最新高中数学选修1-2：2.2.1同步练习

高中数学人教A 版选修1-2 同步练习
1.下面叙述正确的是( )
A ．综合法、分析法都是直接证明的方法
B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法
C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的
D ．综合法、分析法所用语气都是假定的
答案：A
2.将正整数按下表的规律排列，
1 4 5 16 ……
2 3 6 15 ……
9 8 7 14 ……
10 11 12 13 ……
…… …… …… ……
把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作a ij (i ，j ∈N *)，如第2行第4列的数是15，记作a 24＝15，则有序数对(a 82，a 28)是( )
A ．(22，45)
B ．(100，98)
C ．(51，63)
D ．(82，28)
解析：选C.观察发现a 11＝1，a 22＝3，a 33＝7，a 44＝13，
∴a 55＝21，a 66＝a 55＋10＝31，∴a nn ＝a (n －1)(n －1)＋2(n －1)，
∴a nn ＝n 2－n ＋1，∴a 88＝82－8＋1＝57，
由图形的特点可得a 82＝a 88－6＝51，a 28＝a 88＋6＝63，故有序数对(a 82，a 28)是(51，63)．
3.已知数列{a n }是等比数列，a n >0，且a 4a 6＋2a 5a 7＋a 6a 8＝36，则a 5＋a 7＝________．
解析：∵{a n }是等比数列，∴a 4a 6＝a 25，a 6a 8＝a 27，∴a 25＋2a 5a 7＋a 27＝36，即(a 5＋a 7
)2＝36，又a n >0，∴a 5＋a 7＝6.
答案：6
4.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 2
2
≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．
答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0
[A 级 基础达标]
1.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2
B ．(2－6)2<(3－7)2
C ．(2＋7)2<(3＋6)2
D ．(2－3－6)2<(－7)2
解析：选C.根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，
∴只需证：2＋7<6＋3，
只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.
2.(2012·淄博市高二期中考试)若a <0，则下列不等式成立的是( )
A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a >0.2a
B ．0.2a >⎝⎛⎭⎫12a
>2a
C.⎝⎛⎭⎫12a >0.2a >2a
D ．2a >0.2a >⎝⎛⎭⎫12a
解析：选B.∵a <0，∴2a <0，⎝⎛⎭⎫12a >1，
而当a <0时，0.2a >0.5a ，
∴0.2a >⎝⎛⎭⎫12a
>2a .
3.已知a >0，b >0，1a ＋3b
＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．7＋2 6 B ．2 3
C ．7＋2 3
D ．14
解析：选A.∵a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a ≥7＋23a b ·2b a
＝7＋2 6. 当且仅当⎩
⎨⎧3a b ＝2b a 1a ＋3b
＝1时取得“＝”． 此时a ＝6＋1，b ＝3＋62. 4.设P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，那么P 、Q 、R 的大小顺序是________．(注：从大到小排列)
解析：要比较R 、Q 的大小，可对R 、Q 作差，即Q －R ＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)，
又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218<0，∴Q <R .又P －R ＝22－6＝8－6>0，∴P >R >Q .
答案：P >R >Q
5.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________． 解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γcos α＋cos β＝－cos γ， 两式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
∴cos(α－β)＝－12
. 答案：－12
6.已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)>16abc . 证明：左边＝[b (a ＋1)＋(a ＋1)]·[b (a ＋c )＋c (a ＋c )]
＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c )． ∵b ＋1≥2b ，a ＋1≥2a ，b ＋c ≥2bc ，a ＋c ≥2ac ，
又∵a ，b ，c 为不全相等的正数，
∴(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c )>16abc .
[B 级 能力提升]
7.设a 、b 、c 三数成等比数列，而x 、y 分别为a 、b 和b 、c 的等差中项，则a x ＋c y
等于( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B.∵ac ＝b 2，a ＋b ＝2x ，b ＋c ＝2y ，
∴a x ＋c y ＝a a ＋b 2＋c b ＋c 2＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2a （b ＋c ）＋2c （a ＋b ）（a ＋b ）（b ＋c ）
＝2ab ＋4ac ＋2bc ab ＋b 2＋bc ＋ac
＝2ab ＋4ac ＋2bc ab ＋ac ＋bc ＋ac
＝2. 8.已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( )
A ．0<A ＋
B <π
B ．0<A ＋B <π2
C.π2<A ＋B <π
D.π2
≤A ＋B <π 解析：选A.由cos A ＋cos B >0得cos A >－cos B ，
∴cos A >cos(π－B )．
∵0<A <π，0<B <π，且y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减．
∴A <π－B .
∴A ＋B <π，即0<A ＋B <π.
9.已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是__________． 解析：∵αβ >0，|α|>22，|β|>2 2.
∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ >8＋8＋2×8＝32>25.
∴|α＋β|>5.
答案：①③⇒②
10.已知a >b >0，求证：（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b
. 证明：欲证（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）2
8b
， 只需证（a －b ）24a <a ＋b －2ab <（a －b ）2
4b
. ∵a >b >0，
∴只需证a －b 2a <a －b <a －b 2b
， 即证a ＋b 2a <1<a ＋b 2b
. 只需证1＋b a <2<1＋a b
. 即证b a <1<a b
.只需证b a <1<a b . 而a >b >0，∴b a <1<a b 成立．∴原不等式成立． 11.(创新题)如图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF
∩BD ＝G .
求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
证明：法一：要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1，要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B1G.
而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．
故只需证EF⊥B1G即可．
又∵△B1EF为等腰三角形，EF中点为G，
∴B1G⊥EF成立．
∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．
法二：连结AC(图略)．
∵ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，
∴▱ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
又∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，B1E＝B1F.∴EF⊥BD.
又∵△B1EF为等腰三角形且G为EF的中点，
∴B1G⊥EF.
又B1G∩BD＝G，∴EF⊥平面BDD1B1.
又EF⊂平面B1EF，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.。