初中数学——经典几何模型之“阿氏圆”
中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)
中考数学几何模型：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25 OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DPMPDCBA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13．变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=37例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt △EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152． ABCD P MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴525PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.[答案]37.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB+的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？[答案]426. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴P A2＝AE•AD，∴＝，∵∠P AE＝∠DAP，∴△P AE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。
阿氏圆四个结论及其证明
阿氏圆四个结论及其证明
阿氏圆是数学中的一个重要概念，它描述了在平面上，任意两点与同一点所形成的角，都等于该点与另两点的连线所形成的角的结论。
以下是阿氏圆的四个结论及其证明：
结论一：对于任意三点A、B、C，如果点D在直线AB上，且满足∠ACD = ∠BCD，那么点D是线段AB的中点。
证明：第一步，作线段CD的中点E，并连接AE。
由于∠ACD = ∠BCD，根据角平分线的性质，我们可以得到AE垂直于CD。
第二步，由于E是CD的中点，根据中点的性质，我们知道DE = EC。
第三步，由于AE垂直于CD，根据垂直平分线的性质，我们可以得到AD = BD。
综上，点D是线段AB的中点。
结论二：对于任意三点A、B、C，如果∠ACB = 90°，那么以AB为直径的圆与线段BC相切于点B。
证明：第一步，作圆心O与BC的延长线交于点D。
由于∠ACB = 90°，根据直角三角形的性质，我们可以得到AC垂直于BC。
第二步，由于O是AB的中点，根据中点的性质，我们知道OC = OB。
第三步，由于AC垂直于BC，根据垂直平分线的性质，我们可以得到AD是BC的垂直平分线。
综上，以AB为直径的圆与线段BC相切于点B。
结论三：对于任意三点A、B、C，如果∠ACB < 90°，那么以AB为直径的圆与线段BC相交于两点B和D。
证明：第一步，作圆心O与线段BC交于点D。
由于∠ACB < 90°，根据锐角三角形的性质，我们可以得到AC < BC。
第二步，由于O是AB的中点，根据中点的性质。
经典几何模型之“阿氏圆”
经典几何模型之“阿氏圆”————段廉洁一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
经典几何模型之阿氏圆教学设计 (2)精选全文
可编辑修改精选全文完整版《经典几何模型之阿氏圆》教学设计一．教学目标根据课程标准与教学内容并结合学生实际，确定本节课的教学目标为： 1.知识与技能了解阿波罗尼斯圆及其文化背景，掌握阿波罗尼斯圆的简单性质并能应用性质解决问题. 2.过程与方法通过具体例子引导学生自主合作、探究、抽象概括，对阿波罗尼斯圆由感性认识上升到理性认识的过程，体会从特殊到一般的数学研究方法，渗透数形结合的思想． 3.情感、态度与价值观通过学生对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力和抓主要矛盾解决问题的能力．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．二．重难点分析重点：阿波罗尼斯圆及其性质的理解和应用．难点：阿波罗尼斯圆性质的推导及其应用．三．教学过程（一）课题引入 提出问题：（2008年高考）已知在ABC ∆中，2AB AC ==，，求ABC S ∆的最大值. 解法一：（以下是大部分学生给出的解法）222424,cos 44x x x BC x AC B x x+--====，1=2sin 2ABCSx B ∆∴⋅⋅⋅=222x xx ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩22x ∴<<故当x =ABC S ∆大解法二：（也有小部分学生给出了这样的解法）设()()1,0,1,0A B -，动点C满足AC =，求点C 的轨迹，=即：()2238x y -+=11=222ABC y S AB C ∆∴⋅⋅≤⨯⨯=从以上两种解析过程可以看出，第二种解法简洁，又避免复杂计算，但是学生对于“AC =，点C 的轨迹是圆”这个知识点没有概念，其实这涉及到了数学的一个经典几何模型“阿氏圆”. 教材原题再现及推广：人教版必修2教材习题4.1B 组第3题：已知点M 与两个定点 (0,0),B(3,0)A 的距离之比为12，求动点M 的轨迹方程. 解：设(),M x y ，由已知得：1.2=即()2214x y ++=.探究：平面内到两个定点的距离的比值为常数λ（λ>0）的点的轨迹是圆？ 证明：两个定点不妨设(,0),B(,0)A a a -,动点,)C x y （,由题意可得||||CA CB λ=，λ=得：()()()()2222222112110x y a x a λλλλ-+--++-= 当=λ1时，0x =；当λ≠1时， 2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 圆心：221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，221a r λλ=-概念形成：阿氏圆：平面内到两个定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的点的轨迹.设计意图：先以高考真题为例暴露学生存在的问题，再以课本练习题引入，说明问题源于课本，但又高于课本，提醒学生重视课本，用好课本，发掘课本的潜在价值.（二）阿氏圆背景介绍阿波罗尼斯 (Apollonius of Perga ，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”)约公元前262～前190,古希腊人.阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”.在其巨著《圆锥曲线论》给出了一个著名的几何问题：“在平面上给定相异两点A 、B ，设点P 在同一平面内且满足，P 点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，又称阿氏圆.这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹定理”．以阿波罗尼斯圆为背景的考题在历年高考中频频出现，备受青睐.《普通高中数学课程标准（实验）》在不同部分对数学文化的内涵和价值做了阐述，首次明确提出数学课程要“体现数学的文化价值”.设计意图：抽象概括，形成概念，渗透数学文化，体现课程标准． （三）阿氏圆定义的应用例1（2020年全国卷） 已知12030F ,,F ,（-3）（）为双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左右焦点，若双曲线C 的渐近线上存在点P 满足: 122PF PF =，求b 的最大值. 解：122PF PF =()()2222343x y x y ⎡⎤∴++=-+⎣⎦即()22516x y -+= 即圆与渐近线有交点55 4.3b bc ==≤ 125b ∴≤变式训练：已知向量2a =，且2b a b =-，求cos a,b 的最小值. 解：设()()20a ,,b x,y ==2b a b =- 224b a b ∴=-()222242x y x y ⎡⎤∴+=-+⎣⎦ 2281639x y =⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭当OB与圆相切时，cos a,b 有最小值为2设计意图：解题思路一般有两种，一是以边长（或角）为自变量建立函数关系式，转化为函数最值问题来处理，但计算繁琐，浪费时间.二是建系，转化为阿氏圆的问题进行处理. （四） 探究阿氏圆性质1.阿氏圆的圆心D 与两个定点的位置有什么关系？2.|||___,||AE AF|=____.EB |BF|= 3. 若PAPBλ=，圆心到定点的距离（DA 、DB ）与半径（r ）之间有什么等量关系?2r DA DB =⋅， 1DB r λ=⋅， DA r λ=⋅， 1||ABr λλ=-. （五）灵活应用例3 P 为圆O ：2236x y +=上任意一点, M,N 为定点,其中点M(3,0),若PNPMλ=则=λ ，定点N 的坐标________.解析：此题若用常规思路先求点P 的轨迹方程，再求半径和面积自然可以求解．但对于填空题大可不必“小题大做”，若应用性质可以很快确定点P 的轨迹.也可以直接代入上述结论计算半径和面积.例4 若3,5OA OB ==，P 为圆O ：2236x y +=上任意一点,则2AP BP +的最小值为 ；解：6,3,5r OA OB === 12OA=r ∴设2PH AP =∴ 圆O 是以A,H 为定点的阿氏圆212,OH r ∴=⨯= ()0,12H ∴ 213AP BP PH BP HB ∴+=+==小变式：求56AP BP +的最小值 .解：6,3,5r OA OB === 55666OB=r ∴⨯=⨯设65BG BP =∴ 圆O 是以B,G 为定点的阿氏圆636,55OG r ∴=⨯=36,05G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()656555395AP BP PA BP AP BG AG ⎛⎫∴+=+=+== ⎪⎝⎭小（六）模拟试卷链接1. 已知a,b,c 是同一个平面内的三个单位向量，若a b ⊥，求232a c a b c +++-的最小值.2. 已知a,b,c 是同一个平面内的三个向量，若44a =,b =，且0a b=⋅，若c 满足：220c a c+15=-⋅求4c a b c ++-的最小值设计意图：巩固提升，突出重点，突破难点，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力． （七）课堂总结(1)在这节课中,你有什么收获? (2)你最感兴趣的是什么? (3)你想继续探究些什么? （八）再思考1. 平面内到两定点的距离之积（平方和、平方差）为定值的点的轨迹是什么？3. 平面内到一定点和一定直线（两直线）的距离之和（差、积、商）为定值的点的轨迹是什么？设计意图：由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，在此基础上提出可以继续探究的问题，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．四.教学反思本堂课我就解析几何中有关圆的定点、定值类问题中涉及阿波罗尼斯圆的一些问题，结合高考中以阿波罗尼斯圆为背景的考题.对阿波罗尼斯圆及其性质进行了一个简单的探究. 教学过程中我按照“创设情境---组织探索---知识应用1、教学思路清晰，学生思维活跃，求知欲强，对问题的解法能够提出自己的想法，总结也非常到位.2、大部分同学能够利用阿波罗尼斯圆巧妙解决定点、定值问题.3、充分运用多媒体及几何画板，化抽象为形象，突出了重点,化解了难点. 不足之处：1、由于学生尚未具有良好的思维水平和学习习惯，因而灵活运用知识的能力欠缺.2、学生的计算能力还有待提高.3、少数同学没有跟上上课的节奏，听起来有点吃力.在今后的教学中，我会加强对学生灵活运用知识能力和计算能力的培养，同时适当照顾后进生.。
2021初中数学阿氏圆最值模型归纳讲课讲稿
初中数学阿氏圆最值模型归纳几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.PA B O【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O 上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=25R，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2PB=PC；故本题求“PA+2PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为5 5定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小；【技巧总结】计算PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形P问题：在圆上找一点 P 使得 PA k PB 的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPkOB3. 在 OB 上取一点 C ，使得 OC k ，即构造 △POM ∽△ BOP ，则 PCk ， PC k PBOP PB4. 则 PA k PB=PA PC AC ，当 A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究启迪思维 探究重点例题 1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，AC=4 ， BC=3，以点 C 为圆心， 2 为半径作圆 C ， 分别交 AC 、BC 于 D 、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则1 PA PB 的最小值为2．AADDPMCEBCB【分析】这个问题最大的难点在于转化1PA ，此处 P 点轨迹是圆，注意到圆 C 半径为 2，2CA=4 ，连接 CP ，构造包含线段 AP 的△CPA ，在 CA 边上取点 M 使得 CM=2 ， 连接 PM ，可得 △CPA ∽△ CMP ，故 PA ：PM=2:1，即 PM= 1PA ．2问题转化为PM+PB≥BM 最小值，故当B，P，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13 ．变式练习>>>1. 如图1，在RT△ABC 中，∠ ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP,BP，求① AP 1BP ，②2 AP2BP ，③1AP3BP ，④AP 3BP 的最小值.[答案]：①= 37 ，②=2 37 ，③= 237 ，④= 2 37 .3例题2. 如图，点 C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10 ,点B 在⊙C 上一动点，OB5AB5的最小值为.[答案]：5.变式练习>>>2. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1) ，M(4,4) ，以M 为圆心，2 2 为半径画圆，O 为原点，P是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC＝1，BD＝2，P 为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D 共线时，PC+PD 最小．理由：连接PB、CO，AD 与CO 交于点M，∵AB＝BD＝4，BD 是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB 是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC 是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC 是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM ，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP 最小＝AD﹣AM＝2 ﹣＝．变式练习>>>3. 如图，四边形ABCD 为边长为 4 的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则PD+ PC 的最小值为 5 ；PD+4PC 的最小值为10 ．【解答】解：①如图，连接PB、在BC 上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE?BC＝4，∴PB2＝BE?BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+ PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE 中，DE＝＝5，∴PD+ PC 的最小值为5．②连接DB，PB，在BD 上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC 于F．∵PB2＝4，BE?BD＝×4 ＝4，∴BP2＝BE?BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC 中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC 的最小值为10 ．故答案为5，10 ．例题 4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆 B 的半径为3，点P 是圆 B 上的一个动点，则PD 最大值为．1PC 的2ADPBC【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=3，根据题意要求构造1 PC ，在 BC 上取 M 使2得此时 PM= 3 ，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM= 1PC ，从而将问题转化为求 PD-PM 的22最大值．连接 PD ，对于 △PDM ，PD-PM ＜ DM ，故当 D 、M 、P 共线时， PD-PM=DM 为最大 15值 ．2AD A DA D A DPBMCPBMCPBMCBMCP变式练习 >>>4．（ 1）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD ﹣的最大值为．（ 2）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠ B ＝ 60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD ﹣的最大值为．图 1图 2【解答】解：（ 1）如图 3 中，在 BC 上取一点 G ，使得 BG ＝4．∵ ＝ ＝ ，＝ ＝ ，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+ PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P 共线时，PD+ PC 的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD﹣PC 的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4 中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF ⊥BC 于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+ PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P 共线时，PD+ PC 的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF 中，∠DCF ＝60°，CD＝4，∴DF ＝CD?sin60 ＝°2 ，CF＝2，在Rt△GDF 中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD﹣PC 的值最大（如图 2 中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与直线AB 交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线1AC：y=﹣x﹣6 交y 轴于点C．点E 是直线AB 上的动点，过点 E 作EF⊥x 轴交AC 于点2F，交抛物线于点G．（1））求抛物线y=﹣x2+bx+c 的表达式；（2））连接GB，EO，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G的坐标；（3））①在y 轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E 运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H 的坐标；②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM+CM 它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c 上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB 的解析式为y=kx+n 过点A ，B，∴，∴，∴直线AB 的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB 是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB 的解析式为y=2x+4 ，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12 x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形，∵直线AB 的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF 为对角线，∴1（﹣4+0）=12 2（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH= 5 ，AE=2 5 ，设AE 交⊙E 于G，取EG 的中点P，∴PE=5，2连接PC 交⊙E 于M，连接EM，∴EM=EH= ，∴PEME52 = 1 ，∵ME5 2 AE5=12 5 2，∴PE MEME AE=1，2∵∠PEM=∠MEA ，∴△PEM∽△MEA ，∴PE MEME AE =1，2∴PM=12 AM ，∴12AM+CM 的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52 ，∴5（p+2）2=5，4∴p=52 或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC= = 5 52，即：12AM+CM=5 5．2变式练习>>>5. 如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x 轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，在x 轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点 E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB 于点M．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+ E′B 的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1 或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x 轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB 解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB 解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1 中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+ x+3，∴PN＝﹣m2+ m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2 中，在y轴上取一点M′使得OM ′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′O?B＝×3＝4，∴OE′2＝OM′O?B，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM ′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在RT△ABC 中，∠ B=90°，AB=CB=2 ，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆 C 的半径为 2 ，点P 为圆B 上的一动点，求AP2PC2的最小值.[答案]： 5 .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 11 -2. 如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O 上一动点，则 2 PA+PB 的最小值为.[答案]：2 5 .3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O 上一动点，则2PB+PC的最小值为.[答案]：3 7. 24. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=3 ，CB=4， C 的半径为2，点P 是 C 上的一动点，则AP 1PB 的最小值为？2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 12 -5. 如图，在平面直角坐标系中， A 2,0 ，B 0,2 ，C 4,0 ，D 3,2 ，P是△ AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC 的最小值是多少？[答案] 4 26. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C 为顶点的正方形CDEF （C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点 C 自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△ AFC；（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD+ AD 的值；（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD+ AD 的最小值．【解答】（1）证明：如图 1 中，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 13 -（2）解：①如图2 中，当点D，E 在AB 边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 ，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+ AD＝+1．②如图3 中，当点E，F 在边AB 上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+ AD＝+ ．（3）如图4 中．取AC的中点M．连接DM ，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM?CA，∴＝，∵∠DCM ＝∠ACD，∴△DCM ∽△ACD，∴＝＝，∴DM ＝AD，∴BD+ AD＝BD+DM ，∴当B，D，M 共线时，BD+ AD 的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC 中，AB＝AC，BD 是AC 边上的中线，请用尺规作图做出AB 边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P 是边长为 6 的正方形ABCD 内部一动点，PA＝3，求PC+ PD 的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD 中，AB＝18，BC＝25，点M 是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+ MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC+ MD 的最小值．【解答】解：（1）如图1 中，作线段AB 的垂直平分线MN 交AB 于点E，连接EC．线段EC 即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 14 -∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2 中，在AD 上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE?AD＝×6＝9，∴PA2＝AE?AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+ PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+ PD 的最小值为EC 的长，在Rt△CDE 中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+ PD 的最小值为．（3）如图3 中，如图 2 中，在AD 上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE?AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE?AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM ，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD ，∴MC+ MD ＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+ MD 的最小值为EC 的长，在Rt△CDE 中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2 ，∴MC+ MD 的最小值为 2 ．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 15 -。
2022年全国中考数学经典几何模型解题策略专题 最值之阿氏圆问题
三、真题演练
APC∽BPA ，
AP CP AC 1 ， BP AP AB 2
BP 2AP ， CP 1 AP ， 2
BP CP BC 4 ，
2AP 1 AP 4 ，解得： AP 8 ，
2
3
BP 16 ， CP 4 ，即点 P 为定点，
3
3
点 A 的轨迹为以点 P 为圆心，8 为半径的圆上，如图，过点 P 作 BC 的垂线，交圆 P 与点 3
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中物理
专题 最值之阿氏圆问题
一、方法突破
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定 点距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点 P 构成的 图形为圆．
P
A
B
O
“阿氏圆”的一些性质： （1） PA MA NA k ．
PB MB NB 应用：根据点 A、B 的位置及 k 的值可确定 M、N 及圆心 O． （2）△OBP∽△OPA，即 OB OP ，变形为 OP2 OA OB ．
在 RtCDH 中， CH CD cos60 4 ， DH CD sin 60 4 3 ， GH CG CH 6 4 10，
DG GH 2 DH 2 102 (4 3)2 2 37 ， PD 1 PC PD PG DG ， 2
PD 1 PC 2 37 ， 2
PD 1 PC 的最大值为 2 37 ． 2
A1 ，此时点 A1 到 BC 的距离最大，即 ABC 的面积最大，
初中数学阿氏圆模型
初中数学阿氏圆模型
阿氏圆模型是一个初中数学中比较重要的概念，它的主要作用是帮
助我们更好地理解椭圆的性质。
下面，我将介绍一下阿氏圆模型的相
关知识。
一、阿氏圆的概念
阿氏圆是指在椭圆上取两点A、B，以它们为焦点作二次函数的图像所
得的第三个焦点C所在的椭圆。
在数学上，它的表示式为x²/a²+y²/b²=1。
二、阿氏圆的性质
1. 根据椭圆的定义可知，阿氏圆上任意一点P到其他两点A、B的距离之和等于常数2c，即AP+BP=2c。
2. 阿氏圆的两个直径分别是椭圆长轴和短轴，它们的长度分别为2a和
2b。
3. 阿氏圆与椭圆的关系：椭圆的焦点在阿氏圆上，阿氏圆的焦点也在
椭圆上。
同时，椭圆的两个焦点与阿氏圆的两个交点连成的线段互相
垂直。
三、阿氏圆的应用
1. 阿氏圆可以帮助我们更好地理解椭圆的本质特征和性质，比如椭圆
的对称轴、离心率和焦点等。
2. 阿氏圆可以用来解决一些跟椭圆有关的几何问题，比如焦点坐标、
半径、直径的求解等。
3. 阿氏圆在物理学中也有一些应用，比如描述电子在电磁场中的运动
轨迹等。
以上就是阿氏圆模型的相关知识，希望这篇文章可以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAkMB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()2222222222222222212210221x m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB的最小值为__________．EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12 PA．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12 PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。