GT直线方程应用(对称问题)
直线方程中的对称问题分类解析
评 注 ： 若 点 Ｍ （ ｘ。 ， １ ） 与 Ｎ （ ， ） 关 于 点
侧
已知 光 线 从 点 Ａ（ 一４ ， 一２ ） 射 出， 到
Ｐ（ Ⅱ， ｂ） 对称 ， 则 点 Ｐ 是 线段 Ｍ Ｎ 的 中点 。
直 线 ＝ ＝ ＝ ｚ 上 的 点 Ｂ 后 被 直 线 — 反 射 到
６ ） 。 南 入 射 角 等 于 反
图 １
射角 可知 Ａ Ｄ 所 在 的 直 线 经 过 点 Ｂ 与 点 Ｃ。
坐 标 为 （ ～ 嚣 ， ） 。
评 注 ： 若 两 点 Ｐ】 （ ｚｌ ， ． ｙ Ｊ ）与 Ｐ ２（ ｊ 、 ２ ， ２） 关 于 直 线 ： Ａ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ 一 ０ 对 称 ，则 线 段
线 ： ３ ｘ一 ２ ～ ６ — ０关 于 直 线 ｚ的 对 称 直 线 ｍ 的方 程 。
作者 单位 ： 江 苏 太 仓 高 级 中 学
（ 责任 编辑 郭正华 ）
６
ｆ ２ × （ 字） 一 ３ × （ 字） ＋ 一 ｏ ，
解 得
Ｉ
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Ｊ ｆ “ 一 ６ ’ 即 得 点 Ｍ ， （ 熹 ， 嚣 ） 。
Ｉ ６ 一 ，
设 直 线 与 直 线 ｌ 的 交 点 为 Ｎ ，则
，
｛ ｆ ２ ＿ ｖ一 ３ ｖ ＋１ —０ ． 解得 Ｎ（ ４
化 为 解 析 几 何 中 的 对 称 问 题 。 解 决 中 心 对 称 问 题 的 关键 在 于运 用 中 点 坐标 公 式 ， 而 解 决 轴 对
称 问题 ， 一般 转化 为 求对 称 点 的 问题 。
三 、 直 线 关 于 直 线 的 对 称 问 题 侧 已知 直线 ｚ ： ２ ｘ一 ３ ＋ １ —０ ， 求 直
直线方程的应用
（14/5，7/5）
且由题意知， k＜0.
S AOB
1 2
(1
2k )(2
1) k
1 2
4
(
4k )
(
1) k
4，
当且仅当 4k 1 ，即k 1 时取最小值，
k
2
故l 的方程为y 1 1 ( x 2)，即x 2 y 4 0. 2
一、线段中点坐标公式
1、已知点A(6,0),O(0,0),则线段OA中点M的坐 标是( 3，0 )
4.直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程；
任何一个关于x，y的二元一次方程都表 示一条直线。
问题2：直线方程归纳
名称 已知条件
标准方程
使用范围
点斜式
斜率k和一点
P0 ( x0 , y0 )
y
y0
k( x x0 )
不包括y轴及与 y轴平行的直线
斜截式
斜率k和y轴 上的截距b
y kx b
22
二、对称问题 1、点与点的中心对称
练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/ 的坐标是( -4,-1)
练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段以 P为中点的直线方程_____
分析：用中点坐标公式可求的直线在坐 标轴的截距分别为2和6用截距式写出方 程为x/2+y/6=1即3x+y-6=0
2、直线关于点的中心对称问题 例1：求直线2x-3y+6=0关于点A（1，2）对 称的直线方程
方法：用相关点法——设直线上的点为 P(x1,y1),点P关于A点的对称点为P/(x,y),利 用中点坐标公式推出用x,y表示x1,y1的表 达式后代入直线方程化简即可.
直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程五最值问题的面积最小时直线l的1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
灵活解决直线中两类对称问题
灵活解决直线中的两类对称问题平面解析几何所研究的图形许多是对称图形,于是相关的对称问题自然成为高考中的考点之一。
由于这类问题涉及的知识面广,综合性强,因而不少同学因解题方法选择不当,而导致解题过程繁琐、运算量大,以致半途而废。
本文仅就有关直线中的对称问题作以下简述。
一、关于点对称问题1.点关于点对称的问题例1: 求点a(3,5)关于点p(-2,1)的对称点。
解:设点a关于点p的对称点为b(x,y),则∴ b(-7,-3)。
反思:其理论根据就是用中点坐标公式。
结论:点a(x,y)关于点p(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y)。
2.直线关于点对称的问题例2:求直线3x-y-4=0 关于点p(2,-1)的对称直线l的方程。
解法(一)定义法设l上任一点(x,y),其关于p(2,-1)的对称点为a(4-x,-2-y), 又∵点a在直线3x-y-4=0上,∴ 3(4-x)-(-2-y)-4=0,即直线l的方程为 3x-y-10=0。
反思:解法(一)体现了转化思想。
解法(二)待定系数法设直线l的方程为3x-y-m=0,∵点p(2,-1)到两条直线的距离相等,∴ ,∴ m=10 或4(舍去)。
∴直线l的方程为 3x-y-10=0。
反思:解法(二)应用了点到直线的距离公式,体现了方程思想。
解法(三)待定系数法设所求直线l的方程为3x-y-m=0,在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,∴ 4×3-2-m=0,∴ m=10,∴直线l的方程为3x-y-10=0。
反思:解法(三)体现了转化思想和方程思想。
解法(四)直接法在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,直线l的斜率为3,∴ y-2=3(x-4),∴直线l的方程为3x-y-10=0。
反思:解法(四)应用了点斜式体现了转化思想。
解法(五)直接法在直线3x-y-4=0上取两个特殊点a(0,-4),b(2,2),则a、b关于p的对称点为(4,2)和(2,-4),由两点式可得,∴直线l的方程为3x-y-10=0。
例谈直线方程中的对称问题
例谈直线方程中的对称问题作者：李莉娟来源：《中学生数理化·学习研究》2016年第05期直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，为使对称问题的知识系统化、条理化、规范化，我们可以把直线中的对称问题主要归纳为：点关于点对称，线关于点对称，点关于线对称，线关于线对称。
一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础。
平面内两点A1（x1，y1），A2（x2，y2），则A1A2的中点坐标为x1+x22，y1+y22，设点P（x，y）关于点（a，b）的对称点为P1（x1，y1），由中点坐标公式可得x1=2a-x，y1=2b-y，所以平面内点P（x，y）关于点（a，b）的对称点坐标为（2a-x，2b-y）。
二、线关于点对称问题例1求直线l1：3x+4y-12=0关于点P（1，3）的对称直线l2的方程。
解析：在直线l2上任取一点P1（x，y），它关于P（1，3）的对称点为P2（x1，y1）。
则x+x12=1，y+y12=3x1-2-x，y1=6-y。
由题意知P2（x1，y1）必在直线l1：3x+4y-12=0上，所以3（2-x）+4（6-y）-12=0，即3x+4y-18=0。
所以直线l2的方程为：3x+4y-18=0。
点评：求直线关于某一点的对称直线，一般转化为直线上的点关于点的对称问题。
三、点关于线对称问题例2已知点P（1，2），直线l：2x-y+3=0，求点P关于直线l的对称点P1的坐标。
解析：设P1（x，y），则PP1的中点坐标为x+12，y+22，且满足直线l的方程2x+12-y+22+3=0，即2x-y+6=0①。
又PP1与l垂直，且PP1，l斜率都存在，所以KAB·Kl=-1，即y-2x-1=-1。
即x+2y-5=0②。
则x=-75，y=165，所以P1-75，165。
点评：求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义，利用：（1）两直线斜率互为负倒数，（2）中点坐标公式来求得。
直线方程专题一：直线对称问题
直线方程专题一：直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l 。
方法一：设1l ：01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C ；方法二：在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上，再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面：1， 直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）； 2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称（分两种情况）1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程（1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1（2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
直线方程中的对称问题
直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种：1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
解析几何中的对称问题及其应用
解析几何中的对称问题及其应用关键词：对称点、对称直线解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。
对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。
这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需要对对称问题进行适当的归纳、总结。
使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。
一、点关于点的对称：理论基础：点A ()y x ,关于P ()b a ,对称点坐标)2,2(/y b x a A --,即P 是/,A B 的中点，特别是中点的应用比较广泛，中点也就是对称的另一种说法而已。
例 1 已知平行四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为135153(,),(,),4444A B -- 1119(,),(,)44C D m n -，求,m n 的值。
方法一：利用斜率相等，方法二：利用对角线互相平分， 方法三：利用向量相等。
答案：2935,44m n ==练习 1 已知矩形ABCD 的两个顶点(1,3),(2,4)A B --,且它的对角线的交点在x 轴上，求,C D 的坐标。
方法一：设对角线中点，利用邻边垂直；方法二：设对角线中点，利用对角线相等且互相平分； 方法三：答案：(9,3),(8,4)C D ----二、直线（曲线）关于点的对称：理论基础：就本质而言，直线关于点的对称即点关于点的对称，结合几何特性，直线关于点的对称直线与已知直线平行（对称点不在直线上），应用几何特性就可以降低解题运算量，提高解题效率。
结论：直线0Ax By C ++=关于点(,)M a b 的对称直线为(2)(2)0A a x B b y C -+-+= 圆关于点的对称：首先圆是关于自己圆心自对称的图形。
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问题1：确定一条直线的条件有哪些？ 1.由直线上一点和直线的方向确定，而直 线的方向由斜率（倾斜角不是直角）确定， 这便是点斜式的由来，斜截式是点斜式的 特例。 2.由两点确定一条直线，这便是两点式的 由来，两点式也可以由点斜式而来，截距 式可看做是两点式的特例。
3.方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0） 叫做直线方程的一般式，任何一条直线 的方程不管是用点斜式、斜截式、两点 式还是截距式表示的，都可以化成一般 式。 4.直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程；
任何一个关于x，y的二元一次方程都 表示一条直线。
问题2：直线方程归纳
标准方程 斜率k和一点 y y k ( x x ) 0 0 点斜式 P ( x , y )
0 0 0
名称
已知条件
使用范围
不包括y轴及与 y轴平行的直线 不包括y轴及平 行于y轴的直线 不包括坐标轴 垂直的直线
斜率k和y轴 斜截式 上的截距b
解法一： k PA 5，k PB 由图可知， 1 k ， 5， . 2 1 , 2
P
B o x y
A
解法二：设l的方程为y k ( x 1) 2， 3 而线段AB的方程为y ( x 3)( 2 x 3)， 5 5k 19 将两式联立，解得：x ， 3 5k 5k 19 则 2 3， 3 5k 1 解得k ，或k 5. 2 1 k ， 5， . 2
不包括过原点 的直线以及与 坐标轴垂直的 直线
A,B不同时为
一般式
一、线段中点坐标公式
1、已知点A(6,0),O(0,0),则线段OA中点M的 坐标是(3，0 ) 2、已知点A(0,6),O(0,0),则线段OA中点M的 坐标是( 0，3 ) 3、已知点A(6,0), B(0,6), 则线段AB中点M的 坐标是( 3，3 )
(1) A关于x轴的对称点A/坐标是 （-4，-6）
(2) A关于y轴的对称点A/坐标是 （ 4，6 ） (3) A关于直线y=x的对称点A/坐标是 （6，-4 ）
例：求点A（-1，3）关于直线l：x+y-1=0
的对称点 基本方法：设所求点为A/ (a,b)利用斜率和中 点在对称轴上建立关于a,b的两个方程而求之. （-2，2） 练4：在x轴上求一点P，使点P到点A(-2,1) 和B(4,5)的距离之和最小 P(-1,0) 方法：利用轴对称求得A点关于x轴的对 称点A/，直线A/B与x轴的交点为所求
4、已知点A(1,8), B(-5,2), 则线段AB中点M 的坐标是(-2，5 )
5、已知点A(x1,y1), B(x2,y2), 则线段AB中点M 的坐标是( x1 x2 , y1 y2 )
2 2
二、对称问题 1、点与点的中心对称 练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/ 的坐标是( -4,-1 )
练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段 以P为中点的直线方程_____
分析：用中点坐标公式可求的直线在 坐标轴的截距分别为2和6用截距式写 出方程为x/2+y/6=1即3x+y-6=0
2、直线关于点的中心对称问题 例1：求直线2x-3y+6=0关于点A（1，2） 对称的直线方程 2x-3y+2=0
例1(光线反射问题)有一条光线从点A(-2,1)
射到直线l:x-y=0上后在反射到点B(3,4),求 反射光线的方程 方法：先求点A关于直线l的对称点A/的坐 标，再由点A/和B确定反射光线的方程 7x-3y-13=0
例2：已知直线l:x-2y+2=0,求点P( 2,3)关 于直线l的对称点的坐标 分析：设所求点为P/（a,b),利用线段PP/的 中点在对称轴上；直线PP/与直线l的斜率的 积等于-1，列两个方程求出a,b的值.
因此,直线l 1的方程为：
y7 x2 37 42
化简得: 2x + y -11=0
还有其它的方法吗？
∵ l ∥l 1，所以l 与l 1的斜率相同 ∴ kl1=-2 经计算，l 1过点(4,3) 所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4) 化简得： 2x + y -11=0
3、求点关于直线的对称点—轴对称 练3：已知点A（-4，6），则
（14/5，7/5）
例3．直线l过点P(2， 1)，且分别与x、y轴正半轴 交于A、B两点，O为坐标原点. 当AOB k ( x 2)，
1 1 2 k ) ，令y 0，得A( 2 ， 0 )， 令x 0 ，得B ( 0， k 且由题意知，k＜0. S AOB 1 1 1 (1 2 k )( 2 ) 2 k 2
1 4 ( 4 k ) ( ) 4， k
1 1 当且仅当 4 k ，即k 时取最小值， k 2 1 故l 的方程为y 1 ( x 2) ，即x 2 y 4 0. 2
例1．直线l过点P(1， 2)且与以A(2， 3)、B(3， 0) 为端点的线段相交，那么直线l的斜率的取值范 围是
y kx b
y y x x P ( x , y ) 1 1 点 1 1 1 和 两点式 y2 y1 x2 x1 点 P2 ( x2 , y2 )
在x轴上的截 截距式 距a,即点(a , 0) 在y轴上的截 距b,即点( 0, b )
x y 1 a b
Ax By C 0
练习：
已知直线l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对 称的直线l 1的方程. 解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(2,7).
当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(4,3). 那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.