中考数学几何模型专题专题十—经典模型
专题十经典模型模型53 “胡不归”模型模型故事从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?模型展现基础模型怎么用?1．找模型直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值2.用模型构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可 模型分析如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k 的线段kAP ;二构:在点B 异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形; ①以定点A 为顶点作①CAP ,使得sin ①P AC =h ; ①过动点P 作垂线构造Rt ①P AC ; 三转化:化折为直,将kAP 转化为PC ;四求解:使得hAP +BP =PC +BP ,利用“垂线段最短”转化为求BD 的长度.拓展延伸熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP +BP 中系数k 发生变化时,所构造的直角三角形也会发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin 30 =2，0sin 60，0sin 45 =2，03sin 375，04sin 53 5例1如图， 在①ABC 中，AC =6，①A =30°，点D 是AB 边上一动点，（点拨：两定点A 、C ，动点D ，含特殊角30°）则12AD CD 的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”）考什么?直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.思路点拨哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图, 在平行四边形ABCD中,①DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则22PB PD（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________考什么?平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。
实战实演1、如图,在OABC中,AB=AC=8,tan4=/3 ,BELAC于点E,点D是线段BE上的一个动点，则12CD BD的最小值是（）A. 4B.C.243D. 82、如图,在等腰Rt①ABC中，①BAC=90°，BC=10，AD①BC于点D，点M是AD上一点，则3BM AM的最小值为__________53、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-1，0，B(3，0)，与y轴交于点C(0，-3) ，D为抛物线的顶点.(1)抛物线的解析式为_____________，顶点D的坐标为________________;(2)点M为y轴上的一个动点,连接AM,AM的最小值。
模型54 “阿氏圆”模型模型故事阿氏圆(阿波罗尼斯圆)阿波罗尼斯( Apollonius，约公元前262-190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。
他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。
如图，已知平面上两定点A、B，则所有满足PAk PB（k>0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
模型展现基础模型：怎么用?1.找模型平面上两点A，B，点P在圆上，求“kAP+BP"的最小值或“AP-kBP"的最大值，即考虑“阿氏圆”模型2.用模型截取线段构造一组相似三角形，利用线段比例关系转化线段，再根据线段最短问题求最值。
模型分析：如图，点P 是半径为r 的①0上一动点，点A ，B 为圆外的定点，且r =k ·0A （0<k <1），如何确定点P 的位置，使得kAP +BP 的值最小。
一找：找带有系数的线段AP ; 二构：在线段OA 上取一点C ,构造ΔPCO~ΔAPO ;①在线段OA 上截取OC ,使得OC=k·r ; ①连接PC,OP ,证明ΔPCO~ΔAPO ;三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将kAP 转化为PC ;四求解：使得kAP+BP=PC+BP ,连接BC ,利用“两点之间线段最短”转化为求BC 的长. 【满分技法】阿氏圆模型，初中阶段不要求证明，但需要掌握的是，学会运用构造相似三角形的方法，确定P 点的位置，求形如“kAP+BP ”线段长度的最值，不仅在选填中考查，而且在几何、面数综合题中也考查，因此提炼模型特点，掌握应对方法很重要. 模型拓展思考“胡不归”“阿氏圆”之间的关系：【满分技法】若遇到形如k ,PB +k ,P A 的问法，只需将其中一个系数化为1.就化为标准模型了，对于“阿氏圆”例外，“阿氏圆”模型是利用构造“子母”相似三角形来解题，只要符合相似比即可.典例小试例1 如图，已知①AOB =90°,OB =4,OA =6.①O 的半径为2，（圆外两点） P 为圆上一动点.（圆上一点）(1)BP AP 21+的最小值为(2)BP AP +31的最小值为 .考什么？相似三角形的判定与性质，勾股定理 思路点拨该题两问均为AP 与BP 数量关系的最值，但解题的关键要看系数k 所在的线段，再依据模型方法解题.例2 如图，在RtΔABC 中，①ACB =90°,AC =4,BC =3,D 为①ABC 内一动点，满足CD =2，（点D在以点C 为圆心，CD 长为半径的圆上）那么 BD AD 32+的最小值 .考什么？定点定长构造隐形图，相似三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，两点之间线段最短. 思路点拨有时候题干中不会直接出观圆，而需要根据题目中所给的条件判断并画出隐形国，再解题，因此最重要的还是提炼模型特点！（隐形图问题见模型42-46)实战实演1.如图，在矩形ABCD 中，BC =7,AB =9,P 为矩形内部一点，分别连接AP ,BP ,CP ,且PB =3,延长CP 交AB 于点F ,若BF ＝1.则PC AP +31的值为 .2.如图，已知正方形ABCD 的边长为9,①B 的半径为6,点P 是①B 上的一个动点，那么PC PD 32+的最小值为 ,PC PD 32-的最大值为 .3.如图，已知抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0)过A,B 两点，OA =1,OB =5,抛物线与y 轴交于点C ,点C 的纵坐标与点B 的横坐标相同，抛物线的顶点为D .（1)抛物线的解析式为 ，顶点D 的坐标为 ； （2)如图，已知①A 的半径为2,点M 是圆A 上一动点，连接CM,MB ,则BM CM +1326是否存在最小值？若存在，说明在何处取得最小值；若不存在，请说明理由.模型55 费马点模型模型故事费马点皮耶∙德∙费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”“费马大定理”等.今天的问题不是费马提出来的,而是他解决的,故而叫费马点模型展现怎么用?1. 找模型.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点(也叫托里拆利点)2.用模型.运用旋转法,以三角形任意一条边向外旋转构造等边三角形,根据两点之间线段最短,得出费马点位置)结论分析结论1:当①ABC的最大内角小于120°时,P点满足△APB=△BPC=△APC= 120°证明:如图①,将①CBP绕点C逆时针旋转60°得到①CFE,连接PE,BF,①△CBP△△CFE,PB=EF, CP= CE, CB=CF.又①△PCE=△BCF=60°,①△BCF, △CEP均为等边三角形,① PC=CE=PE,P A+PB+PC=P A+EF+PE≥AF,①当A,P,E,F四点共线时,P A+PB+PC的值最小，最小值为AF的长.此时△APC= 180°-△CPE= 180°-60°= 120°，△BPC=△FEC= 180°-△CEP= 180°-60°= 120°,△APB=360°-(△APC+△BPC)= 120° ,①△APB=△BPC=△APC= 120°.结论2:当①ABC有一个内角不小于120°时,点P与最大角顶点重合证明:在①ABC中，令①ACB≥120°,在△ABC内取一点P,连接P A ,PB ,PC ,将△BPC绕点C逆时针旋转至△FEC,使得F,C,A三点共线.①△EFC△△PBC, .△△ECF=△BCP,△△ECP= 180°-△ECF-△PCA= 180°-△BCP-△PCA= 180°-△ACB≤60°，在三角形中,由于小角对小边，①EP≤PC,△PB+PC+P A≥EF+EP+P A≥F A.①当P点与C点重合时,PB+PC+P A的值最小，即C点为费马点.满分技法证明过程是把三角形内一点到三个顶点的距离之和转化为一条折线,且折线的最远端两个端点是固定的,因此只有折线成为直线段时距离之和最小.巧学巧记口诀记忆:向外作等边三角形,连线即可.如图,以△ABC的三边为边向外构造等边△BCD，△ACE,△ABF,连接AD, BE, CF,则:①AD,BE,CF交于点P,即为费马点;①P A+PB+PC=AD=BE= CF.典例小试例1如图,在△ABC中，△ACB=30°（注：含30°特殊角,可考虑绕点C旋转构造等边三角形）, BC=6,AC=5,P为三角形内一点，则P A+PB+PC的最小值为______本题考什么?旋转的性质,等边三角形的判定与性质,直角三角形的判定与性质.思路点拨在证明费马点结论时,绕任意顶点旋转均可求证,但在解题时,要结合具体题干特点,选择“有用”的顶点旋转构造.例2.如图，△ABC为等边三角形,P是△ABC内一点,P A=3,PB=4,PC=5(注：常见直角三角形的三边长3.4,5,考虑将其通过旋转转化在一个三角形中),则△APB的度数为___________.本题考什么?旋转与等边三角形的性质,勾股定理逆定理思路点拨通过旋转,将所求角度转化为其他角度,把P A ,PB ,PC 放在一个三角形中,根据三角形的特殊性解题. (当题中存在常见的直角三角形三边关系或其倍数关系时,考虑旋转、平移或构造等线段转化)实战实演1.如图,在Rt ①ABC 中，①ACB = 90°,AC =9,BC P 为①ABC 内一点,则P A +PB +PC 的最小值为___________.2.在锐角△ABC 中,AC=7,△ACB= 75°,P 为△ABC 内任意一点,当P A+PB+PC 的最小值为17时,BC 的长为____________.3.如图,有一个正方形的花圃ABCD ,园林设计的工人要在花圃内部找一出水口P ,并向AD 边和B 、C 两点装水管,使得点P 到AD 的距离和点P 到B 、C 两点的距离之和最小，已知花圃的边长6AB =米,水管的单价为10元/米,求购买水管最少需要多少钱?(结果保留整数,1.73≈)4．如图,ABC 为等边三角形, D 为ABC 内部一点, 3, 6.AD BD CD ===(1)求,ADB ADC ∠∠与BDC ∠的度数; (2)求ABC 的面积.模型56 主从联动模型模型故事主从联动“主从联动模型”也叫“瓜豆模型”,出自成语“种瓜得瓜,种豆得豆”.这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动,我们把它们分别叫做从动点和主动点,从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”圆得圆,“种”线得线(而当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是)．解决这一类问题通常用到旋转和相似.模型展现基础模型怎么用?1.找模型“双动点、一个随着另一个动”,即考虑“主从联动模型”2.用模型找主动点的运动轨迹并确定主动点的起始点,根据主动点的起始点确定从动点的起始点及运动轨迹,再根据动点所在的规则图形进行计算O 上运动0PAQ ∠=点轨迹是一个圆，且A ，O 的一半满分技法当主动点、从动点到定点的距离相等时,从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长;当主动点、从动点到定点的距离不相等时，=从动点运动路径从动点到定点距离主动点运动路径主动点到定点距离.巧学巧记当=AP AQ 时,主动点路径和从动点路径的大小相等、形状相同,即两个全等的图形. 模型分析以圆轨迹的主从联动为例,求从动点的方法如下: 第一步:确定主动点P ,从动点Q ; 第二步:确定主动点P 的轨迹(O ); 第三步:确定PAQ ∠的大小及AQAP的值; 第四步:确定点M 的位置及AM 的长:令MAO PAQ ∠=∠，AM QM AQAO PO AP==，求出AM 和QM ； 第五步:确定从动点Q 的轨迹( M )的圆心和半径QM .满分技法主从联动问题变换前后的图形形状不变,但大小可能发生变化,其解题方法就是构造旋转、位似图形,本质就是对图形中的每个点进行旋转变化和位似变化.典例小试例1.(2021宜宾)如图, O0的直径AB=4,P为O0上的动点,（点P为主动点）连接AP,Q为AP的中点(点Q为从动点),若点P在圆上运动一周（主动点P的轨迹为圆）,则点Q经过的路径长是.考什么？垂径定理,圆的有关概念及性质,圆弧的计算,主从联动问题(当轨迹为圆时)例2.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边 EFG（点F为主动点，G为从动点）,连接CG,则CG的最小值（L根据F点判断G点轨迹）为.考什么?正方形的性质,等边三角形的性质,主从联动问题(当轨迹为直线时)思路点拨确定主动点的轨迹,作出辅助线,再结合点到直线垂线段最短即可解题.实战实演1．如图,在①ABC中, BC=6,点P在线段BC上移动,点Q为AP上靠近点A的三等分点,当点P由点B移动到点C时，点Q的运动轨迹长为.2.如图,在平面直角坐标系中,A( 9,0),B( 0,5),点C是线段0A上任意一点(不与0点重合),连接BC,作等腰Rt①BCD且①BCD=90°,连接AD,则AD的最小值为.3.如图,点D在半圆O上,AD= OA=5,点C在BD上移动,连接AC,过点D作DH⊥AC,垂足为H,点E为AD的中点,连接EH,当点C由D点运动到B点时,EH扫过的面积为.4.如图,在正方形ABCD中,AB=5,以BC为直径向外作半圆, 点E为半圆上的动点,连接DE,取DE的中点F,连接CF,则CF的最小值为.5.如图,直线y x=-+与坐标轴交于A,B两点,点C为坐标平面内一点,BC=2,点D为线段AC的中点,连接OD,当OD的长度最小时,点C的坐标为.模型57 “12345”模型模型故事为什么叫“12345”模型何为“1,2,3”?如图,“tanα=13, tanβ=12”.何为“4,5”?如图,当满足tanα=13,tanβ=12时,“45αβ+=︒”.对于这里的数据,为了便于记忆,通常称为“12345”模型.模型展现基础模型在如图所示的大小相同的小正方形方格内怎么用? 1．找模型在网格、四边形、坐标系等中涉及几何问题时,隐含特殊的正切值“1”“2”“3”“12” “13” “34”“43”2.用模型运用特殊的正切值及“12345”模型及延伸模型的特殊结论,将45°, 90°,135°这几个特殊角度联系起来，简化此类选择题及填空题的运算,中考此类题目多以选择题及填空题的形式考查拓展延伸结论分析结论3:如图①,若tan①AEB=2, tan①FEC=12,则①AEB +①FEC= 90°证明:根据网格线计算可得,AE EF AF222AE EF AF+=∴①AEF为等腰直角三角形,∴①AEF=90°，∴①AEB+①FEC=90°. (结论1,2,4证明方法同结论3)拓展延伸关于45°角的几何问题在前面的半角模型、“一线三垂直”中也有提到,其中着重介绍了构造全等的解题方法,本模型中只是简单介绍一些角度的正切值与45°及其倍角的关系。
2020中考数学专题10——最值问题之阿氏圆
IA2020中考专题10——最值问题之阿氏班级________姓名____________ . 【模型解析】“阿氏圆”樓型——u PA + k PB M型最值♦条件：A、B为定点,P为ΘO±一个动A, —= k (0<i<l). OB♦问題:求PA^k PB的最小血并预出点P的位置・CP ∙k PB•所以PA + k PB∙PAYP≥AC,当P为AC与GlO的交点时■ PA^kPB的最小置为AC・【例題分析】2例 1.⅛ Rt∆ABC 中P ZACB=90β , AC=4, BC=3,点 D 为AABC 内一动点■满足CD=2,求AD÷ jBD 的最小值•例2•问题提出：如图h在RtΔ^5C中.ZACB=90°. CB=A, CA≈69 CDC半径为2, P为SI上一动点，连结肿、BP9求AP丄BP的最小值.2图2图3√2 2尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使CDCP1PD 1 1CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CPCB2 BP 2 2：.AP--BP^AP^PD.2请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ .2自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求的最小值.【巩固训练】2•如BB 2,在Rt∆ABC 中∙ ZB=90t ∙ AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任3•如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点・PA=3■求PC÷- PD 的量小值为.—动点.则PA∙PC 的最小值是 __________1 •如图 1,在 Rt∆ABC 中，ZACB=90∙ , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,国45•如图5,己知点A (4, 0), B (4, 4力点P 在半径为2的圆0上运动•试求丄AP+BP 的最小值• 26•如旳6,己知点A (-3^ 0) ,B (03), C C1, 0),若点P 为ElCJz 的一気 试求, CI)1AP ÷BP ^^5 ⑵的最小值.7.如图 7,扼物线y=-χ2+bx-^c 与直线 AB 交于 A(-4,-4), B(0, 4)两点，直线 AC ： V = -^X-6 交y 轴于点C,点E 是直线AB ±的动点，过点E 作EF 丄X 轴交AC 于点F,交拋物线于点G(I) 求牠物线y = -x 2+bx + C 的表达式；4•如EB 4,己知［S O 半径为1, AC. BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为弧AB 上一动点试求√2 2PC÷PD留5国6(2) 连按GB, EO,当四边形GEOB 是平行四边形时， 求点G 的坐标：(3) ①在y 轴上存在一点H,连按EH, HF,当点E 运动到什么住置时，以A. E l F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点匕H 的坐标： ②在①的前提下，以点E 为El 心，EH 长为半径作Eh 点M 为EIE 上一动点，求ZAM 十CM 的最小值.2图72020中考专题10——最值问題之阿氏圆 参考答案CD 2 例1・分析：由C 为定点D 为动点可知CD 的运动轨迹为以C 为图心半径为2的匮。
中考几何综合压轴题十大模型
中考几何综合压轴题十大模型包括：
1. “12345”模型：适用于和为30度、60度的证明，以及倍长中点的相关证明。
2. “半角”模型：说明上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
3. “角平分线”模型：角平分线定理的应用，以及角平分线+垂线=等腰三角形，角分线+平行线=等腰三角必呈现等的应用。
4. “手拉手”模型：适用于两个等腰三角形，顶角相等，顶点重合的情况，可以证明三角形全等，手的夹角相等，顶点连手的交点得平分。
5. “将军饮马”模型：最短路径问题，适用于解决两点之间距离最短的问题。
6. “中点”模型：中点旋转的模型，可以解决旋转全等问题。
7. “垂直”模型：垂直也可以做为轴进行对称全等。
8. “旋转全等”模型：通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
9. “自旋转”模型：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角。
10. “共旋转”模型：通过“8”字模型可以证明。
以上就是中考几何综合压轴题的十大模型，希望对你有所帮助。
中考补充专题10.十字架模型
专题10.“十字架模型”一．知识点:1.正方形内部，BF⊥CE，则BF＝CE（无论怎么变，只要垂直，十字架就会相等）2.如图：在矩形ABCD中，点F是AD上一点，DE ⊥CF ，则有二．典型例题1.如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM ⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：△ADE∽△DCF；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC 满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD ＝90°，DE⊥CF ，请直接写出的值．三．变式练习1.如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，EG⊥FH，连接EF、FG、GH、HE，若EG＝8，求,四边形EFGH的面积．2.如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN 折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE＝5，求折痕MN的长．3.．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC 于点F ，求的值．4.（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP 的长．5．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为．6.如图，正方形ABCD中，AB＝1，连接AC，∠ACD 的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE，AC于点G，H，点P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于点Q，连接PH，以下结论：①CE⊥DF；②DE+DC＝AC；③EA＝AH；④PH+PQ的最小值是，其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4。
中考数学必学几何模型大全(含解析)
中考数学必学几何模型大全（含解析）模型一：截长补短模型如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。
截长法：如图①，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。
补短法：如图①，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。
模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
例题精讲1、如图，AC平分①BAD，CE①AB于点E，①B+①D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,①CE①AB，①CF=CB，①CFB=①B①①AFC+①CFB=180°，①D+①B=180°，①①D=①AFC①AC平分①BAD，即①DAC=①F AC在①ACD和①ACF中，①D=①AFC，①DAC=①F AC，AC=AC①ACD①①ACF（AAS），①AD=AF，①AE=AF+EF=AD+BE2、如图，已知在①ABC中，①C=2①B,①1=①2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC，连接DE,①AE=AC,①1=①2，AD=AD，①①ACD①①AED，①CD=DE,①C=①3①①C=2①B，①①3=2①B=①4+①B，①①4=①B，①DE=BE,CD=BE①AB=AE+BE，①AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,①B+①E=180°，求证：AD平分①CDE.解析：延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF，AC①①1+①2=180°，①E+①1=180°，①①2=①E①AB=AE,①2=①E,BF=DE，①①ABF①①AED，①F=①4，AF=AD①BC+BF=CD，即FC=CD又①AC=AC，①①ACF①①ACD，①①F=①3①①F=①4，①①3=①4，①AD平分①CDE.4、已知四边形ABCD中，①ABC+①ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,①ADC求证：①PBQ=90°-12解析：如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°①①BCD+①BCK=180°，①①BAD=①BCK在①BAP和①BKC中AP =CK ，①BAP =①BCK ，AB =BC ，①①BP A ①①BKC （SAS ），①①ABP =①CBK ,BP =BK①PQ =AP +CQ ，①PQ =QK①在①BPQ 和①BKQ 中，BP =BK ，BQ =BQ ，PQ =KQ①①BPQ ①①BKQ (SSS )，①①PBQ =①KBQ ，①①PBQ =12①ABC ①①ABC +①ADC =180°，①①ABC =180°-①ADC①12①ABC =90°-12①ADC ，①①PBQ =90°-12①ADC5、如图，在①ABC 中，①B =60°，①ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE +CD =AC .解析：由题意可得①AOC =120°①①AOE =①DOC =180°-①AOC =180°-120°=60°在AC 上截取AF =AE ，连接OF ，如图在①AOE 和①AOF 中，AE =AF ，①OAE =①OAF ，OA =OA①①AOE ①①AOF （SAS ），①①AOE =①AOF ，①①AOF =60°，①①COF =①AOC -①AOF =60°又①COD =60°，①①COD =①COF同理可得：①COD ①①COF （ASA ），①CD =CF又①AF =AE ，①AC =AF +CF =AE +CD ，即AE +CD =AC6、如图所示，AB ①CD ,BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC =AB +CD .解析：在BC 上取点F ，使BF =AB①BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，①①ABE =①FBE ,①BCE =①DCE①AB ①CD ，①①A +①D =180°在①ABE和①FBE中，AB=FB，①ABE=①FBE，BE=BE①①ABE①①FBE（SAS），①①A=①BFE，①①BFE+①D=180°①①BFE+①EFC=180°，①①EFC=①D在①EFC和①EDC中，①EFC=①D，①BCE=①DCE，CE=CE ①①EFC①①EDC（AAS），①CF=CD①BC=BF+CF，①BC=AB+CD7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE①BC,BD平分①ABC （1）证明：①BAD+①BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.【解析】（1）过点D作BA的垂线，得①DMA①DEC（HL）①①ABC+①MDE=180°，①ADC=①MDE①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°（2）S四边形ABCD=2S①BED=188、已知：在①ABC中，AB=CD-BD,求证：①B=2①C.【解析】在CD上取一点M使得DM=DB则CD-BD=CM=AB①①AMD=①B=2①C模型二：倍长中线法模型分析：①ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，作CF①AD于F，作BE①AD的延长线于E，连接BE方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD例题精讲：1、已知，如图①ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是．【解答】1＜AD＜4．2、如图，①ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，DE ①DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小．【解答】解：BE +CF ＞FP ＝EF ．延长ED 至P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP ，①D 是BC 的中点，①BD ＝CD ，在①BDE 和①CDP 中，{DP =DE∠EDB =∠CDP BD =CD①①BDE ①①CDP （SAS ），①BE ＝CP ，①DE ①DF ，DE ＝DP ，①EF ＝FP ，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在①CFP 中，CP +CF ＝BE +CF ＞FP ＝EF ．3、已知：在①ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．【解答】证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ．①AD 是BC 边上的中线（已知），①DC ＝DB ，在①ADC 和①GDB 中，{AD =DG∠ADC =∠GDB(对顶角相等)DC =DB，①①ADC ①①GDB （SAS ），①①CAD ＝①G ，BG ＝AC又①BE ＝AC ，①BE ＝BG ，①①BED ＝①G ，①①BED ＝①AEF ，①①AEF ＝①CAD ，即：①AEF ＝①F AE ，①AF ＝EF ．4、已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且①BAE ＝①CDE ．求证：AB ＝CD ．【解答】证明：延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF ，①E 是BC 的中点，①BE ＝CE ，①在①BEF 和①CED 中{BE =CE ∠BEF =∠CED EF =DE，①①BEF ①①CED ．①①F ＝①CDE ，BF ＝CD ．①①BAE ＝①CDE ，①①BAE ＝①F ．①AB ＝BF ，又①BF ＝CD ，①AB ＝CD ．5、如图，①ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．【解答】证明：如图，过点D 作DG ①AE ，交BC 于点G ；则①DGF ①①ECF ，①DG ：CE ＝DF ：EF ，而DF ＝EF ，①DG ＝CE ；①AB ＝AC ，①①B ＝①ACB ；①DG ①AE ，①①DGB ＝①ACB ，①①DBG ＝①DGB ，①DG ＝BD ，①BD ＝CE ．模型三：角平分线四大模型1、角平分线的性质2、角平分线的对称性3、角平分线+平行线，等腰现4、角平分线+垂线，等腰归例题精讲：1、如图，D是①EAF平分线上的一点，若①ACD+①ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N，则①CMD＝①BND＝90°，①AD是①EAF的平分线，①DM＝DN，①①ACD+①ABD＝180°，①ACD+①MCD＝180°，①①MCD＝①NBD，在①CDM和①BDN中，①CMD＝①BND＝90°，①MCD＝①NBD，DM＝DN，①①CDM①①BDN，①CD＝DB．2、如图，BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：①BDC=12∠BAC；（2）若AB＝AC，请判断①ABD的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①①ABC＝2①DBC，①ACE＝2①DCE，①①ACE＝①BAC+①ABC，①DCE＝①BDC+①DBC，①2①DCE＝2①BDC+2①DBC，①①BAC＝2①BDC，即①BDC=12①BAC；（2）①ABD是等腰三角形，证明：①AB＝AC，①①ABC＝①ACB，过D作DQ①AB于Q，DR①BC于R，DW①AC于W，①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①DQ＝DR，DW＝DR，①DQ＝DW，①DQ①AB，DW①AC，①①GAC＝2①GAD＝2①CAD，①①GAC＝①ABC+①ACB，①①GAD＝①ABC，①AD①BC，①①ADB＝①DBC，①①ABD＝①DBC，①①ADB＝①ABD，①AB＝AD，即①ABD是等腰三角形．3、如图，在①ABC中，①ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．【解答】解：过点P作PD①AB于D，PE①BC于E，PF①AC于F，①点P是①ABC三条角平分线的交点，①PD＝PE＝PF①S ①ABC ＝S ①P AB +S ①PBC +S ①P AC =12PD •AB +12PE •BC +12PF •AC =12PD •（AB +BC +AC ）=12PD •（7+25+24）＝28PD 又①①ABC ＝90°，①S ①ABC =12AB •BC =12×7×24＝7×12，①7×12＝28PD ，①PD ＝3 答：点P 到AB 的距离为3．4、如图，AD 是①ABC 中①BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB −AC ＞PB −PC ．【解答】证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAD ＝①CAD ，在①AEP 和①ACP 中，{AE =AC ∠BAD =∠CAD AP =AP，①①AEP ①①ACP （SAS ），①PE ＝PC ，在①PBE 中，BE ＞PB −PE 即AB −AC ＞PB −PC ．5、在①ABC 中，AD 是①BAC 的外角平分线，P 是AD 上的任意一点，试比较PB +PC 与AB +AC 的大小， 并说明理由．【解答】解：PB +PC ＞AB +AC如图，在BA 的延长线上取一点E ，使AE ＝AC ，连接EP ．由AD 是①BAC 的外角平分线，可知①CAP ＝①EAP ，又AP 是公共边，AE ＝AC ，故①ACP ①①AEP从而有PC ＝PE ，在①BPE 中，PB +PE ＞BE而BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，故PB +PE ＞AB +AC ，所以PB +PC ＞AB +AC6、已知：如图，在①ABC 中，①A ＝2①B ，CD 平分①ACB ，且AC ＝6，AD ＝2．求BC 的长．【解答】解：如图，在BC 上截取CE ＝CA ，连接DE ，①CD平分①ACB，①①1＝①2，在①ACD和①ECD中{CA=CE∠1=∠2CD=CD，①①ACD①①ECD（SAS），①AD＝ED，①A＝①CED，①①A＝2①B，①①CED＝2①B，①①CED＝①B+①BDE，①①BDE＝①B，①BE＝ED，①AC＝6，AD＝2，①AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，①BC＝BE+CE＝2+6＝8．7、如图，①AOB=30°，OD平分①AOB，DC①OA于点C，DC=4cm，求OC的长.【解答】过点D作DE//OB，交OA于点E.OC=CE+OE=CE+DE=8+43.8、（1）如图①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACB，过点D作EF①BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．（2）如图，①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACG，过D作EF①BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．【解答】解：（1）①BD平分①ABC，①①ABD＝①CBD，①EF①BC，①①EDB＝①DBC，①①ABD＝①EDB，①BE＝ED，同理DF＝CF，①BE+CF＝EF；（2）BE−CF＝EF，由（1）知BE＝ED，①EF①BC，①①EDC＝①DCG＝①ACD，①CF＝DF，又①ED−DF＝EF，①BE−CF＝EF．9、如图，在①ABC ，AD 平分①BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ，求证：EF ①AB ．【解答】解：过E 作AC 的平行线于AD 延长线交于G 点， ①EG ①AC在①DEG 和①DCA 中，{∠ADC =∠GDE CD =ED ∠DEG =∠DCA，①①DEG ①①DCA （ASA ）， ①EG ＝EF ，①G ＝①CAD ，又EF ＝AC ，故EG ＝AC ①AD 平分①BAC ，①①BAD ＝①CAD ，①EG ＝EF ，①①G ＝①EFD ，①①EFD ＝①BAD ，①EF ①AB ．10、已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．①B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD ＝2CE ．【解答】证明：如图，分别延长CE ，BA 交于一点F ． ①BE ①EC ，①①FEB ＝①CEB ＝90°， ①BE 平分①ABC ，①①FBE ＝①CBE ， 又①BE ＝BE ，①①BFE ①①BCE （ASA ）． ①FE ＝CE ．①CF ＝2CE ．①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①ABD +①ADB ＝90°，①ADB ＝①EDC ， ①①ABD +①EDC ＝90°．又①①DEC ＝90°，①EDC +①ECD ＝90°，①①FCA ＝①DBC ＝①ABD ． ①①ADB ①①AFC ．①FC ＝DB ，①BD ＝2EC ．11、如图．在①ABC 中，BE 是角平分线，AD ①BE ，垂足为D ，求证：①2＝①1+①C ．【解答】证明：如图，延长AD 交BC 于点F ，①BE 是角平分线，AD ①BE ，①①ABF 是等腰三角形，且①2＝①AFB ， 又①①AFB ＝①1+①C ，①①2＝①1+①C ．12、（1）如图（a ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的外角平分线，过点A 作AD ①BD ，AE ①CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE ，求证：DE ①BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）①如图（b ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的内角平分线，其他条件不变；①如图（c ）所示，BD 为①ABC 的内角平分线，CE 为①ABC 的外角平分线，其他条件不变；则在图（b ）、图（c ）两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与①ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中一种情况进行证明．【解答】解：（1）如图1，分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK ，①①BAD ①①BKD （ASA ）， ①AD ＝KD ，AB ＝KB ，同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK +BC +CH ＝AB +BC +AC ，①DE =12（AB +AC +BC ）； （2）①猜在想结果：图2结论为DE =12（AB +AC −BC ）． 证明：分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB ， 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK －BH ＝AB +AC －BC ，①DE =12（AB +AC −BC ）； ①图3的结论为DE =12（BC +AC −AB ）．证明：分别延长AE 、AD 交BC 或延长线于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12KH又①KH ＝BC －BK +HC ＝BC +AC －AB ．①DE =12（BC +AC −AB ）．模型四：手拉手模型模型：如图，①ABC 是等腰三角形、①ADE 是等腰三角形，AB =AC ，AD =AE ， ①BAC =①DAE = 。
中考数学常见的11种几何模型
中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。
二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。
三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。
八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。
九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。
初中数学中考常见几何模型
初中数学中考常见几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置OC DE图 1OABCD E图 2OABC DE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2OB COCDE【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中几何常考模型汇总(完整版)
第Ol讲8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O,连接AD、BC O 结论：ZA+ZD=ZB+ZCo模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到O模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE= ________________ :(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF= _________________热搜梢练1.(1)如图①，求ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE= _________________ :(2)如图②，求Z C A D+ Z B + Z AC E+ Z D+ Z E= ___2. ________________________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH= _______________________________图②模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到a模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分ZDAB和ZDCB, AM与CM交于W 探究ZAMC与ZB、ZD间的数量关系。
热搜精练1._________________________________________如图，ΛRZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2.__________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=C F模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC O 结论：AC+BD>AD+BCoD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD:(2) AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点。
2024年中考数学总复习初中数学常考10个几何模型汇总
2024年中考数学总复习初中数学常考10个几何模
型汇总
模型一：“12345”模型
模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角形角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。
结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。
模型五：“将军饮马”模型
模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°
【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形
模型十：费马点。
十字模型专题知识解读
十字模型专题知识解读【专题说明】“十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型。
常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。
围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。
这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。
【方法技巧】类型一：【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH类型二：【十字架模型】--矩形在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；可证：△ADE ∽△BAF 所以BF AE AB AD BF AE ⋅=⋅==ab a b在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，其中：EG ⊥FH ，探究EG 与FH 的关系【解答】可证：△ADN ∽△BAM∴∴但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立 在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b ，其中EG ⊥FH ，探究EG 与FH 的关系可证△EOH∽△GOF【典例分析】【典例1-1】基本模型如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边上，且AF⊥BE．结论：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE；请证明【基本模型】中的结论．求证：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE．自主探究：若将已知条件AF⊥BE改为AF＝BE，是否可以得到AF⊥BE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？【解答】基本模型：证明：①∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∴∠ABE+∠BEA＝90°，∵AF⊥BE，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），②∵△ABE≌△DAF（ASA），∴AF＝BE；自主探究：解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，则BE⊥AF．如图，设AF、BE交于点H，AC、BD交于点O，∵BE⊥AF，∴∠AHB＝90°，点H在以AB为直径的圆上，∵点E、F分别在AD，DC边上，∴AF与BE交点的轨迹为．【典例1-2】模型演变①如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AE⊥GF．结论：AE＝GF模型演变②如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EF⊥GH．结论：EF＝GH请证明【模型演变②】的结论，求证：EF＝GH．自主探究：在【模型演变①】和【模型演变②】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明．【解答】证明：过点E作EM⊥DC于点M，过点H作HN⊥BC于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴EM＝AD＝DC＝HN，∵EM⊥HN，EF⊥HG，∴∠MEF＝∠NHG，在△MEF与△NHG中，，∴△MEF≌△NHG（ASA），∴EF＝GH；自主探究：解：不成立，证明：选择[模型演变①]，设AE与FG相交于点O，过点O作DC的平行线l，将FG沿直线l对称得到F'G'，则FG＝F'G'，由（1）可得：AE⊥FG，∴F'G'与AE不垂直，∴若条件与结论互换，结论不成立．【典例2-1】模型演变③如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CE⊥BD．结论：△DCE∽△ADB请证明【模型演变③】的结论．求证：△DCE∽△ADB．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠CDO＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴∠DCE+∠CDO＝90°，∴∠ADB＝∠DCE，∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△DCE∽△ADB．【典例2-2】模型演变④如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC边上，且EF⊥GH．结论：＝请证明【模型演变④】的结论．求证：＝．【解答】证明：如图，过点G作GM⊥CD于M，过点E作EN⊥BC于点N，∴∠GMH＝∠ENF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥GH，∴∠BGH+∠BFE＝180°，∠BGH+∠GHM＝90°，∴∠BFE＝∠GHM，∴△EFN∽△GHM，∴＝＝．【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF 交于点O．若BE＝3，DF＝1，则OB的长为．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴∠ABC＝90°＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝4，∵BE＝3，DF＝1，∴BE＝CF＝3，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB＝∠BFC，∵∠BFC+∠FBC＝90°，∴∠AEB+∠FBC＝90°，∴∠BOE＝90°，∴BO⊥AE，∴2S△ABE＝AB•BE＝AE•OB，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∴OB＝＝，故答案为：．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B 落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G．已知AD＝5，AB＝3，则折痕CE的长为．【解答】解：由翻折的性质可知，BE＝EF，BC＝FC＝AD＝5，在Rt△CDF中，CF＝5，CD＝AB＝3，∴DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，设BE＝x，则EF＝x，AE＝3﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF2+AE2＝EF2，即1+（3﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝＝，故答案为：．【变式1-3】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CF＝AE，连接EF，过点D作DG⊥EF于点H，若S△BEF＝6，则CF＝，DG ＝．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为16，∴正方形ABCD的边长为4，设CF＝x，则BF＝4﹣x，BE＝4+x，∵S△BEF＝6，∴（4﹣x）（4+x）＝6，∴x＝±2（负值舍去），∴CF＝2＝AE，∴BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，BE＝AB+AE＝4+2＝6，∴EF＝＝＝2，∵DG⊥EF，∴∠AGD＝90°﹣∠E＝∠BFE，又∠B＝90°＝∠DAG，∴△EBF∽△DAG，∴＝，即＝，解得DG＝，故答案为：2．【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值．【解答】解：过点D作AB的平行线，交过点A作BC的平行线于G，交BC的延长线于H，过点D作DP⊥AB于P，则四边形ABHG是矩形，∵AB＝AD，CB＝CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADG+∠CDH＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠DAG＝∠HDC，又∵∠G＝∠H，∴△ADG∽△DCH，∴，∴设CH＝x，则DG＝2x，∴DH＝10﹣2x，AG＝5+x，∴5+x＝2（10﹣2x），解得x＝3，∴BH＝8，∵∠NDP＝∠BAM，∠DPN＝∠ABM，∴△ABM∽△DPN，∴．【变式1-5】如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上，点A的对应点为A'，连接BB'．（1）如图②，当点B'与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB'F的形状，并证明；（2）求折痕EF的最大值；（3）如图③，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长．【解答】解：（1）四边形BEB'F是菱形，理由如下：由折叠的性质得：∠BFE＝∠B′FE，EF垂直平分BB′，∴BE＝B′E，BF＝B′F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′EF＝∠B′FE，∴B′E＝B′F，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BEB′F是菱形；（2）过点E作EG⊥BC于G，设EF与BB′交于点O，如图①所示：则∠EGF＝90°，四边形ABGE为矩形，∴∠GEF+∠EFG＝90°，EG＝AB＝6，由折叠的性质得：EF⊥BB′，∴∠BOF＝90°，∴∠EFG+∠B′BF＝90°，∴∠GEF＝∠B′BF，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∴∠C＝∠EGF，∴△EGF∽△BCB′，∴＝＝＝，∴EF＝BB′，∴当BB′取最大值，EF取得最大值，此时，点B′与点D重合，连接BD，在Rt△BCD中，BD＝＝＝10，∴EF最大＝BD＝×10＝；（3）连接BE、B′E，如图③所示：由折叠的性质得：EF垂直平分BB′，∴BF＝B′F，BE＝B′E，∵四边形EMCD是正方形，∴EM＝MC＝CD＝ED＝6，∴AE＝BM＝8﹣6＝2，在Rt△EMB和Rt△EDB′中，，∴Rt△EMB≌Rt△EDB′（HL），∴DB′＝BM＝2，∴CB′＝CD﹣DB′＝6﹣2＝4，设CF＝x，则BF＝B′F＝8﹣x，在Rt△CB′F中，由勾股定理得：CF2+CB′2＝B′F2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴CF的长为3．【变式1-6】【教材背景】课本上有这样一道题目；如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF．发现其中CE＝DF．【拓展延伸】如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE．【问题解决】（1）若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG；（2）若BF＝6，求四边形AFEB的面积；（3）如图③，连接CG，若CG＝BC，求证：E是边DC的中点．【解答】【教材背景】证明：如图1中，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF；【问题解决】（1）证明：如图②中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BAO＝∠AED，∵DO＝DE，∴∠DOE＝∠DEO，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠BAO＝∠AOB，∴BA＝BO，∵BF⊥AE，∴AG＝OG，在△BAG和△BOG中，，∴△ABG≌△OBG（SSS）；（2）解：如图②中，过点E作EH⊥AB于点H．∵AE⊥BF，∴∠AGB＝90°，∵∠ABF+∠BAG＝90°，∠DAE+∠BAG＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵BA＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°，∴△BAF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE＝6，∵AE⊥BF，∴S四边形AFEB＝•AE•BF＝×6×6＝18；（3）证明：过点C作CT⊥BG交AB于点T，连接GT．∵CG＝CB，BT⊥BG，∴CT垂直平分线段BG，∴TB＝TG，∴∠TBG＝∠TGB，∵∠TBG+∠BAG＝90°，∠AGT+∠TGB＝90°，∴∠TAG＝∠TGA，∴TA＝TG，∴AT＝TB，∵AE⊥BF，CT⊥BF，∴AE∥CT，∵AT∥CE，∴四边形ATCE是平行四边形，∴AT＝CE，∵AB＝CD＝2AT，∴CD＝2CE，∴DE＝EC．【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA＝BC＝2，DA＝DC＝，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．当∠B+∠EGC＝180°时：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴＝，∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴＝，∴＝，即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，∵在△BAD和△BCD中，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴＝，∴＝，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣2，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣2）2+（x）2＝22，x＝0（舍去），x＝，CN＝，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝＝．。
中考常考基本几何模型16类
中考常考基本几何模型16类模型是对基础知识的深刻认识与提炼出的基本类型，注重基本知识的教学是强化模型思想意识的前提，注重模型在知识与知识中的应用，在具有实际背景中的应用等，可有效提高学生数学建模与解题能力．(数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．)模型1:将军饮马模型 如图1，已知直线l 和直线l 外同侧两定点A 、B ，在直线l 上求一点P ，使PA PB +的值最小． 作法：作A （B ）点关于直线对称点D ，连接BD 与直线l 点，则此点为所求作的P 点，PA +的值也最小．说明：为一定直线异侧两定点问题来达到求解的目的．细细分析这个基本几何模型，会发现隐含有如下两个基本结论：其一：同侧两三角形相似的问题 如图1，若连接AD ，交直线l 于点E，并过点B 作BF ⊥l 于点F ，则有AEP DEP BFP ∆∆∆≌∽，如图2所示．例 如图2-1，点E 为长方形ABCD 边CD 上一点，在线段AD 上作一点P，使ABP DEP ∆∆∽（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）．解：由于点B 、点E 均为定点且在定直线AD 的同侧，要在AD 上求一点P ，使ABP DEP∆∆∽，所以本题符合基本模型中隐含的第一类问题，于是作B 点（或E 点）关于AD 的对称点B '点（或E '点），连接B E '（或E B '），B E '（或E B '）与AD 的交点即为所求作的P 点，如图2-2所示．其二：同侧两线段差值最大的问题 如图3所示 ，连接AB (不妨假设点A 到直线l 的距离大于点B 到直线l 的距离)，设直线AB 交于点P ，边关系，可证PA PB AB -≤． 即：图2-2图2-1E D C值是两定点的距离． 同侧两线段差值最大问题的变式：如图4所示，作点A 关于直线l 的对称点D ，连接BD (不妨假设点A 到直线l 的距离大于点B 到直线l 的距离)，设直线BD 与直线l 相交于P 点，借助三角形的三边关系，可证明：PA PB BD -≤．即：一定直线异侧两定点到这条直线上一动点的距离之差有最大值，其最大值等于其中一定点关于这条直线对称后的点与另一定点之间的距离．例 如图4-1，在正方形ABCD 中，8AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且6BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为 ．解：由于点M 、点N 是两个定点，并在定直线BD 的异侧，要在BD 上求一点P ，使PM PN -的值最大，这显然属于基本模型中隐含的第二类问题中的变式形式，于是不妨作N 点关于BD 的对称点N '点，则PM PN -的最大值就是线段MN '的长，如图4-2所示．∵四边形ABCD 是正方形，8AB =，点O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是AO的中点，6BM =，∴OA OC =， BD AC ⊥，2CM =，则点N '在OC 上，且是OC 的中点，∴14CM CN CB CA '==，则CBA CMN '∆∆∽，∴14MN BA '=即2MN '=． 练习：2015年陕西中考副题第14题；2018年陕西中考副题第25题(三线段共线问题)模型2：三垂直模型如图5，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，B 点在直线l 上，若过A 、C 点分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E ，则ADB BEC ∆∆∽；若AB BC =时，则有ADB BEC ∆∆≌．练习：2014年陕西中考副题第14题模型3:边定角等模型如图6，已知A ∠及其所对边BC 的长均为定值时，求所有符合条件的A 点或符合条件的三角形的最大面积．作法：先作一个符合条件的特殊ABC ∆，再作它的外接圆⊙O ，那么在¼BAC 上任取一点D （不与B 、C 重合），它与BC 所构成的三角形都满足BC 的长及BC 所对的角是定值的要求．由圆的知识可知：所有符合题意的三角形就是上面点D 与BC 所构成的三角形．要它的面积最大，只要三角形BC 边上的高最长即可．作BC 的垂直平分线，设它与¼BAC 交于E 点，与BC 交于F 点，于是ABC S ∆的最大值就是12EF BC ⋅．图5图6图4-2图4-1D C例如图6-1，以正方形ABCD 的一边BC 为边向四边形内作等腰BCE ∆，BE BC =，过E 作EH BC ⊥于H ，点P 是Rt BEH ∆的内心，连接AP ，若2AB =，则AP 的最小值为 （请在图中画出点P 的运动路径）.解：∵点P 是Rt BEH ∆的内心，∴连接PE 、PB ，如图6-2所示，∵90EHB ∠=︒，∴135BPE ∠=︒，又∵等腰BCE ∆是以BC 为边向正方形ABCD 内作的，且2BE BC ==，∴BE 的长是确定的，位置是不确定的.若连接PC ，由等腰三角形的性质可知：BPE ∆与BPC ∆关于BP 所在的直线ι成轴对称，且P 点在直线ι上，于是在BPE ∆中研究P 点与A 点的关系，就可转化在BPC ∆中来研究P 点与A 点的关系，在BPC ∆中，∵BC 为定边，135BPC ∠=︒，∴P 点应在以B 、P 、C 三点确定的圆上，设圆心为O ，则P 点的运动路径为»BC （不含B 、C 两点），如图6-3所示.∴求AP 的最小值就转化为求圆外一点到圆上一点的最短距离了，于是连接OA 、OB 、OC ，过O 作OF AB ⊥于F ，∵135BPC ∠=︒，则»BC为90︒的弧，∴90BOC ∠=︒，则BOC ∆为等腰直角三角形，∴BOF ∆也是等腰直角三角形，又∵2AB =，∴OB =即圆半径为，则1OF BF ==，∴由勾股定理得：OA ==AP 的练习：2014年陕西中考第25题、中考副题第25题；2016年陕西中考第25题第⑶问（存在性作图）；2017年陕西中考副题第25题.模型4:点、线平移模型如图7所示，在直角坐标系中，当线段AB 平移至CD若已知A 点坐标为11（x ,y ），B 点坐标为22（x ,y ），C 11（x +k,y +h ），则D 点坐标就是22（x +k,y +h ）．练习：2014年陕西中考副题第14题；第24题常用．模型5:平行四边形中，过中心的线平分平行四边形的面积模型 如图8，ABCD Y 中，AC 与BD 相交于O 点．若过O 点任作一条直线l ，则l 将ABCD Y 平分成两部分，且这两部分全等（面积相等）．练习：2013年陕西中考第25题；2017年陕西中考第25题第⑵问．D图6-2图6-1模型6：角的顶点在一圆中相切线上，则这些角中必有最大值的问题模型如图9，直线l 与O e 相切于P 点，1P 是直线l 上任意一点，则有1APB APB ∠∠≥. 练习： 2015年陕西中考第25题2015年陕西中考副题第25题模型7：共斜边的直角三角形的所有顶点在同一圆上的问题模型如图10，在ACB ∆与ADB ∆中，90ACB ADB ∠=∠=︒，则A 、 D 、B 、C 四点在同一个圆上，且圆心在AB 的中点上，AB 就是圆的直径．例（2017陕西中考第14题）：如图11，在四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，连接AC ，若6AC =，则四边形ABCD 的面积为 ．∵90BAD BCD ∠=∠=︒，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，过B 作BE AC ⊥于E ，过D 作DF AC ⊥于F ，如图12所示，则90AEB DFA ∠=∠=︒，又∵BAD ∠90=︒=BAE DAF ∠+∠，∴ABE DAF ∠=∠，又∵AB AD =，则ABE DAF ∆∆≌，45DCA BCA ∠=∠=︒，∴E=B AF ，45CDF DCF ∠=∠=︒，则DF CF =，∴6BE DF AF CF +=+=． 则ABCD S 四边形=BCA DCA S S ∆∆+1122AC BE AC DF =⋅+⋅1+2AC BE DF =⋅（）=18．模型8：点到直线上的所有连线中，垂线段最短的问题模型如图13，定点A 与定直线m 上各点的连线中，垂线段AP 最短．例 如图14-1，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点P 是BC 上任意一点，连接PA ，以PA 、PC邻边作PAQC Y ，连接PQ PQ 的最小值为 ．解：∵PAQC Y 是以PA 、PC 为邻边作的平行四边形，∴对角线PQ 与AC 的交点O 点应平分PQ 与AC ，而AC的图11C 图12图102！图13图14-2图14-1A长与位置是固定的，则O 点就是一个定点，又∵点P 是BC 上任意一点，因此要PQ 最小，只要OP BC ⊥即可，如图14-2所示．∵90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，∴2OC =，由勾股定理可得：5BC =，∴sin AB OP BCA BC OC ∠==，则65OP =，∴PQ 的最小值为125． 练习： 2016年陕西中考副题第14题模型9:过圆内一点，有最长（短）弦的问题模型如图15，在O e 中，点A 是O e 内部异于圆心O 的一点，则过点A 所作的弦中，有最长弦直径EF 即过点A 、过圆心O 的弦；有最短弦CD 即过点A 、且与EF 垂直的弦．例 如图16，AB 是O e 的弦，6AB =，点C 是O e 上的一个动点，且45ACB ∠=o .若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是 .解：由于点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则12MN AC =.要MN 最大，则只要AC 最大.由于AC 是O e 的弦，点C 是O e 上的一个动点，当C 点运动时，AC就有可能过圆心O ，于是AC 就变为圆中最长的弦直径了，如图17所示. ∵45ACB ∠=o ，AB =6，∴AC最大为MN =.练习：2014年陕西中考副题第16题2016年陕西中考副题第25题模型10：借三边关系可求最值的问题模型如图18，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =（a b ＞）.则AC 的最大值为a b +；AC 的最小值为a b -.例 如图19，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将BCP ∆沿CP 所在的直线翻折，得到B CP '∆，连接B A '，则B A '长度的最小值为 ．解：在图19中，∵90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，∴由勾股定理得：4AC =；由折叠性质知：3CB CB '==．在ACB '∆中，由三角形的三边关系有：CA CB '-＜B A '，∵CA 、CB '的长均为定值，要B A '的长有最小值，只要有CA CB '-＝B A '即B '点能落在AC 上时，B A '的长有最小值（这解决了求B A '长度有最小值的可能性问题）．另一方面：当CP 所在的直线是ACB ∠的平分线时，将BCP ∆沿CP 所在的直图17图16C ＇CBA图19图20C B A B ＇图15线翻折，得到B CP '∆，此时B '点恰好落在AC 上即有CA CB '-＝B A '（这解决了求B A '长度有最小值的存在性问题），如图20所示，∴B A '长度的最小值是1．练习：2014年陕西中考副题第23题2016年陕西中考副题第25题模型11:圆（内）外一点到圆上一点的最值问题模型如图21所示，M 点是O e 的圆内或圆外的任意一点，则过圆心O 点、M 点的直线与圆交于F 点，H 点，则线段MF 的长就是M 点与圆上任意一点连线的最大值；线段MH 的长就是M 点与圆上任意一点连线的最小值.用几何直观性来分析：当过M 点的直线与过M 点直径所在的直线所构成的夹角越小，则相对来说MF 的长也就越大了.例 如图22，在矩形ABCD 中，2AD =，3AB =，点E 是AD 边的中点，点F 是射线AB 上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆，连接A C '，则A C '的最小值为 ．解：∵点E 是AD 边的中点，2AD =，A EF '∆是AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到的，∴1EA EA '==，又∵点F 是射线AB 上的一动点，∴点A '也随着点F 的运动而变化，但点A '到定点E 的长是定值1，则点A '在以E 点为圆心，1为半径的圆弧（在矩形ABCD 内）上，如图23所示,从而把求A C '的长转化成求圆外一点到圆上一点的最短距离问题，如图24所示，连接CE，则CE =A C '1．练习： 2017年陕西中考第25题第⑶问模型12:直角三角形中，三边的函数关系问题模型如图25，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，当a 为定值时，对222c a b =+来说：当b 有最大（小）值时，则c 也有最大（小）值；反之，当c 有最大（小）值时，则b 也有最大（小）值；当c 为定值时，对222b c a =-来说：当a 有最大（小）值时，则b 也有最小（大）值．例 如图26，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且AF EF ⊥，则AE 的最小值为 .解：设CF x =（0x ＜＜3），则3DF x =-.∵四边形ABCD 是正方形，且AF EF ⊥，∴ADF FCE ∆∆∽，则=AD DF CF CE ，∴(3)3x xCE -⋅=.由于AB 为定值，在直角三角形图21FB A F B图24图23图22 图25BCABE 中，要AE 最小，则要BE 最小即要CE 最大即可.∵2133()324CE x =--+，又∵103-＜且0x ＜＜3，∴当32x =时，CE 有最大值34，则BE 最小为94，∴由勾股定理可得：AE 的最小值为154.模型13:已知四边形两条对角线的长，求四边形面积最大值的问题模型如图27，四边形ABCD 中，已知AC 、BD 的长是确定的，要求四边形ABCD 面积的最大值，则1=2ABCD S AC BD ⋅四边形.练习：如图27-1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D ，E 在ABC ∆所在的平面内，且1CE =，点D 在AC 的上方，连接AE ，BD .若AE BD =，则四边形ABED 面积的最大值为 .模型14:已知三角形两边之和为定值，且夹角确定，求三角形面积最大值的问题模型 如图28，已知中ABC ∆，ABC θ∠=︒，点D 、E 分别是AB 、BC 上的两动点，且BD BE m +=.则有BDES ∆1sin 2BD BE θ=g 221sin ()sin 228m m BD θθ=--+，当2mBD =时，BDE S ∆有最大面积为2sin 8m θ︒[当90θ＞时，最大面积为2sin 180-8m θ︒（）]. 练习：如图28-1，在边长为1的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 、F 分别为AD 、CD 上的动点，连接BE 、BF 、EF .若60EBF ∠=︒，则DEF ∆面积的最大值为 .FD C 图26C图27-1图28-1A模型15:圆上一点到与圆相离直线的距离，有最值的问题模型 如图29，O e 与直线ι相离，点P 是O e 上的一个动点，设圆心O 到直线ι的距离为d ，O e 的半径为r .则点P 到直线ι的最小距离为d r -d r +.例如图29-1，在矩形Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =3BC =，点D 是AC 的中点，将CD 绕着点C 过程中点D 的对应点为点E ，连接AE 、BE ，则AEB ∆为 .解：∵90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 是AC 的中点，CD 是绕着点C 逆时针旋转的，∴由勾股定理可得：5AB =，E 点在以C 为圆心，2为半径的圆上动，如图29-2所示，求AEB ∆面积的最小值，就转化为求圆上一点到直线的最短距离了.于是过C 作CF AB ⊥于F ，则有125AC BC CF AB ⋅==，∴E 点到AB 的最短距离为25，∴AEB ∆面积的最小值为125=125⨯⨯.模型16:四点共圆的四边形有一条对角线的长是定值，则圆有最小直径的问题模型如图30，已知直线ι垂直平分AC ，交AC 于E 点，四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆O e 上，且AC 的长是定值.由图易知：O e 有最小直径，其最小值为AC .图29-2图29-1图29。