【高考调研】高中数学(人教A版)选修2-3课后巩固：1-3 二项式定理1
【高考调研】高二数学(新人教A版选修2-3)1-3二项式定理2课后巩固
4．若
(
x＋ y)
9
按
x
的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且
x＋ y＝ 1， xy<0，则
x 的取值范围是 ( )
1
A．( －∞，
) 5
4 B．[ 5，＋∞）
4 C．( －∞，－ 5]
D．(1 ，＋∞）
答案 D
解析
二项式
(
x＋ y)
9
的展开式的通项是
Tr
＋
1＝
r
C9·
x
9－
r
·
y
r
.
C19·x9－ 1· y≤Ｃ29· x · 9－2 y2， 依题意有 x＋ y＝ 1，
展开式中第
r
＋1
项
Tr＋1＝来自rC4·(5
x
)
4－
r
·
(
－
x) r
＝(
－
1)
r
r
4－
·Ｃ4·５
r
·
x4－
r 2.
r 令 4－ ＝ 3，即
r ＝ 2，此时
C24·５2·( － 1) 2＝ 150.
2
3．二项展开式 (2 x－ 1) 10中 x 的奇次幂项的系数之和为 (
)
10
1＋ 3 A.
2
10
1－ 3 B.
2．设 (5 x－ x) 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为
开式中 x3 项的系数为 (
)
N， M－ N＝240，则展
A．500 C．150
B．－ 500 D．－ 150
答案 C
解析
N＝
n
2 ，令
x＝ 1，则
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第一章
1.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
1.二项式定理
－1 n 1 n－1 n－r r n－1 公式(a＋b)n＝C0 b＋„＋Cr b ＋„＋Cn na ＋Cna na n ab
n ＋Cn b 所表示的规律叫做二项式定理． n
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第一章
1.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
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第一章
1.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
n k k (2)二项式(a＋b)n 的通项 Ck b 和(b＋a)n 的展开式的通项 na
－
n k k Ck b a 是有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b 是不能 n
－
随便交换的； (3)注意二项式系数 Ck n与展开式中对应项的系数不一定相等， 二项式系数一定为正，而项的系数有时为负．
思考题 2
n 1 n 1 设 n 为自然数，化简 C 0 · 2 － C 2 ＋„＋(－ n n·
－
n－k 1)k· Ck · 2 ＋„＋(－1)n· Cn n n.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思路分析
由题目可获取以下主要信息：
①展开式中“＋”与“－”相间隔； ②2 的指数最高为 n，依次递减至 0，且每一项的指数等于对 应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．
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第一章
1.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
n k k (1)通项 Tk＋1＝Ck b 是(a＋b)n 的展开式的第(k＋1)项， 这里 na
高中数学人教A版选修2-3练习：1.3.1 二项式定理 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3 B ．(x －2)3 C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3. 【答案】 C2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17 C ．7D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6. 【答案】 B4．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n3n －rxn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3【解析】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式的通项为：T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5； 当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．(2016·安徽淮南模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．【解析】 由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T k ＋1＝C k 8·x 8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 8·x 8－2k ，当8－2k ＝－2时，k ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝56.【答案】 567．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2. 【答案】 28．9192被100除所得的余数为________．【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1， 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292. 前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81 三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N *)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时.10．(2016·淄博高二检测)在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林长春期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．【解析】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x 4r －n，由通项公式可知，当n ＝4r (r ∈N *)和n ＝4r －1(r ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．【答案】 ①与④4．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项. 【导学号：97270023】【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有： C 15⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。
人教版高中数学选修2-3《1.3 二项式定理》
) C.30 D.35
1 6 【例 2】 (2017 课标Ⅰ高考) (1 2 )(1 x) 展开 x 2 式中 x 的系数为( C )
A.15 B.20 C.30 D.35
1 1 6 6 解： (1 2 )(1 x) (1 x) 2 (1 x) 6 x x
6
2
65 15 (1 x) 的展开式中的 x 的系数为 C 2 1 1 2 6 4 (1 x ) 的展开式中的 x 的系数为 C6 15 2 x
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
D
) C.74 D.-121
【例 1】 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的 3 展开式中,含 x 的项的系数是( D ) A.121 B.-74 C.74 D.-121
9
4
4 9
5 126 121
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
得 k 0, r 0 或 k 2, r 1
2 1 所以展开式中的常数项为 (2)3 C3 (2)C2 20
1 3 【例 3】 (2017 浙江高考冲刺卷) ( x 2) x
D 展开式中的常数项为( )
高中数学人教A版选修2-3教案-1.3 二项式定理_教学设计_教案
教学准备
1. 教学目标
2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
2. 教学重点/难点
2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
有理项为。
【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。
【思维点拨】密切注意通项公式的使用。
练习：(优化设计P180思考讨论)
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。
三、课堂小结：
1、二项式定理及二项式系数的性质。
通项公式。
2、要取分二项式系数与展开式项的系数的异同。
3、证明组合恒等式常用赋值法。
四、作业布置优化设计P180。
高中数学人教A版选修2-3检测：第一章1.3-1.3.1二项式定理 Word版含解析
第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理A级基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案：D2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有() A．3项B．4项C．5项D．6项解析：T r＋1＝C r24x24－r2·x－r3＝Cr24·x12－56r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．答案：C3．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x－123xn的展开式中第四项为常数项，则n＝() A．4 B．5C ．6D ．7解析：由二项展开式可得T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r 2－r C rn x n －r 2·x －r 3，从而T 4＝T 3＋1＝(－1)32－3C 3n x n －52，由题意可知n －52＝0，n ＝5.答案：B4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：(1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(x ＋1)10展开式中含x 5的项的系数为：C 510－C 210＝207.答案：D5．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝5，n ＝5 B ．x ＝5，n ＝4 C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．答案：B 二、填空题6．(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答)．解析：T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝(－2)r C r 6·x r ，令r ＝2， 得T 3＝(－2)2C 26x 2＝60x 2.故x 2的系数为60.答案：607.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案：－160x8．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝________．解析：T r ＋1＝C rn (3x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n x2n －5r3，由题意知r ＝2时，2n －5r3＝2，所以n ＝8. 答案：8 三、解答题9．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项及项数．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k n (2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C r 6x 3－k ， 令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项． 解：T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x 13n －23r . 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得C 0n ＋⎝⎛⎭⎪⎫－122C 2n ＝2×12C 1n ， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第四项为：T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48＝358.B 级 能力提升1．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n展开式的通项表达式为C r n (3x 2)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r＝C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r ，若C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r 为非零常数项，必有2n －5r ＝0，得n ＝52r ，所以正整数n 的最小值为5.答案：B2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中，x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝2(舍去a ＝－2)． 答案：23．如果f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)中，x 项的系数为19，求f (x )中x 2项系数的最小值．解：x 项的系数为C 1m ＋C 1n ＝19，即m ＋n ＝19，当m ，n 都不为1时，x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋（19－m ）（18－m ）2＝m 2－19m ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1922＋171－1924，因为m ∈N *，所以当m ＝9或10时，x 2项的系数最小，为81.当m 为1或n 为1时，x 2项的系数为C 218＝153>81，所以f (x )中x 2项系数的最小值为81.。
高中数学人教a版选修2-3学案：1.3.1 二项式定理 含解析
1.3 二项式定理1．3.1 二项式定理1．会证明二项式定理．(难点)2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P29～P31，完成下列问题．二项式定理及相关的概念判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C kna n－kb k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a)n 的展开式的第k ＋1项C k n b n－k a k是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C k n an －k b k 是(a ＋b)n 展开式中的第k ＋1项． (4)√ 因为(a －b)n 与(a ＋b)n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x)5＋C 15(2x)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n－k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn .【解】 (1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x)4＋C 14(3x)3 ·1x ＋C 24(3x)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；。
高考数学复习点拨：选修(2-3)1.3二项式定理教材解读
高中新课标选修（2-3）1.3二项式定理教材解读一、二项式定理1．定理：011()()n n n k n k k n n nn n n a b C a C a b C a b C b n --*+=+++++∈N L L ．2．定理的特征：（１）二项展开式共有1n +项；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n ；（3）a 的指数从n 开始逐项减1直到0，而b 的指数从0逐项增1直到n ． 二、通项公式1．公式1k n k k k n T C a b -+=（其中0k n k n *∈∈N N ，，≤≤）．2．说明：（１）1k T +表示的是第k +1项，而非第k 项；（２）公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．3．应用：（１）可以求指定的项及其项的系数．（２）可以求展开式中某一特殊项．应用时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题； （3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，1k T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题．这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组），这里必须注意n 是正整数，k 是非负整数，且k n ≤．三、系数问题1．二项式系数：二项展开式中，系数01n n n n C C C L ，，，叫做展开式的二项式系数．2．二项式系数的性质：（1）对称性与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即k n k n n C C -=．（2）最大值当n 为偶数时，展开式的项数为奇数，此时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式的项数为偶数，此时，中间两项的二项式系数相等，共同做二项式系数中的“老大”．（3）各二项式系数的和由0122(1)n k k n n nn n n n x C C x C x C x C x +=++++++L L ， 令x =1，得024135122n n nn n n n n C C C C C C -=+++=+++=L L ，二项式系数的和为2n ．令1x =-，得02413512n nn n n n n C C C C C C -+++=+++=L L ．奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和．说明：在二项展开式中，有关系数的和或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对a ，b 赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法．3．二项式系数与项的系数的区别：如()n a bx +的展开式中，第1k +项的二项式系数为k n C ，而第1k +项的系数为k n k k n C a b -．四、二项展开式的应用利用二项式定理证明整除性或求余数，关键是对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项都是含有除式的因式或只有一、二项不能整除的因式．。
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1-3 二项式定理1
1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )
A ．－27C 610
B ．27
C 410
C ．－9C 610
D ．9C 410 答案 D
2．(2012·天津)在(2x 2
－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10
B ．－10
C ．40
D ．－40
答案 D 3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
答案 B
解析 x 3＝[2＋(x －2)]3，
由二项式定理的通项公式知：
T 2＋1＝C 23·2·(x －2)2＝a 2(x －2)2，
得a 2＝C 23·2＝6. 4．(2x ＋5y )n 展开式中第k 项的二项式系数为( )
A ．C k n
B ．
C k n 2n －k 5k C ．C k －1n
D ．C k －1n 2
n ＋1－k 5k －1 答案 C
解析 本题考查二项式系数的概念，第k 项二项式系数为C k －1n .
5．(2010·辽宁)(1＋x ＋x 2
)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．
答案 －5
解析 (1＋x ＋x 2
)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)[C 06x 6·(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36x 3(－1x )3＋C 46x 2(－1x )4＋C 56x (－1x )5＋C 66x 0(－1x
)6]＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1
x 6)．
所以常数项为1×(－20)＋x 2
·15x 2＝－5. 6．对于二项式(x 3＋1x )n (n ∈N *)，四位同学作出了四种判断：
①存在n ∈N *，使展开式中有常数项；
②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；
③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；
④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．
上述判断中正确的是________．
答案 ①④
7．(2011·山东理)若(x －a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．
答案 4
解析 二项式(x －a x 2)6展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x
6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.。