2019年高考数学全国卷三(理科)详细解析

2019年高考数学全国卷三(理科)详细解析
2019年高考数学全国卷三(理科)详细解析

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2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的。 (2018·新课标全国Ⅲ卷理1)1.已知集合2

{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤,,则A B =

A .{}1,0,1-

B .{}0,1

C .{}1,1-

D .{}0,1,2

【命题意图】本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交运算,是基础题。 【答案】A

【基本解法】因为{}

11B x x =-≤≤,所以{}1,0,1A B =-

【方法总结与拓展】

集合运算是高考常考的,甚至必考的考点,属于基础题,也可以把其它知识渗透到集合中来,例如方

程、不等式、向量、三角函数等,解决这类题目主要是直接法,或特值法。

集合问题主要要考虑元素的属性、运算等。 (2018·新课标全国Ⅲ卷理2)2.若(1)2z i i +=,则z = A . 1i --

B . 1i -+

C . 1i -

D . 1i +

【命题意图】本题考查了复数代数形式的四则运算, 【答案】D

【基本解法】()212112

i i i z i i -===++ 【方法总结与拓展】

复数运算是高考常考的,甚至必考的考点,属于基础题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理3)3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并

称为中国古典小说四大名著,某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100名学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )

A. 0.5

B. 0.6

C. 0.7

D. 0.8

【命题意图】本题考查概率与统计基本知识,考查学生对推理与计算能力,属于基础题。 【答案】C

【基本解法】某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100名学生, 其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位, 阅读过《红楼梦》的学生共有80位,

阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位, 所以,该校阅读过《西游记》的学生人数为70人,

则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为:

7.0100

70

=。故选C (2018·新课标全国Ⅲ卷理4)4.24

(12)(1)x x ++的展开式中x 3

的系数为( )

A. 12

B. 16

C. 20

D. 24

【命题意图】本题考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识,考查学生对推理与计算能力,属于基础题。 【答案】A

【基本解法】法一:系数配对,()4

1x +的通项公式为k k n k k x C T -+=141,利用通项公式求出x x C T 413

1411==+,

33

1341341x x C T ==+,24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数:12424=+?,故选A

法二:利用组合的性质,()

()4

2

121x x ++展开式中x 3的系数为1211211133311411334=????+????C C C C

【方法总结与拓展】对于二项式定理,可利用通项公式或组合的性质来解答。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理5)5. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a =( )

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和等基本概念,重点考查学生的运算求解能力。 【答案】C

【基本解法】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组,求出1,a q ,再利用通项公式即可求得3a 的值。设等比数列{a n }的公比为q ,易知0q >,

由已知得23111142

111

15,34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?,解得11,2a q =??=?,2

314a a q ∴==,故选C . 【解法2】易知0q >,若公比1q =,则53134a a a =+不成立,从而1421

11415,134(1)

a q a q a q a

q -?=?

-??=+?

同样解得11,2

a q =??=?,2

314a a q ∴==。此法明显不如解法1好。

【方法总结与拓展】应用等比数列前n 项和公式解题时,要注意公比是否等于1,防止出错。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理6)6.已知曲线x x ae y x

ln +=在点(1)ae ,处的切线方程为b x y +=2,则( )

A.e a =,1-=b

B.e a =,1=b

C.1-=e a ,1=b

D.1-=e a ,1-=b 【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义等基本知识。 【答案】D

【基本解法】易知点(1)ae ,在已知曲线上,令x x ae x f x

ln )(+=,则1ln )(++='x ae x f x

,易知

21)1(=+='ae f ,得11

-==

e e

a 。 又

b ae f +==2)1(,可得1-=b 。故选D 。

【方法总结与拓展】利用导数的几何意义解决与切线有关的问题时,准确求导是保障,还要注意所给的点是否在已知的曲线上,以防出错。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理21)7.函数3

222

x x

x y -=+在[]6,6-的图象大致为 A . B .

C .

D .

【命题意图】函数图像 【答案】B

【基本解法】解:由3

2()22x x

x y f x -==+在[]6,6-,知 33

2()2()()2222

x x x x

x x f x f x ----==-=-++, ∴f (x )是[]6,6-上的奇函数,因此排除C

又11

8

2(4)721

f =>+,因此排除A ,D . 故选:B .

【方法总结与拓展】本题考查了函数的图像与性质,解题关键是奇偶性和特殊性,属于基础题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理8)8.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,

M 是线段ED 的中点,则

A .BM =EN ,且直线BM 、EN 是相交直线

B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线

C .BM =EN ,且直线BM 、EN 是异面直线

D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 【命题意图】点、线、面的位置关系 【答案】B

【基本解法】解:∵点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,

∴BM ?平面BDE ,EN ?平面BDE ,

∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线,EN 是△BDE 中BD 边上的中线, ∴直线BM ,EN 是相交直线,

设DE =a ,则2BD a =,22

35244

BE a a a =

+= ∴6

2BM a =

,22

3144

EN a a a =+= ∴BM ≠EN , 故选:B .

【方法总结与拓展】本题考查直线与直线的位置关系及其判定,考查了空间中点、线、面之间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.

(2018·新课标全国Ⅲ卷理9)9.执行下边的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值等于

A.4122

-

B. 5122-

C. 6122

-

D. 7122

-

【命题意图】本题考查程序框图的循环结构的基本知识,考查学生对程序框图的基本逻辑及循环条件的掌握情况。 【答案】C

【基本解法】由1,0,,2x x s s s x x ===+=

可知,可以看作首相为1,公比为1

2

的等比数列求前n -1项和,则等比数列的通项公式为112n x -=,前1n -项和为1122n s -=-,即11

0.012

n x ε-=<=,求得7n =,带

入1122n s -=-=61

22

-,故选C

【方法总结与拓展】程序框图是高考常考内容,甚至是必考的,难度较低,重点是考查对程序框图的理解,

注意给出的条件和判断框什么时候输出,常常会考虑不全导致错误,在解题时利用其他知识点内容是快速得出答案的捷径。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理10)10.双曲线C :22

42

x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐进线上,O 为坐

标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为

A .

32

4

B .

32

2

C .22

D .32

【命题意图】本题考查双曲线的基本知识,考查学生对双曲线方程基本知识的掌握情况。 【答案】A

【基本解法】一条渐近线方程为22y x =

,则设2(,)2

P x x ,双曲线的方程得焦点坐标(6,0)F ,则2222

22(

),(6)()22

PO x x PF x x =+=-+,由P O P F =得一个坐标63(

,)22P ,即1

1

33262

2

24

P F O O F y

?==??

= 【方法总结与拓展】双曲线是高考常考内容,甚至是必考的,难度较高,重点是考查对双曲线定义的理解,注意一般在求解双曲线问题中,由双曲线方程可以快速得出焦点坐标和渐近线方程,继而根据题目所求问题找出需要的值能快速得出答案。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理11) 设()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递减,则

A .f (log 314)>f (3

22-)>f (2

32-) B .f (log 31

4

)>f (2

32-)>f (3

22-)

C .f (32

2-

)>f (23

2-

)>f (log 314) D .f (2

3

2-)>f (3

22-)>f (log 314

【命题意图】本题考查函数的基本性质:奇偶性 单调性,与指,对数函数的大小比较 【答案】C

【基本解法】因为()f x 是偶函数,所以3

31

(log )(log 4)4

f f = 因为23

3

2

322

1log 4--<<<,且()f x 在(0,)+∞递减,

所以233

2

3(2)(2)(log 4)f f f -->>,选C

【方法总结与拓展】要善于利用中间量对数值大小进行比较,并熟练运用函数基本性质解题 (2018·新课标全国Ⅲ卷理12) 设函数()f x =sin (5

x ωπ

+

)(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:

①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点

③()f x 在(0,

10π)单调递增 ④ω的取值范围是[1229510

,) 其中所有正确结论的编号是

A . ①④

B . ②③

C . ①②③

D . ①③④

【命题意图】本题考查三角函数的基本性质及整体思想,其中对数形结合的能力的考查也更进一步

【答案】D

【基本解法】令05

wx π

+

=,得05x w

π

=-

<,令5

2

wx π

π

+

=

,得3010x w

π

=

>, 设()f x 的正零点从小到大一次为()i x i Z +

由图可知(1)正确; 极小值个数 可能是2个或3个,故(2)错误 令555

wx π

π+

=,解得5245x π

ω

=

令665

wx π

π+

=,解得6295x π

ω

=

, 解不等式562x x π≤<,得

1229

510

ω≤<

,(4)正确 010

x π

<<

时,(,)55105w wx π

πππ+

∈+29(,)(0,)5101052

ππππ??+? 故()f x 在(0,

)10

π

单调递增 ,故(3)正确。 综上,正确答案为D 选项. 【方法总结与拓展】以后要对五点法画图及三角函数图像了然于心 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理13)13.已知a ,b 为单位向量,且0g a b =,若25=-c a b ,则

cos ,<>=a c ___________.

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角的运算. 【答案】

2

3

【基本解法1】因为25c a b =-r r r ,0a b ?=r r ,所以225a c a a b ?=-?r r r r r

2=,

222||4||455||9c a a b b =-?+=r r r r r ,所以||3c =r

,所以22cos ,133

a c a c a c ?<>===??v v v v r r .

【基本解法2】建立直角坐标系,因为0g a b =,在坐标轴上取单位向量a ,b ,以及25=-c a b ,利用三角函数定义直接求得cos ,<>=

a c 2

3

。 【方法总结与拓展】根据2||c v

结合向量夹角公式求出||c v

,进一步求出结果. 渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.向量问题的解决主要考虑两个方向,线性运算和坐标运算,而坐标运算加上平面直角坐标系,线性运算抓住三角形法则加上几何图形,利用数形结合可以快速得到答案

(2018·新课标全国Ⅲ卷理14)14. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,35a =,若10a ≠,213a a =,则

10

5

S S =______. 【命题意图】本题考查等差数列的性质、基本量的计算. 【答案】4

【基本解法】因213a a =,所以113a d a +=,即12a d =,

所以

105S S =1111109

1010024542552

a d a a a d ?+

==?+ 【方法总结与拓展】根据已知求出1a 和d 的关系,再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 渗透了数学运算素养.使用转化思想得出答案.

(2018·新课标全国Ⅲ卷理15)15.设12F F ,为椭圆C :22

+13620

x y =的两个焦点,

M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.

【命题意图】本题考查椭圆的基本知识,考查学生对椭圆方程的基本知识的掌握情况。 【答案】(3,15)

【基本解法】设点(,)M x y ,由椭圆的方程得焦点坐标12(4,0),(4,0)F F =-=,则

112

8F M F F =

=,221(4)8F M x y =++=,因为点M 在第一象限,联立椭圆方程即

2222

(4)8

13620

x y x y ?++=??+

=??,解为315x y =???=??,故(3,15)M 【方法总结与拓展】椭圆是高考常考内容,甚至是必考的,难度较高,重点是考查对椭圆定义的理解,注意一般在求解椭圆问题中,由椭圆方程可以快速得出焦点坐标,联立方程求解未知数是常用方法。 (2018·新课标全国Ⅲ卷理16)16.学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体

1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为

所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =, AA =,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3

,不考虑打印损耗,

制作该模型所需原料的质量为___________g.

【命题意图】本题考查立体几何的基本知识,考查学生对立体几何求体积的掌握情况。 【答案】118.8

【基本解法】长方体的体积为:3664144cm ??=四棱锥的底面积为:2

6432212cm ?-??=,高

132AB cm =

=,则四棱锥的体积为:13?底面积?高=31

123123

cm ??=,故模型所需要的质量为:(14412)0.9118.8

-?= 【方法总结与拓展】立体几何求体积时,重点在于找出底面积和高,转而求解题目中的问题。

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (2018·新课标全国Ⅲ卷理17) 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A ,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

记C 为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P (C )的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a ,b 的值;

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 【命题意图】本题考查条形图信息的筛选整合能力,同时也考查了一些计算能力 【答案】见基本解法

【基本解法】(1)由已知得0.70=a +0.20+0.15,故a =0.35.

b =1–0.05–0.15–0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

【方法总结与拓展】以后要对条形图的信息体现有所重视,对各种数的计算做到心中有数 (2018·新课标全国Ⅲ卷理18)18.(12分)

△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sin sin 2

A C

a b A +=. (1)求B ;

(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.

【命题意图】本题考查解三角形的相关问题,突出了边角互化的解题技巧,重点考查学生的运算求解能力。

【基本解法】解:(1)由题设及正弦定理得sin sin

sin sin 2

A C

A B A +=. 因为sin A ≠0,所以sin

sin 2

A C

B +=. 由180A B

C ?

++=,可得sin

cos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222

B B B

=.

因为cos

02B ≠,故1

sin 22

B =,因此B =60°. (2)由题设及(1)知△AB

C 的面积3

4

ABC S a =

△. 由正弦定理得()sin 120sin 31

sin sin 2tan 2

C c A a C C C ?

-===+.

由于△ABC 为锐角三角形,故0°

122

a <<,从而33

82ABC S <<△.

因此,△ABC 面积的取值范围是33,82??

? ???

. 【解法2】解:(1)由题有sin

sin 2

A C

a b A += 所以,由正弦定理得:sin sin

sin sin 2

A C

A B A += 因为sin 0A ≠,所以sin

sin 2

A C

B += 即,有得sin

sin 2

B

B π-=,所以cos

sin 2sin cos 222

B B B B == 又因为(0,)B π∈,所以

(0,)22B π∈,cos 02

B

≠ 所以1sin

,2226B B π==,所以3

B π

= (2)由余弦定理得:2

2

2

2

2cos 1b a c ac B a a =+-=+-

所以22

1b a a -=-

所以222212cos 222b c a c a a

A bc bc b

+-+--===

因为ABC ?为锐角三角形,所以

202a

b

->,即2a < 又22222cos 22a b c a a

C ab ab +--==且C 为锐角

所以

2202a a ab ->,得0a <(舍)或12

a > 综上:

1

22

a << 所以1333sin (,)2482

ABC S ac B a ?=

=∈ 【方法总结与拓展】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理,以及面积公式的运用,考查三角函数的

恒等变换,以及化简运算能力,属于中档题。 (2018·新课标全国Ⅲ卷理19)19.(12分)

图1是由矩形ABED ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中1AB =,2BE BF ==,

60FBC ∠=.将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合.连结DG ,如图2.

(1)证明:图2中的,,,A C G D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ; (2)求图2中的二面角B CG A --的大小.

G

F

C

A

D E

B

D

G

E (

F )

B C

A

图1 图2

【命题意图】本题考查

【基本解法】解:(1)由已知得//AD BE ,//CG BE ,所以//AD CG , 故AD ,CG 确定一个平面,从而A ,C ,G ,D 四点共面.

由已知得AB BE ⊥,AB BC ⊥,故AB ⊥平面BCGE . 又因为AB ?平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面BCGE .

(2)【基本解法1】作EH BC ⊥,垂足为H .因为EH ?平面BCGE , 平面ABC ⊥平面BCGE ,所以EH ⊥平面ABC .

由已知,菱形BCGE 的边长为2,60BEC ∠=?,可求得1BH =,3EH =

以H 为坐标原点,HC uuu r

的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -,

则–110A (,,),100C (,,),203)G (,,,103)CG =u u u r (,,,2,10AC =-u u u r

(,)

. 设平面ACGD 的法向量为x y z =n (,,),则

0,0,CG AC ??=??

?=??uu u r

uuu r n n 即30,20,x z x y ?

+=??-=?

? 所以可取36,3=-n (,)

. 又平面BCGE 的法向量可取为010=m (,,)

,所以3

cos ,||||2

???==

n m n m n m . 因此二面角B CG A --的大小为30?.

【基本解法2】取CG 的中点M ,连结EM ,EC ,DM . 因为//AB DE ,且AB ⊥平面BCGE , 所以DE ⊥平面BCGE ,故DE CG ⊥. 又因为四边形BCGE 是菱形,且60BEC ∠=?

得EM CG ⊥,故CG ⊥平面DEM .

因此DM CG ⊥.则DME ∠就是二面角B CG A --所成的平面角,

3

cos 2

DME ∠=

,因此二面角B CG A --的大小为30?. 【方法总结与拓展】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ,Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角,所以//AD BE ,//BF CG 依然成立,又因E 和F 粘在一起,所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线,所以易证.(2)在图中找到B CG A --对应的平面角,再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC 的垂线,发现此垂足与A 的连线也垂直于CG .按照此思路即证.

很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题,考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱,建系的向量解法在本题中略显麻烦,突出考查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理20)20.(12分)

已知函数3

2

()2f x x ax b =-+. (1)讨论f (x )的单调性;

(2)是否存在a ,b ,使得f (x )在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a ,b 的所有值;若不存在,说明理由.

【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论法、等价转化法,考查学生对推理与计算能力,属于难题。

【答案】(1)0=a ,函数()x f 在R 上单调递增;0>a ,函数()x f 在()0,∞-,??

?

??+∞,3a 上单调递增,在??? ??

3,

0a 上单调递减;0

?

??0,3a 上单调递减.(2)存在,且1,0-==b a 或1,4==b a .

【基本解法】(1)()()a x x ax x x f -=-='32262

,令()0='x f 得0=x ,3

a

x =

03

=a

,即0=a 时,()062≥='x x f 恒成立,所以函数()x f 在R 上单调递增; 当

03>a ,即0>a 时,函数()x f 在()0,∞-,??? ??+∞,3a 上单调递增,在???

??3,0a 上单调递减; 当

03

?

??0,3a 上单调递减.

(2)由(1)可得:

当0≤a 时,f (x )在区间[0,1]上单调递增,则()10-==b f ,()121=+-=b a f ,所以1,0-==b a 满足题意.

当0>a 时,f (x )在??

?

??3,

0a 上单调递减, 若

13

≥a

,即3≥a 时,f (x )在区间[0,1]上单调递减.则()10==b f ,()121-=+-=b a f ,所以1,4==b a ;

若130<<

a ,即30<

?

??1,3a 上单调递增,则最小值为127332332

3

-=+-=+??

?

??-??? ???=??? ??b a b a a a a f ,而()b f =0,()b a f +-=21

所以()x f 的最大值为b 或b a +-2

由??

???=-=+-11273

b b a ,得3233>=a ,矛盾,故舍去

由??

???=+--=+-121273

b a b a ,得33±=a 或0=a ,矛盾,故舍去 综上可得:存在a ,b ,使得f (x )在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1,b a ,的所有值为1,0-==b a 或

1,4==b a

【方法总结与拓展】利用导数解决函数的单调性时,先求到,再解不等式;含参的一元二次不等式的解法,应对参数进行分类讨论:一、比较两个的大小;二利用判别式?进行讨论. (2018·新课标全国Ⅲ卷理21)21.(12分)

已知曲线C :22x y =,D 为直线1

2

y =-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .

(1)证明:直线AB 过定点;

(2)若以5(0,)2

E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 【命题意图】本题以抛物线为载体,考察切线、直线过定点、直线与圆的位置关系及中点弦,四边形面积

定值问题,对学生思维能力与逻辑推理能力要求高,以圆锥曲线为压轴题是第一次。 【答案】见详解

【基本解法】(1)设()111,,,2D t A x y ??-

???

,则2112x y =.

由于y'x =,所以切线DA 的斜率为1x ,故1111

2y x x t

+

=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -

设()22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y -.

故直线AB 的方程为2210tx y -+=.

所以直线AB 过定点1(0,)2

. (2)

【解法一】由(1)得直线AB 的方程为12

y tx =+

. 由2

122

y tx x y ?

=+????=??,可得2210x tx --=. 于是()2121212122,

1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+,

()

()2

222121212||11421AB t x x t x x x x t =+-=+?

+-=+.

设12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离,则2122

21,

1

d t d t =+=

+.

因此,四边形ADBE 的面积()()22121

||312

S AB d d t t =

+=++. 设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ??+

??

?

. 由于EM AB ⊥,而()

2,2EM t t =-,

AB 与向量(1, )t 平行,所以()220t t t +-=.

解得0t =或1t =±.

当0t =时,3S =;当1t =±时,42S =.

因此,四边形ADBE 的面积为3或42.

【解法二】由(1)得直线AB 的方程为12

y kx =+

. 由2

122

y kx x y ?

=+????=??,可得2

210x kx --=. 于是()2121212122,

1,121

x x k x x y y k x x k +==-+=++=+

所以AB 的中点为2

1,2H k k ?

?+

??

?

由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为EH |,可得

()2

222

152221k k k -=+-+,

解得0k =或1k =±, 即有直线AB 的方程为12y =

或12

y x =±+, 由12y =

可得2AB =,四边形ADBE 的面积为()1

21232

ABE ABD S S ??+=??+=; 由1

2

y x =±+

,可得11444AB =++=, 此时11,2D ??

±-

???

到直线AB 的距离为11122

22

+

+=; 50,2E ??

???

到直线AB 的距离为

152222-

=, 则四边形ADBE 的面积为(

)

1

422422

ABE ABD S S ??+=

??+=

因此,四边形ADBE 的面积为3或42. 【方法总结与拓展】

本题的背景是“阿基米德三角形”

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形,阿基米德三角形有很多非常重要的性质,本题的结论是如下性质的一个特例:

如图,抛物线上以,A B 为切点的切线,PA PB 相交于点P ,若点P 在抛物线的准线上,则切点弦AB 经过抛物线的焦点。

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理22)22.如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A ,(2,)4B π

,(2,)4

C 3π

,(2,)D π,弧AB ,BC ,CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2

π

,(1,)π,曲线1M 是弧AB ,曲线2M 是弧BC ,曲

线3M 是弧CD .

(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;

(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||3OP =,求P 的极坐标.

【命题意图】本题主要考查曲线的极坐标方程以及极坐标方程的应用。 【基本解法】

题(1) 以O 为原点,O x 为横轴建立直角坐标系,将三个过原点的圆的直角坐标方程列出,再化为极坐标方程,注意题中要求的是弧,所以要注意的方程中θ的取值范围. 【详解】(1)由题意知,这三个圆的半径都是1,并且都过原点。

曲线1M 的直角坐标方程为22

(1)1x y -+=,其极坐标方程为2cos ([0,

])4π

ρθθ=∈ 曲线2M 的直角坐标方程为22

(1)1x y +-=,其极坐标方程为32sin ([,])44ππρθθ=∈, 曲线3M 的直角坐标方程为22

(1)1x y ++=,其极坐标方程为32cos ([,])4

πρθθπ=-∈. 题(2) 根据条件3ρ=逐个方程代入求解,最后解出P 点的极坐标.

令2cos 3([0,

])4

π

θθ=∈得6

π

θ=

,此时P 的极坐标为(3,

)6

π

2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;

2019年高考数学理科全国三卷

2019年高考数学理科 全国三卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国三卷) 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.已知集合{}1,0,1,2A =-,{} 2|1B x x =≤,则A B =() A. {1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1}- D. {0,1,2} 2.若(1)2z i i +=,则z =() A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著,某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100名学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为() A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为() A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=() A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ,则() A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==- 7.函数3 222 x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为() A. B. C. D.

2019-2020年高考等值预测卷(全国Ⅲ卷)数学(文)试卷及答案

高考等值试卷★预测卷 文科数学(全国Ⅲ卷) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合A ={x |x 2≤x },B ={x ||x |≥1},则A ∩B = A .? B .[01], C .{1} D .()-∞+∞, 2.已知i 为虚数单位,复数z 满足z (1+i)=2i ,则z = A .2 B .1+i C .-1+i D .1-i 3.改革开放40年来,我国综合国力显著提升,人民生活水平有了极大提高,也在不断追求美好生活.有研究所统计了近些年来空气净化器的销量情况,绘制了如图的统计图.观察统计图,下列说法中不正确的是 A .2012年——2018年空气净化器的销售量逐年在增加 B .2016年销售量的同比增长率最低 C .与2017年相比,2018年空气净化器的销售量几乎没有增长 D .有连续三年的销售增长率超过30% 4.下列函数是奇函数且在R 上是增函数的是 A .()sin f x x x = B .2()f x x x =+ C .()e x f x x = D .()e e x x f x -=- 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 100% 90% 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 ? ? ? ? ? ? ? 空气净化器销售量(万台) 同比增长率(%)

2017年高考全国卷一文科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A I B =3|2x x ? ?

2019年高考理科全国1卷数学(含答案解析)

2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡的相应位置上。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ?=( ) A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( ) A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 22 (1)1x y +-= D. 2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===,则( ) A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 4. ≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体 .若某人满足上述两个黄金分割

2019-2020年高考模拟预测数学(理)试题 含答案

2019-2020年高考模拟预测数学(理)试题含答案 参考公式: 如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n(k)=C n k P k(1-P)n-k 球的表面积公式:S=4πR2,球的体积公式:V=πR3,其中R表示球的半径 数据x1,x2,…,x n的平均值,方差为:s2= 222 12 ()()() n x x x x x x n -+-++- 第I卷(选择题共60分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},则M∩(c U N)=() A. {1,2} B.{4,5} C.{3} D.{1,2,3,4,5} 2. 复数z=i2(1+i)的虚部为() A. 1 B. i C. -1 D. - i 3.正项数列{a n}成等比,a1+a2=3,a3+a4=12,则a4+a5的值是() A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4.一组合体三视图如右,正视图中正方形 边长为2,俯视图为正三角形及内切圆, 则该组合体体积为() A. 2 B. C. 2+ D. 5.双曲线以一正方形两顶点为焦点,另两顶点在 双曲线上,则其离心率为() A. 2 B. +1 C. D. 1 6.在四边形ABCD中,“=2”是“四边形ABCD为梯形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.积分的值为() A. e B. e-1 C. 1 D. e2 8.设P在上随机地取值,求方程x2+px+1=0有实根的概率为() A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6

全国三卷9年高考理科数学试卷分析及2019高考预测

2019年高考,除北京、天津、上海、江苏、浙江等5省市自主命题外,其他26个省市区全部使用全国卷. 研究发现,课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性.每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定.掌握了全国卷的各种题型,就把握住了全国卷 命题的灵魂.基于此,笔者潜心研究近3年全国高考理科数学Ⅲ卷和高考数学考试说明,精心分类汇总了全国卷近3年所有题型.为了便于读者使用,所有题目分类(共22类)列于表格之中,按年份排序.高考题的小题(填空和选择)的答案都列在表格的第三列,便于同学们及时解答对照答案,所有解答题的答案直接列在题目之后,方便查看. 一、集合与常用逻辑用语小题: 1.集合小题: 3年3考,每年1题,都是交并补子运算为主,多与不等式交汇,新定义运算也有较小的可 1.已知集合22{(,)1}A x y x y =+=,{(,)}B x y y x ==,则A B 中元素的个数为 3年0考.这个考点一般与其他考点交汇命题,不单独出题. 二、复数小题: 3年3考,每年1题,以四则运算为主,偶尔与其他知识交汇,难度较小.一般涉及考查概2.设复数z 满足(1)2i z i +=,则||z = 全国三卷9年高考理数学分析及2019高考预测

三、平面向量小题: 3年3考,每年1题,向量题考的比较基本,突出向量的几何运算或代数运算,一般不侧重 3年7考.题目难度较小,主要考察公式熟练运用,平移,由图像性质、化简求值、解三角形等问题(含应用题),基本属于“送分题”.三角不考大题时,一般考三个小题,三角函数的图

3年6考,每年2题,一般考三视图和球,主要计算体积和表面积.球体是基本的几何体, 8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()

2019年高考数学试题分项版—统计概率(原卷版)

2019年高考数学试题分项版——统计概率(原卷版) 一、选择题 1.(2019·全国Ⅰ文,6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是() A.8号学生B.200号学生 C.616号学生D.815号学生 2.(2019·全国Ⅱ文,4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为() A. B. C. D. 3.(2019·全国Ⅱ文,5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为() A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙 4.(2019·全国Ⅲ文,3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是() A. B. C. D. 5.(2019·全国Ⅲ文,4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为() A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 6.(2019·浙江,7)设0<a<1.随机变量X的分布列是() 则当a在(0,1)内增大时,()

2017年高考新课标全国3卷文科数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ) 文科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A?B中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至 2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图 . 根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知 4 sin cos 3 αα -=,则sin2α= A. 7 9 -B. 2 9 -C. 2 9 D. 7 9 5.设x,y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ,则z=x-y的取值范围是 A.[–3,0] B.[–3,2] C.[0,2] D.[0,3]

6.函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x ?6π )的最大值为 A .6 5 B .1 C .35 D .15 7.函数y =1+x +2sin x x 的部分图像大致为 A . B . C . D . 8.执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A .5 B .4 C .3 D .2 9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A .π B . 3π4 C . π2 D . π4

2019年高考真题理科数学(全国II卷)

AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB?BC=( ) M233 3

7.8.9.10.11. 12.13.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) α内有无数条直线与β平行 α内有两条相交直线与β平行α,β平行于同一条直线α,β垂直于同一平面 若抛物线y =2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p =1的一个焦点,则p=( ) 2348下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2 )单调递增的是( )f(x)=|cos2x| f(x)=|sin2x|f(x)=cos|x|f(x)=sin|x|已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )15553325 5设F为双曲线C:x 2a 2-y 2b 2 =1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x +y =a 交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )2325 设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89 ,则m的取值范围是( )(-∞,94](-∞,73](-∞,52](-∞,83 ]我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . A. B. C. D. 2A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. 222A. B. C. D. A. B. C. D.

2019年高考数学上海卷及答案解析

数学试卷 第1页(共14页) 数学试卷 第2页(共14页) 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数 学 本试卷满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知集合{1,2,3,4,5}A =,{356}B =,,,则A B = . 2.计算2 2231lim 41 n n n n n →∞-+=-+ . 3.不等式|1|5x +<的解集为 . 4.函数2()(0)f x x x =>的反函数为 . 5.设i 为虚数单位,365z i i -=+,则||z 的值为 6.已知2 221 4x y x a y a +=-??+=? ,当方程有无穷多解时,a 的值为 . 7 .在6 x ? ? 的展开式中,常数项等于 . 8.在ABC △中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1 cos 4 C = ,则AB = . 9.首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有 种(结果用数值表示) 10.如图,已知正方形OABC ,其中(1)OA a a =>,函数23y x =交BC 于点P ,函数1 2 y x -=交AB 于点Q ,当||||AQ CP +最小时,则a 的值为 . 11.在椭圆22 142x y +=上任意一点P ,Q 与P 关于x 轴对称, 若有121F P F P ?…,则1F P 与2F Q 的夹角范围为 . 12.已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++,0A ?,存在正数λ,使得对任意a A ∈,都有A a λ ∈, 则t 的值是 . 二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13.下列函数中,值域为[0,)+∞的是 ( ) A .2x y = B .1 2 y x = C .tan y x = D .cos y x = 14.已知,a b R ∈,则“22a b >”是“||||a b >”的 ( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件 15.已知平面αβγ、、两两垂直,直线a b c 、、满足:a α?,b β?,c γ?,则直线 a b c 、、不可能满足以下哪种关系 ( ) A .两两垂直 B .两两平行 C .两两相交 D .两两异面 16.以()1,0a ,()20,a 为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于()1,0y ,()2,0y , 且满足12ln ln 0y y +=,则点1211,a a ?? ??? 的轨迹是 ( ) A .直线 B .圆 C .椭圆 D .双曲线 三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分) 17.如图,在正三棱锥P ABC - 中,2,PA PB PC AB BC AC ====== (1)若PB 的中点为M ,BC 的中点为N ,求AC 与MN 的夹角; (2)求P ABC -的体积. 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无--------------------效 ----------------

2019年高考理科数学考试大纲

理科数学 Ⅰ.考核目标与要求 根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有:描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握:要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力:抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性;概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

2019年高考文科数学全国I II卷含答案

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.设3i 12i z -=+,则z =( ) A .2 B C D .1 2.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A =e( ) A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===,则( ) A . B . C . D . 4 .古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 12 0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是( ) a b c <

A .165 cm B .175 cm C .185 cm D .190 cm 5.函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[—π,π]的图像大致为( ) A . B . C . D . 6.某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( ) A .8号学生 B .200号学生 C .616号学生 D .815号学生 7.tan255°=( ) A .-2 B .- C .2 D . 8.已知非零向量a ,b 满足a =2b ,且(a –b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A . π6 B . π3 C . 2π3 D . 5π6 9.如图是求1 12122 + +的程序框图,图中空白框中应填入( )

2017高考全国3卷理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国) 理科数学 (试题及答案解析) 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合{} 22 (,)1A x y x y =+=,{}(,)B x y y x ==,则A B 中元素的个数为() A .3 B .2 C .1 D .0 【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合,B 表示直线y x =上所有点的集合, 故A B 表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即A B 元素的个数为2,故选B. 2.设复数z 满足(1i)2i z +=,则z =() A .1 2 B . 2 C .2 D .2 【答案】C 【解析】由题,()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2 z -+= ===+++-,则22112z =+=,故选C. 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是 A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 【答案】A 【解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A 选项错误,故选A. 4.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为() A .-80 B .-40 C .40 D .80 【答案】C 【解析】由二项式定理可得,原式展开中含33x y 的项为 ()()()()2 3 3 2 233355C 2C 240x x y y x y x y ?-+?-=,则33x y 的系数为40,故选C. 5.已知双曲线22221x y C a b -=:(0a >,0b >)的一条渐近线方程为5 y x =,且与椭圆 22 1123 x y +=有公共焦点.则C 的方程为() A .221810x y - = B .22145x y -= C .22154x y -= D .22 143 x y -= 【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =,则5 b a = ① 又∵椭圆22 1123 x y + =与双曲线有公共焦点,易知3c =,则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==,则双曲线C 的方程为22 145 x y - =,故选B. 6.设函数π ()cos()3 f x x =+,则下列结论错误的是() A .()f x 的一个周期为2π- B .()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C .()f x π+的一个零点为π6x = D .()f x 在π (,π)2 单调递减 【答案】D 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到, 如图可知,()f x 在π,π2?? ???上先递减后递增,D 选项错误,故选D. π23π53 -π36 π x y O 7.执行右图的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为() A .5 B .4 C .3 D .2

2019年全国Ⅱ卷文科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B= A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.(-1,2) D. 2.设z=i(2+i),则= A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= A B.2 C. D.50 4.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A.2 3 B.3 5 C.2 5

D.1 5 5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测。 甲:我的成绩比乙高。 乙:丙的成绩比我和甲的都高。 丙:我的成绩比乙高。 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 6.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)= -1,则当x<0时,f(x)= A.-1 B.+1 C.- -1 D.- +1 7.设α,β为两个平面,则α //β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 8.若,是函数f(x)= sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω A.2 B.3 2 C.1 D.1 2 9.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,则p=

A.2 B.3 C.4 D.8 10.曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为 A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0 11.已知,2sin2α=cos2α+1,则sinα= A.1 B 5 C 3 D 12.设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆交于P,Q两点。若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 A B C.2 D 二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 13.若变量x,y满足约束条件,则,z=3x-y的最大值是。 14.我国高铁发展迅速,技术先进,经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为

2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全)

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.=++i 1i 3 A .i 21+ B .i 21- C .i 2+ D .i 2- 2. 设集合{}4 2 1,,=A ,{} 042=+-=m x x B ,若{}1=B A ,则=B A .{}3 1-, B. .{}0 1, C .{}3 1, D .{}5 1, 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A .π90 B .π63 C .π42 D .π36 5.设y x 、满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+,,,0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是 A .15- B .9- C .1 D .9 6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 A .12种 B .18种 C . 24种 D .36种 理科数学试题 第1页(共4页)

-2019三年高考数学(文科)分类汇编专题15概率与统计(解答题)

2017-2019三年高考数学(文科)分类汇编 专题15概率与统计 (解答题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

专题15 概率与统计(解答题) 1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附: 2 2 () ()()()() n ad bc K a b c d a c b d - = ++++ . 【答案】(1)男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8,0.6;(2)有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【解析】(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为40 0.8 50 =, 因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8. 女顾客中对该商场服务满意的比率为30 0.6 50 =, 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6. (2)由题可得 2 2 100(40203010) 4.762 50507030 K ??-? =≈ ??? . 由于4.762 3.841 >, 故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 8.602≈. 【答案】(1)产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%;(2)这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%. 【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得, 所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为147 0.21100 +=. 产值负增长的企业频率为 2 0.02100 =. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%. (2)1 (0.1020.10240.30530.50140.70 7)0.30100 y = - ?+?+?+?+?=, ()52 2 1 1100i i i s n y y ==-∑ 22222 1(0.40)2(0.20)240530.20140.407100??= -?+-?+?+?+?? ? =0.0296, 0.020.17s ==≈, 所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%. 3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A ,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间

2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x => D .A B =? 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A . 14 B . π8 C .12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A .13,p p B .14,p p C .23,p p D .24,p p 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

2019年全国III卷理科数学高考真题

2019普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答 题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2} 2.若z(1+i)=2i,则z= A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并成为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本小学生阅读四大名著的情况,随机调查看了100位学生,期中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为 A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 4.的展开式中的系数为 A.12 B.16 C.20

D.24 5.已知各项均为正数的等比数列 {}的前4项和为15,且,则 A.16 B.8 C.4 D.2 6.已知曲线y=+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a= ,b=1 D.a=,b=-1 7.函数y= 2x3 2x+2-x ,在[-6,6]的图像大致为 A.B.

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