高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题
高考数学专题06 三角形中的最值问题(第一篇)(原卷版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域． 【思路引导】 （1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值；(2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ； （2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-u r ，(2,0)n =r.（1）若23B π=，求m u r 与n r 的夹角θ；（2）若||1,m b ==r，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 （1）将23B π=代入可求得m u r .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅u r r ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =r 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ； （2）设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 22A C C=⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.1.【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2.【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ； （2）已知3C π=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.3.【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 4.【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ； （2）若a =b c +的最大值.5.【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-r ，(1,cos cos )n a C c A =+r，且//m n r r.（1）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.6.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211m r r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．8.【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r ，求a 的最小值．9.【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 10.【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o 的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值.。
高中数学。三角形中的最值、范围问题。练习题(含答案)
高中数学。
三角形中的最值、范围问题。
练习题(含答案)解三角形问题是高考高频考点。
主要利用三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识解题。
在解题过程中，需要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”。
另外，要注意a+c。
ac。
a+c三者的关系。
高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题。
如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。
而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式。
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。
例如：（1）sinA+sinB-sinAsinB=sinC。
可化为a+b-ab=c；（2）bcosC+ccosB=a 可化为sinBcosC+sinCcosB=sinA（恒等式）；（3) bcsinBsinC/2=asinA/2.余弦定理为a²=b²+c²-2bccosA。
变式为a=(b+c)-2bc(1+cosA)。
此公式在已知a,A的情况下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。
在三角形中，任意两边之和大于第三边。
在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。
在求最值时使用较少。
另外，在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系。
例如a>b则A>B，则sinA>sinB，cosAB 则cosAB则sinA>sinB仅在一个三角形内有效。
解三角形中处理不等关系的几种方法包括：（1）转变为一个变量的函数；（2）利用均值不等式求得最值。
例如，已知四边形面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的最大值为多少？答案】1) $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；2) $a+b+c$ 的最大值为 $2\sqrt{3}+\sqrt{6}$。
专题02 解三角形中的最值问题(原卷版)
专题02 解三角形中的最值问题常见考点考点一 面积最值问题典例1．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos (2)cos 0c B b a C +-=. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，求△ABC 的面积S 的最大值.变式1-1．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(sin sin )sin sin sin .A C B A C -=- （1）求角B（2）当b =3时，求ABC 的面积的最大值．变式1-2．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin()sin sin A B C B -=-. （1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.变式1-3．△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a =22()a b c bc --=， （1）若4B π=，求边长b 的值；（2）求△ABC 的面积S 的最大值．考点二 周长最值问题典例2．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B a =+.（1）求角B 的值；（2）若2b =，求ABC 周长的取值范围.变式2-1．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，()cos 2cos 0b C a c B --=. （1）求角B ；（2）若4AC =，求ABC 的周长的最大值.变式2-2．在锐角ABC 中，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行.（1）求角A ； （2）若a =2，求ABC 周长的取值范围.变式2-3．在ABC 中，已知内角A ､B ､C 的对边分别是a ､b ､c ，且2cos 2c B a b =+.（1）求角C 的大小；（2）若c =，求ABC 周长的最大值.考点三 角的最值问题典例3．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(),m c b =，3,sin n B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，m n ∥.（1）求C ；（2）求sin sin A B +的取值范围.变式3-1．在ABC 中，A ∠､B ､C ∠所对的边分别为a ､b ､c ，且222a b c +-=ABC （1）求角C 的大小；（2cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值，并求取得最大值时角A ､B 的大小.变式3-2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积cos S C =． （1）求角C 的大小；（2）求2sincos cos 223A A H B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值，及取得最大值时角A 的值．变式3-3．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin sin 2sin sin 6b B a A b A c C π⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求角A 的大小；（2）求sin cos C B ⋅的取值范围．考点四 边的最值问题典例4．已知在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 20B b A b +-=. （1）求角A ；（2）若a =b c -的取值范围.变式4-1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C -=．（1）求角B ；（2）若b =12a +c 的最大值．变式4-2．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b a B c C +-=． （1）求角C ；（2）求a b c +的取值范围．变式4-3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A C a b A B c--=+． （1）求角B 的大小；（2）设2m a c =-，若b =A ，C 都为锐角，求m 的取值范围．巩固练习练习一 面积最值问题1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B B =.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =，求ABC 面积的取值范围.2．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()1sin cos 22b C abc B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭. （1）求b 的值；（2）若3B π=，求ABC 面积的最大值.3．已知△ABC 的内角A 、B 、C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C -+=+-. （1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值.4．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，其中边c 最长，并且22sin sin 1A B +=． （1）求证：ABC 是直角三角形；（2）当1c =时，求ABC 面积的最大值．练习二 周长最值问题5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin A C b B C a c-=-+. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 周长的最大值.6()sin cos 1C c A =+；②()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-；③)2224ABC S b c a +-△中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 的周长l 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．在ABC 中，内角A B C ､､所对边分别为a b c ､､，已知()sin sin sin sin .c C b B a A B -=- （1）求角C 的值；（2）若3c =，求ABC 周长的最大值.8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为()1sin sin sin 2c a A b B c C +-． （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC 周长的最大值．练习三 角的最值问题9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2sin cos 2sin b A B c b B =- （1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围.10．已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m m ⋅=，其中A 、B 、C 是ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值．11．在ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ，c 为方程2312100x x -+=的两个根，a =（1）求三角形ABC 的面积；（2）求sin sin B C +的值.12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin a A b C c C b B +=+. （1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的取值范围.练习四 边的最值问题13．已知ABC 的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-. （1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，且b =c a -的取值范围.14．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，()222sin cos a b c B B -+.（1）求B ；（2）若1b =，求2c a -的取值范围.15．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =cos (cos )+C B B cos 0A =.（1）求角A 的大小；（2）求2b c +的取值范围.16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B ＋sin （A -C ）＝cos C ． （1）求角A 的大小；（2）当c =时，求a 2＋b 2的取值范围．。
高考数学复习：把握三角函数与解三角形中的最值问题
的取值范围是________.
解析
(1)f(x)＝3sin
x＋4cos
x＝535sin
x＋45cos
x＝5sin(x＋φ)，其中
cos
φ＝35，sin
φ
＝45，π4<φ<π2.因为 0≤x≤π，所以π4<x＋φ<32π.所以当 x＋φ＝π2时，f(x)max＝5；当 x＝π
时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4.所以 f(x)的值域为[－4，5].
1
@《创新设计》
解 (1)连接 OM，依题意可得，在△OCM 中，OC＝1，CM＝ 2，OM＝2，
所以 cos ∠COM＝22＋21×2－2（×12）2＝34，
所以点 M 的横坐标为 2×34＝32.
(2)设∠AOM＝θ，θ∈0，23π，则∠BOM＝23π－θ，
S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB
sAinDC＝ 4 sin
233π＝sinDπ3－C C，
∴AD＝8sin C，DC＝8sinπ3－C，
∴△ADC的周长为
AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sinπ3－C＋4 3
＝8sin
C＋
3 2 cos
C－12sin
C＋4
3
18
@《创新设计》
＝812sin
C＋
23cos
C＋4
3
＝8sinC＋π3＋4 3， ∵∠ADC＝23π，∴0<C<π3，∴π3<C＋π3<23π，
9
解
(1)由已知条件，得
bcos
A＋acos
B＝2
3 3 bsin
C.
由正弦定理，得
高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题汇编
高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题1. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，已知：3C π=，a b c λ+=（其中1λ>） (1)当2λ=时，证明：a b c ==；(2)若3AC BC λ⋅=，求边长c 的最小值.2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=-（1）求函数()f x 在区间[,]42ππ上的值域；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =，求ABC ∆面积的最大值。
3. 已知函数2()22cos f x x x m =+-(Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π∈上有解，求m 的取值范围；(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-，2b c +=时，求a 的最小值4. 在ABC ∆中，sin A a =． (1)求角B 的值；(2)如果2b =，求ABC ∆面积的最大值．5. 如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设AOP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =． (1) 求索道AB 的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90POQ ︒∠=，OP =M 在线段P Q 上．(1)若OM =PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且30MON ︒∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．试卷答案1. 答案：(1)见解析(2)见解析分析：(1)∵a b c λ+=，由正弦定理得，sin sin sin A B C λ+==2sin sin()3B B π∴+-=sin()1,63B B ππ+=∴=，∴ABC ∆为正三角形，a b c ∴==.(2)由余弦定理得；2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又由3AC BC λ⋅=知：32,ab λ=再由a b c λ+=可得： 3222322661c c c λλλλ=-⇒=-，设326()(1)1f λλλλ=>-，下面求()f λ的最值.求导函数()f λ'=，当()0f λ'=时，解得λ=0,λλ==.由于当1λ<<()0f λ'<；当λ>()0f λ'>，故()f λ在上时减函数，在)+∞上是增函数，因此当λ=()f λ取极小值，又在(1,)+∞上()f λ有且只有一个极值点，所以当λ=()f λ取到最小值.min ()f f λ==于是在ABC ∆中边长c 存在最小值，不存在最大值，其最小值为min c ==.2. 答案：答案见解析分析：（1）()2cos (sin )sin 222sin(2)3f x x x x x x x π===-， 由42x ππ剟 ，有22633x πππ-剟，得函数()f x 的值域为[]1,2.（2）由()f C =，有sin(2)32C π-=，又角C 为锐角，则22333C πππ-<-<， 从而233C ππ-=，得3C π=由余弦定理得：224a b ab +-=，又222a b ab +…，故224a b ab ab =+-…。
【高考数学大题精做】专题06 三角形中的最值问题(第一篇)(解析版)
1 / 18第一篇 三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域． 【思路引导】 （1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域. 解：（1）由2cos cos a b Bc C-=， 利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=， 可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=，1sin 0,cos 2A C ≠∴=Q 0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭Q .（2）sin sin 3y A sinB A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭2 / 181sin sin 26A A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 2,032A B A Q ππ+=<<，62A ππ∴<<，2,36362A sin A ππππ⎛⎤⎛⎫∴<+<∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，32y ⎛∴∈ ⎝. 【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++=Q ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,C π∈Q sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈Q 3B π∴= 23AC π∴+=2sin sin 23A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：sin sin3B π==2sin sin sin a c bA C B∴====3 / 182sin c C ∴=，2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--2sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭23A C π+=Q 203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ； （2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解. 解：（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11sin 32224S bc A =≤⨯⨯=（b c =时取等号）．4 / 18【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-u r ，(2,0)n =r. （1）若23B π=，求m u r 与n r 的夹角θ； （2）若||1,m b ==r，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 （1）将23B π=代入可求得m u r .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅u r r ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =r 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.解：（1）23B π=,所以322m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r ,因为(2,0)n =r ,20m n ⋅==u r r ∴ ,又||m ==u r ||2n =r ,1cos 2θ==∴,3πθ∴=,（2）因为||1m =u r,即||1m ===r,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2222()()3()324a c a c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号） 所以ABC ∆周长的最大值为5 / 18方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c bA C B===, 2sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<,1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.解：（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，6 / 18在Rt ADF ∆中，AD =236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，0cos 6cos 6ADAF DAFπθπθ⎛⎫∴==<< ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭； （2）13sin 234cos cos 6S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ； （2）设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 22A C C=⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值． 解：（1）由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-，222a c b ac +-=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，3B π=；7 / 18（2）由正弦定理2sin sin sin 2a c bA C B====，2sin a A =，2sin c C =， 2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-2sin 2sin sin 2sin sin 2A C C A C C =⋅=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-31cos 2sin 2sin 22sin 2222222C C C C C =-+-=-+sin 213C π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当512C π=时等号成立，故最大值为1. 【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=sin sin 0A C C -=， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<，所以4A π=. （2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<.8 / 18在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r，所以221()4AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r 21(48)4b b =++21(2)14b =++，因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===,a A b B ==9 / 18∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ； （2）已知3C π=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.【思路引导】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC V 的面积取得最大值时，ab 最大，结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC V 的周长．解：（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=， 即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =. （2）因为48a b +=≥=， 所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.10 / 18因为ABC V的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯= 所以当44a b ==时，ABC V 的面积取得最大值， 此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =， 所以ABC V的周长为53. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由1sin 2ABC S ac B ∆==，11 / 18又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r， 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆43=4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ； （2）若a =b c +的最大值.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得A .（2）利用正弦定理,表示出b c +,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得b c +的最大值. 解：（1）∵cos cos 2cos +=ac B b C A,由正弦定理得sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos +=⇒=A AB C A A A , ∵sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∵0A π<<,∴3A π=；（2）由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C===, ∴2sin ,2sin b B c C ==,则()22sin sin 2sin 2sin 3⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭b c B C B B π3sin 6B B B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,12 / 18∵203B π<<,∴5666B πππ<+<, ∴当3B π=时,b c +取得最大值5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-r ，(1,cos cos )n a C c A =+r，且//m n r r.（1）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.【思路引导】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角C 的大小； （2）根据余弦定理求出+a b 的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围. 解：（1）由//m n r r得22cos 2cos cos a C c A C b +=-， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-， 即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=； （2）在ABC ∆中，因c =23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=， 即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b +≤，则2a b c <++≤，即ABC ∆的周长的取值范围为(+. 6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.13 / 18（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可. (2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解 解：（1）由题, 2cos sin()A A C +=3sin[()]sin[()]sin(2)sin sin 2A A C A A C A C C C C ++--+=++=-,即1sin(2)sin 22A C C C +=-sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故23A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=. （2）122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2cos 2sin 22A A A ⎛⎫=+⨯-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥即实数m的最小值为7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据14 / 18A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 解：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+， 化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+ 即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=， 所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=. （2）由（1）知，2a bc +=， 所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥， 当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12.8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r，求a 的最小值． 【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．解：(1) ∵ABC V 中，cos 2cb a C -=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，∴π3A =．(2) 由 (1)及·3AB AC =u u u r u u u r得6bc =，15 / 18所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--=… 当且仅当b c =时取等号，所以a9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 【思路引导】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值．解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π-∵()sin 220cos 0bc A B C ++=∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭ ∴当4A π=时，c bb c+取最大值 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．16 / 18【思路引导】 （1）根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，化简可得cos sin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，然后求出B 的值；（2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，利用向量的模和基本不等式可求BD u u u r的取值范围，即可得到BD 的最小值.解：（1）由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A C a b a +=， 即(cos cos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠， 所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==， 所以1cos (0)2222B B π=<<， 所以23B π=，即23B π=. （2）由△ABC的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2221(2)4BD BA BC BA BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac u u u r =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以BD u u u r≥BD.11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o的面积为 （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值. 【思路引导】 （1）利用1sin 2ABC AB B S BC =⋅⋅⋅V 求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE V 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF V 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF V 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.17 / 18解：（1）因为60,2,B AB ==o所以11sin 222ABC AB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯=V ，又ABC S =V 4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE V 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以sin 60DE =+， 在CDF V 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=o ，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFS DE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅V==，当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-V18 / 18故DEF V的面积的最小值为6 .。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练一、基本技能练1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，且0，则ω的最小值为()A.2B.4C.6D.82.将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为()A.π12 B.π6C.π3 D.5π63.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cosA ，则角A 的最大值为()A.π6 B.π4C.π3 D.2π34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b＝cos Ccos B ，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.35.若函数f (x )＝cos 2x ＋x (0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为() A.5π6，，4π3 C.5π3，，8π36.已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f立，若函数y＝f(x)在[0，a]上单调递减，则a的最大值是()A.π6B.π3C.2π3D.5π67.已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.8.已知函数f(x)＝cosωx＋ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________.9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC 的角平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠π2，c＋b cos A－a cos B＝2a cos A，则ba＝________；内角B的取值范围是________.11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角.(1)证明：B－A＝π2；(2)求sin A＋sin C的取值范围.12.已知向量a b＝(－sin x，3sin x)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1，a＝23，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.二、创新拓展练13.设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A.(2，3)B.(1，3)C.(2，2)D.(0，2)14.(多选)设函数f(x)＝ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则()A.f(x)在(0，2π)上有且仅有5个零点B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C.f(x)D.ω的取值范围是7 3，15.(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝6，记S为△ABC的面积，则下列说法正确的是()A.若C＝π3，则S有最大值93B.若A＝π6，a＝23，则S有最小值33C.若a＝2b，则cos C有最小值0D.若a＋b＝10，则sin C有最大值242516.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c＝a(b2＋c2－a2).(1)若A＝π3，求B的大小；(2)若a≠c，求c－3ba的最小值.参考答案与解析一、基本技能练1.答案A解析函数f (x )的周期T ≤π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.2.答案B解析将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到图象的函数解析式为y ＝cos 2φ＝x －2π3＋，此函数为奇函数，所以－2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )，则当k ＝－1时，|φ|取得最小值π6.3.答案A解析因为a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ，由正弦定理可得，a 2＋2c 2＝2bc cos A ，①由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②①＋②得2a 2＝b 2－c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－12（b 2－c 2）2bc＝b 2＋3c 24bc ≥23bc 4bc ＝32(当且仅当b ＝3c 时取等号)，所以角A 的最大值为π6.4.答案A解析∵在△ABC 中，2a －c b＝cos Ccos B ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0.∴cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤43.即△ABC 的面积的最大值为4 3.5.答案B解析由题意，函数f (x )＝cos 2x ＋x ＝3sin x 因为0<x <α，所以π3<2x ＋π3<2α＋π3，又由f (x )在(0，α)上恰有2个零点，所以2π<2α＋π3≤3π，解得5π6<α≤4π3，所以α，4π3.故选B.6.答案B解析因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，又对x ∈R ，都有f (x )≥所以函数f (x )在x ＝π3时取得最小值，则2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝x令2kπ≤2x＋π3≤π＋2kπ，k∈Z，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，则函数y＝f(x)在0，π3上单调递减，故a的最大值是π，故选B.7.答案32，＋∞解析x∈－π3，π4，因为ω>0，－π3ω≤ωx≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥3 2，故ω取值范围是3 2，＋8.答案5 3，解析函数f(x)＝cosωx＋3sinω>0)，由x∈[0，π]，得ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3.又f(x)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则2π≤ωπ＋π3<52π，解得53≤ω<136.9.答案9解析因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin120°＝12a×1·sin60°＋12c·1·sin60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以1a＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c 5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9.10.答案22，π4解析由c ＋b cos A －a cos B ＝2a cos A 结合正弦定理得sin C ＋sin B cos A －sinA cosB ＝2sin A cos A ，即sin(A ＋B )＋sin B cos A －sin A cos B ＝2sin A cos A ，化简得2sin B cos A ＝2sin A cos A .因为A ≠π2cos A ≠0，则2sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B sin A ＝22，则由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2b 2＋c 2－b 222bc ＝b 2＋c 222bc ≥2bc 22bc ＝22，当且仅当b ＝c 时等号成立，解得0＜B ≤π411.(1)证明由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝又B 为钝角，因此π2＋A 故B ＝π2A ，即B －A ＝π2.(2)解由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝πA ＝π2－2A >0，所以A于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋2sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－A ＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－A ＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C ，98.12.解(1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )，又b ＝(－sin x ，3sin x )，则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x＝x ＋12，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值32.(2)在锐角△ABC 中，因为＋12＝1，所以＝12，所以A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以12＝b 2＋c 2－bc ，所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)，此时△ABC 为等边三角形，S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤33.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值3 3.二、创新拓展练13.答案A解析∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A .∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A .又△ABC 为锐角三角形，A <π2，A <π2，－3A <π2，∴π6<A <π4，∴22<cos A <32，即2<2cos A <3，故选A.14.答案CD解析因为x ∈[0，2π]，所以ωx ＋π3∈π3，2πω＋π3.设t ＝ωx ＋π3∈π3，2πω＋π3，画出y ＝cos t 的图象如图所示.由图象可知，若f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则5π≤2πω＋π3<7π，解得73≤ω<103，故D 正确；故f (x )在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A 错误；f (x )在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B 错误；当x ωx ＋π3，π6ω因为73≤ω<103，所以13π18≤π6ω＋π3<8π9，故f (x )C 正确.15.答案ABD解析对于选项A ，对角C 由余弦定理得36＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，因此，S ＝12ab sin C ＝34ab ≤93，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，故A 正确；对于选项B ，对角A 用余弦定理得12＝a 2＝c 2＋b 2－3bc ＝36＋b 2－63b ，解得b ＝23或b ＝43，因此，S ＝12bc sin A ＝32b ≥33，当且仅当b ＝23时取等号，故B 正确.对于选项C ，若a ＝2b ，由三边关系可得a －b ＝b <c ＝6<a ＋b ＝3b ⇒2<b <6，此时，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝5b 2－364b2＝54－9b 2∈(－1，1)，故C 错误.对于选项D ，若a ＋b ＝10，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－c 2－2ab 2ab＝32ab －1，又ab ≤（a ＋b ）24＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，∴cos C ＝32ab －1≥725⇒sin C ＝1－cos 2C ≤2425，故D 正确，故选ABD.16.解(1)因为b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2)，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2a .因为A ＝π3，所以b 2a ＝12a ＝b ，所以B ＝A ＝π3.(2)由(1)及正弦定理得cos A ＝sin B 2sin A，即sin B ＝2sin A cos A ＝sin 2A ，所以B ＝2A 或B ＋2A ＝π.当B ＋2A ＝π时，A ＝C ，与a ≠c 矛盾，故舍去，所以B ＝2A .c －3b a ＝sin C －3sin B sin A ＝sin （A ＋B ）－3sin Bsin A＝sin A cos B ＋cos A sin B －3sin Bsin A＝cos B ＋（cos A －3）sin 2Asin A ＝cos 2A ＋2(cos A －3)·cos A＝4cos 2A －6cos A －1＝A －134.因为C ＝π－A －B ＝π－3A >0，即A <π3，所以cos A >12，所以当cos A ＝34时，c －3b a 有最小值－134.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题
1． 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 所对的边长，已知:3C π=
,a b c λ+=(其中1λ>） (1)当2λ=时，证明:a b c ==;
(2)若3AC BC λ⋅=,求边长c 的最小值.
2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=-
(1)求函数()f x 在区间[,]42
ππ上的值域;
(２)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =,求ABC ∆面积的最大值。
3. 已知函数2()22cos f x x x m =+-
（Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π
∈上有解，求m 的取值范围;(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对
的边,当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-,2b c +=时,求a 的最小值
4. 在ABC ∆中,sin A a =. (1)求角B 的值;(2)如果2b =，求ABC ∆面积的最大值．
5. 如图,扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o
，半径为2,在弧AB 上有一动点P ,过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ,设AOP θ∠=,求POC ∆面积的最大值及此时θ的值．
6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min ．在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ,山路AC 长为1260m ,经测量,12cos 13A =，3cos 5
C =. (1) 求索道AB 的长；
(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？
7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90POQ ︒
∠=,22OP =点M 在线段P Q 上． (1)若5OM =求PM 的长；
(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ︒∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.
ﻬ试卷答案
1． 答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：(1)∵a b c λ+=，由正弦定理得，sin sin sin 3A B C λ+==
2sin sin()33B B π∴+-=sin()1,63
B B ππ+=∴=,∴AB
C ∆为正三角形，a b c ∴==.
(2)由余弦定理得;2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-,
又由3AC BC λ⋅=知：3
2,ab λ=再由a b c λ+=可得： 322232
2661c c c λλλλ=-⇒=-，设3
26()(1)1f λλλλ=>-,下面求()f λ的最值.求导函数2226(3)(3)()(1)
f λλλλλ+'=-，当()0f λ'=时，解得3λ=其中0,3λλ==.由于当13λ<<()0f λ'<； 当3λ>()0f λ'>,故()f λ在3)上时减函数,在3,)+∞上是增函数，因此当3λ=()f λ取极小值，
又在(1,)+∞上()f λ有且只有一个极值点,所以当3λ=,()f λ取到最小值．min ()(3)93f f λ==, 于是在ABC ∆中边长c 存在最小值，不存在最大值，其最小值为4min min ()33c f λ=
=.
2. 答案：答案见解析
分析:（1）()2cos (sin )sin 222sin(2)3f x x x x x x x π=+==-, 由
42x ππ ，有22633x πππ-,得函数()f x 的值域为[]1,2.
(2)由()f C =，有sin(2)32C π-
=,又角C 为锐角，则22333C πππ-<-<, 从而233C π
π
-=,得3C π
=
由余弦定理得:224a b ab +-=,又222a b ab +,故224a b ab ab =+-。
从而1sin 324ABC S ab C ab ∆=
=,故当a b =，即ABC ∆为正三角形时，ABC ∆.
３． 答案：答案见解析
分析:(1)()2sin(2)16f x x m π
=++-,2sin(2)16m x π∴=++在[0,]2π
内有70,2666x x π
π
π
π∴+ 02sin(2)3,036x m π∴+
∴ (２)3,()2sin(2)216m f A A π==+-=-， 1sin(2),226266
A A k ππππ∴+=∴+=+ 或522,()(0,),663A k k Z A A πππππ+=+∈∈∴=，,22,3
A b c ab π=∴+=当且仅当b c =时bc 有最大值1
22222cos ()343a b c bc A b c bc bc =+-=+-=- a ∴有最小值1，此时1b c ==
４. 答案：答案见解析
分析：(1)因为
sin sin a b A B =，sin A B a b =,
所以sin ,tan B B B ==
因为(0,)B π∈，所以3B π
=.
(2)因为3B π
=， 所以2221cos 22
a c
b B a
c +-==,
因为2b =,
所以2242a c ac ac +=+≥,
所以4ac ≤（当且仅当a c =时,等号成立）,
所以1sin 2
ABC S ac B ∆=≤
所以ABC ∆
5． 6. 答案:见解析
分析:(1) 如图作BD CA ⊥于点D ，设20BD k =,
则25,48,52DC k AD k AB k ===，
由631260AC k m ==知：521040AB k m ==.
(2) 设乙出发x 分钟后到达点M ，此时甲到达N 点,如图所示． 则:130,50(2)AM x AN x ==+,
由余弦定理得：2222
2cos 74001400010000MN AM AN AM AN A x x =+-⋅=-+， 其中08x ≤≤，当35(min)37
x =
时，MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3) 由(1)知：500BC m =，甲到C 用时：()1260126min 505
=. 若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：()1261413min 55+=，在BC 上用时: ()86min 5
． 此时乙的速度最小，且为：861250500543m ÷=/min .
若乙等甲3分钟，则乙到C 用时:()126
1113min 55-=,在BC 上用时: ()56min 5
. 此时乙的速度最大，且为:56625500543
m ÷=/min ， 故乙步行的速度应控制在1250625[,]4314范围内.
7. 答案：(1) 1MP =或3MP = (2) 83-分析:(1)在中OMP ∆,45OPM ︒∠=,5OM =22OP =
由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP ︒
=+-⨯⨯⨯, 得2430MP MP -+=,解得1MP =或3MP =. (2)设POM α∠=,060α︒︒≤≤,
在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OP OPM OMP
=∠∠， 所以()
sin 45sin 45OP OM α︒
︒=+, 同理()
sin 45sin 75OP ON α︒
︒=+ 故1sin 2
OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒
︒︒=⨯++ ()()
1sin 45sin 4530αα︒︒︒=+++ ()()()31sin 45sin 45cos 45ααα︒︒︒=
⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦
=
=
=
42
= 因为060α︒︒≤≤,30230150α︒︒︒≤+≤,所以当30α︒=时， ()sin 230α︒+的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值．
即30POM ︒∠=时,
OMN ∆的面积的最小值为8-．。