2012杨春数学物理方程与特殊函数期末考试题评分细则
数学物理方程与特殊函数
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例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
所要研究的物理量：
温度 u(x, y, z,t)
根据热学中的傅立叶试验定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S n
M V
S
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
热场
横向： T cos T 'cos '
纵向： T sin T 'sin ' gds ma y
其中： cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
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T T'
其中： m ds
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方 程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
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思考判断下列方程的类型
2u 2t
a2
2u 2x
x
2u x2
a2
u t
xu
2u x2
a2
2u t 2
u1u源自122u2
0
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
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2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a,t) 0
浅谈工科《数学物理方程》的教学
浅谈工科《数学物理方程》的教学作者：付红斐来源：《科技创新导报》 2011年第28期付红斐(中国石油大学数学学院山东东营 257061)摘要:本文针对目前《数学物理方程》教学中存在的一些问题,结合教学实际,对《数学物理方程》的教学思路、教学准备、教学方法及考核方法等提出了一些改革措施和建议,以激发学生的学习积极性,提高教学质量。
关键词:数学物理方程教学内容教学方法考核方法问题教学法中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)10(a)-0158-01在物理学、力学、工程技术和其它自然学科中,经常会出现大量的偏微分方程,它们反映了未知函数关于时间和空间变量导数之间的制约关系,描述了物理现象和过程的基本规律。
这些来自物理、力学等自然学科的偏微分方程,被称作数学物理方程。
《数学物理方程》作为工科相关专业的一门重要的专业基础课程,对于工科大学生相关课程的学习和将来的工程技术研究至关重要。
然而,近几年在《数学物理方程》的教学安排上,教学总学时在减少,目前我校计划学时为48学时。
对于教师来说,如何在较少的学时内,既能保持原有教学内容的总体框架,又能结合专业知识与特点,使本课程成为一门生动的、充满现代气息的课程,面临着很大的挑战。
而对广大大学生而言,如何从数学和物理的双重角度去学好这门课程,也是相当困难的。
那么,应该怎样教、学这门课程呢？我认为以下几点需要引起重视。
1 把握好课程的主脉以高等教育出版社王元明教授主编的《数学物理方程与特殊函数》为例,简短的概括本教材内容就是:三类典型方程(抛物型方程、双曲型方程和椭圆型方程)、四种主要方法(分离变量法、行波法、积分变换法与格林函数法)和两个特殊函数(贝塞尔函数与勒让德多项式)。
把握好了这个主脉,教学中才能做到有的放矢,游刃有余。
具体来说,每一个物理问题的处理,通常需要三个步骤。
(1)建立数学模型,即利用物理、力学等自然科学定律将“自然科学问题”翻译成“数学问题”(通常为偏微分方程)。
数学物理方程第一章、第二章习题全解
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数学物理方程与特殊函数试题及答案
数学物理方程与特殊函数试题及答案猜你喜欢： 1. 2. 3. 4. 5.数学物理方程与特殊函数是一门专业性比拟强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好数学物理方程与特殊函数。
下面是给大家的数学物理方程与特殊函数试题及答案，欢送大家学习参考。
1.对于一般的二阶线性偏微分方程0(1) 它的特征方程为，假设在域内ACB那么此域内称(1) 椭圆型假设在域内B那么此域内称(1)为抛物型假设在域内 B 那么此域内称(1)为双曲型。
2. 第一类格林公式第二类格林公式 . 已那么 ;而函数按1xP的展开式4.一维热传导方程可用差分方程似代替。
二维拉普拉斯方程可用差分方0 近似代替。
5. 勒让德多项式的正交性???。
二.用别离变量法求?的解。
(15分) 解：用别离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被别离形式的特解为tTxXtxu?代入方程(1)上式左端不含有x，右端不含有t，从而得到两个线性常微分方程解(6)得 x由(2)得，及相应的固有函数为xlnBxXnn?sin? 7?? ，再由(5)得，? 由(7)，(8)得由(1)，(3)得又由(3) 得所以，原定解问题的解为?三.求方程? 的解。
(15分) 解：对(1)两端积分的通解为任意二阶可导函数，令(4)满足(2)，(3)得解之得6(5)，(6)代入(4)得u 四.求柯西问题的解。
(12分) 解;先确定所给方程的特征线。
为此，写出它的特征方程 dy2-2dxdy-3dx20 它的两族积分曲线为作特征变换4?经过变换原方程化它的通解为中21ff 是两个任意二次连续可微的函数。
方程(1)的通解为由(2。
数理方程与特殊函数(杨春)27PPT课件
及其性质。
强调了数理方程和特殊函数在数学建模和科学计算中 的重要性，并提供了相关练习题以帮助学生巩固所学
知识。
介绍了数理方程的基本概念、分类和求解方法 ，包括一阶、二阶常微分方程、偏微分方程等 。
通过实例演示了如何运用数理方程和特殊函数解 决实际问题，包括近似解法和数值解法等。
特殊函数的应用场景
06 数理方程与特殊函数的结 合应用
数理方程与特殊函数的关系
数理方程是描述数学模型中数量关系的一类方程，而特殊函数则是满足某 些特定条件的函数。
数理方程与特殊函数在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、 经济学等。
特殊函数在数理方程中常常作为解或解的组成部分出现，因此理解数理方 程与特殊函数的关系对于解决实际问题至关重要。
数理方程与特殊函数的基本概念、性质、方法和应用。
主题目的
通过学习本课程，使学生掌握数理方程与特殊函数的 基本理论和方法，培养其解决实际问题的能力。
课程目标和意义
课程目标
通过本课程的学习，学生应掌握数理方程与特殊函数的基本理论和方法，能够解 决一些实际问题，提高数学素养和思维能力。
课程意义
数理方程与特殊函数是数学中的重要分支，对于培养学生的数学思维、分析问题 和解决问题的能力具有重要意义。同时，本课程的学习也有助于学生更好地理解 其他数学分支和应用学科，为其未来的学习和工作打下坚实的基础。
04
随着数学教育的普及和深入，数理方程与特殊函数将成为更多学生了 解和掌握的数学工具，为他们的学术和职业发展提供有力支持。
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2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１． 设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２． 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb ac A A B ca b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则M=.解:不妨设01,x y z≤≤≤≤则M=所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M = 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。
1-2_初始条件与边界条件chen
练习题： 考虑长为 l 的均匀杆的导热问题． 若 １．杆的两端温度保持零度；
２．杆的一端为恒温零度，另一端绝热． 写出杆在上面两种情况下的边界条件． 答案： u
= 0, u = 0;
u = 0, u x = 0;
x=0
x=l
x=0
x=l
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偏微分方程要给出 n 个初始条件才能确定一个特 解．
初始条件的个数的确定：关于时间 t 的 n 阶
边界条件的个数的确定：关于空间变量 x 的 n 阶 偏微分方程不一定要给出 n 个边界条件．
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练习题： 若 考虑长为 l 的均匀杆的导热问题． １．杆的两端温度保持零度； ２．杆的一端为恒温零度，另一端绝热． 写出杆在上面两种情况下的边界条件． 答案：
∂u = f . 外法线方向的方向导数,即 ∂n s 2
第二类边界条件.
第一类边界条件. 三是在边界 S 上给出了未知函数 u 及其沿 S
的外法线方向的方向导数某种线性组合的
⎛ ∂u ⎞ + σ u ⎟ = f3 . 值,即 ⎜ ∂n 第三类边界条件. ⎝ ⎠s
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M
初始条件:
u(M ,t)
t=0
= ϕ (M )
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泊松方程与拉 普拉斯方程
泊松方程与拉 普拉斯方程都是描 述稳恒状态的,与初 始状态无关,不提初 始条件.
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数理方程与特殊函数杨春24
k
m
Jk (x)Jm ( y)zkm
k m
J
k
(
x)
J
nk
(
y)
z
n
n k
所以得到：
J n ( x y) J k ( x)J nk ( y)
k
24
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2、整数阶Bessel函数的积分表达式
罗朗展式的系数公式为：
x ( 1 )
Jn
(x)
1
2 i
e2
(一)、贝塞尔方程的引入
例1、 设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度， 且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律
定解问题为：
u
t
a2
2u x2
2u y 2
,
x2 y2 R2
u t0 x, y
u x2 y2 R2 0
采用分离变量法求解
1
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x
例2、求如下贝塞尔方程通解
x2
d2y dx2
x
dy dx
(x2
1)y 4
0
解：这是1/2阶贝塞尔方程
J 1 (x)
2
2 sin x
x
J1 (x) 2
2 cos x
x
y C1
2
x
sin
x
C2
2 cos x
x
16
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整数阶贝塞尔函数
性质：对于n 阶整数阶贝塞尔函数有：
证明：
Jn (x) (1)n Jn (x)
y AJ n ( x) BYn ( x)
20
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(三)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式
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2012年数学物理方程与特殊函数期末考试题评分细则
1、(10分) 把方程22222320u u u x x y y
∂∂∂++=∂∂∂∂化为标准型，指出其类型，求出其通解。
解：2
1211229204a a a ∆=-=
->，方程属于双曲型。
2分 特征方程为：2320dy dy dx dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，于是得： 122,y x C y x C -=-= 2分
所以，令：2y x y x ξη=-⎧⎨=-⎩，则：2111x y x
y Q ξξηη-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 111212223110212122113
1112022a a a a ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 120,0,0b L c b L c c f ξξηη=-==-===
所以，标准型为：0u ξη=； 4分
两边积分：()u c ξξ=，两边再积分得112()()()()u c d c f f ξξηξη=+=+⎰
所以，方程通解为：12(,)(2)()u x y f y x f y x =-+-。
2分
2、(20分) 长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ϕ，求杆内温度分布(,)u x t 。
解：定解问题为： 200(0)0,0,()
t xx x x x l t u a u x l u u u x ϕ===⎧=<<⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 4分 分离变量得固有值为：22
2
1()2,(0,1,2.....)n n n l πλ+== 2分 固有函数为：12()sin n n X x x l
π+= 2分
另一个常微分方程的解为：2222(21)4(),0,1,2....n a t l n n T t A e
n π+-== 2分 于是：2222(21)412(,)sin ,(0,1,2,.....)n a t l n n n u x t a e
x n l ππ+-+== 1分 一般解为：
2222(21)4012(,)sin n a t
l n n n u x t a e
x l ππ++∞-=+=∑ 4分
由初始条件得：
012()sin
n n n x a x l ϕπ+∞=+=∑ 2分 所以：0(21)()sin ,(0,1,2,....)2l n n x a x dx n l
πϕ+==⎰ 2分 2222(21)4001(21)2(,)()sin sin 2n a t
l l n n n x u x t x dx e x l l ππϕπ++∞-=++⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰ 1分。
2、(10分)设定解问题：
2000(),0,0,,0
(),(),0.
tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ϕψ====⎧-=<<>⎪⎪==>⎨⎪==≤≤⎪⎩ 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。
解：令(,)(,)()u x t V x t w x =+ 2分
代入原定解问题中得：
22000()(),0,0(,)(),(,)(),0(,)()(),(),0.
tt xx x x l t t t V a V a w x f x x l t V x t w x A V x t w x B t V x t x w x V x x l ϕψ====⎧''--=<<>⎪⎪+=+=>⎨⎪=+=≤≤⎪⎩ 4分 于是定解问题可分解为： (1) 20000,0(,)0,(,)0,0(,)()(),(),0.
tt xx x x l t t t V a V x l t V x t V x t t V x t x w x V x x l ϕψ====⎧-=<<>⎪⎪==>⎨⎪=+=≤≤⎪⎩与
(2)、20()(),0(),()x x l a w x f x x l w x A w x B
==''⎧-=<<⎪⎨==⎪⎩ 对于(2)容易求出其解，将其解代入(1)，得到可直接分离变量定解问题。
4分。