几何经典模型：半角模型

本文为word 版资料，可以任意编辑修 本文为word 版资料，可以任意编辑修已知如图：①∠2=12∠AOB ；②OA =OB . OABEF123连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置，连接F ′E ，FE ，可得△OEF ≌△OEF ′ 4321F'FEBAO模型分析∵△OBF ≌△OAF ′，∴∠3=∠4，OF =OF ′.∴∠2=12∠AOB ，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE 是公共边，∴△OEF ≌△OEF ′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型实例例1 已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N ．（1）求证：BM+DN=MN ．（2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB ．证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ．在△ADE 和△ABM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD∴△ADE ≌△ABM ．∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．∴ ∠MAN=∠EAN=45°．在△AMN 和△AEN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN MAN EA MA∴△AMN ≌△AEN ．∴MN=EN ．∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．即EN AD 21MN AH 21⋅=⋅． 又∵MN=EN ，∴AH=AD ．即AH=AB ．例2 在等边△ABC 的两边AB 、AC 上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC ．探究：当M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．（1）如图①，当DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_______________；（2）如图②，当DM≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．图① 图② 解答（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系是BM+NC=MN ．（2）猜想：BM+NC=MN ．证明：如图③，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．∵BD=CD ，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD 与△ECD 中，∵DB=DC ，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE ，∴△MBD ≌△ECD （SAS ）．∴DM=DE ，∠BDM=∠CDE ．∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．在△MDN 和△EDN 中，∵MD=ED ，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN ，图③ 例3 如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=21∠BAD ．求证：EF=BE-FD ．证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF ．在△ABG 和△ADF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ．∴∠GAF=∠BAD ．∴∠EAF=21∠BAD=21∠GAF ． ∴∠GAE=∠EAF ．在△AEG 和△AEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△AEG ≌△AEF （SAS ）．∴EG=EF ．∵EG=BE-BG ，练习：1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°．求证：MN=DN-BM ．【答案】证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°．在△ABM 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD∴△ABM ≌△ADE ．∴AM=AE ， ∠MAB=∠EAD ．∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ，∴∠DAE+∠BAN=45°．∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ．在△AMN 和△AEN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN MAN AE AM∴△ABM ≌△ADE ．∴MN=EN ．∵DN-DE=EN ．2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图①图②【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B2+BD2=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=DE′．∴DE2=BD2+EC2．图①（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．即DE2=BD2+EC2．图②3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°．（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．图①图②图③【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图①图①（2）成立；证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，∠AOE=∠CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=∠MON=60°．∴△MOE≌△MON．∴ME=MN．∴AM=AE+ME=CN+MN．图②（3）如图③，AM=MN-CN．图③4．如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE+FD=EF ．求证：∠EAF=21∠BAD ．【答案】证明：如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转∠DAB 的度数得到△ABG ，AD 旋转到AB ，AF 旋转到AG ， ∴AG=AF ，BG=DF ，∠ABG=∠D ，∠BAG=∠DAF ．∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+∠ABG=180°．∴点G 、B 、C 共线．∵BE+FD=EF ，∴BE+BG=GE=EF ．在△AEG 和△AEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===EF EG AE AE AF AG∴△AEG ≌△AEF ．∴∠EAG=∠EAF ．∴∠EAB+∠BAG=∠EAF ．又∵∠BAG=∠DAF ，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF ．∴∠EAF=21∠BAD ．以上王志强录入5．如图①，已知四边形ABCD ，∠EAF 的两边分别与DC 的延长线交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，连接EF ．（1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF ＝45°时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图②，如果四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF ＝12∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．（3）在（2）中，若BC ＝4，DC ＝7，CF ＝2，求△CEF 的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE（2）EF=DF-BE证明：如图，在DF 上截取DM=BE ，连接AM ，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°∵D=ABE∵AD=AB在△ADM 和△ABE 中，DM BE D ABE AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADM ≌△ABE∴AM=AE ，∠DAM=∠BAE∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=1∠BAD ，∴∠MAF=12∠BAD ∴∠EAF=∠MAF在△EAF 和△MAF 中AE AM EAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△MAF ∴EF=MF∵MF=DF-DM=DF-BE ， ∴EF=DF-BE（3）∵EF=DF-BE∴△CEF 的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=15badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu baidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu badiubaidubaidubaidu赠送—高中数学 必修1知识点【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A {|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =。