指数函数典型例题详细解析

指数函数典型例题详细解析

指数函数·例题解析

第一课时

【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：

(1)y 3

(2)y (3)y 12x

＝＝＝-+---21

3321

x x

解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}．

(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－

2}，值域为{|y|y ≥0}．

(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，

∴值域是≤＜．

0y 3

1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞）

2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0)

3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax

单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)

【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y ＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[ ] A．a＜b＜1＜c＜d

B．a＜b＜1＜d＜c

C．b＜a＜1＜d＜c

D．c＜d＜1＜a＜b

解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ．

【例3】（基础题）比较大小：

(1)2(2)0.6

、、、、的大小关系是：．

2481632

35894

5

12--()

(3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜

＜．22224282162133825491

2

28416212313525838949

3859=====

解 (2)0.6110.6∵＞，＞，

∴＞．

----

45

12

451

232

32

()()

解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有

两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．

【例4】解

比较大小与＞且≠，＞．

当＜＜，∵＞，＞，

a a a a

a

n n n n n n n

n n n

n n -+-+-=-111

1

111

1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()

()

∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，

∴＞，＞a

a a n n a

a a n n n n n n n n n n n n 1111

1111

1

1()

()

()

--+--+-1a 1n 101

【例5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法

例题4（中档题）

(1)y (2)y 22x ＝＝－，()

12

1

x +

(3)y ＝2|x-1|

(4)y ＝|1－3x |

解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．

是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．

()()121

21

2

1x x +

解 (2)y ＝2x －2的图像(如图2．6－5)是把函数y ＝2x 的图像向下平移2个单位得到的．

解 (3)利用翻折变换，先作y ＝2|x|的图像，再把y ＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y ＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)． 解 (4)作函数y ＝3x 的图像关于x 轴的对称图像得y ＝－3x 的图像，再把y ＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴

上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)

例6（中档题） ： 用函数单调性定义证明：当

a ＞1时，y = a x 是增函数.

【解析】设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2 =

x 1 + h (h ＞0，h ∈R)，很独特的方式

则有)1(1

1

11

2

-=-=-+h

x x h

x x x a a a a a a ， ∵a ＞1，h ＞0，∴1,01

>>h

x a a ，

∴01

2

>-x x a a ，即

故y = a x (a ＞1)为R 上的增函数，

同理可证0＜a ＜1时，y = a x 2

1

x x a a <是R 上的减函数.

【例6】解求函数＝的单调区间及值域．

令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5x

x 25x 6

2

2()()34

34u

＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数

＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．

－＋6x x y x 25x 6(][)()(][)-+-+525

2

34525

2

又∵＝－＋＝≥，

函数＝，在∈，∞上是减函数，

所以函数＝的值域是，．

－＋u x 5x 6y u y 2

x 25x 6()()[)()(]x u ----+521414

341

4340108

3

24

例题7 中档题） 指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析） 二次函数为内层函数，指数函数为外层函数