高等数学1-4

(1.4.5)有 有
因此 lim sin x = sin a .
x →a
的证明, 由下式即得: 关于 lim cos x = cos a 的证明 由下式即得
xa x+a | cos x cos a |= 2 | sin || sin |. 2 2
x→a
1.4.3 函数的单侧极限
1 x, 设 f ( x) = 2 x + 1, 证明 lim f ( x ) = 1.
要使 f ( x ) A < ε ,
只要取 δ = ε ,
x 1 ∴ lim = 2. x →1 x 1
2
x2 1 当0 < x x 0 < δ时, 就有 2 < ε, x 1
例5
证明 : 当x0 > 0时, lim
x → x0
x=
x0 .
证 ∵ f ( x) A =
x x0 =
x x0 x x0 , ≤ x + x0 x0
2 . x → ∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → ∞
0
ε > 0, X > 0, 使当x < X时, 恒有 f ( x ) A < ε .
lim 定理 : lim f ( x ) = A x → +∞ f ( x ) = A且 lim f ( x ) = A. x → ∞ x →∞
∴ sin x < x < tan x , (0 < x <
π
2
)
其次, 其次 当 x ≥
π
2
时, 有 sin x ≤ 1 < x , 故对一切
x > 0都有 sin x < x; 而当 x < 0时有 sin( x ) < x ,
综合起来, 有不等式 综合起来
| sin x |≤| x |,
左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等 ∴ lim f ( x ) 不存在. x →0
1.4.4 函数极限的性质 定理1.4.2 局部有界性 局部有界性) 定理1.4.2 (局部有界性
lim 的一个去心邻域, 设 x → x f ( x ) = A, 则存在 x 0 的一个去心邻域 使
→
0
f(x)在该邻域内有界 在该邻域内有界. 在该邻域内有界 定理1.4.3 局部保号性 局部保号性) 定理1.4.3 (局部保号性
3.几何解释 几何解释: 几何解释
y=
ε A
sin x x
X
ε
X
当x < X或x > X时, 函数 y = f ( x )图形完全落在以 直线y = A为中心线 , 宽为 2ε的带形区域内 .
sin x = 0. 例1 证明 lim x →∞ x
1 sin x sin x < 1 证 ∵ < = ε, 0 = x X x x
任给 ε > 0, 要使 f ( x ) A < ε ,
只要 x x 0 <
x 0 ε 且不取负值 . 取δ = min{ x 0 , x 0 ε },
当0 < x x 0 < δ时, 就有 x
x0 < ε,
∴ lim x =
x → x0
x0 .
C
例6 根据定义证明
B
lim sin x = sin a ,
x → x0
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A(当x → x 0 )
"ε δ"定义 ε > 0, δ > 0, 使当0 < x x 0 < δ时,
恒有 f ( x ) A < ε.
1 注意： 注意： .函数极限与 f ( x )在点 x 0 是否有定义无关 ;
2.δ与任意给定的正数 ε有关 .
(1.4.5)
时成立. 其中等号仅当 x = 0 时成立
下面证明等式(1.4.2). 由三角函数性质及不等式 下面证明等式
x+a xa | sin x sin a |= 2 | cos | . | sin | 2 2 xa | xa| | ≤ 2. ≤ 2 | sin =| x a |, 2 2 故对任意的 ε > 0, 取 δ = ε , 则当 0 <| x a |< δ 时, | sin x sin a |≤| x a |< δ = ε ,
ε > 0, δ > 0, 使当x 0 δ < x < x 0时,
x → x0 0 ( x → x0 )
恒有 f ( x ) A < ε. 记作 lim f ( x ) = A 或
f ( x )当
f ( x 0 0) = A.
x 趋于 x0 时的右极限 时的右极限:
ε > 0, δ > 0, 使当x 0 < x < x 0 + δ时,
y=
sin x x
1 ε > 0, 取 X = , 则当 x > X时恒有 ε
sin x 0 < ε, x
x →∞
sin x 故 lim = 0. x→∞ x
定义 : 如果 lim f ( x ) = c , 则直线 y = c是函数 y = f ( x ) 的图形的水平渐近线 .
1.4.2 x → x0 时函数的极限
2.几何解释 几何解释: 几何解释
当x在x 0的去心 δ邻 域时,函数y = f ( x ) 图形完全落在以直 线y = A为中心线, 宽为2ε的带形区域内.
A+ε A Aε
y
y = f (x )
o
x0 δ
δ
δ
x0
x0 + δ
x
显然 , 找到一个 δ后, δ越小越好 .
例2 证明 lim C = C , (C为常数 ).
x → x0 x → x0
f ( x) lim lim 也存在, 如果 x → x g( x ) ≠ 0, 则 x → x0 g ( x ) 也存在 且等于 0
x → x0
lim f ( x )
x → x0
lim g ( x )
.
定理1.4.5中的 x → x0 可换成 注 定理 中的
x → x 0 0, x → x 0 + 0, x → ∞ .
lim f ( x ) = A x →∞ ≠ ε > 0, X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) A < ε . ≥
2.另两种情形 另两种情形: 另两种情形
10 . x → +∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → +∞
ε > 0, X > 0, 使当x > X时, 恒有 f ( x ) A < ε .
x → x0
证 任给 ε > 0, 任取 δ > 0, 当0 < x x 0 < δ时,
f ( x ) A = C C = 0 < ε成立, ∴ lim C = C . x→ x
0
例3
证明 lim x = x 0 .
x → x0
证 ∵ f ( x ) A = x x 0 , 任给 ε > 0, 取δ = ε ,
lim[ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x );
x → x0 x → x0
lim[cf ( x )] = c lim f ( x ), c为常数； 为常数；
x → x0 x → x0
x → x0
lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ). lim g( x );
f ( x ) A < ε 表示 f ( x ) A 任意小 ; x > X 表示x → ∞的过程 .
1. 定义:
定义 1 f(x)在（-∞,a）及(b,+ )上有定义，如果对 ( ) ,+∞) , ） ,+ 上有定义， 不论它多么小), ),总存在着正数 于任意给定的正数 ε (不论它多么小),总存在着正数
1.4 函数的极限 1.4.1 当 x → ∞ 时函数的极限
sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x
播放
问题: 过程中, 问题:函数 y = f ( x ) 在 x → ∞ 的过程中 对应 无限趋近于 趋近于确定值 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: 通过上面演示实验的观察 sin x 当 x 无限增大时 , f ( x ) = 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近” 问题 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
定理 : lim f ( x ) = A f ( x 0 0) = f ( x 0 + 0) = A.
x → x0
x 例7 验证 lim 不存在. x→0 x x x lim = lim 证 x → 0 0 x x → 0 0 x
= lim ( 1) = 1
x→ 0 0 →
y
1
o
x
1
x x lim = lim = lim 1 = 1 x →0+ 0 x x → 0+ 0 x x→ 0 + 0 →
X ,使得对于适合不等式 x > X 的一切 x ,所对应的函
数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A < ε ,那末常数 A 就 时的极限, 叫函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限,记作
lim f ( x ) = A 或
x→∞
f ( x ) → A(当x → ∞ )
"ε X"定义