2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟新题重组：单元检测六 数列 含答案 精品
2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟
单元检测五 平面向量考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018届邯郸摸底考试)在△ABC 中，若AB →＋AC →＝4AP →，则PB →等于( ) A.34AB →－14AC → B ．－34AB →＋14AC →C ．－14AB →＋34AC →D.14AB →－34AC → 2．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．菱形 B ．邻边不等的平行四边形 C ．梯形D ．不能构成平行四边形3．(2017·重庆调研测试)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(1，3), 若a ⊥b ，则|a |等于( ) A. 2 B. 3C ．2D ．44．(2018届周口摸底考试)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(λ，－3)，若a ∥b ，则实数λ的值为( ) A ．－32 B.32C ．6D ．－65．(2017·池州联考)已知向量a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝2，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π66．(2017·石嘴山三模)已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0 ，AB →·AC →＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( ) A.12 B.33C.32D.237．(2017·高台检测)已知平面向量a ，b ，满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.328．(2018·长春调研)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ＝－b9．(2017·遂宁三诊)已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ＝(3，－4)，|b |＝2，则|a ＋2b |等于( )A ．221B ．7C.61 D ．6110．(2017·西城区二模)设a ，b 是平面上的两个单位向量，a ·b ＝35.若m ∈R ，则|a ＋m b |的最小值是( )A.34B.43C.45D.5411．在直角△ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥P A →·PB →，则λ的最大值是( ) A ．1 B.2－22C.22D. 212．已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．化简：AB →＋CD →＋BC →＝________.14．已知△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝__________.15．在Rt △AOB 中，OA →·OB →＝0，|OA →|＝5，|OB →|＝25，AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，若OE →·EA →＝34，则向量EA →在向量OD →上的射影为________．16．(2018届湖南益阳、湘潭调研)已知非零向量a ，b 满足：a·b ＝0，|a ＋b |＝t |a |，若a ＋b 与a －b 的夹角为π3，则t 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)． (1)求a －2b 的坐标；(2)当k 为何值时，k a ＋b 与a －2b 共线．18．(12分)(2018·合肥调研)已知在△ABC 中，点A 的坐标为(1,5)，边BC 所在直线方程为x －2y ＝0，边BA 所在直线方程为2x －y ＋m ＝0.(1)求点B 的坐标；(2)求向量BA →在向量BC →方向上的射影．19.(12分)(2018·安庆模拟)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.20．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝OA →＋OB →，证明：四边形OACB 为菱形； (2)当两个向量4a ＋b 与a －4b 的模相等时，求角α.21.(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．22．(12分)(2018·马鞍山调研)在△ABC 中，AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM →与CN →交于点P ，且AP →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，求x ＋y 的值．答案精析1．A 2.B 3.C 4.C 5.C6．B [因为OA →＋OB →＋OC →＝0，所以OA →＋OB →＝－OC →，所以O 为△ABC 的重心，所以△OBC 的面积为△ABC 面积的13，因为AB →·AC →＝2，所以|AB →|·|AC→|cos ∠BAC ＝2，因为∠BAC ＝60°，所以|AB →|·|AC →|＝4， △ABC 的面积为12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为33，故选B.] 7．D 8.D 9.C10．C [依题意， |a |＝|b |＝1，则|a ＋m b |＝a 2＋2m a ·b ＋m 2b 2 ＝m 2＋65m ＋1＝⎝⎛⎭⎫m ＋352＋1625，所以当m ＝－35时，|a ＋m b |有最小值1625＝45，故选C.] 11．A [因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →， 故由CP →·AB →≥P A →·PB →可得2λ－1≥－2λ(1－λ)， 即2λ－1≥－2λ＋2λ2，即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ， 所以1－22≤λ≤1，故选A.] 12．A [由2OP →＝xOA →＋yOB →，得OP →＝x 2OA →＋y 2OB →，由P A →＝λAB →(λ∈R )得P ，A ，B 三点共线，所以x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0，故选A.]13.AD →解析 AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.14．－12解析由图可知，CE →＝12(CD →＋CA →)＝12⎝⎛⎭⎫23CB →－AC → ＝13(AB →－AC →)－12AC → ＝13AB →＋⎝⎛⎭⎫－56AC →. ∴m ＋n ＝13－56＝－12.15.12或32解析 由等面积法求得OD ＝2，设|ED →|＝x ，则|OE →|＝2－x ，因为OD ⊥AB ，所以OE →·AD →＝0，所以OE →·EA →＝OE →·(ED →＋DA →)＝OE →·ED →＝(2－|ED →|)|ED →|＝x (2－x )＝34，所以x ＝12或32.16.233解析 因为a·b ＝0，所以(a ＋b )2＝(a －b )2， 即|a ＋b |＝|a －b |.又|a ＋b |＝t |a |， 所以|a ＋b |＝|a －b |＝t |a |. 因为a ＋b 与a －b 的夹角为π3，所以(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝cos π3.整理得，|a |2－|b |2t 2|a |2＝12，即(2－t 2)|a |2＝2|b |2.又|a ＋b |＝t |a |，平方得，|a |2＋|b |2＝t 2|a |2. 所以|a |2＋(2－t 2)|a |22＝t 2|a |2，解得t 2＝43.由t >0，所以t ＝233.17．解 (1)a －2b ＝(1,2)－2(－3,2)＝(7，－2)， (2)k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －2b ＝(1,2)－2(－3,2)＝(7，－2)，∵k a ＋b 与a －2b 共线，∴7(2k ＋2)＝－2(k －3)，∴k ＝－12.18．解 (1)∵BA 所在直线2x －y ＋m ＝0过点A (1,5)， ∴2－5＋m ＝0即m ＝3，∴BA 所在直线方程为2x －y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，2x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，∴点B 坐标为(－2，－1)． (2)由几何关系得，设BA 所在直线倾斜角为α，BC 所在直线倾斜角为β，则tan α＝2，tan β＝12，tan ∠ABC ＝tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－121＋2×12＝34，∴cos ∠ABC ＝45.∴向量BA →在向量BC →方向上的射影为|BA →|cos ∠ABC ＝(－2－1)2＋(－1－5)2×45＝1255.19．解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， ∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.即a 与b 的夹角θ为π.20．(1)证明 ∵OC →＝OA →＋OB →，∴四边形OACB 为平行四边形， 又|OA →|＝|OB →|＝1，∴四边形OACB 为菱形．(2)解 由题意|4a ＋b |＝|a －4b |，得(4a ＋b )2＝(a －4b )2. 又由(1)知，a 2－b 2＝0，∴a·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0，得tan α＝33.又0≤α<2π，∴α＝π6或7π6.21．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )， c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π， 则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴当t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<5π4， ∴x ＋π4＝7π6，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a ||b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.22．解 (1)在△ABC 中，AM →＝34AB →＋14AC →，4AM →＝3AB →＋AC →，3(AM →－AB →)＝AC →－AM →，即3BM →＝MC →，即点M 是线段BC 靠近B 点的四等分点. 故△ABM 与△ABC 的面积之比为14.(2)因为AM →＝34AB →＋14AC →，AM →∥AP →，AP →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，所以x ＝3y, 因为N 为AB 的中点，所以NP →＝AP →－AN →＝xAB →＋yAC →－12AB →＝⎝⎛⎭⎫x －12AB →＋yAC →， CP →＝AP →－AC →＝xAB →＋yAC →－AC → ＝xAB →＋(y －1)AC →，因为NP →∥CP →，所以⎝⎛⎭⎫x －12(y －1)＝xy ， 即2x ＋y ＝1，又x ＝3y ， 所以x ＝37，y ＝17，所以x ＋y ＝47.。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测六+数 列+Word版含答案
单元检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n }中的b 2，b 3，b 4，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝2n B ．b n ＝3n C ．b n ＝2n －1D ．b n ＝3n －12．(2018·新余模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＝－4，a 4＋a 6＝16，则它的前10项和S 10等于( )A ．138 B. 95 C ．23 D. 1353．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．4 2 B ．6 C ．7 D ．5 24．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．55．(2018届长春一模)在等差数列{}a n 中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．96．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．67．(2017·亳州质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－38．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( )A ．2n －1B.12n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.⎝⎛⎭⎫32n －19．(2017·长沙二模)已知数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N *)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．(2018·九江模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．511．正项等比数列{}a n 中，a 2 017＝a 2 016＋2a 2 015.若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( ) A ．1 B. 35 C. 32 D. 13612．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{a n }满足f (a n ＋1)·f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1(n ∈N *)，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( ) A ．f (a 2 013)>f (a 2 016) B ．f (a 2 014)>f (a 2 017) C ．f (a 2 016)<f (a 2 015) D ．f (a 2 013)>f (a 2 015)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n,2a 7－a 8＝5，则S 11＝________.14．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1＝______.15．(2018届吉林联考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝0，若a n ＋1＝[1＋(－1)n ]a n ＋(－2)n (n ∈N *)，则S 100＝______.16．(2017·吉林调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{a n }的通项公式a n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．18．(12分)(2018·西安模拟)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式．19.(12分)(2017·河南息县检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且8a 1＋6a 2＝5a 3＞0，S 6＝6332.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝－log 2a n ，c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .21.(12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12na ，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，在数列{b n }中，b 1＝1，b n ＋1＝2b n ＋3，n ∈N *.(1)求证：{b n ＋3}是等比数列；(2)若c n ＝log 2(b n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和R n ；(3)求数列{a n b n }的前n 项和T n .答案精析1．A [设成等差数列的三个正数为a －d ，a ，a ＋d ， 即有3a ＝12，得a ＝4，根据题意可得4－d ＋1,4＋4,4＋d ＋11成等比数列， 即5－d,8,15＋d 成等比数列，即有(5－d )(15＋d )＝64，解得d ＝1(d ＝－11舍去)， 即有4,8,16成等比数列，可得公比为2， 则数列{b n }的通项公式为b n ＝b 22n －2＝4×2n －2＝2n .故选A.]2．B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－4，a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝2a 1＋8d ＝16，解得d ＝3，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－4)＋5×9×3＝95，故选B.]3．D [由a 1a 2a 3＝5得a 32＝5，由a 7a 8a 9＝10得a 38＝10，又a 25＝a 2a 8，∴a 65＝a 32a 38＝50，∴a 4a 5a 6＝a 35＝52， 故选D.]4．C [设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，所以－2da 5＝2da 6，于是a 5＋a 6＝0，由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝0，故选C.]5．C [因为等差数列{}a n 中，|a 6|＝|a 11|，且d >0，所以a 6<0，a 11>0，a 6＝－a 11，a 1＝－152d ，有S n ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时前n 项和取最小值．故选C.]6．D [由等差数列的性质可得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，解得a 5＝－3，又a 1＝－11，设公差为d, 所以a 5＝a 1＋4d ＝－11＋4d ＝－3，解得d ＝2，则a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，所以当n ＝6时，S n 取最小值，故选D.] 7．A [设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d .所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝2，故选A.]8．D [∵a 1＝1，S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＝2(S n ＋1－S n )，化为S n ＋1＝32S n .∴数列{S n }是等比数列，首项为1，公比为32，则S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选D.]9．B [由题设a n ＝1＋(n －1)d,81是该数列中的一项，即81＝1＋(n －1)d ，所以n ＝80d ＋1，因为d ，n ∈N *，所以d 是80的因数，故d 不可能是3.] 10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N *)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数．即正整数n 的个数是5.]11．C [设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题设得q 2＝q ＋2，解得q ＝2，q ＝－1(舍去)，由a m a n ＝a 21qm＋n －2＝16a 21得m ＋n －2＝4，所以m ＋n ＝6，4m ＋1n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎫4＋1＋4n m ＋m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当4n m ＝mn，即m ＝4，n ＝2时“＝”成立．故选C.]12．D [令x ＝y ＝0，得f (0)f (0)＝f (0)，解得f (0)＝1或f (0)＝0，当f (0)＝0时，f (x )＝0与当x <0时，f (x )>1矛盾，因此f (0)＝1，令y ＝－x ，得f (x )f (－x )＝f (0)＝1， 所以当x >0时，0<f (x )<1，设x 1>x 2，则f (x 2－x 1)>1，f (x 1)f (x 2－x 1)＝f (x 2)， 所以f (x 2)>f (x 1)，因此y ＝f (x )为单调减函数，从而由f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1＝f (0)，得a n ＋1＋11＋a n ＝0，所以a n ＋2＝－1＋a n a n ，a n ＋3＝a n ，f (a 2 013)＝f (a 2 016)，f (a 2 014)＝f (a 2 017)，f (a 2 016)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)， f (a 2 013)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)，故选D.] 13．55解析 2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5， S 11＝a 1＋a 112·11＝11a 6＝55.14．3解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ， S 4＝4a 1＋6d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，即d (d －2a 1)＝0， 解得d ＝2a 1，则a 2a 1＝a 1＋d a 1＝a 1＋2a 1a 1＝3.15.2－21013解析 当n 为奇数时，a n ＋1＝(－2)n ，则a 2＝(－2)1，a 4＝(－2)3，…，a 100＝(－2)99，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ＋(－2)n ＝2a n ＋2n ，则a 3＝2a 2＋22＝0，a 5＝2a 4＋24＝0，…，a 99＝2a 98＋298＝0，又a 1＝0， ∴S 100＝a 2＋a 4＋…＋a 100＝2－21013.16．2n解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，所以f ()x ＝a ()x －1()x －2＝a (x 2－3x ＋2)，f ′(x )＝a (2x －3)，则x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －a ()x 2n －3x n ＋2a ()2x n －3＝x 2n －22x n －3，则x n ＋1－2＝x 2n －22x n －3－2＝(x n －2)22x n －3， x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－1＝(x n －1)22x n －3，即x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，又因为a n ＝ln x n －2x n －1且a 1＝2，所以a n ＋1＝2a n ，即数列{}a n 为等比数列，且通项公式为a n ＝2n .17．解 (1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10，所以当n <5时，b n <0; 当n ＝5时，b n ＝0；当n >5时，b n >0. 由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20. 18．解 (1)由2b 1＝a 1＋a 2，可得a 2＝2b 1－a 1＝24. 由a 22＝b 1b 2，可得b 2＝a 22b 1＝36.(2)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数， 所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1， 因此数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)，n ≥2. 当n ＝1时，a 1＝8，满足该式，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)． 19．解 (1)由S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)，得S n ＝1－12a n ，∴当n ＝1时，S 1＝1－12a 1，得a 1＝23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－12a n －⎝⎛⎭⎫1－12a n －1 ＝12a n －1－12a n ，a n a n －1＝13， ∴{a n }是等比数列，且公比为13，首项a 1＝23，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n.(2)由(1)及S n ＋12a n ＝1得，1－S n ＋1＝12a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1， ∴b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝n ＋1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ， ∵a 3＝a 1q 2，5a 3＞0，∴a 1＞0，∵8a 1＋6a 2＝5a 3，∴8a 1＋6a 1q ＝5a 1q 2， ∴8q 2＋6q －5＝0，∴q ＝12或－54，∵S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝6332，∴a 1＝1，q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n －1.(2)b n ＝－log 2a n ＝－log 221－n ＝n －1，c n ＝a n b n ＝n －12n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝020＋12＋222＋…＋n －12n －1，12T n ＝02＋122＋223＋…＋n －12n ， ∴12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1－n －12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n －12n＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n ，∴T n ＝2－n ＋12n －1.21．解 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1×(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .22．(1)证明 因为b n ＋1＋3b n ＋3＝2b n ＋3＋3b n ＋3＝2且b 1＋3＝4，所以{b n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，则c n ＝log 2(b n ＋3)＝n ＋1，1c n c n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，R n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋4. (3)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3也符合上式， 综上，a n ＝4n －1，n ∈N *. 所以a n b n ＝(4n －1)·(2n ＋1－3)＝(4n －1)·2n ＋1－3(4n －1)，设数列{(4n －1)·2n ＋1}的前n 项和为Q n ，则Q n ＝3·22＋7·23＋11·24＋…＋(4n －5)·2n ＋(4n －1)·2n ＋1，2Q n ＝3·23＋7·24＋…＋(4n －5)·2n ＋1＋(4n －1)·2n ＋2，所以－Q n ＝12＋4(23＋24＋…＋2n ＋1)－(4n －1)·2n ＋2＝12＋4·8(1－2n －1)1－2－(4n －1)·2n ＋2＝(5－4n )·2n ＋2－20，所以Q n ＝(4n －5)·2n ＋2＋20，所以T n ＝Q n ＋3n －12×n (n ＋1)21 ＝(4n－5)·2n＋2＋20－6n2－3n.2。
2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟
单元检测七 不等式考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}2．不等式3＋5x －2x 2>0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，3 C ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(3，＋∞) 3．(2018·开封模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则a ＋b 等于( ) A ．－6 B ．6C ．－25D ．254．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．25．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1或x >3}B ．{x |－3<x <－1或x >2}C ．{x |x <－3或－1<x <2}D ．{x |x <－3或x >2}6．(2018届永州一模)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD ⊥AB 于点C ，设AC ＝a ，BC ＝b ，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为( )A ．b ＋m a ＋m >b a (b >a >0，m >0)B ．a 2＋b 2≥22(a ＋b )(a >0，b >0) C ．2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D ．a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)7．已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，238．(2018·烟台模拟)已知a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则mn 的最大值为( ) A ．8 B ．4C ．2D ．19．(2017·黔东南州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝x 2＋y 2的最大值是( ) A ．43 B ．522C ．73D ．3 210．(2018届山西名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝|x －3y |的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．611．若x ，y ，a 是正实数，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( ) A ．22B ． 2C ．2D ．1212．已知k ≥－1，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，y ≥k ，且y ＋1x的最小值为k ，则k 的值为( ) A ．2－25B ．2±25C ．3－52D ．3±52第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2017·广东七校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y ≤2，若目标函数z ＝x －y 的最大值为a ，最小值为b ，则a ＋b ＝________. 14．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y >0，y ≤x ，|x |＋|y |≤1，则z ＝x ＋y 的最大值为________．15．(2017·深圳调研)若函数f (x )＝x ＋mx －1(m 为大于0的常数)在(1，＋∞)上的最小值为3，则实数m 的值为________．16．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC→|AC →|，则△PBC 面积的最小值为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．18．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．19.(12分)(2018届河北衡水中学测试)已知函数f (x )＝log 4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤116，4的值域是集合A ，关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫123x ＋a >2x(a ∈R )的解集为B ，集合C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5－x x ＋1≥0，集合D ＝{x |m ＋1≤x <2m －1}(m >0)．(1)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围； (2)若D ⊆C ，求实数m 的取值范围．20．(12分)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N ＋)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润10⎝⎛⎭⎫a －3x500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21.(12分)(2018届贵阳普通高中摸底)已知函数f (x )＝x ＋|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥6的解集M ；(2)记(1)中集合M 中元素最小值为m ，若a ，b 是正实数，且a ＋b ＝m ，求⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值．22．(12分)(2017·衡水中学模拟)园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ(弧度)的扇形景观水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1 000元．(1)当r 和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值； (2)若要求步道长为105米，则可设计出水池的最大面积是多少？答案精析1．B [原不等式化为|x |2－|x |－2>0， 因式分解得(|x |－2)(|x |＋1)>0，因为|x |＋1>0恒成立，所以|x |－2>0即|x |>2， 解得x <－2或x >2.]2．B [∵3＋5x －2x 2>0，∴2x 2－5x －3<0， 即(x －3)(2x ＋1)<0，解得－12<x <3.故选B.]3．D [∵ax 2－5x ＋b >0 的解集为{x |－3<x <2}，∴ax 2－5x ＋b ＝0的根为－3,2，且a <0， 即－3＋2＝5a ，－3×2＝ba，解得a ＝－5，b ＝30，a ＋b ＝25.故选D.] 4．C [作出可行域如图所示：作直线l 0：2x ＋3y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x ＋3y ＝z ，当直线l 经过点A 时，z ＝2x＋3y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，所以点A 的坐标为(4，－1)，所以z max ＝2×4＋3×(－1)＝5，故选C.]5．B [由不等式x 2＋x －6x ＋1>0得(x 2＋x －6)(x ＋1)>0，即(x －2)(x ＋1)(x ＋3)>0，则相应方程的根为－3，－1,2，由穿根法可得原不等式的解集为{x |－3<x <－1或x >2}．故选B.] 6．D [∵OD 是半圆的半径，AB ＝a ＋b 为圆的直径，∴OD ＝a ＋b2，由△ACD ∽△DCB 可知，CD 2＝AC ·BC ＝ab ，CD ＝ab .在Rt △ODC 中，OD >CD ，即a ＋b 2>ab ，当O 与C 重合时，a ＋b 2＝ab ，所以a ＋b2≥ab ，故选D.] 7．A [因为f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以要求f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的解集，等价于求解f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪13的解集， 等价于求|2x －1|<13的解集，解得13<x <23，故选A.]8．B [令f (x )＝0，g (x )＝0，得a x ＝4－x ，log a x ＝4－x ， 因为y 1＝a x 与y 2＝log a x 的图像关于直线y ＝x 对称， 所以m ，n 关于两直线y ＝x 和y ＝4－x 交点的横坐标对称， 则m ＋n ＝4，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝4.]9．C [先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3画出可行域，而z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离|OP |，点P 为阴影中的动点，在点B 处时|OP |最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0， 可得B (3,8)，当在点B (3,8)时，z 最大，最大值为32＋82＝73，故选C.]10．C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ＋1，y ≤3－x ，根据题意画出可行域，△ABC 区域及其边界为满足不等式组的所有点的集合，由z ＝|x －3y |得⎩⎨⎧y ＝13x ＋13z ，y >13x或⎩⎨⎧y ＝13x －13z ，y ≤13x ，平移直线y ＝13x ，结合图像可知当直线经过B 点或A 点时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ＝x ＋1，y ＝3－x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即(1,2)为点B 的坐标，代入得z ＝|x －3y |＝5，又A 点坐标为(3,0)，此时z ＝|x －3y |＝3.故选C.]11．B [由题意x ，y ，a 是正实数，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，故有x ＋y ＋2xy ≤a 2(x ＋y )，即a 2－1≥2xy x ＋y ，由于2xy x ＋y ≤x ＋y x ＋y ＝1(当且仅当x ＝y 时，取等号)，即a 2－1≥1，解得a ≥2，则a 的最小值是2，故选B.] 12．C [画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，y ≥k表示的平面区域如图，因为y ＋1x ＝y －(－1)x －0的几何意义是平面区域内的动点P (x ，y )与A (0，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，3x －2y ＝6，得C ⎝⎛⎭⎫145，65，由平面区域的存在可得－1≤k <65， 所以结合图形可以看出点B (4－k ，k )与定点A (0，－1)连线的斜率最小，其最小值为⎝⎛⎭⎫y ＋1x min＝k －(－1)4－k ＝k ＋14－k＝k ， 解得k ＝3－52或3＋52(舍)，所以⎝⎛⎭⎫y ＋1x min＝3－52，故选C.]13．1解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，可知当直线y ＝x －z 经过点B (0,1)时，直线在y 轴的截距最大，z 最小，即b ＝0－1＝－1；当直线y ＝x －z 经过点A (2,0)时，直线在y 轴的截距最小，z 最大，即a ＝2－0＝2，所以a ＋b ＝1. 14．1解析 作出不等式组所表示的可行域如图所示，平移直线y ＝－x 可得，目标函数在线段AB 上取得最大值，故目标函数的最大值为z ＝12＋12＝1.15．1解析 由x >1，可得x －1>0， 因为f (x )＝x －1＋mx －1＋1≥2m ＋1，当且仅当x －1＝mx －1，即x ＝1＋m 处取得最小值，且为1＋2m .所以2m ＋1＝3，即m ＝1. 16.32解析 以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴、AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则P (1,4)，C (t,0)，B ⎝⎛⎭⎫0，1t ， 直线BC ：xt ＋ty ＝1，即直线BC ：x ＋t 2y －t ＝0，又点P 到直线BC 的距离d ＝|1＋4t 2－t |1＋t 4，所以S △PBC ＝12×|1＋4t 2－t |1＋t 4×t 2＋1t2＝12⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥12⎪⎪⎪⎪24t ·1t －1＝32， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时“＝”成立，所以△PBC 面积的最小值为32.17．解 设f (x )的最小值为g (a )，对称轴为x ＝－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时解集为∅；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥0，得－6≤a ≤2， 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围是[－7,2]．18．解 (1)因为不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)的解集为 {x |x <－3或x >－2}，所以x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0(k ≠0)的两根，所以k ＝－25.(2)若不等式的解集为R ，即kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，所以k <－66， 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－66. 19．解 (1)因为4>1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤116，4上是增加的， 所以f (x )min ＝log 4116＝－2，f (x )max ＝log 44＝1， 所以A ＝[－2,1]． 由⎝⎛⎭⎫123x ＋a >2x (a ∈R )， 可得2－(3x ＋a )>2x ，即－3x －a >x ，所以x <－a 4，所以B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4. 又因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B .所以－a 4>1，解得a <－4， 所以实数a 的取值范围为(－∞，－4)．(2)由5－x x ＋1≥0，解得－1<x ≤5，所以C ＝(－1,5]． 因为D ⊆C ，①当m ＋1≥2m －1，即0<m ≤2时，D ＝∅，满足D ⊆C ； ②当m ＋1<2m －1，即m >2时，D ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－1，2m －1≤5，解得－2<m ≤3， 又因为m >2，所以2<m ≤3.综上所述，实数m 的取值范围为(0,3]．20．解 (1)由题意得10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000， 即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500，即最多调整出500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )⎝⎛⎭⎫1＋x 500万元，则 10⎝⎛⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )⎝⎛⎫1＋x 500， 所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －x 2500， 所以ax ≤x 2250＋1 000＋x ， 即a ≤x 250＋1 000x＋1恒成立， 因为x 250＋1 000x≥2x 250×1 000x ＝4， 当且仅当x 250＝1 000x，即x ＝500时等号成立， 所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．21．解 (1)f (x )≥6，即为x ＋|x ＋2|≥6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，x －x －2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x ＋x ＋2≥6， 解得x ≥2，∴M ＝{x |x ≥2}．(2)由(1)知m ＝2，即a ＋b ＝2，且a ，b 是正实数， ∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2a ＋1⎝⎛⎭⎫a ＋b 2b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋32⎝⎛⎭⎫a 2b ＋32＝52＋34⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥52＋34×2b a ×a b ＝4， 当且仅当a b ＝b a，即a ＝b ＝1时， ⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1取得最小值4. 22．解 (1)由题意，得弧长AB 为θr ，扇形面积为S ＝12θr 2， 则400×12θr 2＋1 000(2r ＋θr )≤24×104， 即θr 2＋5(2r ＋θr )≤1 200，因为θr ＋2r ≥22θr 2，所以θr 2＋102θr 2≤1 200， 令t ＝2θr 2，t >0，则t 22＋10t ≤1 200，解得0<t ≤40， 所以当且仅当θr ＝2r ＝40，即θ＝2，r ＝20时面积S ＝12θr 2的最大值为400. (2)由θr ＋2r ＝105，得θ＝105r－2<2π， θr ＝105－2r 代入可得(105－2r )r ＋5×105≤1 200，即2r 2－105r ＋675≥0，解得r ≤152或r ≥45， 又S ＝12θr 2＝12(105－2r )r ＝－r 2＋1052r ＝－⎝⎛⎭⎫r －10542＋105216，当r ≤152时，θ＝105r －2≥105152－2＝12>2π，与θ<2π不符， 因为S 在[45，＋∞)上是减少的，所以当r ＝45时，S max ＝337.5，此时θ＝13.。
高考数学考前提分仿真试题(六)理(最新整理)
2019年高考数学考前提分仿真试题（六）理2019年高考数学考前提分仿真试题（六）理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学考前提分仿真试题（六）理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2019届高考名校考前提分仿真卷理 科 数 学（六）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效.3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·柳州模拟]已知集合(){},1A x y y x ==-，(){},25B x y y x ==-+,则A B =（ ） A ．(){}2,1B ．{}2,1C ．(){}1,2D ．{}1,5-2．［2019·合肥一中］设1i1iz +=-,z 是z 的共轭复数,则z z ⋅=（ ）A ．1-B ．iC ．1D ．43．[2019·皖江名校]2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%,该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图，给出下列结论：①2018年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少； ③2018年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．［2019·河南联考]已知2cos α=，则()cos π2α-=（ ） A ．32-B ．34-C ．32D ．345．［2019·汕头期末]已知x ,y 满足的束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则22z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．［2019·广大附中］已知函数()()()()sin 2cos 20πf x x a x ϕϕϕ=+++<<的最大值为2，且满足()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ）A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π37．[2019·马鞍山一模］函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8．［2019·自贡一诊]如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为63,36，则输出的a =（ ）A ．3B ．6C ．9D ．189．[2019·河南联考]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ,且与直线1BD 垂直,平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A ．3B ．6 C ．13D ．2210．［2019·东莞期末] 圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心)的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32B ．8:27C ．9:22D ．9:2811．［2019·衡水金卷］已知点(),4P n 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，如12PF F △的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为( ）A ．57B ．23C ．35D ．4512．[2019·吕梁一模］函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln 2212a -<≤- B ．21a -<≤- C ．31a -<≤-D ．ln3ln 23232a -<≤-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·九江一模]已知1=a ，()+⊥a b a ，则⋅=a b ______．14．[2019·常州期末］已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________．15．［2019·广州外国语]已知ABC △的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ,c ，若π3A =，7a =且ABC △的面积为33，则ABC △的周长为______． 16．［2019·宿州调研]设函数()22f x ax x=-,若对任意()1,0x ∈-∞，总存在[)22,x ∈+∞,使得()()21f x f x ≤，则实数a 的取值范围_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分)[2019·河南一诊］已知数列{}n a 满足13212122222n n n a a a a +-++++=-()*n ∈N ，4log n n b a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）[2019·马鞍山一模］田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示:田忌的马获胜概率公子的马上等马中等马下等马上等马 0.5 0.81中等马 0.2 0.50.9下等马0.05 0.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；(2)如果比赛约定,只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．19．（12分）[2019·济南期末］如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ,E 为AD 的中点，AC 交BE 于点F ，G 为PCD △的重心．（1）求证：FG∥平面PAD；（2）若PA AD=,点H在线段PD上，且2PH HD=,求二面角H FG C--的余弦值．20．（12分）［2019·永州二模］已知抛物线()2:20E x py p=>的焦点为F,点P在抛物线E 上，点P的纵坐标为8，且9PF=．（1）求抛物线E的方程；（2）若点M是抛物线E准线上的任意一点，过点M作直线n与抛物线E相切于点N，证明：FM FN⊥．21．（12分）[2019·茂名一模］已知函数()()1lnf x x aax=+∈R在1x=处的切线与直线210x y-+=平行．（1）求实数a的值,并判断函数()f x的单调性；(2）若函数()f x m=有两个零点1x，2x，且12x x<，求证：121x x+>．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】[2019·济南外国语]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值．23．(10分）【选修4—5：不等式选讲】 ［2019·石室中学］已知函数()21f x x a =++， （1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2)若存在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，使得不等式()22f x b x a ≥++的解集非空，求b 的取值范围．绝密 ★ 启用前【最后十套】2019届高考名校考前提分仿真卷理科数学答案(六）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】由题意125y x y x =-⎧⎨=-+⎩,解得2x =,1y =,故(){}2,1AB =．故选A ．2．【答案】C【解析】()()()21i 1ii 1i 1i 1i z ++===--+,则i z =-，故()i i 1z z ⋅=⋅-=,故选C ．3．【答案】B【解析】2017年的快递业务总数为242.49489.61200++=万件， 故2018年的快递业务总数为1200 1.251500⨯=万件，故①正确．由此2018年9~12月同城业务量完成件数为150020%300⨯=万件，比2017年提升，故②错误．2018年9～12月国际及港澳台业务量1500 1.4%21⨯=万件，219.6 2.1875÷=, 故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%．故③正确． 综上所述，正确的个数为2个，故选B ． 4．【答案】D【解析】由题意，利用诱导公式求得()2223cos π2cos212cos 124ααα⎛⎫-=-=-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,故选D ． 5．【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线22z x y =-+过点()1,0A 时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值4．故选D ． 6．【答案】D【解析】∵函数()()()()sin 2cos 20πf x x a x ϕϕϕ=+++<<的最大值为2,212a +，∴3a =，∴()()()πsin 2322sin 23f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+±+=+± ⎪⎝⎭,又∵()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴π4x =是函数()f x 的一条对称轴， ∴()πππ2π432k k ϕ⨯+±=+∈Z ，∴()ππ3k k ϕ=±+∈Z , 又∵0πϕ<<，∴π3ϕ=或2π3．故选D ． 7．【答案】D【解析】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ， 当0x =时，sin 0x x ==,则0x →时，sin 1xx→,()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【答案】C【解析】由63a =，36b =，满足a b >，则a 变为633627-=，由a b <，则b 变为36279-=，由b a <，则27918a =-=，由b a <，则1899b =-=， 由9a b ==，退出循环，则输出的a 的值为9．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知,点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，∴直线m 与1A C 所成角即为直线AC 与直线1A C 所成的角，即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角, 在直角1ACA △中，11126cos 3AA ACA A C ∠===,即m 与1A C 所成角的余弦值为6，故选B ． 10．【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为r ,圆锥母线长为l , 则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lrr ==， 则母线2l r =，圆锥的高为223h l r r =-=，则圆锥的体积为2313ππ3r h r =， 设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图， 则OB OS R ==，3OD h R r R =-=-,BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+, 即)2223R r r R =+-，展开整理得3R =，∴外接球的体积为33344ππ333393R =333933293r=．故选A ． 11．【答案】C【解析】由椭圆的定义可知12PF F △的周长为22a c +，设三角形12PF F △内切圆半径为r ，∴12PF F △的面积()1122222P S a c r y c =+=⋅，整理得()P a c r y c +⋅=⋅,又4P y =，32r =，故得53c a =,∴椭圆C 的离心率为35c e a ==，故选C ． 12．【答案】D【解析】函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解,即ln xa x x≤-恰有两个整数解,令()ln x g x x x =-，得()221ln x x g x x--'=，令()21ln h x x x =--,易知()h x 为减函数． 当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减．()11g =-，()ln 2222g =-，()ln3333g =-． 由题意可得：()()32g a g <≤，∴ln3ln 23232a -<≤-．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1-【解析】由()+⊥a b a 得()0+⋅=a b a ，得20+⋅=a a b ,∴1⋅=-a b ，故答案为1-． 14．【答案】3y x =±【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2,2ca =，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，可得2c =，∴1a =， 由2223b c a =-=，则3b =,又双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线C 的渐近线方程为3y x =±．故答案为3y x =±． 15．【答案】57+【解析】∵π3A =，7a =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：227b c bc =+-； 又ABC △的面积为33，∴133sin 2bc A =，∴6bc =,∴5b c +=，∴周长为5a b c ++=．故答案为5 16．【答案】[]0,1【解析】由题意,对任意()1,0x ∈-∞，总存在[)22,x ∈+∞，使得()()21f x f x ≤， 即当任意()1,0x ∈-∞，总存在[)22,x ∈+∞,使得()()21min min f x f x ≤, 当0a =时,()2f x x =,当()1,0x ∈-∞时，函数()()1120,f x x =-∈+∞， 当[)22,x ∈+∞,此时()(]2220,1f x x =∈,符合题意; 当0a <时，0x <时，()220f x ax x=-≥，此时最小值为0, 而当2x ≥时，()22f x ax x =-的导数为()3222222ax f x ax x x--=--=',可得x 为极小值点，可得()f x 的最小值为()214f a =-或f ,均大于0，不满足题意;当0a >时，0x >时，()22f x ax x =-的最小值为0或()214f a =-，当0x <时,()22f x ax x =-+的导数为()3222222ax f x ax x x ='+=+，可得x =,且为最小值点,可得()fx的最小值为f ⎛= ⎝，由题意可得14a -，解得01a <≤， 综上可得实数a 的范围是[]0,1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）212n n a -=；（2）421n nT n =+．【解析】(1）∵13121221++222222n n n n n a a a a a +---+++=-,∴()312122+222222nn n a a a a n --+++=-≥，两式相减得112222n n n n n a+-=-=，∴()2122n n a n -=≥． 又当1n =时，12a =满足上式，∴()21*2n n a n -=∈N ．∴数列{}n a 的通项公式212n n a -=．（2)由（1）得21421log 22n n n b --==，∴()()11411221212121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴1223111111111213352121n n n T b b b b b b n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⋅⋅⋅-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14212121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 18．【答案】（1）0.72；（2）见解析．【解析】(1)记事件A ：按孙膑的策略比赛一次,田忌获胜，对于事件A ，三场比赛中，由于第三场必输,则前两次比赛中田忌都胜， 因此，()0.80.90.72P A =⨯=；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ， 则随机变量ξ的可能取值为1000-和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P ,则1121139322522520P =⨯⨯⨯+⨯⨯=． 随机变量ξ的分布列如下表所示：∴119100010001002020E ξ=-⨯+⨯=-． 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100121200-⨯=-金． 19．【答案】（1）见解析;（2)． 【解析】（1)证明：∵AE BC ∥，∴AEF CBF △∽△， ∵E 为AD 中点,∴2CF AF =，连接CG 并延长，交PD 于M ，连接AM ,∵G 为PCD △的重心，∴M 为PD 的中点，且2CG GM =，∴FG AM ∥， ∵AM ⊂平面PAD ，FG ⊄平面PAD ，∴FG ∥平面PAD ．(2）分别以AB ,AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设3PA AD ==,则()3,3,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ，()1,1,0F ， ∵2PH HD =，∴()0,2,1H ,∵G 为PCD △的重心,∴()1,2,1G ，设平面FGC 的法向量()1111,,x y z =n ,()2,2,0FC =，()0,1,1FG =， 则1100FC FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴2200x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则1y =-，1z =，∴()11,1,1=-n ．设平面FGH 的法向量()2222,,x y z =n ，()1,1,1FH =-，则2200FH FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴00x y z y z -++=⎧⎨+=⎩，则0x =，取1y =，则1z =-，∴()20,1,1=-n ． ∴1212126,cos ⋅==n n n n n n 由图可知，该二面角为钝角，∴二面角H FG C --的余弦值为6． 20．【答案】（1)24x y =;（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为2py =-,又点P 的纵坐标为8，且9PF =,于是892p+=，∴2p =,故抛物线E 的方程为24x y =．（2）设点(),1M m -,()00,N x y ，00x ≠，∵214y x =，∴1'2y x =, 切线方程为()00012y y x x x -=-，即2001124y x x x =-,令1y =-，可解得20042x m x -=，∴2004,12x M x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭, 又()0,1F ，∴200422x FM x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()00,1FN x y =- ∴222000000442220222x x x FM FN x y x --⋅=⋅-+=-+=．∴FM FN ⊥． 21．【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；（2）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11112f a=-='，解得2a =，∴()1ln 2f x x x =+，∴()22112122x f x x x x-='=-，令()0f x '<，解得102x <<,故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；令()0f x '>,解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增．(2)由1x ，2x 为函数()f x m =的两个零点，得111ln 2x m x +=,221ln 2x m x +=， 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=, 即112212ln 2x x xx x x -=，1212122ln x x x x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=,2121212lnxx x x x -=，令12x t x =，由12x x <，得01t <<．则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=,2019年高考数学考前提分仿真试题（六）理构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<， 则()()22211210t h t tt t -=+-=>',∴函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t ->．故命题121x x +>得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．【答案】（1)2212x y +=;（2）1122MA MB +=．【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+,即222sin 2ρρθ+=， ∵222x y ρ=+，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=．（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=,∴1222cos 1sin t t αα+=-+，12211sin t t α-⋅=+, ∴121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-+===⋅⋅-⋅, ∵()()2212121222224cos 42241sin 1sin 1sin t t t t t t αααα-=+-=+=+++，∴2222111sin 2211sin MA MBαα++==+． 23．【答案】（1)133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；（2）13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】当2a =时，函数()221f x x =++，解不等式()2f x x +<化为2212x x +++<,即221x x +<-，∴1221x x x -<+<-，解得133x -<<-,∴不等式的解集为133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭．由()22f x b x a ≥++，得2221b x a x a ≤+-++，设()2221g x x a x a =+-++，则不等式的解集非空，等价于()max b g x ≤； 由()()()222211g x x a x a a a ≤+-++=-+，∴21b a a ≤-+；由题意知存在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，使得上式成立； 而函数()21h a a a =-+在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为11339h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴139b ≤；即b 的取值范围是13,9⎛⎤-∞⎥⎝⎦．。
2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟
单元检测九 平面解析几何考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α等于( )A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π62．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |等于( ) A ．895B ．175C ．135D ．1153．(2018·中山模拟)当θ变化时，直线x cos θ＋y sin θ＝6所具有的性质是( ) A ．斜率不变 B ．恒过定点 C ．与定圆相切D ．不能确定4．(2017·菏泽期末)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0，圆C 与直线x ＋2y －4＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，则实数a 的值为( ) A ．－45B ．12C ．85D ．155．(2017·河北衡水中学调研)双曲线x 2m 2－4＋y 2m 2＝1(m ∈Z )的离心率为( )A ．3B ．2C ． 5D ． 36．M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若|MF |＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKO 等于( ) A ．15° B ．30° C ．45°D ．60°7．已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为( ) A ．6π B ．36π C ．7πD ．49π8．(2017·安徽江淮十校联考)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1与e 2满足的关系是( ) A ．1e 1＋1e 2＝2B ．1e 1－1e 2＝2C ．e 1＋e 2＝2D ．e 2－e 1＝29．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 的值为( ) A ．13 B ．23C ．223D ．2310．(2017·广西柳州、钦州模拟)过双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左焦点作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB |＝4，若这样的直线有且仅有两条，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫12，2D ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 11．(2017·吉林省实验中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，32 B ．(1,2) C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 等于( ) A ．22 B ．32C ．23 D ．33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．动点P 到直线x ＋4＝0的距离减去它到点M (2,0)的距离之差等于2，则点P 的轨迹是__________． 14．直线x ＋2y ＝0被圆(x －3)2＋(y －1)2＝25截得的弦长等于________．15．(2017·黄山模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x ，点P (0,4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，F 是抛物线的焦点，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________．16．(2017·宜宾诊断)设直线l ：3x ＋4y ＋4＝0，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则r 的取值范围是____________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于点B ，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．18．(12分)(2018·河北衡水中学模拟)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足PQ →＝2MQ →，动点M 形成的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)点A (2,0)在曲线C 上，过点(1,0)的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．19.(12分)(2017·安徽巢湖柘皋中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过原点作直线l (不与坐标轴重合)交椭圆于A ，B 两点，AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证：B ，D ，E 三点共线．20．(12分)(2018·安徽江淮十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆C ′：x 26＋y 25＝1的一个焦点重合，点A (x 0，2)在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点． (1)求抛物线C 的方程及|AF |的值；(2)记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若MF →＝λFN →，|BM |2＋|BN |2＝40，求实数λ的值．21.(12分)(2018·石家庄质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围．22．(12分)(2017·武汉武昌区调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点． (1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．答案精析1．C [因为y ＝－3x －2，所以斜率k ＝－3， 即tan α＝－3(0≤α<π)，所以α＝2π3，故选C.]2．C [直线3ax －y －2＝0过定点满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝0，y ＝－2.∴直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)．将直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0整理为(2x ＋5y )a －(x ＋1)＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0，x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝25.∴直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25. ∴|AB |＝ (－1－0)2＋⎝⎛⎭⎫25＋22＝135.故选C.]3．C [直线x cos θ＋y sin θ＝6到原点(0,0)的距离d ＝6cos 2θ＋sin 2θ＝6，则直线x cos θ＋y sin θ＝6必与圆x 2＋y 2＝36相切．故选C.]4．C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于OA ⊥OB ， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝54x 1x 2－(x 1＋x 2)＋4＝0.(*)联立直线和圆的方程，消去y 得 5x 2－8x ＋4a －16＝0，x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝4a －165，代入(*)式得a ＝85.]5．B [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ∈Z ，(m 2－4)·m 2<0，∴m 2＝1， 即双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1，其离心率为e ＝ca ＝1＋31＝2，故选B.]6．C [设点M 在抛物线的准线上的垂足是N ，由于|MN |＝|MF |＝p ，所以四边形MNKF 是正方形，则∠MKO ＝45°，故选C.]7．A [由题意可得圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a ≠±1)， ∵直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形， ∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为 R sin 60°＝32×a 2－1， 即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2，解得a 2＝7，∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π. 故选A.]8．B [由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c10－2c ，所以1e 1－1e 2＝4c2c＝2，故选B.]9．C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2>0)， 由|AF |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，①又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， x 1＋x 2＝8－4k 2k 2，②x 1x 2＝4，③由①②③可解得k ＝223，故选C.]10．D [根据题意过双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB |＝4，若这样的直线有且仅有两条，可得2b 2a ＝2a <|AB |＝4，并且2a >4，解得a >2；或2b 2a ＝2a >|AB |＝4，并且2a <4，解得0<a <12.综上，故选D.] 11．D [AB ＝2b 2a ，由题意a ＋c <b 2a ，即a 2＋ac <b 2＝c 2－a 2，c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，解得e >2(e <－1舍去)，故选D.]12．A [设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以ab a 2＋b2＝63c . 又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，所以e ＝22，故选A.]13．抛物线解析 由题意知，动点P 到点M (2,0)的距离等于该点到直线x ＝－2的距离，因此动点P 的轨迹是抛物线． 14．4 5解析 由圆(x －3)2＋(y －1)2＝25，得到圆心坐标为(3,1)，半径r ＝5，所以圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝55＝5，则直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝4 5. 15．4 5解析 根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P ，A ，F 三点共线时达到最小值，由P (0,4)，F (2，0)，可得l AB ：2x ＋y －4＝0，联立抛物线方程可得：x 2－6x ＋4＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，原点到直线l AB ：2x ＋y －4＝0的距离d ＝|4|4＋1＝455，所以△AOB 的面积为455×10×12＝4 5.16．[2，＋∞)解析 由题意得，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2的圆心为C (2，0)，半径为r ，此时圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|2×3＋4|32＋42＝2，过直线l 上任意一点M 作圆C 的两条切线，切点为P ，Q ，则此时四边形MPCQ 为正方形，所以要使得直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则d ≤2r ，即2r ≥2，得r ≥2， 所以r 的取值范围是[2，＋∞)．17．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)， 因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3， 所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)， 即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )， 因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， 所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，② 由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝|CA |＝3， 故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9. 综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0， 圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知B (0，－4)．设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)， 即⎩⎨⎧y 0－42＝33·x 02，y 0＋4x 0＝－3，解得⎩⎨⎧x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．由题意知，当B ′，P ，Q 三点共线时，|PB |＋|PQ |最小， 故|PB |＋|PQ |的最小值为|B ′C |－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎫32，12，故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.18．(1)解 设点M 的坐标为(x ，y )， 点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02，因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，(*)把x ＝x 0，y ＝y 02代入方程(*)，得x 24＋y 2＝1， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 方法一 由题意知直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，易知Δ＝16m 2＋48>0，得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝y 1y 2(my 1－1)(my 2－1)＝y 1y 2m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－3－3m 2＋2m 2＋m 2＋4＝－34.所以k 1k 2＝－34为定值．方法二 ①当直线l 的斜率不存在时，设B ⎝⎛⎭⎫1，－32，D ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以k 1k 2＝－321－2·321－2＝－34.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 易知Δ＝48k 2＋16>0， x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1－1)(x 2－1)(x 1－2)(x 2－2) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4－8k 2＋1＋4k 2)4k 2－4－16k 2＋4＋16k 2＝－34， 所以k 1k 2＝－34为定值．19．(1)解 由题意得2a ＝22，则a ＝ 2.由椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2，其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，±22，所以12＋12b 2＝1，解得b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，D (x 1,0)．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2， 所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝AE →·AB →＝0， 所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1，其中k AB ，k AE 分别是直线AB ，AE 的斜率． 所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1，所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2) x 1＋x 2，又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以k BE ＝k BD ，所以B ，D ，E 三点共线．20．解 (1)由题意，椭圆C ′：x 26＋y 25＝1中，a 2＝6，b 2＝5，故c 2＝a 2－b 2＝1，故F (1,0)，故p2＝1，则2p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .将A (x 0,2)代入y 2＝4x ，解得x 0＝1，故|AF |＝1＋p2＝2.(2)设l ：x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，①且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1， 又MF →＝λFN →，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即y 1＝－λy 2，代入①得⎩⎪⎨⎪⎧－λy 22＝－4，(1－λ)y 2＝4m ，消去y 2得4m 2＝λ＋1λ－2，B (－1,0)，则BM →＝(x 1＋1，y 1)，BN →＝(x 2＋1，y 2)， 则|BM →|2＋|BN →|2＝BM →2＋BN →2＝(x 1＋1)2＋y 21＋(x 2＋1)2＋y 22 ＝x 21＋x 22＋2(x 1＋x 2)＋2＋y 21＋y 22＝(my 1＋1)2＋(my 2＋1)2＋2(my 1＋my 2＋2)＋2＋y 21＋y 22＝(m 2＋1)(y 21＋y 22)＋4m (y 1＋y 2)＋8＝(m 2＋1)(16m 2＋8)＋4m ·4m ＋8＝16m 4＋40m 2＋16，令16m 4＋40m 2＋16＝40，解得m 2＝12，故λ＝2±3. 21．解 (1)设T (x ，y )，则直线TA 的斜率为k 1＝y x ＋4， 直线TB 的斜率为k 2＝y x －4. 于是由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34， 整理得x 216＋y 212＝1. (2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0，Δ＝(16k )2－4(4k 2＋3)×(－32)>0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3， 从而OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3， 所以－20<QP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523(当k ＝0时取等号)， 当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20.综上所述，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为 ⎣⎡⎦⎤－20，－523.22.解 (1)由题意，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2， y ＝kx (k >0)，如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2， x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2， 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2， 由点D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝38或k ＝23. (2)根据点到直线的距离公式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)， 又|AB |＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12×5×4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2＝21＋114k ＋k ≤22， 当且仅当4k 2＝1，即k ＝12时，上式取等号， 所以S 的最大值为2 2.。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测一+集合与常用逻辑用语
单元检测一 集合与常用逻辑用语考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．[－1,1]D ．{1}2．(2018届吉林省百校联盟联考)已知集合A ＝{x |3x 2－4x ＋1≤0}，B ＝{x |y ＝4x －3}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎦⎤34，1 B.⎣⎡⎦⎤34，1 C.⎣⎡⎦⎤13，34D.⎣⎡⎭⎫13，343．已知原命题：已知ab >0，若a >b ，则1a <1b ，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．44．(2018·青岛模拟)已知集合M ＝{x |1≤x ≤2}，N ＝{x |x >a ＋3或x <a ＋1}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．(2018届遵义中学月考)“a ≤1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋1在区间[4，＋∞)上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件7．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．a <2 B ．a ≤2 C ．a >2D ．a ≥28．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则 p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤19．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]10．(2018·泰安模拟)已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i ，则下列为真命题的是( )A ．(p )∧(q )B ．(p )∧qC ．p ∧(q )D ．p ∧q11．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫34，43 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)12．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则 p ：对∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018届冀州中学月考)用列举法表示集合：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z ＝________.14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是________．15．已知命题p ：x 2－3x －4≤0；命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若命题q 是命题p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______． 16．下列4个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是sin A >12的充分不必要条件；④∃x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0. 其中真命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018届山西省夏县中学月考)已知A ＝{x |x 2≥9}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －7x ＋1≤0，C ＝{x ||x －2|<4}． (1)求A ∪C ；(2)若U ＝R ，求A ∩∁U (B ∩C )．18．(12分)设全集U ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁U M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁U M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．19.(12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x ＋1＝0无实根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．20．(12分)命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)甲，乙命题至少有一个是真命题；(2)甲，乙命题中有且只有一个是真命题．21.(12分)已知命题：“∃x0∈{x|－1<x<1}，使等式x20－x0－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．22．(12分)已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．(1)若(P∪S)⊆P，求实数m的取值范围；(2)是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.B 9.B 10．C [z ＝5－i＋i ＝6i ，所以命题p 为真； 复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－i 5，虚部为－15，所以命题q 为假．故(p )∧(q )为假；(p )∧q 为假； p ∧(q )为真；p ∧q 为假，故选C.]11．B [集合A ＝{x |x <－3或x >1}，设f (x )＝x 2－2ax －1≤0 (a >0)，则由题意得，f (2)≤0且f (3)>0，即4－4a －1≤0，且9－6a －1>0，∴34≤a <43，∴实数a 的取值范围是34≤a <43.]12．D [由原命题与逆否命题的关系知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22等价于4xy ≥(x ＋y )2等价于4xy ≥x 2＋y 2＋2xy 等价于(x －y )2≤0等价于x ＝y 知C 正确；对于D ，命题p 或q 为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．] 13．{－3，－2,0,1} 14．3解析 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．15．(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 q 是p 的充分不必要条件，等价于p 是q 的充分不必要条件．由题意，得p ：－1≤x ≤4，q ：(x －3＋m )·(x －3－m )≤0.当m ＝0时，显然不符合题意；当m >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤－1，3＋m >4，解得m ≥4；当m <0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋m <－1，3－m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≤－1，3－m >4，解得m ≤－4. 综上，m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 16．②④解析 当φ＝π2时，f (x )＝tan(x ＋φ)是奇函数，所以①是假命题；②中命题是“如果x 2＋x －6<0，则x ≤2”，是真命题；在△ABC 中，若A ＝160°，sin A <12，所以③是假命题；当x 0＝2时，x 20＋x 0－2>0成立，所以④是真命题．故真命题的序号是②④. 17．解 A ＝{x |x ≥3或x ≤－3}，B ＝{x |－1<x ≤7}． 又由|x －2|<4，得－2<x <6，∴C ＝{x |－2<x <6}． (1)A ∪C ＝{x |x ≤－3或x >－2}． (2)∵U ＝R ，B ∩C ＝{x |－1<x <6}， ∴∁U (B ∩C )＝{x |x ≤－1或x ≥6}， ∴A ∩∁U (B ∩C )＝{x |x ≥6或x ≤－3}． 18．解 (1)因为M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，所以∁U M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，所以(∁U M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁U M )∩N ＝{2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ， 所以B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时，由a －1>5－a ，解得a >3；当B ＝{2}时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥3}． 19．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2. 即p 为真时，m >2，p 为假时，m ≤2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3. 即q 为真时，1<m <3，q 为假时，m ≤1或m ≥3. ∵p ∨q 为真，∴p ，q 至少有一个为真． 又∵p ∧q 为假，∴p ，q 至少有一个为假． ∴p ，q 两命题为一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，解得1<m ≤2.综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m ≤2}． 20．解 当命题甲为真命题时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0， 即a >13或a <－1.当命题乙为真命题时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)当甲，乙两个命题中至少有一个是真命题时， a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a <－12或a >13. (2)甲，乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，13<a ≤1；甲假乙真时，－1≤a <－12.所以甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a ≤1或－1≤a <－12. 21．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解， 因为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域是⎣⎡⎭⎫－14，2， 所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪－14≤m <2. (2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则2－a <－14且a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ， 此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则a <－14且2－a ≥2，解得a <－14.综上，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a >94或a <－14. 22．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝[－2,10]． 由|x －1|≤m ，得1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m,1＋m ]．(1)要使(P ∪S )⊆P ，则S ⊆P . ①若S ＝∅，则m <0； ②若S ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.综合①②可知，实数m 的取值范围为(－∞，3]． (2)由“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，知S ＝P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，此方程组无解，所以这样的实数m 不存在．。
2019版高考数学浙江专版单元提分练集全国各地市模拟新
滚动检测六考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共扼复数，若z ＝1－2i ，则复数z ＋i·z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．向量a ＝(m,1)，b ＝(n,1)，则mn ＝1是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝26，sin 2A ＝sin B ，则c 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．2或44．(2018届温州一模)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )5．已知AB →·BC →＝0，|AB →|＝1，|BC →|＝2，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( ) A.25 5 B ．2 C. 5D ．2 56．已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．48＋4πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．72＋6π8．(2018届温州“十五校联合体”联考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是( ) A ．m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ⇒m ∥n B ．α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β C ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n D ．m ∥α，n ⊂α⇒m ∥n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1，若对任意n ∈N *，都有1≤p (S n －4n )≤3成立，则实数p 的取值范围是( ) A ．(2,3) B ．[2,3] C.⎣⎡⎦⎤2，92 D.⎣⎡⎭⎫2，92 10．已知函数f (x )＝(ax ＋ln x )(x －ln x )－x 2有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则⎝⎛⎭⎫1－ln x 1x 12⎝⎛⎭⎫1－ln x 2x 2⎝⎛⎭⎫1－ln x 3x 3的值为( )A ．1－aB ．a －1C ．－1D ．1第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．(2017·金华十校模拟)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,3,5}，T ＝{2,3,6}，则S ∩(∁U T )＝__________，集合S 共有__________个子集．12．(2018届浙江省91高中联盟联考)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (2)＝__________，函数g (x )＝f (x )－ax ＋2a 过定点________．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝__________，S 7＝__________. 14．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则ω＝__________，φ＝__________.15．(2017·宁波考试)已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长是________．16．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．17．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M －ABC 中，MA ⊥平面ABC ，MA ＝AB ＝BC ＝2，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为________． 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a －b c ＝cos B cos C .(1)求角C 的大小；(2)求函数y ＝sin A ＋sin B 的值域．19.(15分)(2017·温州十校联考)某种空气清洁剂在实验效果时，发现空气含剂量y (μg/m 3)与时间x 之间存在函数关系，其变化的图象如图所示．其中的曲线部分是某函数y ＝log 12(x ＋b )的图象(虚线部分为曲线的延展)．图中表明，喷洒1 h 后，空气含剂量最高，达到3μg/m 3，以后逐步减小．(1)求出空气含剂量y 关于时间x 的函数表达式及定义域；(2)实验证明，当空气含剂量不低于2μg/m 3时，空气清洁的效果最佳．求一次喷洒的“最佳效果”持续时间．20．(15分)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB 1⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝AB 1＝2.(1)证明：平面C 1CBB 1⊥平面A 1ABB 1；(2)若点P 为A 1C 1的中点，求直线BP 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值．21.(15分)已知a≠0，f(x)＝a ln x＋2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．22．(15分)已知数列{a n}满足a1＝2，点(a n，a n＋1)在直线y＝3x＋2上．数列{b n}满足b1＝2，b n＋1 a n＋1＝1a1＋1a2＋…＋1a n.(1)求b2的值；(2)求证数列{a n＋1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(3)求证：2－12·3n－1≤⎝⎛⎭⎫1＋1b1⎝⎛⎭⎫1＋1b2…⎝⎛⎭⎫1＋1b n<3316.答案精析1．C [因为z ＋i·z ＝1－2i ＋i(1＋2i)＝1－2i －2＋i ＝－1－i ，故其对应点在第三象限．] 2．A [若mn ＝1，则m ＝n ，则由向量相等的定义显然有a ＝b ；若a ∥b ，则m ·1－n ·1＝0，得m ＝n ，不能推出mn＝1，故选A.]3．D [由sin 2A ＝sin B ，得2sin A cos A ＝sin B ， 由正弦定理得2×4cos A ＝26，所以cos A ＝64， 再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得c ＝2或c ＝4，故选D.]4．C [由导函数的图象可知，函数y ＝f (x )先减再增，可排除选项A ，B ，又知f ′(x )＝0的根为正，即y ＝f (x )的极值点为正，所以可排除D ，故选C.]5．C [显然B ，D 在以AC 为直径的圆上，所以以B 为原点，BA ，BC 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，可知|BD |最大值为直径，所以|BD |max ＝5，故选C.] 6．B [原式可化为(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时x ＋y 有最大值2.故选B.] 7．D [根据三视图，该几何体为一个正方体的一部分和四分之一个圆柱，如图所示：则该几何体的表面积为14×2π×2×4＋2×2×4＋2×4×4＋⎝⎛⎭⎫14π×22＋4×4－2×2×2＝6π＋72.故选D.]8．A [对于A ，根据线面平行的性质可知m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ⇒m ∥n ，故A 对； 对于B ，α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥β或n ∥β或n ⊂β， 故B 错；对于C ，α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ⊥n 或m ∥n 或m 与n 异面，故C 错； 对于D ，m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m 与n 异面，故D 错， 故选A.]9．B [S n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－120＋4＋⎝⎛⎭⎫－121＋…＋4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1 ＝4n ＋1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝4n ＋23－23·⎝⎛⎭⎫－12n， 所以1≤p ⎣⎡⎦⎤23－23·⎝⎛⎭⎫－12n ≤3对任意n ∈N *都成立， 当n ＝1时，1≤p ≤3， 当n ＝2时，2≤p ≤6， 当n ＝3时，43≤p ≤4，归纳得2≤p ≤3.]10．D [令f (x )＝0，分离变量可得a ＝x x －ln x －ln xx， 令g (x )＝x x －ln x －ln xx(x >0)，由g ′(x )＝ln x (1－ln x )(2x －ln x )x 2(x －ln x )2＝0，得x ＝1或x ＝e.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0； 当x ∈(1，e)时，g ′(x )>0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0.即g (x )在(0,1)，(e ，＋∞)上为减函数，在(1，e)上为增函数， ∴0<x 1<1<x 2<e<x 3，a ＝x x －ln x －ln x x＝11－ln x x －ln x x ，令μ＝ln x x ，则a ＝11－μ－μ，即μ2＋(a －1)μ＋1－a ＝0， μ1＋μ2＝1－a ，μ1μ2＝1－a ， 对于μ＝ln xx ，μ′＝1－ln x x 2，则当0<x <e 时，μ′>0；当x >e 时，μ′<0.而当x >e 时，μ恒大于0.画其简图，如图所示．不妨设μ1<μ2，则μ1＝ln x 1x 1，μ2＝ln x 2x 2＝ln x 3x 3＝μ3，∴⎝⎛⎭⎫1－ln x 1x 12⎝⎛⎭⎫1－ln x 2x 2⎝⎛⎭⎫1－ln x 3x 3 ＝(1－μ1)2(1－μ2)(1－μ3)＝[(1－μ1)(1－μ2)]2＝[1－(1－a )＋(1－a )]2＝1. 故选D.] 11.{1,5} 8解析 ∁U T ＝{1,4,5}，则S ∩(∁U T )＝{1,5}．集合S 的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个． 12．3 (2,3)解析 设f (x )＝x t，则f (4)f (2)＝4t 2t ＝2t＝3，f (2)＝2t ＝3；g (x )＝x t －ax ＋2a ，则当x ＝2时，g (2)＝2t ＝3，所以g (x )过定点(2,3)． 13．8－n 28解析 由题意得，d ＝a 5－a 32＝－1，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝8－n ， S 7＝7(a 1＋a 2)2＝7(a 3＋a 5)2＝7×82＝28. 14．2 －π3解析 由图可知，T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π，ω＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2·5π12＋φ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1， 5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又－π<φ<0， 所以φ＝－π3.15.π2解析 如图，区域D 内的弧即为弧AB ， ∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝⎛⎭⎫－131＋12×⎝⎛⎭⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4，又圆半径为2，由弧长公式易得π4×2＝π2.16.12解析 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1， 函数f (m )的最小值为32， ∴函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，∴∠ACB ＝2π3，∴CO →2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB → ＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x ) ＝3⎝⎛⎭⎫x －122， 当且仅当x ＝12＝y 时，CO →2取得最小值14，∴|CO →|的最小值为12.17．24π－82π解析 设MC 的中点为O ，如图，由AB ＝BC ＝2，且△ABC 为直角三角形，得∠ABC ＝90°.由MA ⊥平面ABC ，知MA ⊥AC ，MA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，MA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面MAB ，所以BC ⊥MB ，可知MC 为Rt △MAC 和Rt △MBC 的斜边，故点O 到点M ，A ，B ，C 的距离相等，故点O 为鳖臑的外接球的球心，设该鳖臑的外接球的半径与内切球的半 径分别为R ，r ，则由MA 2＋AB 2＋BC 2＝(2R )2， 得4＋4＋4＝4R 2，解得R ＝ 3. 由等体积法，知13(S △ABC＋S △MAC ＋S △MAB ＋S △MBC )r ＝13S △ABC ·MA ， 即13×12(2×2×2＋2×22×2)r ＝13×12×2×2×2， 解得r ＝2－1.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 4π(R 2＋r 2)＝4π(3＋3－22)＝24π－82π. 18．解 (1)由2a －b c ＝cos B cos C ，利用正弦定理可得2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ，可化为2sin A cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos C ＝12， ∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴C ＝π3. (2)y ＝sin A ＋sin B＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵A ＋B ＝2π3，0<A <π2，0<B <π2， ∴π6<A <π2， ∴π3<A ＋π6<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤32，1，∴y ∈⎝⎛⎦⎤32，3. 即函数y ＝sin A ＋sin B 的值域为⎝⎛⎦⎤32，3. 19．解 (1)当0≤x ≤1时，图象是一条线段，设解析式为y ＝kx ， 将点(1,3)代入得k ＝3，∴y ＝3x ，x ∈[0,1]．对于函数y ＝log 12(x ＋b )，将点(1,3)代入得，log 12(1＋b )＝3，故1＋b ＝⎝⎛⎭⎫123＝18，解得b ＝－78， ∴y ＝log 12⎝⎛⎭⎫x －78，令y ＝0，得 log 12⎝⎛⎭⎫x －78＝0，故x －78＝1，解得x ＝158. ∴函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，0≤x ≤1，log 12⎝⎛⎭⎫x －78，1<x ≤158.(2)当0≤x ≤1时，在y ＝3x 中，令y ＝2得x 1＝23， 当1<x ≤158时，在y ＝log 12⎝⎛⎭⎫x －78中，令y ＝2得log 12⎝⎛⎫x －78＝2，故x －78＝⎝⎛⎫122＝14， 从而x 2＝98，x ＝x 2－x 1＝98－23＝1124， 故最佳效果持续时间为1124h. 20．(1)证明 ∵B 1A ⊥平面ABC ，∴B 1A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，AB ∩B 1A ＝A ，AB ⊂平面A 1ABB 1，B 1A ⊂平面A 1ABB 1，∴BC ⊥平面A 1ABB 1，又∵BC ⊂平面C 1CBB 1，∴平面C 1CBB 1⊥平面A 1ABB 1.(2)解 过B 点作BM ⊥平面ABC ，则BM ⊥BA ，BM ⊥BC ，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BM 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，B 1(0,2,2)，∵AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝(0,2,2)，∴A 1(0,4,2)，C 1(2,2,2)，P (1,3,2)，∴AC →＝(2，－2,0)，BP →＝(1,3,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1ACC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AA 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，2y ＋2z ＝0， 取x ＝1可得n ＝(1,1，－1)，故直线BP 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值为|cos 〈n ，BP →〉|＝|1＋3－2|14×3＝4221. 21．解 (1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x.∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. ∴当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋2x x(x >0)， 当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，没有最小值．当a <0时，由f ′(x )>0，得x >－a 2， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0，得0<x <－a 2， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减． ∴当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a 2. 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a 2≥－a ， 即a [ln(－a )－ln 2]≥0.∵a <0，∴ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2.∴实数a 的取值范围是[－2,0)．22．(1)解 由已知得a 2＝3a 1＋2＝8，因为b 2a 2＝1a 1，所以b 28＝12，解得b 2＝4. (2)解 由条件得a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＋1＋1a n ＋1＝3a n ＋3a n ＋1＝3， 所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，3为公比的等比数列． 所以a n ＋1＝3·3n －1＝3n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(3)证明 由题设b n ＋1a n ＋1＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，① 知b n a n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1(n ≥2)，② 由①－②，得b n ＋1a n ＋1－b n a n ＝1a n，则b n ＋1a n ＋1＝1＋b n a n ，即1＋b n b n ＋1＝a n a n ＋1(n ≥2)． 当n ＝1时，2－12·1＝32，1＋1b 1＝32<3316， 所以原不等式成立；当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫1＋1b 1⎝⎛⎭⎫1＋1b 2…⎝⎛⎭⎫1＋1b n＝1＋b 1b 1·1＋b 2b 2·1＋b 3b 3·…·1＋b n b n＝1b 1·1＋b 1b 2·1＋b 2b 3·…·1＋b n －1b n·(1＋b n ) ＝12·34·a 2a 3·…·a n －1a n·(1＋b n ) ＝38·8a n ·(1＋b n )＝3⎝⎛⎭⎫1＋b n a n ＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋b n a n＝3⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＋1a n . 先证明不等式左边，因为1a n ＝13n －1>13n ，当n ≥2时， 所以3⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n >3⎝⎛⎭⎫1a 1＋132＋133＋…＋13n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋19⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13＝2－12·3n －1. 再证明不等式右边，当n ≥2时， 1a n ＝13n －1＝19·3n －2－1≤18·3n －2， 3⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤3⎣⎡⎦⎤1a 1＋18⎝⎛⎭⎫1＋13＋…＋13n －2 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋18·1－13n －11－13 ＝3⎣⎡⎦⎤12＋316⎝⎛⎭⎫1－13n －1<3316. 所以2－12·3n －1<⎝⎛⎭⎫1＋1b 1⎝⎛⎭⎫1＋1b 2…⎝⎛⎭⎫1＋1b n <3316成立． 综上所述，不等式成立．。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测十三+Word版含答案
单元检测十三推理与证明、算法、复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A．1 B．－1C. 2 D．－ 22．用反证法证明命题：“已知a，b，c，d∈R，若a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时应假设()A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0D．a，b，c，d中至多有一个负数3．执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为()A．k＜6? B．k≤6?C．k＜7? D．k≤7?4．观察下列等式23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，…，类比上面各式将m3分拆所得到的等式右边的最后一个数是109，则正整数m等于()A ．9B ．10C ．11D ．125．(2017·衡水联考)欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.718 28…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2eπi 3，z 2＝eπi2，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．(2018·安徽十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，满足x 2＋y 2≤1，x ≥0，y ≥0的点P (x ，y )的集合对应的平面图形的面积为π4；类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，满足x 2＋y 2＋z 2≤1，x ≥0，y ≥0，z ≥0的点P (x ，y ，z )的集合对应的空间几何体的体积为( ) A.π8 B.π6 C.π4 D.π37．下列程序语句是求函数y ＝|x －4|＋1的函数值，则①处为( )A ．y ＝3－xB ．y ＝x －5C ．y ＝5－xD ．y ＝x －38．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥09．定义运算a *b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝⎛⎭⎫sin 5π12*⎝⎛⎭⎫cos 5π12的值为( )A.2－34B.2＋34C.14D.3410．(2017·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( ) A.227 B.6320 C.7825D.1093511．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如10≡4(mod 6)．如图所示的程序框图的算法源于我国古代的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．17B ．16C ．15D ．1312．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a 1，a 2，a 3，…，a 10.现有三种说法：①若a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 10，则必是第一题答错，其余题均答对； ②若a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 10，则必是第一题答对，其余题均答错； ③有可能a 5＝2a 10. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．0 C ．3 D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是____________．14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝______，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为_______________________． 15．凸函数的性质定理如下：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．16．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n,1≤j ≤n ，i ，j ∈N *)表示位于第i 行第j 列的数，已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q ，若a 11＝12，a 24＝1，a 32＝14，则a ij ＝________.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n …a n 1 a n 2 a n 3 … a nn三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i ，i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3 的值．18．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且当0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a >c .19．(12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20.(12分)设集合A 由全体二元有序实数组组成，在A 上定义一个运算，记为⊙，对于A 中的任意两个元素α＝(a ，b )，β＝(c ，d )，规定：α⊙β＝(ad ＋bc ，bd －ac )． (1)计算：(2,3)⊙(－1,4)；(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明； (3)若I ∈A ，且对∀α∈A ，都有I ⊙α＝α，求元素I .21．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx (a <b <c )在x ＝1处取得极值，且在函数f (x )图象上的一点处的切线的斜率为－a . (1)求证：0≤ba<1；(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，求证：－2<s <t ≤1.22．(12分)(2018·大庆模拟)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *恒成立？证明你的结论．答案精析1．B [因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ， 所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )．又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.]2．C [“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”，故应假设a ，b ，c ，d 全都大于等于0.]3．A [依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1，c ＝2，a ＝1，b ＝2；进行第二次循环时，k ＝2，c ＝3，a ＝2，b ＝3；进行第三次循环时，k ＝3，c ＝5，a ＝3，b ＝5；进行第四次循环时，k ＝4，c ＝8，a ＝5，b ＝8；进行第五次循环时，k ＝5，c ＝13，a ＝8，b ＝13；进行第六次循环时，k ＝6，因此当输出的值是13时，判断框内应为k ＜6？.] 4．B [由题意可得，第n 个等式的左边是m 3，右边是m 个连续奇数的和，且m ＝n ＋1. 设第n 个等式的最后一个数为a n ， 则有a 2－a 1＝11－5＝6＝1×2＋4， a 3－a 2＝19－11＝8＝2×2＋4， a 4－a 3＝29－19＝10＝3×2＋4， …，a n －a n －1＝(n －1)×2＋4，以上(n －1)个式子相加可得a n －a 1＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋4(n －1)＝n 2＋3n －4， 故a n ＝n 2＋3n ＋1，令n 2＋3n ＋1＝109， 解得n ＝9(n ＝－12舍去)．故m ＝10.] 5．D [因为z 1＝2e πi 3＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝eπi 2＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )i (－i )＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限，故选D.]6．B [所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为18×43π×13＝π6，故选B.]7．C [由题意知y ＝|x －4|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥4，5－x ，x <4，故选C.]8．D [要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只要证(a 2－1)(b 2－1)≥0.]9．C [由题意，得该程序框图的功能是求函数S ＝a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ，a ≥b ，b 2，a <b 的值，因为π4<5π12<π2，所以sin5π12>cos 5π12， 则⎝⎛⎭⎫sin 5π12*⎝⎛⎭⎫cos 5π12＝sin 5π12cos 5π12＝12sin 5π6 ＝12sin π6＝14.] 10．A [由题意知，第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715<π<165，第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<6320，第四次用“调日法”后得11035＝227是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<227，故选A.]11．A [当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数为17.]12．C [对于①，若第一题答对，则a 1＝1，a 1≥a 2，与题意不符，所以第一题答错，若剩余的9道题有答错的，不妨设第k (k ≥2)道题答错，则a k ≤a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答对，①正确；对于②，若第一道题答错，则a 1＝0，a 1≤a 2，与题意不符，所以第一题答对，若剩余的9道题有答对的，不妨设第k (k ≥2)道题答对，则a k ≥a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答错，②正确；对于③，设前5道题答对x 道题，后5道题答对y 道题，则由a 5＝2a 10得x5＝2·x ＋y 10，解得y ＝0，即当后5道题均答错时，a 5＝2a 10，③正确．综上所述，正确结论的个数为3，故选C.] 13．1＋2i 或－1－2i解析 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 所以其平方根是1＋2i 或－1－2i.14．3 S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数解析 由等和数列的定义，a n ＋a n ＋1＝5，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ∈N *)，故a 18＝3.当n 为偶数时，S n ＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝52n －12.15.332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 且A ，B ，C ∈(0，π)， ∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.16.j 2i 解析 设第i 行公差为d i ，∵a 21＝12q ，∴a 22＝a 21＋d 2＝12q ＋d 2，∴a 24＝a 21＋3d 2＝q2＋3d 2＝1，∴d 2＝13－q 6，又∵a 32＝a 22q ＝⎝⎛⎭⎫q 2＋d 2q ＝14， ∴⎝⎛⎭⎫q 2＋13－q 6q ＝14，∴q ＝12(舍负)． ∴d 2＝13－q 6＝14，∴a 22＝a 21＋d 2＝12q ＋d 2＝12，又∵a 22＝a 12q ，∴a 12＝12q ＝1，∴d 1＝12，又∵a 31＝12q 2＝18，∴d 3＝18，猜想：d i ＝12i ，又∵a i 1＝12q i －1＝12i ，∴a ij ＝12i ＋(j －1)12i ＝j2i .17．解 (1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，所以t ＝sin 2x －3cos 2x ，又t ＝0，所以sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3.因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)由(1)知，t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－π2＝14， 所以－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝14，即cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝－14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 18．证明 (1)因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， 所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， 因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根， 又x 1x 2＝c a ，所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ， 所以1a 是f (x )＝0的另一个根，即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由当0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0，与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， 所以1a ≥c ，又因为1a ≠c ，所以1a>c .19．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2(n ∈N *)， S n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)．(2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋2(n ∈N *)．假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20．解 (1)(2,3)⊙(－1,4)＝(2×4＋3×(－1)，3×4－2×(－1))＝(5,14)．(2)交换律：α⊙β＝β⊙α.证明如下：设α＝(a ，b )，β＝(c ，d )，则α⊙β＝(ad ＋bc ，bd －ac )，β⊙α＝(c ，d )⊙(a ，b )＝(cb ＋da ，db －ca )＝(ad ＋bc ，bd －ac )．∴α⊙β＝β⊙α.(3)设A 中的元素I ＝(x ，y )，α＝(a ，b )，由题意得(x ，y )⊙(a ，b )＝(a ，b )，即(bx ＋ay ，by －ax )＝(a ，b )．则⎩⎪⎨⎪⎧ bx ＋ay ＝a ，－ax ＋by ＝b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋a (y －1)＝0，－ax ＋b (y －1)＝0， 对任意a ，b ∈R 恒成立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴当对∀α∈A 都有I ⊙α＝α成立时，I ＝(0,1)．21．证明 (1)由f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ， 得f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0.又a <b <c ，∴a <0，c >0，b <－a －b ，∴b a >－12，且b a<1. ∵函数f (x )图象上的一点处的切线的斜率为－a ，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝－a 有实数根，∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )≥0，即b 2－4a (－b )≥0，整理得⎝⎛⎭⎫b a 2＋4·b a≥0， 解得b a ≥0或b a≤－4. 综上，可得0≤b a<1.则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0在区间(s ，t )上恒成立．∵a <0，c >0，∴b 2－4ac >0，故方程f ′(x )＝0必有两个不相等的实数根，设这两个实数根为x 1，x 2，且x 1<x 2.∵二次函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a， 由(1)得－12<－b 2a≤0， 而f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0，∴x 2＝1.又f ′(－2)＝4a －2b ＋c ＝4a －2b －a －b＝3(a －b )<0，∴x 1>－2.∴若f ′(x )≥0在区间(s ，t )上恒成立，则有x 1≤s <t ≤x 2，∴－2<s <t ≤1.22．解 (1)由题意得a 2＝2，a 3＝2＋1.因为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.所以猜想a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明上式成立．当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (n ∈N *)时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝a 2k －2a k ＋2＋1＝(a k －1)2＋1＋1 ＝(k －1)＋1＋1＝(k ＋1)－1＋1，即当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)设f (x )＝(x －1)2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明命题a 2n <14<a 2n ＋1<1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立． 假设当n ＝k (n ∈N *)时结论成立，即a 2k <14<a 2k ＋1<1.从而14＝f ⎝⎛⎭⎫14>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2， 即1>14>a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得14＝f ⎝⎛⎭⎫14<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1， 故14<a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知，存在c ＝14，使a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *恒成立．。
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单元检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n }中的b 2，b 3，b 4，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝2n B ．b n ＝3n C ．b n ＝2n －1D ．b n ＝3n －12．(2018·新余模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＝－4，a 4＋a 6＝16，则它的前10项和S 10等于( ) A ．138 B ．95C ．23D ．1353．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．42B ．6C ．7D ．5 24．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．55．(2018届长春一模)在等差数列{}a n 中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．96．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8C ．7D ．67．(2017·亳州质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－38．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B ．12n －1C ．⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫32n －19．(2017·长沙二模)已知数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N ＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．510．(2018·九江模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．511．正项等比数列{}a n 中，a 2 017＝a 2 016＋2a 2 015.若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( ) A ．1 B. 35C. 32D. 13612．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{a n }满足f (a n ＋1)·f ⎝⎛⎭⎫11＋a n ＝1(n ∈N ＋)，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( ) A ．f (a 2 013)>f (a 2 016) B ．f (a 2 014)>f (a 2 017) C ．f (a 2 016)<f (a 2 015) D ．f (a 2 013)>f (a 2 015)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n,2a 7－a 8＝5，则S 11＝________.14．(2017·天津模拟)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1＝______.15．(2018届吉林联考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝0，若a n ＋1＝[1＋(－1)n ]a n ＋(－2)n (n ∈N ＋)，则S 100＝______.16．(2017·吉林调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{a n }的通项公式a n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．18．(12分)(2018·西安模拟)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式．19.(12分)(2017·河南息县检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且8a 1＋6a 2＝5a 3＞0，S 6＝6332.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝－log 2a n ，c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .21.(12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N ＋，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b 1＝1，b n ＋1＝2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求证：{b n ＋3}是等比数列；(2)若c n ＝log 2(b n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和R n ；(3)求数列{a n b n }的前n 项和T n .答案精析1．A [设成等差数列的三个正数为a －d ，a ，a ＋d ， 即有3a ＝12，得a ＝4，根据题意可得4－d ＋1,4＋4,4＋d ＋11成等比数列， 即5－d,8,15＋d 成等比数列，即有(5－d )(15＋d )＝64，解得d ＝1(d ＝－11舍去)， 即有4,8,16成等比数列，可得公比为2， 则数列{b n }的通项公式为b n ＝b 22n －2＝4×2n －2＝2n .故选A.]2．B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－4， a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝2a 1＋8d ＝16，解得d ＝3， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－4)＋5×9×3＝95，故选B.]3．D [由a 1a 2a 3＝5得a 32＝5，由a 7a 8a 9＝10得a 38＝10， 又a 25＝a 2a 8，∴a 65＝a 32a 38＝50，∴a 4a 5a 6＝a 35＝52，故选D.]4．C [设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，所以－2da 5＝2da 6，于是a 5＋a 6＝0，由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝0，故选C.]5．C [因为等差数列{}a n 中，|a 6|＝|a 11|，且d >0，所以a 6<0， a 11>0，a 6＝－a 11，a 1＝－152d ，有S n ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时前n 项和取最小值．故选C.]6．D [由等差数列的性质可得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，解得a 5＝－3，又a 1＝－11，设公差为d, 所以a 5＝a 1＋4d ＝－11＋4d ＝－3，解得d ＝2，则a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，所以当n ＝6时，S n 取最小值，故选D.]7．A [设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d . 所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d＝2，故选A.]8．D [∵a 1＝1，S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＝2(S n ＋1－S n )，化为S n ＋1＝32S n .∴数列{S n }是等比数列，首项为1，公比为32，则S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选D.]9．B [由题设a n ＝1＋(n －1)d,81是该数列中的一项， 即81＝1＋(n －1)d ，所以n ＝80d＋1， 因为d ，n ∈N ＋，所以d 是80的因数，故d 不可能是3.] 10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N ＋)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数．即正整数n 的个数是5.]11．C [设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题设得q 2＝q ＋2，解得q ＝2，q ＝－1(舍去)，由a m a n ＝a 21qm＋n －2＝16a 21得m ＋n －2＝4，所以m ＋n ＝6，4m ＋1n＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎫4＋1＋4n m ＋m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当4n m ＝mn，即m ＝4，n ＝2时“＝”成立．故选C.]12．D [令x ＝y ＝0，得f (0)f (0)＝f (0)，解得f (0)＝1或f (0)＝0，当f (0)＝0时，f (x )＝0与当x <0时，f (x )>1矛盾，因此f (0)＝1，令y ＝－x ，得f (x )f (－x )＝f (0)＝1， 所以当x >0时，0<f (x )<1，设x 1>x 2，则f (x 2－x 1)>1，f (x 1)f (x 2－x 1)＝f (x 2)， 所以f (x 2)>f (x 1)，因此y ＝f (x )为减函数，从而由f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1＝f (0)，得a n ＋1＋11＋a n ＝0，所以a n ＋2＝－1＋a n a n ，a n ＋3＝a n ，f (a 2 013)＝f (a 2 016)，f (a 2 014)＝f (a 2 017)，f (a 2 016)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)， f (a 2 013)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)，故选D.] 13．55解析 2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5， S 11＝a 1＋a 112·11＝11a 6＝55.14．3解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，即d (d －2a 1)＝0， 解得d ＝2a 1，则a 2a 1＝a 1＋d a 1＝a 1＋2a 1a 1＝3.15.2－21013解析 当n 为奇数时，a n ＋1＝(－2)n ，则a 2＝(－2)1，a 4＝(－2)3，…，a 100＝(－2)99，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ＋(－2)n ＝2a n ＋2n ，则a 3＝2a 2＋22＝0，a 5＝2a 4＋24＝0，…，a 99＝2a 98＋298＝0，又a 1＝0， ∴S 100＝a 2＋a 4＋…＋a 100＝2－21013.16．2n解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2， 所以f ()x ＝a ()x －1()x －2＝a (x 2－3x ＋2)，f ′(x )＝a (2x －3)，则x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －a ()x 2n －3x n ＋2a 2x n －3＝x 2n －22x n －3，则x n ＋1－2＝x 2n －22x n －3－2＝(x n －2)22x n －3， x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－1＝(x n －1)22x n －3，即x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，又因为a n ＝ln x n －2x n －1且a 1＝2，所以a n ＋1＝2a n ，即数列{}a n 为等比数列，且通项公式为a n ＝2n .17．解 (1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10，所以当n <5时，b n <0; 当n ＝5时，b n ＝0；当n >5时，b n >0. 由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20. 18．解 (1)由2b 1＝a 1＋a 2，可得a 2＝2b 1－a 1＝24. 由a 22＝b 1b 2，可得b 2＝a 22b 1＝36.(2)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数， 所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1， 因此数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)，n ≥2. 当n ＝1时，a 1＝8，满足该式，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)． 19．解 (1)由S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)，得S n ＝1－12a n ，∴当n ＝1时，S 1＝1－12a 1，得a 1＝23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－12a n －⎝⎛⎭⎫1－12a n －1 ＝12a n －1－12a n ，a n a n －1＝13， ∴{a n }是等比数列，且公比为13，首项a 1＝23，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n.(2)由(1)及S n ＋12a n ＝1得，1－S n ＋1＝12a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1， ∴b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝n ＋1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ， ∵a 3＝a 1q 2，5a 3＞0，∴a 1＞0，∵8a 1＋6a 2＝5a 3，∴8a 1＋6a 1q ＝5a 1q 2， ∴8q 2＋6q －5＝0，∴q ＝12或－54，∵S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝6332，∴a 1＝1，q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n －1.(2)b n ＝－log 2a n ＝－log 221－n ＝n －1，c n ＝a n b n ＝n －12n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝020＋12＋222＋…＋n －12n －1，12T n ＝02＋122＋223＋…＋n －12n ， ∴12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1－n －12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 11－12－n －12n＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n ，∴T n ＝2－n ＋12n －1.21．解 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N ＋，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1×(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .22．(1)证明 因为b n ＋1＋3b n ＋3＝2b n ＋3＋3b n ＋3＝2且b 1＋3＝4，所以{b n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，则c n ＝log 2(b n ＋3)＝n ＋1，1c n c n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，R n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4.(3)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3也符合上式， 综上，a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 所以a n b n ＝(4n －1)·(2n ＋1－3)＝(4n －1)·2n ＋1－3(4n －1)，设数列{(4n －1)·2n ＋1}的前n 项和为Q n ，则Q n ＝3·22＋7·23＋11·24＋…＋(4n －5)·2n ＋(4n －1)·2n ＋1，2Q n ＝3·23＋7·24＋…＋(4n －5)·2n ＋1＋(4n －1)·2n ＋2，所以－Q n ＝12＋4(23＋24＋…＋2n ＋1)－(4n －1)·2n ＋2＝12＋4·8(1－2n －1)1－2－(4n －1)·2n ＋2＝(5－4n )·2n ＋2－20，所以Q n ＝(4n －5)·2n ＋2＋20，所以T n ＝Q n ＋3n －12×n (n ＋1)2＝(4n －5)·2n ＋2＋20－6n 2－3n .。