关键.(2)体会转化思想在解新方法型阅读题中的作用,理解新方法并进行转化,用我们熟悉的知识来解决新问题.【知识归纳】解答数字规律题的步骤(1)计算前几项，一般算出四五项.(2)找出几项的规律，这个规律或是循环，或是成一定的数列规律如等差，等比等.(3)用代数式表示出规律或是得出循环节(即几个数一个循环).(4)验证你得出的结论.考点04归纳概括型阅读题归纳概括型阅读题常见的三种类型1.等式型:通过对给出的几个等式中数的变化,分析、类比、推断、猜测,归纳出等式存在的一般性规律,再用含字母的等式表示一般规律.2.代数式型:通过对给出的几个代数式中数和字母的变化,分析、类比、猜测,归纳出代数式存在的一般性规律,再用含字母的代数式表示一般规律.3.三角函数式型:通过对给出的几个三角函数式中数或字母的变化,分析、类比、猜测,归纳出三角函数式存在的一般性规律,再用数或含字母的式子表示一般规律.1.（2022·重庆）对多项式x y z m n ----任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()x y z m n x y z m n ----=--++，()x y z m n x y z m n ----=--+-，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】给x y -添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵()x y z m n x y z m n ----=----∴①说法正确∵0x y z m n x y z m n -----++++=x 的符号为负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；当括号中有四个字母，共有1种情况，()x y z m n ----∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．2．3=3=3=，…，3n =个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足n a =个根号时，称(),a b 为一组完美方根数对．如上面()3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①()4,12是完美方根数对；②()9,91是完美方根数对；③若(),380a 是完美方根数对，则20a =；④若(),x y 是完美方根数对，则点(),P x y 在抛物线2y x x =-上．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：4=，∴()4,12是完美方根数对；故①正确；10=9≠∴()9,91不是完美方根数对；故②不正确；若(),380aa 即2380a a =+解得20a =或19a =-a 是正整数则20a =故③正确；若(),x yx =2y x x ∴+=,即2y x x =-故④正确故选C【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．3．对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7【答案】B【解析】根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为211(2)(2)4x x x ⊗-==---，所以原方程可转化为12144x x =---，解得x＝5．经检验，x＝5是原方程的解．4．（2020·随州）将关于x 的一元二次方程0=q +px -x 2变形为q -px x 2=，就可以将2x表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如=-=⋅=)(23q px x x x x …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：0=1-x -x 2，且x＞0，则3x +2x -x 34的值为（）A.51-B.53-C.51+D.53+【答案】C【解析】本题考查了降次法、整体代入法、整式的化简求值，一元二次方程的解法.解答过程如下：∵0=1-x -x 2，∴1x x 2+=，∴3x +2x -x 34=3x +1)2x(x -)1(x 2++=3x +2x -2x -12x x 22++=3x +x -12=3x+1)(x -1+=3x +1-x -1=2x，∵0=1-x -x 2，且x＞0，∴x=251+，∴原式=2×251+=51+.因此本题选C．5．，，…若2的位置记为(1,2)(2,3)，则的位置记为________．【答案】(4,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵=，28是第14个偶数，而14432÷=∴(4,2)故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．6.对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕⊕12⊕4＝______．【答案】【解析】依题意可知12⊕．7．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________．【答案】12-【分析】根据新定义可得221(1)x x x x x++⊗=+，由此建立方程22121x x x x x ++=+解方程即可．【详解】解：∵11ba b a ⊗=+，∴()211121(1)11x x x x x x x x x x x ++++⊗=+==+++，又∵21(1)++⊗=x x x x ，∴22121x x x x x++=+，∴()()()221210x x x x x ++-+=，∴()()2210x x x x +-+=，∴()2210x x +=，∵21(1)++⊗=x x x x即0x ≠，∴210x +=，解得12x =-，经检验12x =-是方程22121x x x x x++=+的解，故答案为：12-．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x 的方程是解题的关键．8.定义[a ，b ，c ]为函数y ＝a x 2+bx c +的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数y ＝2m x 2+（1﹣m）x +（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y ＝﹣6x 2+4x +2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac b a a -⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y ＝2m x 2+（1﹣m）x +（﹣1﹣m）与x 轴两交点坐标为（1，0），（﹣12m m+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12m m +）＝313222m +>，正确；③当m＜0时，函数y ＝2m x 2+（1﹣m）x +（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444x m =->，错误；④当m≠0时，x ＝1代入解析式y ＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④9.若记y=f（x）=221x x +，其中f（1）表示当x=1时y 的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y 的值，即f（12）=22111212512f ==+（（（）；…；则f（1）+f（2）+f （22111212512f ==+（（（））+f（3）+f（13）+…+f（2011）+f（12011）=．【解析】解：∵y=f（x）=221x x+，∴f（1x ）=22111x x +（）（）=211x +，∴f（x）+f（1x）=1，∴f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（12）+…+f（2011）+f（12011）=f（1）+[f（2）+f（12）]+[f（3）+f（13）]+…+[f（2011）+f（12011）]=12+1+1+…+1=12+2010=201012．故答案为：201012．10．（2022·重庆）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，∵223425+=，∴2543是“勾股和数”；又如：4325M =，∵225229+=，2943≠，∴4325不是“勾股和数”．(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c dG M +=，()()()103a cb d P M -+-=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析(2)8109或8190或4536或4563．【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得2210a b c d +=+，根据()G M ，()P M 均是整数可得9c d +=，22812c d cd +=-为3的倍数，据此得出符合条件的c，d 的值，然后即可确定出M．(1)解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由：∵22228+=，820≠，∴1022不是“勾股和数”；∵225550+=，∴5055是“勾股和数”；(2)∵M 为“勾股和数”，∴2210a b c d +=+，∴220100c d <+<，∵()9c dG M +=为整数，∴9c d +=，∵()()()2291010910333c a c b d a b c dP c d M --+-+-+=--==为整数，∴22812c d cd +=-为3的倍数，∴①0c =，9d =或9c =，0d =，此时8109M =或8190；②3c =，6d =或6c =，3d =，此时4536M =或4563，综上，M 的值为8109或8190或4536或4563．【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．11.请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．引例：设a，b，c 为非负实数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a＋b＋c)，分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c 的正方形来研究．解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，则AB＝a 2＋b 2，BC＝b 2＋c 2，CD＝a 2＋c 2，显然AB＋BC＋CD≥AD，∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a＋b＋c)．探究一：已知两个正数x＋y＝12，求x 2＋4＋y 2＋9的最小值(图②仅供参考)；探究二：若a，b 为正数，求以a 2＋b 2，4a 2＋b 2，a 2＋4b 2为边的三角形的面积．【解答】解：探究一：如解图①，构造矩形AECF，并设矩形的两边长分别为12，5，①则x＋y＝12，AB＝x 2＋4，BC＝y 2＋9，显然AB＋BC≥AC，当A，B，C 三点共线时，AB＋BC 最小，即x 2＋4＋y 2＋9的最小值为AC，∵AC＝122＋52＝13，∴x 2＋4＋y 2＋9的最小值为13；②探究二：如解图②，设矩形ABCD 的两边长分别为2a，2b，E，F 分别为AB，AD 的中点，则CF＝4a 2＋b 2，CE＝a 2＋4b 2，EF＝a 2＋b 2，设以a 2＋b 2，4a 2＋b 2，a 2＋4b 2为边的三角形的面积为S △CEF ，∴S △CEF ＝S 矩形ABCD －S △C DF －S △AEF －S △BCE ＝4ab－12×2a×b－12ab－12a×2b＝32ab，∴以a 2＋b 2，4a 2＋b 2，a 2＋4b 2为边的三角形的面积为32ab.12．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N m 的“和倍数”．例如：∵247(247)2471319÷++=÷=，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214(214)2147304÷++=÷= ，∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A 是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为()F A ，最小的两位数记为()G A ，若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A．【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析(2)数A 可能为732或372或516或156【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；（2）先根据三位数A 是12的“和倍数”得出12a b c ++=，根据a b c >>，()F A 是最大的两位数，()G A 是最小的两位数，得出()()10210F A G A a b c +=++，()()16k F A G A +=（k 为整数），结合12a b c ++=得出152b k =-，根据已知条件得出16b ＜＜，从而得出3b =或5b =，然后进行分类讨论即可得出答案．(1)解：∵()357357357152312÷++=÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴357不是15“和倍数”；∵()441441441949÷++=÷=，∴441是9的“和倍数”．(2)∵三位数A 是12的“和倍数”，∴12a b c ++=，∵a b c >>，∴在a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数()10F A a b =+，最小的两位数()10G A c b =+，∴()()101010210F A G A a b c b a b c +=+++=++，∵()()16F A G A +为整数，设()()16k F A G A +=（k 为整数），则1021016a b c k ++=，整理得：558a c b k ++=，根据12a b c ++=得：12a c b +=-，∵a b c >>，∴12b b -＞，解得6b ＜，∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，∴0a b c >>＞，∴1b ＞，∴16b ＜＜，把12a c b +=-代入558a c b k ++=得：()5128b b k -+=，整理得：152b k =-，∵16b ＜＜，k 为整数，∴3b =或5b =，当3b =时，1239a c +=-=，∵0a b c >>＞，∴a ＞3，03c ＜＜，7a ∴=，3b =，2c =，或8a =，3b =，1c =，要使三位数A 是12的“和倍数”，数A 必须是一个偶数，当7a =，3b =，2c =时，组成的三位数为732或372，∵7321261÷=，∴732是12的“和倍数”，∵3721231÷=，∴372是12的“和倍数”；当8a =，3b =，1c =时，组成的三位数为318或138，∵31812266÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴318不是12的“和倍数”，∵13812116÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴138不是12的“和倍数”；当5b =时，1257a c +=-=，∵0a b c >>＞，∴57a ＜＜，6a ∴=，5b =，1c =，组成的三位数为516或156，∵5161243÷=，∴516是12的“和倍数”，∵1561213÷=，∴156是12的“和倍数”；综上分析可知，数A 可能为732或372或516或156．【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．13.阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们]还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2－2x=0可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x－2)=0，解方程x=0和x 2+x－2=0，可得方程x 3+x 2－2x=0的解(1)问题:方程x 3+x 2－2x=0的解是x 1=0，x 2=______．x 3=______．(2)拓展:用“转化”思想求方程x x =+32的解;(3)应用:如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA、AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP 的长．【解析】（1）x 2=1,x 3=－2（2）xx =+32两边平方，得232x x =+解此方程，得1,321-==x x 检验：当x=3时，满足题意；当x=－1时，不满足题意，舍去原方程的根为x=3。
中考新定义及阅读理解型问题
题型4 新定义及阅读理解型问题题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)，例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k2计算．例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．。
江苏中考数学复习--拓展题型一新定义与阅读理解问题(word解析版)
三、解答重难点突破拓展题型一新定义与阅读理解问题类型一新定义针对演练1.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为：S=①（其中a、b、c为三角形的三边长，S为面积）,而另一个文明古国希腊也有求三角形面积的海伦公式：②(其中p=).（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8,试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S;（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试.2.（2015扬州26题10分）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝对值表示为| y|，我们把点P(x，y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x，y)的勾股值，记为［P］，即［P］＝|x|+|y|.(其中的“+”是四则运算中的加法)（1）求点A(-1，3)，B(3+2，3-2)的勾股值［A］，［B］;（2）点M在反比例函数的图象上，且［M］＝4，求点M的坐标；（3）求满足条件［N］=3的所有点N围成的图形的面积.3.如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称［p，q］为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是［2，3］.（1）若一个函数的特征数为［-2，1］，求此函数图象的顶点坐标；（2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为［4，-1］，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；②若一个函数的特征数为［2，3］，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为［3，4］？4.（2015福州12分）定义：长宽比为:1（n为正整数）的矩形称为n矩形.下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示.操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A、点D分别落在边AB、CD上，折痕为EF.则四边形BCEF为矩形.第4题图证明：设正方形ABCD的边长为1，则.由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°,则四边形BCEF为矩形，∴∠A=∠BFE，∴EF∥AD，∴即，∴BF=，∴BC:BF=1:，∴四边形BCEF为矩形.阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是_________，tan∠HBC的值是________;。
初中数学中考复习专题五 新定义型
专题五新定义型【专题精讲】“新定义型”问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念，新运算，新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识和能力进行理解，根据新的定义进行运算，推理，迁移。
最近几年是考试热点。
“新定义型”关键要把握两点：一是掌握问题的原型特点及其解决问题的思想方法，二是根据问题背景变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。
“新定义型”问题的类型：规律题型中的新定义，运算题中的新定义，探索题中的新定义，开放题中的新定义，阅读材料题中点的新定义，等等。
【典型例题讲解】考点一规律题中的新定义例1若自然数n使得三个数的加法运算“)2++nnn”产生进位现象,则称n为“连加进位数”。
+(+()1例如：2不是“连加进位数”,因为2+3+4=9不产生进位现象;4是“连加进位数”,因为4+5+6=15产生进位现象;51是“连加进位数”,因为51+52+53=156产生进位现象。
如果从0,1,2, (99)100个自然数中任取一个数,那么取到“连加进位数”的概率是()A. 0.88B. 0.89C. 0.90D. 0.91考点二运算中的新定义定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”。
理解(1)如图1,已知A. B 是⊙O 上两点,请在圆上找出满足条件的点C ,使△ABC 为“智慧三角形”(画出点C 的位置,保留作图痕迹)；(2)如图2,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且CD CF 41=，试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点Q 是直线3=y 上的一点，若在⊙O 上存在一点P ，使得OPQ ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标。
苏科版七年级数学上册新定义问题专题
苏科版七年级数学上册新定义问题专题一、考什么？考点1.新定义问题例1.设a、b都表示有理数，规定一种新运算“Δ”：当a≥b时，aΔb＝b2；当a＜b时，aΔb＝2a．例如：1Δ2＝2×1＝2；3Δ(－2)＝(－2)2＝4．（1）(－3)Δ(－4)＝；（2）求(2Δ3)Δ(－5)；（3）若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，求(1Δx)Δx－(3Δx)．例2.【定义新知】在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d (M，N)，即d (M，N)＝|x1－x2|．【初步应用】（1）在数轴上，点A、B、C分别表示数－1、2、x，解答下列问题：①d (A，B)＝；②若d(A，C)＝2，则x的值为；③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则x的取值有个．【综合应用】（2）在数轴上，点D、E、F分别表示数－2、4、6．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．①当t＝时，d(D，P)＝3；②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P)．考点2.探究性问题例3.有一条长度为a的线段．（1）如图①，以该线段为直径画一个圆，该圆的周长C1＝；如图②，分别以该线段的一半为直径画两个圆，这两个圆的周长的和．C2＝．（都用含a的代数式表示，结果保留π）（2）如图③，在该线段上任取一点，再分别以两条小线段为直径画两个圆，这两个圆的周长的和．为C3，探索C1和C3的数量关系，并说明理由．（3）如图④，当a＝10时，以该线段为直径画一个大圆，再在大圆内画若干小圆，这些小圆的直径都和大圆的直径在同一条直线上，且小圆的直径的和等于大圆的直径，那么图中所有圆．．．的周长的和．为．（结果保留π）二、还可以这样考1.绝对值等于它本身的数；相反数等于它本身的数是；倒数等于它本身的数是；一个数的立方等于它的倒数，那么这个数一定是；平方为1.44的数是 ．绝对值为1.44的数是 ．2．下列说法：①0是自然数，其意义仅表示没有：②有理数可以用无限不循环小数表示；③分数是有理数；④无理数无法用数轴上的点表示；⑤两个有理致相加，其和一定大于其中的一个加数；⑥两个无理数相加的结果只可能是无理数．其中正确的（填写序号）3．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式的符号为负的是（填写序号）① a ;②－a ;③b ;④－b ;⑤﹣a ＋b;⑥﹣ab;⑦﹣a 2b ;⑧|2a ﹣b |4．若有理数a 满足＝﹣1时，那么a 0(填写＜、≤、＝、＞或≥)；若有理数a ，b 为相反数，则a b ＝ 5．直接写出结果： ①若n 为正整数，则（﹣1）2n ＋（﹣1）2n ＋1＝ ．②（10﹣11）×（11﹣12）×…×（45﹣46）＝ ； ③（﹣0.125）2015×82016＝ ．6．若a 是绝对值最小的数，b 是最大的负整数，c 是最小的正整数，则a ＋b ＋c ＝ ．7．下图是计算机计算程序，若开始输入x ＝﹣2，则最后输出的结果是 ．8.如果a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，用符号表示为，。
【中考数学分项真题】新定义与阅读理解创新型问题-(解析版)
A．
k
5 4
且
k
0
k5 B． 4
C．
k
5 4
且
k
0
k5 D． 4
【答案C
【分析】
按新定义规定的运算法则,将其化为关于 x 的一元二次方程,从二次项系数和判别式两个方面入手,即可解
决．
【详解】
解:∵[x2+1,x]※[5−2k,k]=0,
k x2 1 5 2k x 0
∴
．
kx2 5 2k x k 0
整理得 9m+4n=0,
3m 2[3m 2n 1] 3m 6m 4n 2 9m 4n 2 2 ． 故选择 A．
【点睛】
本题考查新定义相随数对,找出数对之间关系,整式加减计算求值,掌握新定义相随数对,找出数对之间关系,整
式加减计算求值是解题关键．
二、填空题
9．(广西贵港市 2021 年中考数学真题)我们规定:若 a x1, y1 , b x2 , y2 ,则 a b x1x2 y1 y2 ．例如
的最大值为( )
A． 5
B．4
C． 2 5
D．5
【答案】C
【分析】
由已知可得 a+b=6, S 5(5 a)(5 b) 5A ab 5 ,把 b=6-a 代入 S 的表达式中得:
S 5A a2 6a 5 ,由被开方数是二次函数可得其最大值,从而可求得 S 的最大值．
【详解】
p abc
a,
b
．若
m,
n 是“相随数对”,则
3m
2[3m
2n
1]
(
)
A． 2
B． 1
C．2
D．3
【答案】A
新定义与阅读理解创新型问题(共31题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
新定义与阅读理解创新型问题(31题)一、单选题1(2023·湖北武汉·统考中考真题)皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L-1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A0,30，B20,10,O0,0，则△ABO内部的格点个数是()A.266B.270C.271D.2852(2023·湖南张家界·统考中考真题)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于()A.πB.3πC.2πD.2π-33(2023·重庆·统考中考真题)在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.34(2023·湖南岳阳·统考中考真题)若一个点的坐标满足k,2k，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y=t+1x2+t+2x+s(s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是()A.s<-1B.s<0C.0<s<1D.-1<s<05(2023·山东·统考中考真题)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3),B(-2,-6),C(0,0)等都是三倍点”，在-3<x<1的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是()A.-14≤c<1 B.-4≤c<-3 C.-14<c<5 D.-4≤c<56(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23二、填空题7(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处(舀水)转动到B 处(倒水)所经过的路程是米．(结果保留π)8(2023·湖北随州·统考中考真题)某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，⋯⋯，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，⋯⋯丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．9(2023·湖南常德·统考中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB长l 的近似值s 计算公式：s =AB +CD 2OA，当OA =2，∠AOB =90°时，l -s =．(结果保留一位小数)10(2023·北京·统考中考真题)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．11(2023·重庆·统考中考真题)对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵7-1=6，3-1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8-1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记P M =3a +b +c +d ，Q M =a -5，若P MQ M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为．12(2023·四川乐山·统考中考真题)定义：若x ，y 满足x 2=4y +t ,y 2=4x +t 且x ≠y (t 为常数)，则称点M (x ,y )为“和谐点”．(1)若P (3,m )是“和谐点”，则m =．(2)若双曲线y =kx(-3<x <-1)存在“和谐点”，则k 的取值范围为．13(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y =(x -2)20≤x ≤3 的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数y =14x 2+bx +c 0≤x ≤3 图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =．14(2023·重庆·统考中考真题)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab -bc =cd ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41-12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53-32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a 312，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题15(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两个实数根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．材料2：已知一元二次方程x 2-x -1=0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n +mn 2的值．16(2023·江苏徐州·统考中考真题)两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边(阴影部分)，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法)．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．17(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．18(2023·山西·统考中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F, G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654-1722是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC ，分别交EH ,FG 于点P ,Q ，过点D 作DM ⊥AC 于点M ，交HG 于点N ．∵H ,G 分别为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ．(依据1)∴DN NM =DG GC．∵DG =GC ，∴DN =NM =12DM ．∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形，∴HE ∥GF ，即HP ∥GQ ．∵HG ∥AC ，即HG ∥PQ ，∴四边形HPQG 是平行四边形．(依据2)∴S ▱HPQG =HG ⋅MN =12HG ⋅DM ．∵S △ADC =12AC ⋅DM =HG ⋅DM ，∴S ▱HPQG =12S △ADC ．同理，⋯任务：(1)填空：材料中的依据1是指：．依据2是指：．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形；(要求同时画出四边形ABCD 的对角线)(3)在图1中，分别连接AC ,BD 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线AC ,BD 长度的关系，并证明你的结论．19(2023·河北·统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式：从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式．例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点M(4,2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3)．(1)设直线l1经过上例中的点M,N，求l1的解析式；并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x,y)．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x,y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C，横坐标依次为a,b,c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．20(2023·湖南张家界·统考中考真题)阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2-S1=(a+b)2-a2=(a+b)+a⋅(a+b)-a=(2a+b)⋅b=b+2a b例如：当a=1，b=3时，S2-S1=3+23根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3-S2=，S4-S3=；(2)当a=1，b=3时，把边长为a+n b的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出S n+1-S n等于多少吗？并证明你的猜想；(3)当a=1，b=3时，令t1=S2-S1，t2=S3-S2，t3=S4-S3，⋯，t n=S n+1-S n，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．21(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD 和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．22(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是A -1,2 ，B -1,-1 ，C 3,-1 ，D 3,2 ，在点M 11,1 ，M 22,2 ，M 33,3 中，是矩形ABCD “梦之点”的是；(2)点G 2,2 是反比例函数y 1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐标是，直线GH 的解析式是y 2=．当y 1>y 2时，x 的取值范围是．(3)如图②，已知点A ，B 是抛物线y =-12x 2+x +92上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接AC ，AB ，BC ，判断△ABC 的形状，并说明理由．23(2023·北京·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A -1,0 ，B 1-22,22，B 222,-22 ①在点C 1-1,1 ，C 2(-2,0)，C 30,2 中，弦AB 1的“关联点”是．②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点M 0,3 ，N 655,0 ．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=1 2，则tanβ=13．证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易证△AEB≌△EFC AAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=DFAD =k3k=13，若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；(3)求直线AE的解析式．“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm(观察值)302928.12725.8任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2 利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3 (1)计算任务2得到的函数解析式的w值．(2)请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．26(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A =∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B)．当∠ABE=∠A 时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM 与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．27(2023·吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A 、B 、P 均在⊙O 上，∠AOB =90°，则锐角∠APB 的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在AC上(点P 不与点A 、C 重合)，连结PA 、PB 、PC ．求证：PB =PA +PC ．小明发现，延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，通过证明△PBC ≌△EBA ，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAP +∠BCP =180°．∵∠BAP +∠BAE =180°，∴∠BCP =∠BAE ．∵△ABC 是等边三角形．∴BA =BC ，∴△PBC ≌△EBA (SAS )请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在⊙O 上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =22PA ，则PBPC的值为．28(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC的一条三等分线．29(2023·河南·统考中考真题)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为个单位长度．(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD=m，求P，P3两点间的距离．(3)拓展应用：在(2)的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．30(2023·甘肃兰州·统考中考真题)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点A 1,2 ，B 3,2 ，P 2,2 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．(1)如图2，已知点A 1,0 ，B 3,0 ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过G -1,0 ，T 0,33两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；(2)如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC ⊥y 轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，OC =5，点P 是△ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；(3)如图4，以A 1,0 ，B 2,0 ，C 2,1 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y =-x +b 的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．31(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性、形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=(4a+2)x2+(9 -6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T．(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．。
中考阅读新题型(新定义)
阅读理解看得懂的问题，请仔细看；看不懂的问题，请硬着头皮看。
阅读：要理解新定义，不允许一知半解就解题转化：把它转化为熟悉的相关数学知识解决1. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0），A （3，0），B （0，4），请你画出以格点为顶点，OA ，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；（3）如图2，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到△DBE ，连接AD ，DC ，∠DCB=30度．求证：DC 2+BC 2=AC 2，即四边形ABCD 是勾股四边形．2．阅读下面的情景对话，然后解答问题老师：我们新定义一种多边形：把一个n （n 为大于等于3的整数）边形的内角及外角从小到大分别排序后，若按这个顺序得到的n 个内角的比与n 个外角的比相等，则这个多边形叫做内外等比多边形（说明：每个顶点处只取一个外角）小华：平行四边形一定是内外等比四边形 小明：三角形有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？ （1）根据“内外等比多边形的定义”，请你判断小华的命题的真假，并说明理由（2）已知内外等比四边形ABCD 的四个内角分别是∠1、∠2、∠3、∠4，∠1：∠2：∠3：∠4=()d c b a d c b a ≤≤≤:::，请探索a 、b 、c 、d 之间的关系，并说明理由。
（3）请回答小明问题：“三角形有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？”，并说明理由。
3.通过学习勾股定理的逆定理，我们知道在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形。
类似的，我们定义：对于任意三角形，设其三个内角的度数分别为 x 、 y 和z ，若满足222z y x =+，则称这个三角形为勾股三角形（1）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？ （2）若某一勾股三角形的内角度数分别为 x 、 y 和 z ，且z y x <<，,2160=xy 求y x +的值 （3）已知△ABC 中，AB=6，AC=1+3，BC=2，求证：△ABC 是勾股三角形4．探究问题：（1）阅读理解：①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此为托勒密定理；（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC弧上任意一点．求证：PB+PC=PA；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在BC弧上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离．（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．5.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。