《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A 组]
一、选择题
1.若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+??=-?
为参数,则直线的斜率为( )
A .
23 B .2
3- C .32 D .32
-
2.下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=??=+?
为参数上的点是( )
A
.1(,2 B .31
(,)42
-
C
. D
. 3.将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为( ) A .2y x =- B .2y x =+ C .2(23)y x x =-≤≤ D .2(01)y x y =+≤≤ 4.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为( )
A .2
01y y +==2
x 或 B .1x = C .2
01y +==2
x 或x D .1y = 5.点M
的直角坐标是(1-,则点M 的极坐标为( )
A .(2,
)3π
B .(2,)3π-
C .2(2,)3π
D .(2,2),()3
k k Z π
π+∈
6.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为( )
A .一条射线和一个圆
B .两条直线
C .一条直线和一个圆
D .一个圆
二、填空题 1.直线34()45x t
t y t
=+??
=-?为参数的斜率为______________________。
2.参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3.已知直线113:()24x t
l t y t
=+??
=-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ,又点(1,2)A ,
则AB =_______________。
4.直线122
()112
x t t y t ?=-???
?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。 5.直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。 三、解答题
1.已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点, (1)求2x y +的取值范围;
(2)若0x y a ++≥恒成立,求实数a 的取值范围。
2
.求直线11:()5x t
l t y =+???
=-+??为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标,及点P 与(1,5)Q -的距离。
3.在椭圆
2211612
x y +=上找一点,使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[综合训练B 组]
一、选择题
1.直线l 的参数方程为()x a t
t y b t
=+??=+?为参数,l 上的点1P 对应的参数是1t ,则点1P 与(,)P a b 之间的距离
是( )
A .1t
B .12t C
1 D
1 2.参数方程为1()2
x t t t y ?
=+
???=?为参数表示的曲线是( )
A .一条直线
B .两条直线
C .一条射线
D .两条射线
3
.直线112()x t t y ?=+??
??=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点,
则AB 的中点坐标为( )
A .(3,3)- B
.( C
.3)- D
.(3, 4
.圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是( )
A .4(5,)3
π
--
B .(5,)3π-
C .(5,)3π
D .5(5,)3π-
5
.与参数方程为)x t y ?=??
=??为参数等价的普通方程为( ) A .214y +=2
x B .21(01)4
y x +=≤≤2x C .21(02)4y y +=≤≤2
x D .21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x 6.直线2()1x t
t y t
=-+??
=-?为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为( )
A
B .1
404
C
D
二、填空题
1.曲线的参数方程是211()1x t t y t ?
=-
?≠??=-?
为参数,t 0,则它的普通方程为__________________。
2.直线3()14x at
t y t
=+??
=-+?为参数过定点_____________。
3.点P(x,y)是椭圆2
2
2312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为___________。
4.曲线的极坐标方程为1
tan cos ρθθ
=?
,则曲线的直角坐标方程为________________。 5.设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。 三、解答题
1.参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+??=+?
为参数表示什么曲线?
2.点P 在椭圆
22
1169
x y +=上,求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
3.已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=,
(1)写出直线l 的参数方程。
(2)设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ,求点P 到,A B 两点的距离之积。
数学选修4-4 坐标系与参数方程.
[提高训练C 组]
一、选择题
1.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是( )
A .1
21
2x t y t -?=???=?
B .sin 1sin x t y t =???=??
C .cos 1cos x t y t =???=??
D .tan 1tan x t y t =???=?? 2.曲线25()12x t
t y t =-+??
=-?
为参数与坐标轴的交点是( )
A .21(0,)(,0)5
2
、
B .11(0,)(,0)52、
C .(0,4)(8,0)-、
D .5
(0,)(8,0)9
、 3.直线12()2x t
t y t
=+??
=+?为参数被圆229x y +=截得的弦长为( )
A .
125 B
C
D
4.若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
?=?=?为参数上,
则PF 等于( ) A .2 B .3 C .4 D .5
5.极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为( )
A .极点
B .极轴
C .一条直线
D .两条相交直线
6.在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为( )
A .cos 2ρθ=
B .sin 2ρθ=
C .4sin()3π
ρθ=+ D .4sin()3
π
ρθ=-
二、填空题
1.已知曲线2
2()2x pt t p y pt
?=?=?为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和,120t t +=且,
那么MN =_______________。
2
.直线2()3x t y ?=-??=+??为参数上与点(2,3)A -
_______。
3.圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ
=+??
=-?为参数,则此圆的半径为_______________。
4.极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
5.直线cos sin x t y t θθ=??
=?与圆42cos 2sin x y α
α
=+??=?相切,则θ=_______________。
三、解答题
1.分别在下列两种情况下,把参数方程1()cos 2
1()sin 2
t t
t t x e e y e e θθ--?=+????=-??化为普通方程:
(1)θ为参数,t 为常数;(2)t 为参数,θ为常数;
2
.过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N , 求PM PN ?的值及相应的α的值。
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]
一、选择题 1.D 233
122
y t k x t --=
==-- 2.B 转化为普通方程:21y x =+,当34x =-
时,1
2
y = 3.C 转化为普通方程:2y x =-,但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 4.
C
(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或
5.C 2(2,2),()3
k k Z π
π+∈都是极坐标 6.C
2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即
则,2
k π
θπ=+或224x y y +=
二、填空题 1.54-
455
344
y t k x t --=
==-- 2.221,(2)416x y x -=≥ 22
()()422222
t t t
t t
t
y x e x e e y y x x y y e e x e ---??+==+?????+-=??=-??-=??? 3.
52 将1324x t y t
=+??=-?代入245x y -=得12t =,则5(,0)2B ,而(1,2)A ,得
5
2AB = 4
直线为10x y +-=,
圆心到直线的距离2d =
=,
2=,
5.2
π
θα=
+ c o s c o s s i n s i n 0,c o s (ρθαρθαθα+=-=,取2
π
θα-=
三、解答题
1.解:(1)设圆的参数方程为cos 1sin x y θ
θ=??=+?
,
22cos sin 1)1x y θθθ?+=++++
121x y ≤+≤
(2)cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(c o s s i n )2s i n (
)1
4
1
a a π
θθθ∴≥-+-=+-∴≥
2
.解:将15x t
y =+???
=-??
代入0x y --=
得t =,
得(1P +,而(1,5)Q -
,得PQ =3
.解:设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ
=???=??
,d =
o s s i n 2c o s ()3
3
θ
θθθ=
-
+- 当c o s
()13
π
θ+=
时,m i n d =
,此时所求点为(2,3)-。
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组]
一、选择题
1.C
1=
2.D 2y =表示一条平行于x 轴的直线,而2,2x x ≥≤-或,所以表示两条射线
3.D
22
1(1)()162t +
+-=,得2880t t --=,12128,42t t t t ++==
中点为1143
24x x y y ?
=+??=??????
=?
??=-??4.A
圆心为5(,2 5.D 222
22
,11,1,0,011,0244
y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得
6.C
22211x x t y t y ?=-+??=-+?????=-??=??,把直线21x t y t =-+??
=-?代入
22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=
12t t -==
12t -=二、填空题 1.2
(2)
(1)(1)
x x y x x -=
≠- 111,,1x t t x -==-而21y t =-, 即22
1(2)
1(
)(1)1(1)
x x y x x x -=-=≠-- 2.(3,1)-
14
3y x a
+=-,(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立,则3,1x y ==-且 3
椭圆为22
164
x y +=
,设c o s ,2s i n )P θθ,
24sin )x y θθθ?+=++≤
4.2
x y = 2
22
2
1s i n t a n ,c o s s i n ,
c o s s i n ,c o s c o s
θρθρθθρθρθθθ=?
===即2x y =
5.22
24141t x t t y t ?
=??+??=
?+? 22
()40x tx tx +-=,当0x =时,0y =;当0x ≠时,241t x t =+; 而y t x =,即2241t y t =+,得2
2
24141t x t t y t ?
=??+??=
?+?
三、解答题
1.解:显然tan y x θ=,则22
2222
111,cos cos 1y y x x θθ
+==+
2
22
2
112t a n
c o s s i n
c o s
s i n 2c o s c o s
221t a n
x θθθθθθθθ=+=+=?+
+
即22222
222
2
1
11,(1)12111y y
y y x x x x y y y x x x x x
+=?+=+=++++ 得21y y
x x x
+=+,即220x y x y +--= 2.解:设(4cos ,3sin )P θθ,则12cos 12sin 24
5
d θθ--=
即d =
当cos()14
π
θ+=-
时,max 12
(25d =; 当cos()14
π
θ+
=
时,min
12
(25
d =-。 3.解:(1)直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??
,即1112x y t ?=???
?=+?? (2
)把直线1112
x y t ?=+????=+??代入422=+y x
得2221
(1)(1)4,1)2022
t t t +
++=+-= 122t t =-,则点P 到,A B 两点的距离之积为2
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]
一、选择题
1.D 1xy =,x 取非零实数,而A ,B ,C 中的x 的范围有各自的限制
2.B 当0x =时,25t =
,而12y t =-,即15y =,得与y 轴的交点为1
(0,)5; 当0y =时,12t =,而25x t =-+,即12x =,得与x 轴的交点为1
(,0)
2
3.B
11221x x t y t y ?
=+?=+??
???
=+??=+??
,把直线122x t y t =+??=+?代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
1212
5
t t -===
12t -=4.C 抛物线为24y x =,准线为1x =-,PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离,即为4 5.D cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
,为两条相交直线
6.A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=,cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题
1.14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴,121222M N p t t p t
=-= 2.(3,4)-,或(1,2)-
2
2
2
2
1()),,22
t t +==
=±
3.5 由3s i n 4c o s 4s i n 3c o s x y θ
θθ
θ=+??
=-?得2225x y +=
4
圆心分别为1(,0)2和1(0,)2 5.
6
π
,或56π 直线为t a n
y x θ=,圆为22(4)4x y -+=,作出图形,相切时, 易知倾斜角为6
π
,或56π
三、解答题
1.解:(1)当0t =时,0,cos y x θ==,即1,0x y ≤=且; 当0t ≠时,c o s ,s i n 11()()2
2
t t
t t
x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
1x y +=,即
2
2
22111()()4
4
t
t t t x y e e e e --+
=+-
(2)当,k k Z θπ=∈时,0y =,1()2
t
t x e e -=±
+,即1,0x y ≥=且; 当,2k k Z πθπ=+∈时,0x =,1()2
t t
y e e -=±-,即0x =;
当,2k k Z πθ≠∈时,得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=????-=??,即222cos sin 222cos sin t
t x y e x y e θθθθ-?=+????=-
??
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θθθθ
-?=+- 即22
2
21cos sin x y θθ
-=。 2
.解:设直线为cos ()2
sin x t t y t αα?=
+???=?
为参数,代入曲线并整理得
223(1sin ))02
t t αα+++
= 则122321sin PM PN t t α
?==+ 所以当2
sin 1α=时,即2πα=,PM PN ?的最小值为34,此时2
πα=。
指数函数典型例题详细解析汇报
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
因式分解经典题及解析
2013组卷 1.在学习因式分解时,我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式),事实上,除了这两种方法外,还有其它方法可以用来因式分解,比如配方法.例如,如果要因式分解x2+2x﹣3时,显然既无法用提公因式法,也无法用公式法,怎么办呢?这时,我们可以采用下面的办法: x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =(x+1)2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题: (1)填空:在上述材料中,运用了_________ 的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解,这种方法就是配方法; (2)显然所给材料中因式分解并未结束,请依照材料因式分解x2+2x﹣3; (3)请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5. 2.请看下面的问题:把x4+4分解因式 分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2) 人们为了纪念菲?热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照菲?热门的做法,将下列各式因式分解. (1)x4+4y4;(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab. 3.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程. 解:设x2﹣4x=y 原式=(y+2)(y+6)+4(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步)
指数函数经典例题和课后习题
指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下:
指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象.
指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练
2015高中物理磁场经典计算题 (一)含详解
磁场综合训练(一) 1.弹性挡板围成边长为L = 100cm 的正方形abcd ,固定在光滑的水平面上,匀强磁场竖直向 下,磁感应强度为B = 0.5T ,如图所示. 质量为m =2×10-4kg 、带电量为q =4×10-3C 的小 球,从cd 边中点的小孔P 处以某一速度v 垂直于cd 边和磁场方向射入,以后小球与挡板 的碰撞过程中没有能量损失. (1)为使小球在最短的时间内从P 点垂直于dc 射出来,小球入射的速度v 1是多少? (2)若小球以v 2 = 1 m/s 的速度入射,则需经过多少时间才能由P 点出来? 2. 如图所示, 在区域足够大空间中充满磁感应强度大小为B 的匀强磁场,其方向垂直于纸面 向里.在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L 的等边三角形框架DEF , DE 中点S 处 有一粒子发射源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE 边向下,如图(a )所示. 发射粒子的电量为+q ,质量为m ,但速度v 有各种不同的数值.若这些粒子与三角形框架碰撞 时均无能量损失,并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边.试求: (1)带电粒子的速度v 为多大时,能够打到E 点? (2)为使S 点发出的粒子最终又回到S 点,且运动时间最短,v 应为多大?最短时间为多少? (3)若磁场是半径为a 的圆柱形区域,如图(b )所示(图中圆为其横截面),圆柱的轴线 通过等边三角形的中心O ,且a = L .要使S 点发出的粒子最终又回到S 点, 带电粒子速度v 的大小应取哪些数值? a b c d B P v L B v E S F D (a ) a O E S F D L v (b