人教版高中物理必修一：追及和相遇问题(教师版)

追及和相遇问题____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握各种运动学公式；2.掌握运动学图像的分析与使用；3.明确相遇、距离最大或最小等临界条件。

一、运动学图像1.x-t图像(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。

(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向。

2.v-t图像(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。

(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向。

(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移的大小。

②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示位移方向为负。

二、对运动图像物理意义的理解1.一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图像是描述哪两个物理量之间的关系。

2.二看“线”：图像表示研究对象的变化过程和规律。

在v-t图像和x-t图像中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况。

3.三看“斜率”：x-t图像中斜率表示运动物体的速度大小和方向。

v-t图像中斜率表示运动物体的加速度大小和方向。

4.四看“面积”：即图线和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义。

例如v和t的乘积vt=x有意义，所以v-t图线与横轴所围“面积”表示位移，x-t图像与横轴所围“面积”无意义。

5.五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，例如t=0时的位移或速度。

6.六看“特殊点”：例如交点、拐点(转折点)等。

例如x-t图像的交点表示两质点相遇，但v-t 图像的交点只表示速度相等。

注意：1.x-t图像、v-t图像都不是物体运动的轨迹，图像中各点的坐标值是x、v与t一一对应。

2.x-t图像、v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。

3.无论是x-t图像还是v-t图像，所描述的运动情况都是直线运动。

因为如果是曲线运动，两个坐标轴不够用。

运动用图像法的好处。

1.用图像解题可使解题过程简化，思路更清晰，而且比解析法更巧妙、更灵活。

在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是图像法则会使你豁然开朗。

2.利用图像描述物理过程更直观。

物理过程可以用文字表述，也可以用数学式表达，还可以用物理图像描述。

如果能够用物理图像描述，一般来说会更直观且容易理解。

三、追及与相遇的条件追及与相遇的最简单条件就是两物体的坐标x相同。

（一）追及问题图像①②③匀速追匀减速④能追及且只能相遇一次开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：①若Δx=x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若Δx<x0，则不能追及，此时两物体最小距离为x0-Δx③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1=x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇②x0是开始追及以前两物体之间的距离；③t2-t0=t0-t1；④v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度。

（二）相遇问题这一类：同向运动的两物体的相遇问题，即追及问题。

第二类：相向运动的物体，当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇。

解此类问题首先应注意先画示意图，标明数值及物理量；然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时，还要注意该物体是否停止运动了。

（三）求解追及问题的分析思路1.根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系。

2.通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式。

追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同。

3.寻找问题中隐含的临界条件。

例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等。

利用这些临界条件常能简化解题过程。

4.求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次函数求极值，及应用图像法和相对运动知识求解。

类型一：通过公式分析计算例1.物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。

解析：解法一：物理分析法A做v A=10 m/s的匀速直线运动，B做初速度为零、加速度a=2m/s2的匀加速直线运动。

根据题意，开始一小段时间内，A的速度大于B的速度，它们间的距离逐渐变大，当B的速度加速到大于A的速度后，它们间的距离又逐渐变小；A、B间距离有最大值的临界条件是v A=v B①设两物体经历时间t相距最远，则v A=at②把已知数据代入①②两式联立得t=5s在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为x A=v A t=10×5 m=50 mx B=12at2=12×2×52 m=25mA、B再次相遇前两物体间的最大距离为Δx m=x A-x B=50 m-25 m=25 m解法二：相对运动法因为本题求解的是A、B间的最大距离，所以可利用相对运动求解。

选B为参考系，则A相对B 的初速度、末速度、加速度分别是v 0=10 m/s 、v t =v A -v B =0、a=-2 m/s 2。

根据v t 2-v 0=2ax ．有0-102=2×(-2)×x AB 解得A 、B 间的最大距离为x AB =25 m解法三：极值法物体A 、B 的位移随时间变化规律分别是x A =10t ，x B =12at 2=12×2×t 2=t 2则A 、B 间的距离，Δx=10t-t 2可见，Δx 有最大值，且最大值为Δx m =4×(-1)×0-1024×(-1)m=25m解法四：图像法根据题意作出A 、B 两物体的v-t 图像，如图1-5-1所示．由图可知，A 、B 再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是v A =v B ，得t 1=5 s ．A 、B 间距离的最大值数值上等于ΔOv A P 的面积，即Δx m =12×5×10 m=25m ．例.甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。

在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。

求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

解析：设汽车甲在第一段时间间隔末（时刻t 0）的速度为v ，第一段时间间隔内行驶的路程为x 1，加速度为a ，在第二段时间间隔内行驶的路程为x 2，由运动学公式有，v=at 0①x 1=12at 02② x 2=vt 0+122at 02③设汽车乙在时刻t 0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为x 1′、x 2′，同理有， v′=2at 0④ x 1′=122at 02⑤x 2′=v′t 0+12at 02⑥设甲、乙两车行驶的总路程分别为x 、x′，则有 x=x 1+x 2⑦ x′=x 1′+x 2′⑧联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶路程之比为 x x ′=57 答案：57甲、乙两物体相距s ，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零、加速度为a 1的匀加速直线运动，乙在后做初速度为v 0，加速度为a 2的匀加速直线运动，则（ ）A ．若a 1=a 2，则两物体可能相遇一次B ．若a 1>a 2，则两物体可能相遇二次C ．若a 1<a 2，则两物体可能相遇二次D．若a1>a2，则两物体也可相遇一次或不相遇解析：设乙追上甲的时间为t，追上时它们的位移有v0t+12a2t2-12a2t2=x上式化简得：(a1-a2)t2-2v0t+2s=0解得：t=2v0±4v02-8s(a1-a2)2(a1-a2)(1)当a1>a2时，判别式Δ的值由v0、a1、a2、s共同决定，且△<2v0，而Δ的值可能小于零、等于零、大于零，则两物体可能不相遇，相遇一次，相遇两次，所以选项B、D正确。

(2)当a1<a2时，t的表达式可表示为t=-2v0±4v02-8s(a2-a1)2(a2-a1)显然，Δ一定大于零。

且△>2v0，所以t有两解。

但t不能为负值，只有一解有物理意义，只能相遇一次，故C选项错误。

(3)当a1=a2时，解一元一次方程得t=s/v0，一定相遇一次，故A选项正确。

答案：A、B、D类型二：通过图像分析计算例2.如图所示是甲、乙两物体从同一地点，沿同一方向做直线运动的v-t图像，由图像可以看出（）A．这两个物体两次相遇的时刻分别是1s末和4s末B．这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末C．两物体相距最远的时刻是2s末D．4s末以后甲在乙的前面解析：从图像可知两图线相交点1s末和4s末是两物速度相等时刻，从0→2s，乙追赶甲到2s 末追上，从2s开始是甲去追乙，在4s末两物相距最远，到6s末追上乙。

故选B。

例甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公路上自西向东运动，开始时刻两车平齐，相对于地面的v-t图像如图所示，关于它们的运动，下列说法正确的是（）A．甲车中的乘客说，乙车先以速度v0向西做匀减速运动，后向东做匀加速运动B．乙车中的乘客说，甲车先以速度v0向西做匀减速运动，后做匀加速运动C．根据v-t图像可知，开始乙车在前，甲车在后，两车距离先减小后增大，当乙车速度增大到v0时，两车恰好平齐D．根据v-t图像可知，开始甲车在前，乙车在后，两车距离先增大后减小，当乙车速度增大到v0时，两车恰好平齐解析：甲车中的乘客以甲车为参考系，相当于甲车静止不动，乙车以初速度v0向西做减速运动，速度减为零之后，再向东做加速运动，所以A正确；乙车中的乘客以乙车为参考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速度v0向东做减速运动，速度减为零之后，再向西做加速运动，所以B错误；以地面为参考系，当两车速度相等时，距离最远，所以C、D错误。

选A。

例如图3所示的位移-时间和速度-时间图像中，给出的四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．下列描述正确的是（）图1-5-3图3A ．图线1表示物体做曲线运动B ．x-t 图像中t 1时刻v 1>v 2C ．v-t 图像中0至t 3时间内3物体和4物体的平均速度大小相等D ．图线2和图线4中，t 2、t 4时刻都表示物体反向运动解析：图像题第一步先看坐标轴的意义。