高中数学2.1.3《两条直线的平行与垂直》导学案2苏教版必修2
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.3 两条直线的平行与垂直》0
两条直线的平行和垂直教材分析：本节内容选自苏教版高中教材必修二第二章第一节，是用坐标系研究平面内根本图形点、线之后，进一步通过坐标系，利用代数方程精确研究线与线的位置关系。
在教学中要突出坐标法思想，即建立坐标系，把几何对象转化为代数对象，把几何问题转化为代数问题，利用代数的工具、方法研究并获得结论；然后再解释几何现象。
学情分析：本节内容蕴含了数形结合、分类讨论、坐标法等重要的数学思想方法，对思维的严谨性有较高要求。
学生易于掌握线线平行垂直的斜率关系，但是对于直线平行问题中的重合和斜率不存在问题容易考虑全面。
教学目标：1掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，能够判断简单的线线位置关系；2让学生进一步感受坐标法思想在研究几何问题的重要作用；3通过分类讨论和数形结合的思想方法的运用，培养学生思维的严谨性教学重点：掌握两条直线平行和垂直时斜率的关系。
教学难点：直线平行时需要考虑直线重合和斜率不存在情况；直线垂直需要考虑斜率不存在。
教学过程设计：【引入】问题1：前面我们已经利用坐标系研究了平面几何中的根本图形点、线，把几何对象点、线转为代数对象有序实数对，方程表示。
研究完根本图形后，那接下来我们可以研究那些内容？〔在立体几何中我们研究了点线面的位置关系，那在平面里我们可以研究什么？学生说：点线的位置关系，提醒比方点与点的位置关系〕生：可以研究点与线的位置关系，线与线的位置关系。
设计意图：平面几何是学生初中研究的内容，学习完根本图形点、线后，就研究点线的位置、线线的位置关系。
学生能够类比指出可以在坐标系中研究的内容。
让学生提出本节课的课题，能够引起学生学习的兴趣。
师：这些都是我们接下来要研究的内容，本节课我们首先研究线与线的位置关系。
线与线的位置关系有哪些？生：线线平行，线线相交，线线重合。
师：本节课我们主要研究线线平行，垂直。
〔书写课题：两条直线的平行与垂直〕【建构概念】师：观察图像，直线和直线的位置关系是什么？生：平行。
高中数学必修二 2.1.3两条直线的平行与垂直学案 苏教版必修2
2．1.3 两条直线的平行与垂直如右图，在平面四边形ABCD中，由∠A＋∠B＝90°＋90°＝180°可知AD∥BC.或因为∠B＝90°，可知AB⊥BC；可由∠A＝90°，得到AD⊥AB，依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到AD∥BC.在平面几何中，我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直．那么，在解析几何中，又如何证明或判断直线的这些关系呢？1．通过初中的学习我们知道“两直线平行，则两直线的倾斜角相等”，同样，两条直线平行，如果它们的斜率都存在，则它们的斜率相等．反之也成立，即：已知直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.这个结论成立的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．特别地，若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是90°，所以它们互相平行．2．当直线l1，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：l1∥l2，因此，两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1和l2的斜率都不存在或k1＝k2且b1≠b2.3．两直线的斜率都存在时，若两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1，反之也成立，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1.4．两条直线l1，l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0或k1k2＝－1．,一、两条直线平行与垂直的判定设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，①两条直线平行的条件为：l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；②两条直线垂直的条件为：l1⊥l2⇔k1k2＝－1；③两条直线l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法．判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线．同学们要特别谨记：同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行，分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直．若两条直线的方程是一般式l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则常有以下判定方法：①l 1与l 2平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且(B 1C 2－B 2C 1)2＋(A 2C 1－A 1C 2)2≠0或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)；②l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；③l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．基础巩固知识点一 两条直线平行1．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________．解析：kAB ＝4－m m ＋2，∵过AB 的直线与2x ＋y －1＝0平行，∴4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8. 答案：－82．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋5＝0平行，则k ＝________．解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或5，经检验k ＝3或5时，l 1∥l 2.答案：3或53．已知点A (3，1)、B (0，－1)、C (1，3)，则点D 满足什么条件时，可以使得AB ∥CD . 解析：设D (a ，b )，则kAB ＝1－（－1）3－0＝23，kCD ＝b －3a －1.∵AB ∥CD ，∴b －3a －1＝23.∴2a －3b ＋7＝0. ∴当点D 在直线2x －3y ＋7＝0上时，AB ∥CD .知识点二 两条直线垂直4．过点A (－1，0)和B (1，－1)的直线与过M (0，k )和N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0(k ≠0)两点的直线的位置关系是________．解析：kAB ＝－1－01＋1＝－12，kMN ＝0－k －k 2－0＝2， ∴kAB ·kMN ＝－12×2＝－1，即AB ⊥MN . 答案：垂直5．已知点A (2，2)、B (1，－2)，若点P 在坐标轴上，且∠APB 为直角，则这样的点P 有________个．解析：若点P 在y 轴上，则点P 只有一个；若点P 在x 轴上，则点P 有两个．故满足条件的点p 共有3个．答案：36．已知直线l 1经过点A (－2，0)和点B (1，3a )，直线l 2经过点M (0，－1)和点N (a ，－2a )，若l 1⊥l 2，试确定实数a 的值．解析：(1)当直线l 1、l 2的斜率都存在，即a ≠0时，直线l 1、l 2的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝1－2a a. ∵l 1⊥l 2，∴a ·1－2a a＝－1. ∴a ＝1.(2)当a ＝0时，k 1＝0，k 2不存在，此时l 1⊥l 2.综合(1)(2)知，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为1或0.知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用7．已知点A (－4，2)、B (6，－4)、C (12，6)、D (2，12)，下面四个结论中正确的是________(填序号)．①AB ∥CD; ②AB ⊥AD; ③AB ⊥BD; ④AC ⊥BD .解析：由题意得kAB ＝－35，kAD ＝53，kCD ＝－35，kAC ＝14，kBD ＝－4，∴kAB ＝kCD ，kAB ·kAD ＝－1，kAC ·kBD ＝－1.∴AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，①②④正确．又kAB ·kBD ≠－1，∴③错误．答案：①②④8．若已知直线l 1上的点满足ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2上的点满足x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0(a ≠0)，当a 为何值时：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解析：k 1＝－a 2，k 2＝－1a －1. (1)l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即－a 2＝－1a －1， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1的方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，则l 1与l 2重合．∴a ＝－1.(2)l 1⊥l 2时，由k 1k 2＝－1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23. 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23时，l 1⊥l 2.能力升级综合点一 平行与垂直的简单应用9．在直角坐标平面内有两个点A (4，2)、B (1，－2)，在x 轴上有点C ，使∠ACB ＝90°，则点C 的坐标是________．解析：设C (x 0，0)，由AC ⊥BC ，得0－2x 0－4·0＋2x 0－1＝－1，∴x 0＝0或x 0＝5. 答案：(0，0)或(5，0)10．若点A (1，2)在直线l 上的射影为B (－1，4)，则直线l 的方程是________． 解析：∵AB ⊥l ，kAB ＝4－2－1－1＝－1，∴kl ＝1.又l 过点B ，∴l ：y －4＝x ＋1，即直线l 的方程为x －y ＋5＝0.综合点二 平行与垂直的综合应用11．已知两点A (2，0)、B (3，4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．解析：由题意知，AB ⊥BC ，∴kAB ·kBC ＝－1，即4－03－2·4－y 3－0＝－1，解得y ＝194. 答案：19412．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k 为________．解析：若l 1和l 2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l 1⊥l 2，而kl 1＝73－7＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k .而kl 1·kl 2＝－1，得k ＝3. 答案：3综合点三 平行直线系或垂直直线系问题13．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l 2的方程．解析：∵l 1∥l 2，∴设l 2的方程为x ＋y －m ＝0.设l 1与x 轴，y 轴分别交于点A 、D ，l 2与x 轴，y 轴分别交于点B 、C ，易得：A (1，0)、D (0，1)、B (m ，0)，C (0，m )．又l 2在l 1的上方，∴m ＞0.S 梯形＝S Rt △OBC －S Rt △OAD ，∴4＝12m ·m －12×1×1. ∴m 2＝9，m ＝3.故l 2的方程是x ＋y －3＝0.。
高中数学2.1.3两条直线的平行与垂直(2)教案苏教版必修2
2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）教学目标:1. 掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；2. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯.教材分析及教材内容的定位：本节课和上节课研究的内容有类似之处，都是通过方程研究几何性质的.教学重点：用斜率判断两直线垂直的方法.教学难点：理解直线垂直的解析刻画.教学方法：探究合作.教学过程：一、问题情境1•复习回顾：（1）利用直线的斜率关系判断两条直线平行；（2）利用直线的一般式方程判断两条直线的平行.2 •本节课研究的问题是：一一两条直线垂直，两条直线垂直，那么他们的斜率之间有什么关系，体现在方程有何特征？二、学生活动探究：两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，那么他们的斜率如何？不妨设直线丨1,丨2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为a 1, a 2,对应的斜率分别为k1, k2.因为两条直线相互垂直，不妨设 a 1 — a 2= 90 .根据倾斜角与斜率的关系，我们知道当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有k1=tan a 1, k2= tan a 2，于是根据诱导公式有1k1 tan 1 tan （90° 2）tan 2即k i k2=—1 .此时，若两直线平行，则两直线的斜率乘积为一1.反之，如果两直线的斜率(斜率存在)互为负倒数，即k i k2=—1,根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角，从而说明它们互相垂直.三、建构数学两直线垂直.一般地，设直线l i,丨 2 (斜率存在)所对应的斜率分别为k i, k2，则11 I2 k i k2 1说明：(1)如果直线丨1,丨2的斜率有一个不存在，那么其中有一条直线(不妨设为I 1 )与X轴垂直，此时两条直线垂直的等价条件为I 2的斜率为0；(2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.(3)设直线I 1: Ax + By+ Ci= 0, 12：Ax+ By + C2= 0，那么两条直线垂直的等价条件为：A1A2 B1 B20 .四、数学运用例1 (1 )已知四点A(5, 3), B (10, 6) , C(3, —4) , D(—6 , 11),求证：AB丄CD3 2(2)已知直线I 1的斜率k1= ,直线12经过点A (3a, —2) , B( 0 , a +1),且I』412 ,求实数a的值.例2 已知三角形的顶点为A (2 , 4), B (1, —2), C (—2 , 3),求BC边上的高AD 所在的直线.例3在路边安装路灯，路宽23m,灯杆长2. 5m且与灯柱成1200角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直. 当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0. 01m)练习：1. 求过点A(0 , —3),且与直线2x+ y—5= 0垂直的直线的方程.2. 已知直线I与直线I : 3x+4y —12= 0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6,求直线I的方程.3. 若直线(a+ 2)x + (1 —a)y —3 = 0 与(a—1)x + (2a+ 3)y+ 2= 0 互相垂直，则实数a4. 已知直线l i：mx^y —(n+1) = 0 与12：x+my-2m= 0 垂直，求m的值.5. 已知三条直线的方程分别为：2x—y+ 4= 0, x—y+ 5 = 0与2mx- 3y+ 12= 0.若三条直线能围成一个直角三角形，求实数m的值.五、要点归纳与方法小结两条直线垂直的等价条件是什么？课后思考题：已知三条直线的方程分别为：2x—y+ 4 = 0, x—y + 5 = 0与2mx- 3y + 12= 0.若三条直线能围成一个三角形，求实数m的取值范围.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.3 两条直线的平行与垂直》2
两条直线平行与垂直的判定素材〔1〕设置问题，归纳结论设两条直线与的斜率分别为与〔注：两条直线与的一般是指两条不重合的直线〕活动二：1、当时，与满足怎样的关系？给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演。
归纳：。
2、反之，当时，两条直线与有怎样的位置关系？学生通过思考，很快能利用三角函数知识得出直线。
归纳：结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即设计意图：〔1〕培养学生运用已有知识解决新问题的能力；〔2〕培养学生自主探究问题的习惯。
〔2〕应用举例：例1、A〔2，3〕，B〔－4，0〕P〔－3，2〕，Q〔－1，3〕，试判断直线AB与直线PQ的位置关系,并证明你的结论给学生约1分钟的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。
设计意图：⑴应用新知解决问题。
⑵体会用代数方法解决几何问题的思想方法。
变式训练1：四边形ABCD的四个顶点分别为A〔-7，0〕、B〔2，－3〕、C〔5，6〕、D〔-4，9〕，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导在做完此题时，细心的学生会发现它可能还是一个正方形，如何判断呢？引出下一个探究的问题：斜率之间有何关系时两条直线垂直？设计意图：为了发现问题，提出问题。
也为下一环节做好铺垫。
2、两条直线垂直的判定：〔1〕设置问题，归纳结论活动三：1、当时，它们的斜率1与2有何关系？探究：1直线且的倾斜角为300，的倾斜角为12021，1与2的关系2直线且的倾斜角为600，的倾斜角为1500，1与2的关系由学生自主探究，得出猜测：任意两条直线垂直时。
提出问题：我们能否证明上述结论3该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生独立完成有困难，教师通过分析、讲解，完成证明过程。
归纳：2、反之，当时，直线与有怎样的位置关系？学生思考后得出与是垂直的。
2.1.3两条直线的平行与垂直(2)教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）从容说课两条直线的垂直是研究两条直线位置关系的又一重要形式.旧教材中通过向量来推导垂直，由于学生没有学过三角函数、向量，新教材通过特例来推导垂直的这一点只要让学生了解，不必深究.教学重点两条直线的垂直的判断.教学难点两条直线垂直的公式推导及分情况讨论.教具准备多媒体.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.掌握两条直线垂直的判断方法.2.理解两直线垂直条件的推导过程.二、过程与方法1.师生共同探究的方法.2.创设数学情境.三、情感态度与价值观代数化处理几何问题的方法及数学地思考问题的方法.教学过程导入新课师前面我们一起研究了在直角坐标系中如何判断两条直线平行的方法，判断两条直线平行的条件是什么？生l1、l2是不重合的两条直线.①如果l1、l2斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等，反之，斜率相等也能得到直线平行；②如果l1、l2斜率都不存在，那么两直线都垂直于x轴，故它们平行．师对！判断两条直线平行的前提条件是：l1、l2是不重合的两条直线，另外要分直线的斜率存在和不存在来讨论.今天我们来研究如何判断两条直线垂直的方法.推进新课师两条直线垂直时，其倾斜角、斜率之间有什么关系呢？（同时在黑板上板图）我们看图：若l1⊥l2(l1,l2都不与x轴垂直)，如图，作PQ∥x轴，且PQ=1，过点Q作RS⊥PQ,分别交l1、l2于R、S，则k1=R Q,k2=-Q S.由Rt△PQ R∽Rt△S QP，故可得PQ2=R Q·Q S，从而1=-k1k2,即k 1k 2=-1.反过来，若k 1k 2=-1,可以证明l 1⊥l 2.因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于－1，即l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.师如果两条直线l 1、l 2中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？ 生通过图形观察可以得到另一条直线的斜率为0.师逆命题成立吗？……（学生思考）逆命题是什么？生逆命题是如果两条直线l 1、l 2中的一条斜率不存在，另一条直线斜率为0，那么这两条直线互相垂直.师是逆命题，对吗？生对！师于是我们就可以得到判断两条直线垂直的方法（同时板书）：两直线垂直的判定.判定两直线垂直时也要注意分情况讨论：（1）当两直线的斜率都存在时，两直线垂直可得它们的斜率乘积等于-1；反之，两直线斜率乘积等于-1也能得到它们相互垂直．（2）当两直线中的一条斜率不存在时，另一条直线斜率为0时两直线垂直；反之，如果两直线垂直，则另一条直线斜率一定不存在．【例1】（1）已知四点A(5,3)、B(10,6)、C(3,-4)、D(-6，11),求证：AB ⊥CD.(2)已知直线l 1的斜率k 1=43，直线l 2经过点A(3a ，－2)、B （0，a 2＋1），且l 1⊥l 2，求实数a 的值.（1）证明：由斜率公式，得k AB ＝5351036＝--，k CD =3536411-----＝）（. 则k AB ·k CD =-1，所以AB ⊥CD. （2）解：由l 1⊥l 2可知k 1k 2=-1，即aa 30)2(1432---+⋅=-1，解得a ＝1或3. 师直角坐标系中判断两条直线垂直的方法关键是看其斜率之积是否为－1.【例2】如右图，已知三角形的顶点为A(2,4)、B(1,-2)、C(-2,3),求BC 边上的高AD 所在的直线方程.师要求BC 边上的高AD 所在的直线方程，已经知道哪些因素？生经过点A.师还差一个什么因素？生直线上一点或其斜率.师能否求出另外一点？生不好求.师能否求出其斜率？生可以，因为AD 垂直于BC ，所以直线AD 斜率是直线BC 斜率的负倒数.师我们一起看解题过程.解：直线BC 的斜率k BC =3512)2(3-=----,因为AD ⊥BC,所以k AD =-531=BC k .根据点斜式，得到所求直线的方程是y －4＝53(x -2),即3x -5y +14=0. 【例3】在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ）师这是一道与几何有关的应用题，大家先思考一下，能否借助于我们初中学过的几何知识解决？（3分钟后）生如右图记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯杆为AB ，灯轴线与道路中线交于点C ，灯柱底端为O 点，灯柱OB.由已知可得到AB=2.5,OC=11.5,因为∠ABO ＝120°，所以∠ABD=∠OCD= 60°,先求出线段BD ，再求出DO ，最终可求得BO 的长.师说得对！我们还可以通过建立坐标系的方法来解决，如何建立坐标系呢？生以OC 为x 轴，OB 为y 轴.师说得还不够严谨，我们一起来观察.解：如右图，记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯杆为AB ，灯轴线与道路中线交于点C ，以灯柱底端O 点为原点，灯柱OB 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系.点B 的坐标为（0，h ），点C 的坐标为（11.5，0），因为∠OBA ＝120°，所以中线BA 的倾斜角为30°，则点A 的坐标为（2.5·5c os30°，h+2.5·5sin30°），即（1.253,h+1.25）.因为CA ⊥BA ，所以k CA =-︒-=30tan 11BA k =-3. 由直线的点斜式方程，得CA 的方程是y -(h+1.25)=-3(x -1.253).因为灯罩轴线CA 过点C,代入上式，解得h ≈14.92(m).答：灯柱高约为14.92m.（投影）课堂练习1.已知两条直线l 1：2x -4y +7=0，l 2：2x +y -5=0．求证：l 1⊥l 2．证明：l 1的斜率k 1=21，l 2的斜率k 2=-2，∴k 1k 2=-1.∴l 1⊥l 2． 2.求过点A(2，1)，且与直线2x +y -10=0垂直的直线方程．解法一：已知直线的斜率k=-2．∵所求直线与已知直线垂直，∴所求直线的斜率k 1=21. 根据点斜式得所求直线的方程是y -1=21(x -2)，就是x -2y =0. 解法二：∵所求直线与已知直线垂直，∴可设所求直线方程是x -2y +m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x －2y =0．【例4】已知点A(0,2)、B(4,2)、C(6,2+23)、D(2,2+23)，求证：四边形ABCD 是菱形．分析：根据对角线互相垂直的四边形是菱形，只要证四边形ABCD 是平行四边形且对角线互相垂直．证明：∵k AB =0422--， k CD =26)322(322-+-+=0， k AD =3022322=--+， k BC =3462322=--+， ∴k AB =k CD ,k AD =k BC .∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形.又∵k AC =33062322=--+，k BD =3422322-=--+， ∴k AC ·5k BD =-1.∴对角线AC ⊥BD.∴四边形ABCD 是菱形．点评：待我们学习了“两点间的距离公式”后，本题还可以证明四边形ABCD 四条边长相等，从而得到菱形．课堂小结今天我们研究了两条直线垂直的判定，判定两直线垂直时要注意分情况讨论：（1）当两直线的斜率都存在时，两直线垂直可得它们的斜率乘积等于-1；反之，两直线斜率乘积等于-1，也能得到它们相互垂直．（2）当两直线中的一条斜率不存在时，另一条直线斜率为0时两直线垂直；反之，如果两直线垂直，其中一条直线斜率为0时，则另一条直线斜率一定不存在．同时还要注意与已知直线垂直的直线的设法．布置作业P 87习题2.1（2）第1题和第2题.板书设计2.1.3 两条直线的平行与垂直(2)例1 课堂小结例2 作业例3活动与探究【例题】（课本第88页习题第11题）直线l 1和l 2的方程分别是A 1x +B 1y +C 1=0和A 2x +B 2y +C 2=0，其中A 1、B 1不全为0，A 2、B 2也不全为0，试探究：（1）当l 1∥l 2时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当l 1⊥l 2时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于l 1和l 2的斜率可能不存在，因此要分类讨论．解：（1）①当两直线方程中x 、y 的系数有一个为0时，不妨设B 1=0，则必有A 1≠0，此时直线l 1垂直于x 轴，其方程为A 1x +C 1=0，由l 1∥l 2知l 2也垂直于x 轴，其方程可以为A 2x +C 2=0，此时满足A 1B 2=A 2B 1；反之也成立．②当两直线方程中x 、y 的系数均不为0时，直线l 1和l 2的斜率分别为-11B A 、-22B A ，由l 1∥l 2得-11B A =-22B A , 即A 1B 2=A 2B 1．反之也成立．综合①②可知当l 1∥l 2时，A 1B 2=A 2B 1．（2）①当两直线方程中x 、y 的系数有一个为0时，不妨设B 1=0，则必有A 1≠0，此时直线l 1垂直于x 轴，其方程为A 1x +C 1=0，由l 1⊥l 2知，直线l 2平行于x 轴，故其方程为B 2y +C 2=0，满足A 1A 2+B 1B 2=0；反之也成立．②当两直线方程中x 、y 的系数均不为0时，直线l 1和l 2的斜率分别为-11B A 、-22B A ， 由l 1⊥l 2知(-11B A )(-22B A )=-1，∴A1A2+B1B2=0．反之也成立．综合①②可知当l1⊥l2时，A1A2+B1B2=0．备课资料一、利用几何特征解题【例题】已知△ABC的一个定点是A(3,-1)，∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，求直线BC的方程．分析：利用角平分线的轴对称性质，求出A关于x＝0，y＝x的对称点，它们显然在直线BC上．解：A(3，－1)关于x＝0，y＝x的对称点分别是（－3，－1）和（－1，3），且这两点都在直线BC上，由两点式求得直线BC的方程为2x－y＋5＝0．二、备选练习或例题1.由四条直线:x+2y-1=0,2x-y-1=0,2x+4y+1=0,4x-2y+1=0围成的四边形是（）A.等腰梯形B.梯形C.长方形D.正方形2.已知三点A(0,0)、B(m,n)、C(-n,m)，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.已知点P(0,-1)，点Q在直线x-y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是（）A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,3)D.(-2,-1)4.过点A(1,0)且与过点B(-1,0)、C(1,2)的直线BC垂直的直线方程是_________．5.过点(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程是_________．6.若直线2x-3y-2=0与直线m x+(n+3)y+1=0垂直，且与直线2n x+m y+1=0平行，则m=_________，n=_________．7.过点M(-1,-2)作直线l交直线x+2y+1=0于点N，当线段MN最短时，求直线l的方程．8.分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．参考答案：1.D2.A3.C4.x+y-1=05.2x+y-5=06.-9 37.y=2x.8.经过A、B的直线分别是x+y-1=0及x+2y-10=0．。
2.1.3两条直线的平行与垂直(1)教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
2.1.3 两条直线的平行与垂直（1）从容说课本节课的主要内容是研究在直角坐标系下，通过给出两条直线方程如何去判断两直线是否平行.在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况． 教学重点两直线平行的判断.教学难点两直线平行的判断的各类问题.教具准备多媒体.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.掌握两条直线平行的判断方法.2.理解刻画直线方程的量可以刻画两直线的平行关系.二、过程与方法1.代数化处理几何问题中的平行问题.2.师生共同探讨，注重引领.三、情感态度与价值观培养分类讨论的思想及全面思考问题的思维方式.教学过程导入新课师我们知道倾斜角、斜率刻画了直线的倾斜程度，那么，能否用倾斜角、斜率刻画两条直线的位置关系呢？投影：当给出两条平行直线时，我们可以分为3大类，见图（1）、（2）、（3）.它们的倾斜角如何？生相等.师它们的斜率呢？生图（1）l 1∥l 2，构造两个直角三角形（直角边分别平行于坐标轴），那么△ABC ∽△DEF （两角对应相等）.∴k 1=DFEF AC BC ==k 2. 师反之图（1）中如果k 1=k 2，那么△ABC ∽△DEF ，于是∠BAC=∠EDF,从而l 1∥l 2. 图（2）是否仍有斜率相等？生仍相等.∵k 1=DFEF AC BC -=-=k 2, ∴k 1=k 2.师反之k 1=k 2，那么△ABC ∽△DEF ，于是∠BAC=∠EDF,从而l 1∥l 2.推进新课板书：两直线不重合时，当k 1、k 2均存在，则l 1∥l 2⇔k 1=k 2.生⇔是什么意思？师就是l 1∥l 2时，有k 1=k 2;反之k 1=k 2能够推出l 1∥l 2.“⇔”我们也可以形象地称为等价条件.不过这里的条件“两直线不重合时，当k 1、k 2均存在”是特别要注意的.【例1】已知两条直线l 1：2x -4y +7=0，l 2：x -2y +5=0．求证：l 1∥l 2．（师生共同探究）证明：把l 1、l 2的方程写成斜截式：l 1:y =4721+x ,l 2:y =2521+x . ∵k 1=21,k 2=21,∴k 1=k 2. ∴两直线不相交． ∵b 1=47,b 2=25,b 1≠b 2, ∴两直线不重合.∴l 1∥l 2．师证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．【例2】求证：顺次连结A(2,-3)、B(5,-27)、C(2,3)、D(-4,4)四点所得的四边形是梯形.师什么是梯形？生有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形.师如何处理直线平行？生分别求出直线AB 、BC 、CD 、AD 的斜率.师大家自己动手做一做（学生板演，师生交流，得出结论）∵k AB =6125)3(27-=----，k BC =61352)27(3-=---,k CD =612434-=---,k DA =67)4(243-=----,∴k AB =k CD ,k BC ≠k DA .∴直线AB ∥CD,而直线BC 与DA 不平行.【例3】求过点A(1，-4)，且与直线2x +3y +5=0平行的直线方程．解法一：已知直线的斜率是－32，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是－32，根据点斜式得所求直线的方程是y +4=－32(x -1),即2x +3y +10=0． 师与一直线平行的直线我们可以采取设的技巧，请看下面的解法.解法二：因所求直线与2x +3y +5=0平行，可设所求直线方程为2x +3y +m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x +3y +10=0．评注：一般情况下与直线Ax +By +C=0平行的直线可以设为A x +B y +C 1=0.大家学习解析几何时注意设的技巧，这样可以帮助我们更快捷地解决问题.【例4】已知ABCD 的三个顶点A (-3,0)、B (-1,2)、C (-5,3)，求AD 、CD 边所在的直线方程．分析：由平行四边形的性质知道AD ∥BC ,AB ∥DC ，∴AD 与BC ，AB 与DC 的斜率分别相等． 解：ABCD 中，AD ∥BC ,AB ∥DC ,∴直线斜率k AD =k BC =41)1(523-=----，k CD =k AB =)3(102----=1. ∴AD 、CD 所在直线方程分别为y =-41(x +3)，y -3=x +5， 即x +4y +3=0及x -y +8=0．【例5】求与直线3x +4y +9=0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程．解：∵直线3x +4y +9=0的斜率为-43，∴设所求直线方程为y =-43x +b . 令x =0，得y =b ； 令y =0，得x =34b . 由题意b >0,34b >0，∴b >0. ∴21×b ×34b =24.∴b =6. 故所求直线方程为y =-43x +6，即3x +4y +24=0． 点评：直线方程为y =-43x +b 可化为3x +4y -4b =0，令m=-4b ，即可得3x +4y +m=0．因此，与3x +4y +9=0平行的直线也可设为3x +4y +m=0，但注意到两直线不重合，所以m ≠9．师已知A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)分别是直线l 上和l 外的点，若直线l 的方程为f(x ,y )=0，则方程f(x ,y )=f(x 1,y 1),f(x ,y )=f(x 2,y 2)分别表示（）A ．直线lB ．过点A 、B 的直线C ．直线l ，过点B 与l 垂直的直线D ．直线l ，过点B 与l 平行的直线 答案：D师代数式f(x ,y )可以理解成含有字母x 、y 的关系式，直线l 的方程为f(x ,y )=0具体可以如何表示？生可以表示成A x +B y +C=0.师对！那么对于f(x ,y )=f(x 1,y 1)你是怎么理解的？特别增加了f(x 1,y 1).生因为A(x 1,y 1)是直线l 上的点，所以f(x 1,y 1)＝0.所以f(x ,y )=f(x 1,y 1)，化为f(x ,y )=0，所以方程f(x ,y )=f(x 1,y 1)实质上与f(x ,y )=0相同，即表示直线l.师对！我们可能被其表达式吓住，去掉其表面，经过转化可以发现该方程其实是该直线的原始方程.那么f(x ,y )=f(x 2,y 2)是否也与f(x ,y )=0相同？生因为B(x 2,y 2)是直线l 外的点,所以f(x 2,y 2)≠0.所以f(x ,y )=f(x 2,y 2)不与f(x ,y )=0相同.师对.但是是否与直线l 平行呢？生平行.师如何证明？生f(x ,y )=f(x 2,y 2),即为A x +B y +C=A x 2+B y 2+C ，与A x +B y +C ＝0表示直线的斜率相同，但不重合.师说得很好.课堂小结师今天我们学习了判断两直线平行的方法，判定直线l 1与l 2平行的前提是：l 1、l 2是不重合的两条直线.①如果l 1、l 2斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等，反之，斜率相等也能得到直线平行；②如果l 1、l 2斜率都不存在，那么两直线都垂直于x 轴，故它们平行．另外大家在处理与已知直线平行的直线时注意设的技巧.布置作业P 84练习2、3.板书设计2.1.3 两条直线的平行与垂直(1)l 1、l 2是不重合的两条直线 例3①如果l 1、l 2斜率都存在…… 例4②如果l 1、l 2斜率都不存在…… 例5例1 课堂小结例2 布置作业活动与探究讨论：已知直线l ：A x +B y +C=0,则和l 平行的直线方程都可写为A x +B y +m=0(m ≠C)吗？（都可以）例：已知直线l 与直线m ：2x +3y -5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线l 的方程.解：设直线l 的方程为2x +3y +m=0，令x =0，得y =-3m ;令y =0，得x =-2m . 由题意知-23m m =1，解得m=-56. 故直线l 的方程为2x +3y -56=0，即10x +15y -6=0. (可组织学生用多种方法解答此题，进一步验证讨论的结论)备课资料备选练习或例题1.若过两点P (6,m)和Q (m,3)的直线与直线x -2y +5=0平行，则m 的值为（）A.5B.4C.9D.02.直线m x +y -n=0和x +m y +1=0平行的条件是（）A.m=1B.m=±1C.⎩⎨⎧-≠=11n mD.⎩⎨⎧≠=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3.过点(a ,b )且与直线bx -ay +ab =0平行的直线一定还过点（）A.(a ,2b )B.(b ,a )C.(0,1)D.(0,0)4.平行于直线3x -8y +25=0，且在y 轴上截距为-2的直线方程是_________．5.若直线y =(a 2-2a +3)x -1与直线y =(a +7)x +4平行，则a 的值为_________．6.若直线m x +4y -1=0与直线x +m y -3=0不平行,则实数m 的取值范围是_________．7.求证：以A(4,5)、B(6,7)、C(7,9)、D(5,7)为顶点的四边形是平行四边形.8.求与直线x -2y +1=0平行，且在两坐标轴上的截距和为-4的直线方程． 参考答案：1.B2.D3.D4.3x -8y -16=05.-1或46.m ≠±27.证明：只要证AB ∥CD ,AD ∥BC .8.x -2y +8=0.。
苏教版高中数学必修二第二章2.1.3两条直线平行与垂直(二)
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作第二课时一、基础过关1．直线 ( 3－ 2)x＋ y＝ 3 和直线 x＋ (2－3)y＝ 2 的地点关系是 ________．2．与直线 3x＋ 4y－7＝ 0 垂直，而且在x 轴上的截距为－ 2 的直线方程是 ______________．3．过原点作直线 l 的垂线，若垂足为(－ 2,3)，则直线 l 的方程是 __________________ ．4．直线 ax＋ 3y－9＝ 0 与直线 x－ 3y＋ b＝ 0 对于直线 x＋ y＝ 0 对称，则 a 与 b 的值分别为________．5．直线 l 过点 A(3,4)，且与点B(－ 3,2)的距离最大，则l 的方程为 ______________．6．已知 A(0，－ 4)， B(5，－ 4)，则直线AB 与直线 x＝0 的地点关系是________．7．已知△ ABC 的极点坐标为A(5，－ 1)， B(1,1)， C(2，m) ，若△ ABC 为直角三角形，试求m 的值．8．已知直线 l 1：mx＋ y＋1＝ 0， l2： x＋ my－ 1＝ 0，当 m 为什么值时， (1)l 1∥ l2； (2)l 1⊥ l2.二、能力提高9．垂直于直线3x－ 4y－ 7＝ 0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线在x 轴上的截距是 ________．10．直线 l1，l2的斜率 k1，k2是对于 k 的方程 2k2－3k－ b＝ 0 的两根，若 l 1⊥ l2，则 b＝ ________；若 l 1∥ l 2，则 b＝ ________.11．原点在直线l 上的射影是P(－ 2,1)，则 l 的方程为 __________________．12．已知经过点A(－ 2,0)和点 B(1,3a)的直线 l 1与经过点 P(0，－ 1) 和点 Q(a，－ 2a)的直线 l2相互垂直，务实数 a 的值．三、研究与拓展13．直线 l1和 l 2的方程分别是A1x＋B1y＋ C1＝0 和 A2 x＋B2y＋ C2＝ 0，此中 A1，B1不全为 0, A2， B2也不全为0，尝试究：(1)当 l 1∥ l 2时，直线方程中的系数应知足什么关系？(2)当 l 1⊥ l 2时，直线方程中的系数应知足什么关系？苏教版高中数学必修二第二章2.1.3两条直线平行与垂直(二)答案1．垂直2． 4x － 3y ＋8＝ 03． 2x － 3y ＋13＝ 04．－ 9,35． 3x ＋ y － 13＝ 06．垂直7． 解 k AB ＝ －1－1 1， k AC ＝ ＝－ 5－ 1 2－1－m ＝－ m ＋1， k BC ＝ m － 1＝ m － 1. 5－232－11 m ＋ 1若 AB ⊥ AC ，则有－ 2·－ 3 ＝－ 1，因此 m ＝－ 7. 若AB ⊥ BC ，则有－ 12·(m － 1)＝－ 1，因此 m ＝3.若 AC ⊥ BC ，则有－m ＋ 1·(m －1)＝－ 1，因此 m ＝±2. 3综上可知，所求 m 的值为－ 7， ±2,3.8． 解 当 m ＝ 0 时，两直线为 y ＝－ 1， x ＝ 1，相互垂直；当 m ≠ 0 时， l 1： y ＝－ mx －1， l 2： y ＝－ x ＋ 1 ，则 (－ m)(－ 1)＝－ 1 无解．m m m则两直线不垂直；－ m ＝－ m 1，且－ 1≠ m 1时， m ＝ 1，两直线平行．综上所述：当 m ＝ 0 时，两直线相互垂直；当m ＝ 1 时，两直线平行．9．3 或－ 3910． 2－811． 2x － y ＋ 5＝ 03a － 012． 解 l 1 的斜率 k 1＝ 1－ － 2 ＝ a ，当 a ≠0 时， l 2 的斜率 k 2＝ － 2a － －1 ＝ 1－ 2a.a － 0 a∵ l 1⊥ l 2， ∴ k 1 ·k 2＝－ 1，即 a ×1－ 2a＝－ 1，得 a＝1. a当 a ＝0 时， P(0，－ 1)， Q(0,0)，这时直线 l 2 为 y 轴， A( －2,0)、 B(1,0) ，这时直线 l 1 为 x 轴，明显 l 1⊥ l 2. 综上可知，实数 a 的值为 1,0.13． 解 (1)① 当双方程中 x ， y 的系数均不为0 时，直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为－A 1，－A 2，B 1B 2苏教版高中数学必修二第二章2.1.3两条直线平行与垂直(二)A 1A 2由 l 1∥ l 2得－ 1＝－B 2，B即 A 1B 2＝A 2B 1.反之也建立．② 当两直线方程中 x ，y 的系数有一个为0 时，不如设 B 1＝ 0，则必有 A 1≠ 0，此时直线l 1 垂直于 x 轴，其方程为 A 1x ＋ C 1＝ 0，由 l 1∥ l 2 知 l 2 也垂直于 x 轴，其方程能够为 A 2x＋ C 2 ＝0，此时知足 A 1B 2＝A 2B 1；反之也建立． 综合 ①② 可知： 当 l 1∥ l 2 时， A 1B 2＝ A 2B 1.(2)① 当两直线方程中 x ， y 的系数均不为 0 时，直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为－A 1 A 2 ，－.B 1B 2由 l 1⊥ l 2 知， －A 1－A 2＝－ 1，B 1B 2∴ A 1A 2＋B 1B 2＝ 0.反之也建立．② 当两直线方程中 x ，y 的系数有一个为 0 时，不如设 B 1＝ 0，则必有 A 1≠ 0，此时直线 l 1 垂直于 x 轴，其方程为 A 1x ＋ C 1＝ 0，由 l 1 ⊥l 2 知，直线 l 2 平行于 x 轴，故其方程为 B 2y＋ C 2 ＝0，知足， A 1A 2＋ B 1B 2 ＝0；反之也建立．综合 ①② 可知：当 l 1⊥ l 2 时， A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.3 两条直线的平行与垂直》1
两条直线的垂直
建湖县第一中学 王文勇
一、学习目标
1、掌握用斜率判定两条直线垂直的方法，感受数形结合思想。
2、通过分类讨论，数形结合等数学思想的运用，培养学生思维的严谨性，辩证性。
二、学习重点、难点
重点：用斜率判定两条直线垂直的方法，难点：用斜率相乘判定两条直线垂直
三、学习过程
一复习回顾
两条直线平行的判定方法
二合作探究
当两条直线垂直时，斜率具有何种关系？
三教学建构
1、12121l l k k ⊥⇔=-1、2均存在
思考：如果两条直线1、2中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？反之呢？
练习：判断下列两条直线是否垂直
（1）83
11321+-=+=x y l x y l ：，：；（2）3821-==y l x l ：，：． （3）73464321=+ =- y x l y x l ：，：
； 2、如果1、2的一般式方程为1：A 1B 1C 1=0，2：
A 2
B 2
C 2=0，那么判断两条直线垂直与否只需判断A 1A 2B 1B 2=0是否成立。
四教学运用
例1．已知直线1l ：05)3()2(=-+++y a x a 和直线2l ：05)12(6=--+y a x ，
当实数为何值时，（1）1l ⊥2l ，（2）1l ∥2l ，（3）重合
例2．求过点A2,1且与直线2-10=0垂直的直线的方程。
例3．已知三角形的顶点为A2，4，B1，－2，C－
四．作业。
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2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）
学习目标
1. 掌握用斜率判断两条直线垂直的方法.
2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。
学习过程 一 学生活动
1．过点)3,2(-P 且平行于过两点)5,1()2,1(--N M ，的直线的方程为_______________．
2．直线1l ：04)1(2=+++y m x 与直线2l ：023=-+y mx 平行， 则m 的值为________________．
3．已知点)322,2()322,6()2,4()2,0(++D C B A ，，，，判断四边形ABCD 的形状，
并说明此四边形的对角线之间有什么关系？ 二 建构知识
1.当两条不重合的直线21,l l 的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_____________，反之，若它们的斜率的乘积_____________，那么它们互相
___________，即1l ⊥⇔2l ______________________．当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们______________________．
2．直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直的条件是
12120A A B B +=，
与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay m -+=
三 知识运用 例题
（1）已知四点)11,6()4,3()6,10()3,5(--D C B A ，，，，求证：CD AB ⊥； （2） 已知直线1l 的斜率为4
31=
k ，直线2l 经过点)1,0()2,3(2
+-a B a A ，，
且1l ⊥2l ，求实数a 的值．
如图，已知三角形的顶点为),3,2(),2,1(),4,2(--C B A 求BC 边上的高AD
所在的直线方程．
例
1
例2
x
例3 在路边安装路灯，路宽m 23，且与灯柱成 120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与
灯杆垂直，当灯柱高h 为多少米是，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？
（精确到m 01.0）
巩固练习
1．求满足下列条件的直线l 的方程：
（1）过点)1,3(且与直线0323=-+y x 垂直；
（2）过点)7,5(且与直线03=-x 垂直；
（3）过点)4,2(-且与直线5=y 垂直．
2．如果直线0=+y mx 与直线012=++y x 垂直，则=m ___________________． 3．直线1l ：062=++y ax 与直线2l ：0)1()1(2
=-+-+a y a x 垂直， 则a 的值为____________________．
4．若直线1l 在y 轴上的截距为2，且与直线2l ：023=-+y x 垂直，
则直线1l 的方程是_____________________________．
5．以)4,1()1,2()1,1(C B A ，，--为顶点的三角形的形状是______________________．
四 回顾小结
两直线垂直的等价条件 五 学习评价 基础训练
1. 直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线320x y +-=垂直，则l 方程为_________ 1. 根据条件，判断直线l 1与2l 是否垂直：
1l 的倾斜角为45，2l 的方程为1x y += __________________;
1l 经过点M （1，0），N （4，5），2l 经过点R （-6，0），S （-1，3）：__________.
3.若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直，则,a b 满足____________________.
4.已知两点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上.若ACB ∠=2
π
，则这样的点C 有
_________个.
5. 已知点(0,1),A -点B 在直线10x y -+=上且直线AB 垂直于该直线，则点B 的坐标是_________
6.若原点在直线l 上的射影为(2,1)P ，则直线l 的方程为______________.
7. 求与直线0734=+-y x 垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程．
拓展延伸
8.若三角形的一个顶点是A （2，3），两条高所在的直线的方程为230x y -+=和
40x y +-=，试求此三角形三边所在直线的方程.
9.已知直线l 方程为34120x y +-=，l '与l 垂直，且l '与坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l '的方程.
2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）
1.3x-y+2=0,
2.（1）垂直；（2）不垂直
3.2a-b=0；
4.3 ,
5.（-1,0），
6.2x+y-5=0
7.3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 ,8.2x+y-7=0,x-y+1=0,x+2y-5=0；9. 4x-3y 0±=.。