指数函数典型例题详细解析汇报
指数函数经典题目全解
说明下列函数与y 2x图象的关系
(1) y 2 x (2) y 2x
删删删出除出y y2x2图x图象象在在y轴y轴左左侧侧的的部部分分，，将将y轴y轴右右侧侧的的部部
分分对对称称到到左左侧侧，，形形成成对对称称图图象象，，即即为为y=y2=2x的x的图图象象。。
作y 2x图象关于y轴对称的图象，即为y=2-x的图象。
【解析】（1）指数函数y=1.7x，由于底数1.7>1，∴指数 函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数. ∵2.5<3,∴1.72.5<1.73. （2）函数y=0.8x，由于0<0.8<1, ∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数. ∵-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2. （3）由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1, ∴1.70.3>0.93.1.
2
设a是实数，f(x)=a- 2x 1 (x∈R). （1）证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；
（2）试确定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.
(1)证明：设x1,x2∈R，且x1<x2，x1-x2<0,则
2
2
f(x1)-f(x2)= (a- 2x1 1)-(a- 2x2 1 )
(4)中底数-4<0,所以不是指数函数. (6)是二次函数,不是指数函数. (7)底数x不是常数,不是指数函数.
1
已知指数函数y=(m2+m+1)·（ ）x,则m=
0或-1
.
解：
5
1 ∵y=(m2+m+1)·（ 5 ）x为指数函数,
指数函数典型例题5(答案)
指数函数典型例题1根式的性质例1 已知1122a a-+=3，求下列各式的值：（1）1aa-+； （2）22a a -+； （3）33221122a aa a----．补充：立方和差公式3322()()a b a b a ab b ±=±+ .小结：① 平方法；② 乘法公式；③ 根式的基本性质=（a ≥0）等.注意， a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.≠.变式：已知11223a a--=，求：（1）1122aa-+； （2）3322aa--.练1. 化简：11112244()()x y x y -÷-.练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值.（1）1122x x -+； （2）3322x x-+.2指数函数的图象和性质 比较指数函数的大小已知函数2()f x x bx c=-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()xf b与()xf c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增．若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)xxf f ≥；若0x <，则321x x<<，∴(3)(2)x xf f >．综上可得(3)(2)xxf f ≥，即()()xxf c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．求解有关指数不等式 已知2321(25)(25)xxa a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)xy a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+⎪⎝⎭，∞．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 求定义域及值域问题求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.求函数y =的定义域和值域．解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．指数函数的最值问题函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令x t a =，则0t >，函数221x xy a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1xa aa ≤≤，即1t a a≤≤．∴当t a =时，2max(1)214y a =+-=．解得3a =或5a =-（舍去）； 当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1xa a a≤≤，即1a t a≤≤，∴1t a =时，2m ax11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
指数函数经典例题(问题详细讲解)
指数函数1．指数函数の定义：函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象.我们观察y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征，就可以得到)1(≠>=aaay x且の图象和性质。
a>1 0<a<1图象00性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c=-+满足(1)(1)f x f x+=-，且(0)3f=，则()xf b与()x f c の大小关系是_____．分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x の取值围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数の值域是[)01，．评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响． 4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a の值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后t の取值围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a の值是3或13．评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程の解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+の图象，可以把函数3x y =の图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象の平移规律进解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =の图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+の图象，故选（C ）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题1、比较下列各组数の大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若 ，且 ，比较a 与b ． 解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线 分别是指数函数 , 和 の图象,则 与1の大小关系是 ( ). (分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应の函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识.3，求下列函数の定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x の定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x の值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1の定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1の值域为｛y ｜y>1｝.4，已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x の最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
指数函数经典例题（问题详解）[整理]
![指数函数经典例题（问题详解）[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/94f260f4534de518964bcf84b9d528ea81c72f6f.png)
我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21x 10x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象和性质。
)10(≠>a a 且a>10<a<1图象与の大小关系是_____．()x f b ()x f c 分析：先求の值再比较大小，要注意の取值是否在同一单调区间b c 且x x b c 且内． 解：∵，(1)(1)f x f x +=- ∴函数の对称轴是．()f x 1x = 故，又，∴．2b =(0)3f =3c = ∴函数在上递减，在上递增．()f x (]1-且∞[)1+且∞ 若，则，∴；0x ≥321x x≥≥(3)(2)x x f f ≥ 若，则，∴．0x <321x x <<(3)(2)x x f f > 综上可得，即．(3)(2)x x f f ≥()()x x f c f b ≥ 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式 例2 已知，则x の取值范围是___________．2321(25)(25)x x a a a a -++>++ 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值范围． 解：∵，2225(1)441a a a ++=++>≥ ∴函数在上是增函数，2(25)x y a a =++()-+且∞∞ ∴，解得．∴x の取值范围是．31x x >-14x >14⎛⎫+ ⎪⎝⎭且∞ 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题 例3 求函数の定义域和值域．216x y -=- 解：由题意可得，即，2160x --≥261x -≤ ∴，故． ∴函数の定义域是．20x -≤2x ≤()f x (]2-且∞ 令，则，26x t -=1y t =- 又∵，∴． ∴，即．2x ≤20x -≤2061x -<≤01t <≤ ∴，即．011t -<≤01y <≤ ∴函数の值域是．[)01且 评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响． 4．最值问题 例4 函数在区间上有最大值14，则a の值221(01)x x y a a a a =+->≠且[11]-且是_______． 分析：令可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后の取x t a =t 值范围． 解：令，则，函数可化为，其对称轴为x t a =0t >221x x y a a =+-2(1)2y t =+-．1t =- ∴当时，∵，1a >[]11x ∈-且 ∴，即．1xa a a ≤≤1t a a≤≤ ∴当时，．t a =2max (1)214y a =+-= 解得或（舍去）；3a =5a =- 当时，∵，01a <<[]11x ∈-且 ∴，即，1xa a a ≤≤1a t a≤≤ ∴ 时，，1t a =2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 解得或（舍去），∴a の值是3或．13a =15a =-13 评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程．223380x x +--= 解：原方程可化为，令，上述方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=3(0)x t t =>，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程の298090t t --=9t =19t =-39x =2x =解是．2x = 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例6 为了得到函数の图象，可以把函数の图象（ ）．935x y =⨯+3x y = A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数转化为，再利用图象の平移规律935x y =⨯+235x t +=+进行判断． 解：∵，∴把函数の图象向左平移2个单位长度，293535x x y +=⨯+=+3x y =再向上平移5个单位长度，可得到函数の图象，故选（C ）．935x y =⨯+ 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数の大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与； （4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若 ，且 ，比较a 与b ． 解：（1）由，故 ，此时函数为减函数．由，故 ． （2）由，故．又，故．从而． （3）由 ，因，故 ．又 ，故 ．从而 ． （4）应有．因若 ，则 ．又，故，这样．又因，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． （5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾． 小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数 ,和与1の大小关系是( 分析:首先可以根据指数函数单调性,在轴右侧令 ,由小到大依次为 ,故应选 .、设，求函数の最大值和最小值． 分析：注意到，设，利用闭区间上二次函数の值域の求法，可求得函数の最值． 解：设，由知， ，函数成为，轴，故函数最小值为，因端点较对称轴远，故函数の最大值为已知函数（且 （1）求）若，求の取值范围．），当即时，有最小值为），解得 当时，； 当时，2若函数是奇函数，求．解：为奇函数， 即， 则，11即x=0时，y max=2已知，求函数解：由得，即，解之得于是，即，故所求函数の值域为在〔1，+∞）上是减函数。
高一数学典型例题分析：指数函数
指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y12x＝＝＝-+---213321x x解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是[ ]A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ． b ＜a ＜1＜d ＜cD ．c ＜d ＜1＜a ＜b解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()(3)4.54.1解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859=====解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．----451245123232()()解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，，作函数y 1＝，y 2＝的图像如图2．6－3，取x ＝，得 4.54.1＞说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与同指数的特点，即为或，如例2中的(3)．【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，a a a aan n n n n n nn n nn n -+-+-=-11111111(a 0a 1n 1)0a 1n 10()()∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n aa a n n n n n n n n n n n n 1111111111()()()--+--+-1a 1n 101【例5】作出下列函数的图像：(1)y (2)y 22x ＝＝－，()121x +(3)y ＝2|x-1| (4)y ＝|1－3x |解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()1212121x x+解 (2)y ＝2x －2的图像(如图2．6－5)是把函数y ＝2x 的图像向下平移2个单位得到的．解 (3)利用翻折变换，先作y ＝2|x|的图像，再把y ＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y ＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解 (4)作函数y ＝3x 的图像关于x 轴的对称图像得y ＝－3x 的图像，再把y ＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5xx 25x 622()()3434u＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋6x x y x 25x 6(][)()(][)-+-+5252345252又∵＝－＋＝≥，函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．－＋u x 5x 6y u y 2x 25x 6()()[)()(]x u ----+5214143414340108324【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222x x x x x x x u --+=-+-+-3401212121212121412在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u 1)0x 110x 1y 11)[01](][()()()()[x x x x当x ＝0时，函数y 有最大值为1．【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+11(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ．f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+1111∴函数f(x)为奇函数．(2)y y 1a 1y 1x 函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-⇒1111110即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l xx x x x -+-+--++112121*********()()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212。
指数函数常考题型归纳含详解
A． a b 1 c b B． b a 1 d c C．1 a b c d D． a b 1 d c 3、已知函数 f (x) (x a)(x b) （其中 a b) 的图象如图所示，则函数 g(x) ax b 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、画出下列函数的图像
D．
0,
1 2
A． ab aa
B． ba bb
C． ab bb
D． ab ba
2、设 a ， b ， c R ，且 a b ，则（ ）
A． a2 b2
B．
1 2
a
1 2
b
C． a3 b3
D． 1 1 ab
3、已知集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x |1 2 x 4} ，则 A B （ ）
题型九：复合函数的单调性
C． f x x 1
x
1、函数
y
1 2
82 xx2
的单调递增区间为_________．
D． f x 3 x
2、求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1） f ( x) 1 3x2 ；
1
（2）
f
(x)
1 2x 3
；
（3） f ( x) 2x22x3 ；
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x | 0 x 2}
4、已知 a 0.20.3 ， b 0.30.3 ， c 0.20.2 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
题型八：指数函数的单调性
C． b c a
D． a c b
A．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是增函数 B．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是减函数
高一数学典型例题分析：指数函数
指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，【例2】指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[ ] A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC． b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．【例3】比较大小：(3)4.54.1解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，，作函数y1＝，y2＝的图像如图2．6－3，取x＝，得 4.54.1＞说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与同指数的特点，即为或，如例2中的(3)．【例5】作出下列函数的图像：(3)y＝2|x-1| (4)y＝|1－3x|解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)当x＝0时，函数y有最大值为1．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R．∴函数f(x)为奇函数．即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)。
指数函数经典例题(问题详解)
指数函数1．指数函数の定义：函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象.我们观察y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征，就可以得到)1(≠>=aaay x且の图象和性质。
a>1 0<a<1图象654321-1-4-22461654321-1-4-22461性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学内容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c の大小关系是_____．分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间内．解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值X 围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值X 围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x の取值X 围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-，∞． 令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数の值域是[)01，． 评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响． 4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a の值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后t の取值X 围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤．∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤，∴1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a の值是3或13．评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程の解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+の图象，可以把函数3x y =の图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象の平移规律进行判断．解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =の图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+の图象，故选（C ）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数の大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较与；（4）若 ，且，比较a 与b ； （5）若 ，且，比较a 与b ．解：（1）由 ，故 ，此时函数为减函数．由，故 ．（2）由 ，故．又 ，故 ．从而 ． （3）由 ，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故 ，这样 ．又因，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． （5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线 分别是指数函数,和の图象,则与1の大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在 轴右侧令,对应の函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识. 求最值3，求下列函数の定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x の定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x の值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1の定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1の值域为｛y ｜y>1｝.4，已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x の最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
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实用标准 文档 指数函数·例题解析
第一课时
【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：
(1)y3(2)y(3)y12x＝＝＝213321xx 解 (1)定义域为{x|x∈R且x≠2}．值域{y|y＞0且y≠1}．
(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为{|y|y≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3， ∴值域是≤＜．0y3 1.指数函数Y=ax （a>0且a≠1）的定义域是R，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0)
3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 实用标准 文档 【例2】（基础题）指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如
图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b
解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 实用标准
文档 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．2481632
35894512()
(3)4.54.1________3.73.6 解(1)y221()x∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859 实用标准
文档 解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．451245123232()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6．
说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 例题4（中档题） 实用标准
文档 【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，aaaaannnnnnnnnnnn11111111(a0a1n1)
0a1n10()
() ∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞aaannaaannnnnnnnnnnn1111111111()()()1a1n10
1
【例5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法 (1)y(2)y22x＝＝－，()121x
(3)y＝2|x-1| (4)y＝|1－3x| 解 (1)y(264)(0)(11)y1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()
121
212
1xx
解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的． 实用标准 文档 解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)． 解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x
的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7) 实用标准
文档 例6（中档题） ： 用函数单调性定义证明：当a
＞1时，y = ax是增函数. 【解析】设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2 = x1 + h (h＞0，h∈R)，很独特的方式 则有)1(
11112hxxhxxxaaaaaa，
∵a＞1，h＞0，∴1,0
1hxaa，
∴0
12xxaa，即
故y = ax (a＞1)为R上的增函数， 同理可证0＜a＜1时，y = ax
21xx
aa是R上的减函数.
例题7 中档题）
指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析） 二次函数为内层函数，指数函数为外层函数 实用标准
文档 【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y ux5x6yuux5xx25x622()()
3
434u
＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋6xxyx25x6(][)()(][)
525
2345252
又∵＝－＋＝≥，函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．－＋ux5x6yuy2x25x6()()[)()(]xu
52141
434143401083
24
变式1 求函数y=（21）xx22的单调区间，并证明之.
解法一（在解答题）：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，
则12yy=12122222)21()21(xxxx=（21）（x2－x1）（x2+x1－2） 【（21）为底数，红色部分为指数】 ， ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则12
y
y
＞1. ∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增. 实用标准 文档 当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即
12y
y＜1.
（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性） ∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减. 综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减. 合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.
解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）： 设：xxu22
则：uy21 对任意的211xx
，有21uu，
又∵uy21是减函数
∴21yy
∴xxy2221在),1[是减函数
对任意的121xx，有
21
uu 实用标准 文档 又∵uy21是减函数 ∴21yy
∴xxy2221在),1[是增函数
在该问题中先确定内层函数（xxu22）和外层函数（uy21）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.
变式2 已知0a且1a，讨论232)(xxaxf的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，
指数417)23(2322xxx，当x≥23时是减函数，x≤23时是增函数， 而)(xf的单调性又与10a和1a两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设232uxx
2317()24x，
则当x≥23时，u是减函数， 当x≤23时，u是增函数， 又当1a时，uay是增函数，
当10a时，uay是减函数，
所以当1a时，原函数232)(xxaxf在),23[上是减函数，在]23,(上是
增函数. 实用标准 文档 当10a时，原函数232)(xxaxf在),23[上是增函数，在]23,(上是减
函数. 【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数； ；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.
第二课时
例题8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数
换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)
【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y1(x0) yux00u1ux0)y()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222xxxxxxxu