高三文科数学测试题

高三文科数学周三测试命题人： 审核： 使用时间 ：2016.9.21一、选择题．（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1、已知α为第二象限角，若3sin 5α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25242、要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ） （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移12个单位 （D ） 向右平移12个单位 3、已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是 （ ）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B )(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数4、已知角α的终边上一点P （4k ，3k ）（k≠0），则sinα的值为（ ）A ．53B ．53-C ．53± D ．不能确定 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，若︒===45,2,3B b a ，则角A=（ ）A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°6、25242sin =a ，则)4cos(2a -π的值为（ ） A ．51 B ．57 C ．51± D ．57±7、将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m 的最小值是( ) A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北方向航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 minB.157 h C ．21.5 min D ．2.15 hA ．1B ．2C ．-1D ．-210、函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）第Ⅱ卷（非选择题部分，共100分）二、填空题．（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11、在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________ 12、在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a=2 ，B=6π，c =23，则b =13、已知函数()ϕω+=x y cos [))2,0,0(πϕω∈>的部分图象如右图所示，则ϕ的值为________ 14、若)2,0(πα∈，且21)22sin(cos 2=++απα，则tan α= 15、对于ABC ∆，有如下命题：①若B A 2sin 2sin =,则ABC ∆为等腰三角形；②若B A cos sin =则ABC ∆为直角三角形；③若1cos sin sin 222<++C B A 则ABC ∆为钝角三角形．其中正确命题的序号是三、解答题．16．(12分)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．17．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．18、（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=3acosB ． （1）求角B 的大小．（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值．19、(12分)如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈[4,8]的图象，图象的最高点为B ⎝⎛⎭⎫5，833，DF ⊥OC ，垂足为F . (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式．(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？20、（本题满分15分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量 (1,sin )m A λ=,(sin ,1cos )n A A =+ ．已知 //m n． （I ）若2λ=，求角A 的大小．（II ）若3b c a +=,求λ的取值范围．21、（本题满分15分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--（1）求角A ．（2）若2=a ，求bc 的取值范围．高三文科数学周三测试参考答案一、选择题 题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D D B A B D二、填空题11、︒90 12、2 13、47π 14、23 15、③ 三、解答题16．[解答] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.17、[解答] (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×54π－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎡⎦⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35.又∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×1213－513×45＝1665.18、（1） bsinA=3acosB ，由正弦定理可得sin sin 3sin cos B A A B =，即得tan 3B =，3B π∴=．（2） sinC=2sinA ，由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222c o s b a c a c B=+-，229422cos3a a a a π=+-⋅，解得3a =，223c a ∴==19、[解答] (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图象知，A ＝833，ω＝2πT ＝2π4(8－5)＝π6，将B ⎝⎛⎭⎫5，833代入到y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ中，得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝－π3，故y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3.(2)在y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3中令x ＝4，得D (4,4)，得曲线OD 的方程为y 2＝4x (0≤x ≤4，y ≥0)，设点P ⎝⎛⎭⎫t 24，t (0≤t ≤4)，则矩形PMFE 的面积为S ＝⎝⎛⎭⎫4－t 24t (0≤t ≤4)，因为S ′＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝433，且当t ∈⎝⎛⎭⎫0，433时，S ′>0，S 递增；当t ∈⎝⎛⎭⎫433，4时，S ′<0，S 递减，所以当t ＝433时，S 最大，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，433.20、解：（Ⅰ）由//m n，得 22sin 1cos 0A A --=即 22cos cos 10A A +-=，即 1cos 2A =或cos 1A =-（舍去），所以 3A π= （Ⅱ）由//m n，得 2sin 1cos 0A A λ--=，即 2cos cos 10A A λλ++-=，即 1cos A λλ-=或 cos 1A =-（舍去），又 2222222222()()333cos 222b c b c b c bc b c aA bcbc bc++-+-+-===4213323bc bcbc -≥=．综上，λ需要满足1113λλ-≤<，解之得302λ<≤．21、解：（1）AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--，AA Bac B ac cos sin cos cos 2-=-∴，为锐角三角形ABC ∆ 0cos ≠∴B 1cos sin 2=∴A A ，12sin =A 即，4,22ππ==∴A A（2）正根据弦定理可得：C c B b A a sin sin sin ==，C B bc sin sin 4=∴ 而 B C -=43π， )43sin(sin 4B B bc -=∴π=)sin 22cos 22(sin 4B B B +)2cos 1(22sin 2B B -+= 2)42sin(2+-=⇒πB bc又为锐角三角形ABC ∆，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<∴243020πππB B ，得到B 的范围：)2,4(ππ∴)43,4(42πππ∈-B ，则bc 范围：（2]22,2+。