固体物理考研试题

固体物理
2009年
(第5章)限制在边长为L 的二维正方晶体的方势阱中的N 个自由电子，其能量为
)k k (m
2)(E 2y 2x 2+= y x k k ，
求：
(1)倒空间状态密度和能态密度函数； (2)系统的费米能级。

解：
(1) 视N 个自由电子分别属于N 个自由电子系统，则长度为L 的二维正方晶体
的晶格常数N L a =，相应的倒空间晶格常数L
N
2a 2b ππ==，则倒空间的边长
L
N 2Nb L 2
π==‘
∴在二维倒空间的k 空间中，每个离散点所占据的面积42
2'N
L )L 2(k ==∆π
k 空间的态密度为2
4
L N k 1=∆ 由于每一状态可容纳自旋相反的2个电子，且在近自由电子近似下，对于指定的
能量方程在波矢空间是一个圆。

(22
y
2x mE 2)k k ( =+) 则k 空间的电子状态数为
2
24)
E (k )L N (2N π⨯= 又∵)k k (m 2)(E 2y 2x 2+= y x k k ， ∴E L mN 4N 224)E (
π= ∴电子能态密度224
)
E ()E (L mN 4dE dN D π==
(2)当T=0K 时，2F 24)
E (k L N 2N π= 则4
2)E (2F N
2L N k π= ∴费米能级4
22)E (42)E (2
2F
20F mN 4L N N 2L N 2m 2m k E ππ =
==
2010年
(第5章)限制长度为L 的一维线性晶体的N 个自由电子系统，试求： (1)倒空间状态密度和能态密度函数； (2)能量在E~E+dE 间的状态数及费米能级。

解：
(1)长度为L 的一维线性晶体的晶格常数N
L
a =
，相应的倒空间晶格常数L N 2a 2b ππ==，则倒空间的边长L
N 2Nb L 2π==‘
∴在一维倒空间的k 空间中，每个离散点所占据的长度2
'N L
L 2k ==
∆π k 空间的态密度为L
N k 12
=∆ 由于每一状态可容纳自旋相反的2个电子，且在近自由电子近似下
长度为k 的线度上电子状态数为
k L N 2N 2)
E (= 又∵m 2k )(E 22 =k ∴2
1
22)E (E 2m L
N 2N
=
∴电子能态密度2
1
-2
2
)
E ()E (E 2m L
N dE dN D ==
(2) 能量在E~E+dE 间的状态的数量为△N
dE E 2m L
N N 2
1
-22
=
∆ 当T=0K 时，F 2
)
E (k L 2N N = 则2
)E (F 2N L N k = ∴费米能级4
2
)E (222)E (2
2F
20F mN 8N L )2N L N (2m 2m k E =
==
Question ：
1、以上两道题的解法正确不？
2、另外对倒空间的换算对不对，还有就是需不需要这样换算？
3、状态密度是不是就是k 空间的态密度？。