高三数学典型题专题训练最值问题
高三数学利用导数求最值和极值试题
高三数学利用导数求最值和极值试题1.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是．【考点】利用导数求函数的极值和最值．2.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x3. [2014·长沙模拟]已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【答案】C【解析】∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，y′>0，函数f(x)单调递增；当x>9时，y′＜0，函数f(x)单调递减．故当x＝9时，y取最大值．4.（5分）（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2B．3C．6D．9【答案】D【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．5.如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.（1）求关于的函数关系式？（2）求圆柱形罐子体积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用解直角三角形用将OA，AB表示出来，利用OA是圆柱的底面周长，将圆柱的底面半径用表示出来，圆柱的高就是AB，再利用圆柱的体积公式求出圆柱的体积即为所求关于的函数关系式，注意要标明定义域；（2）设sin=,将圆柱形罐子体积化为关于的函数，注意的范围，求出的导数，利用导数求出单调区间，求出的极值，再求出函数的最大值就是圆柱形罐子体积的最大值.试题解析：（1）（2）令，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，体积取得最大值.【解法2】：（1）连接，在中，设，则设圆柱底面半径为，则，即，，其中.（2）由，得由解得；由解得．因此在上是增函数，在上是减函数．所以当时，有最大值．【考点】1.圆的参数方程；2.圆柱的体积公式；3.利用导数求函数最值；4.运算求解能力.6.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.7.已知为自然对数的底数，设函数，则( )A．是的极小值点B．是的极小值点C．是的极大值点D．是的极大值点【解析】根据题意对函数求导可得,令可得,因为,所以当时,,原函数单调递增,当时,,原函数单调递减,所以为函数的极小值点,故选B.【考点】导函数极值8.设函数f(x)的定义域为R，x0(x≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x)B．－x是f(－x)的极小值点C．－x是－f(x)的极小值点D．－x是－f(－x)的极小值点【答案】D【解析】取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.9.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．【答案】9【解析】依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为910.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．11.已知函数（1）若函数在点处的切线与圆相切，求的值；（2）当时，函数的图像恒在坐标轴轴的上方，试求出的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题综合考查函数与导数及运用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力，考查函数思想、分类讨论思想.第一问，先将代入中，得到切点的纵坐标，对求导，将代入得到切线的斜率，所以点斜式写出切线方程，因为它与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，列出表达式，求出；第二问，对求导，通过分析可转化为当时，恒成立，设，讨论，讨论的正负，通过抛物线的性质，求最小值.试题解析：(1) ，而，故，所以在点处的切线方程为，即，由，配方得，故该圆的圆心为，半径，由题意可知，圆与直线相切，所以，即，解得. （4分）（2）函数的定义域为，，由题意，只需当时，恒成立. （5分）设，，当时，，当时，恒成立，即恒成立，故在上是增函数，∴当时，，（7分）当时，函数的对称轴，则在上是增函数，当时，，∴，∴在上是增函数，∴当时，，（9分）当时，函数的对称轴，在是减函数，，故，∴在是减函数，∴当时，与当时，矛盾，（11分）综上所述，的取值范围是.【考点】1.利用导数求切线的方程；2.点到直线的距离公式；3.利用导数求函数最值.12.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值13.设.(Ⅰ)若，求的单调区间;(Ⅱ) 若对一切恒成立,求的取值范围.【答案】（Ⅰ)的单调递增区间为,的单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将代入得：求的导数，由；便可得的单调区间.（Ⅱ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.试题解析：(Ⅰ)时，,故由得：；由得：；∴的单调递增区间为, 的单调递减区间为(II)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系.14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值2.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.min3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O 为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.4.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.7.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.8.设函数，则函数的各极小值之和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，令，则，令，则，所以当时，取极小值，其极小值为所以函数的各极小值之和，故选D.【考点】1.函数的极值求解；2.数列的求和.9.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析10.已知函数在处取得极值，则取值的集合为 .【答案】.【解析】，，依题意有，从而有，且有，即，解得或，当时，，此时，此时函数无极值，当时，，此时，此时函数有极值，故.【考点】函数的极值11.函数最小值是___________.【答案】【解析】函数求导得.当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，因此函数在处取得最小值，即.【考点】利用导数求函数的最值.12.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.13.设函数，（1）求函数的极大值；（2）记的导函数为，若时，恒有成立，试确定实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】（1）由导函数或求得函数的单调区间，再找极大值;(2) 的导函数是一元二次函数，转化为一元二次函数在上的最值，再满足条件即可.试题解析：(1)令，且当时，得；当时，得或∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和，故当时，有极大值，其极大值为 6分（2）∵ 7分①当时，，∴在区间内单调递减∴，且∵恒有成立∵又，此时， 10分②当时，，得因为恒有成立，所以，即，又得， 14分综上可知，实数的取值范围 . 15分【考点】1.函数的极值；2.一元二次函数的最值.14.已知函数．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．【解析】（Ⅰ）由，得，令，得或．当变化时，及的变化如下表：由，，，即最大值为，． 4分（Ⅱ）由，得．，且等号不能同时取，，即恒成立，即． 6分令，求导得，，当时，，从而，在上为增函数，，． 8分（Ⅲ）由条件，，假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，不妨设，则，且．是以为直角顶点的直角三角形，，，是否存在，等价于方程在且时是否有解． 10分①若时，方程为，化简得，此方程无解；②若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． 14分【考点】利用导数研究函数的单调性、最值。
高三数学 函数的单调性和最值典型例题解析之一
高三数学函数的单调性和最值典型例题解析1．由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.2. 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减. （2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.3.下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意；B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD4.定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号：∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 5.已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2.对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（）A．是奇函数B．有极大值和极小值C．的最小值为，最大值为2D．在上是增函数【答案】B【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；图1根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间“先增后减”，故选B.图2【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.4.设是定义在R上的偶函数，且当时，。
若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）。
A．B．C．D．2【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,则满足即故实数的最大值是.故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.5.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【答案】B【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．6.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.已知，，规定：当时, ；当时,，则（）A．有最小值,最大值1B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值D．有最大值,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数的图像如下,而,故有最小值1,无最大值.【考点】函数图像平移变化9.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.【考点】1、分段函数；2、函数的单调性.10.判断函数f(x)＝e x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．【答案】f(x)在(0，＋∞)上为增函数【解析】(解法1)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴ex1－x2＜1，ex1＋x2＞1，ex1＞0，∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(解法2)对f(x)＝e x＋求导，得f′(x)＝e x－＝(e2x－1)，当x＞0时，e x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．11.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【答案】2【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max +f(x)min=0,∴ymax +ymin=2.12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称．下列结论中，正确的是()A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.14.已知函数y=f(x)满足:对任意的x1<x2≤-1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,则f(-2),f(-),f(-1)的大小关系为()A．f(-2)<f(-)<f(-1)B．f(-2)>f(-)>f(-1)C．f(-2)>f(-1)>f(-)D．f(-)>f(-2)>f(-1)【答案】A【解析】由题意及函数单调性的定义得,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,又-2<-<-1, ∴f(-2)<f(-)<f(-1).15.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是__________.【答案】[0,]【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].16.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f[f(x)]＝x，但f(x)≠x，则称x为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)证明：f[f(x)]＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f ＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，S′(a)＝·.因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.17. {an }为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n，Sn)所在的抛物线可能为()【答案】D【解析】当n≥1时{an }单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.18.设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．【答案】[－3,6]【解析】当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．19.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A．y＝lg(x＋2)B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋【答案】A【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．20.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是()．A．－2≤t≤2B．－≤t≤C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－或t＝0或t≥【答案】C【解析】依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.21.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．【解析】(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，，得证．试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。
函数的极值、最值复习练习高三数学二轮复习
函数的极值、最值一、单项选择题1．下列函数中，不存在极值的是()A．y＝x＋1x B．y＝x exC．y＝x ln x D．y＝－2x3－x2．下列关于函数f(x)＝(3－x2)e x的结论，正确的是()A．f(－3)是极大值，f(1)是极小值B．f(x)没有最大值，也没有最小值C．f(x)有最大值，没有最小值D．f(x)有最小值，没有最大值3．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20 B．18 C．3 D．04．(2022·南充检测)已知函数f(x)＝x3－3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n等于()A．2 B．7 C．2或7 D．3或95．(2022·晋中模拟)已知函数f(x)＝2x ln x＋x2－ax＋3(a>0)，若f(x)≥0恒成立，则a的取值范围为()A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)C．(0,4) D．(0,4]6．(2022·昆明模拟)若函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，设这两个极值点为x1，x2，且x1<x2，则()A．x1∈(1,2) B．a>2C．f(x1)<－3 D．f(x1)>－3二、多项选择题7．(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则() A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线8．(2022·河北名校联盟调研)若存在正实数m，n，使得等式4m ＋a(n－3e2m)·(ln n－ln m)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是()A．－1e B.1e3 C.1e2D．2三、填空题9．函数f(x)＝x－ln|x|的极值点为________．10．已知函数f(x)＝x ln x－x＋2a＋2，若函数y＝f(x)与y＝f(f(x))有相同的值域，则实数a的取值范围是________．11．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．12．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2a x－e x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________．四、解答题13．(2022·西安交大附中模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋a(a∈R)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )在区间[0,3]上的最大值与最小值之差g (a )．14.(2022·许昌模拟)已知函数f (x )＝cos x －1e x .(1)求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)证明：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上存在唯一的极大值点x 0. (参考数据：7<e 2<8，e 3>16，4π1e 2-<)答案：1．D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7．AC 8．ACD9．1 10.(－∞，0] 11.1 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 13．解 (1)因为f (x )＝x 3－3ax ＋a (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．①当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增；②当a >0时，x ∈(－∞，－a )∪(a ，＋∞)时，f ′(x )>0； x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0；故f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上单调递增，在(－a ，a )上单调递减．(2)由(1)可知：①当a ≤0时，f (x )在[0,3]上单调递增，g (a )＝f (3)－f (0)＝27－9a ； ②当a ≥3，即a ≥9时，f (x )在[0,3]上单调递减，g (a )＝f (0)－f (3)＝9a －27；③当0<a <3，即0<a <9时，f (x )在[0，a )上单调递减，在(a ，3]上单调递增，于是f (x )min ＝f (a )＝－2a a ＋a ，又f (0)＝a ，f (3)＝27－8a .故当0<a <3时，g (a )＝27－9a ＋2a a ；当3≤a <9时，g (a )＝2a a ，综上可得，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 27－9a ，a ≤0，27－9a ＋2a a ，0<a <3，2a a ，3≤a <9，9a －27，a ≥9.14．(1)解 因为f (x )＝cos x －1e x ，在x ＝0处的切点为(0,0)，求导得f ′(x )＝－sin x ＋1e x ，所以切线斜率为f ′(0)＝1，所以函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x .(2)证明 因为f (x )＝cos x －1e x ，所以f ′(x )＝－sin x ＋1e x ，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4时， 函数y 1＝－sin x ，y 2＝1e x 均单调递减，所以f ′(x )＝－sin x ＋1e x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上单调递减，因为e 2<8， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝23π611e e 22---<- ＝13e 2－12>138－12＝0， 因为4π1e ,2-< 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π4e -－22<12－22<0，根据零点存在定理可得，f ′(x )存在唯一零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4， 使得f ′(x 0)＝0e x －－sin x 0＝0，又y ＝f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上单调递减， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，x 0时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π4时，f ′(x )<0， 所以x 0是函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上唯一的极大值点．。
高中数学求数列最值的12种题型(含答案)
求数列最值的12种题型题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n2.(1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n2=a n ,又依a 1>0,可以得a n >0并解出：a n =32.a n =-1(舍)即a 1=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n 2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32.（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题2、已知数列{a n }满足：a 1=1,a n +1=a n2a n +1(*n N ∈),数列{b n }的前n 项和S n =12-12(23)n (*n N ∈).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设nn nb C a =,是否存在*m N ∈,使9m C ≥成立？并说明理由.解答：（1）由1111221n n n n na a a a a ++=⇒=++,∴112(1)21n n n a =+-=-,*1()21n a n N n =∈-.由21212()3n n S =-⋅及1121212()(2)3n n S n --=-⋅≥,可得124()(2)3n n n n b S S n -=-=⋅≥,令1n =,则11121212()43b S ==-⋅=也满足上式,∴124()(*)3n n b n N -=⋅∈.1122(2)(21)4()4(21)(33n n n n n b C n n a --==-⋅=-,设m C 为数列{}n C 中的最大项,则12111224(21)()4(23)()33224(21)()4(21)()3327(21)23322521(21)32m m m m m mm m m m C C C C m m m m m m m m ----+⎧-≥-⎪≥⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪-≥+⎪⎩⎧⎧-⋅≥-≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪-≥+⋅≥⎪⎪⎩⎩,∴3m =.即3C 为{}n C 中的最大项.∵2328020(939C ==<,∴不存在*m N ∈,使9m C ≥成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。
解三角形中的最值与范围问题 限时训练--2025届高三数学二轮复习【原卷版】
解三角形中的最值与范围问题一、单项选择题1．(★)(2024·湖北联考)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝2c cos B ，则b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2的最小值为( ) A ．2 2 B ．3 C ．2 3 D ．42．(★★)(2024·黄山模拟)已知△ABC 为锐角三角形，其外接圆半径为2，C ＝π3，则AB 边上的高的取值范围为( )A ．(0,3]B ．(0,3)C ．(2,3]D ．(2,3)3．(★★)(2023·马鞍山模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2＝a (a ＋b )，则sin 2A sin C －A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，324．(★★★)(2023·河南省实验中学模拟)已知△ABC 中，BC ＝3，角A 的平分线交BC 于点D ，若BD DC ＝12，则△ABC 面积的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多项选择题5．(★)(2023·江西师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＝π3，b＝4，则下列判断中正确的是( )A．若A＝π4，则a＝463B．若a＝92，则该三角形只有一解C．△ABC周长的最小值为12D．△ABC面积的最大值4 36．(2023·深圳中学模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin B＋2sin A cos C＝0，则下列结论正确的是( )A．△ABC是钝角三角形B．sin2 023A＋sin2 023B>sin2 023CC．角B的最大值为π6D．角C的最大值为2π3三、填空题7．(★★)(2023·普宁二中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．8．(★★★)(2024·德州模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若2S＝a2－(b－c)2，则b2＋c2bc的取值范围为____________．四、解答题9．(★★)(2024·苏州模拟)记△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，3c＝3cos B＋b sin A.(1)求A；(2)若点A，D位于直线BC异侧，BD⊥BC，BD＝1，求AD的最大值．10．(★★)(2023·华南师大附中模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b＋c)(sin B＋sin C)＝a sin A＋3b sin C.(1)求角A；(2)求1tan B＋1tan C的最小值．。
高考数学----辅助角与最值问题曲型例题讲解
高考数学----辅助角与最值问题曲型例题讲解【规律方法】第一类：一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±)．（其中ϕ=tan b a ）第二类：二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a b ωωω±=2sin cos cos a x x b x()()ωωωϕϕ±+=±±=sin 2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（ ）A B C ．47D ．17【答案】A【解析】()()41sin cos55f x x x x x x φ⎫=+=+⎪⎭，（其中cos φ=sinφ=当x β=时，()f x 取得最大值，此时()2Z 2k k πβφπ+=+∈，得到()2Z 2k k πβφπ=−+∈，cos cos 2sin 2k πβφπφ⎛⎫=−+== ⎪⎝⎭故选：A.例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．D ．[0,3【答案】A 【解析】由题意，23()3sin cos sin 2cos 2)2f x x x x x x ==−12cos 2)2x x =−(cossin 2sincos 2)66x x ππ=−)6x π=−当2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ时，有723,66x πππ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，当262x ππ−=，即3x π=时，max ()()3f x f π=== 当7266x ππ−=，即23x π=时，min 2()()03f x f π==.即函数()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦.故选：A例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()23sin cos f x x x x =的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．⎡⎣D ．0,3⎡⎣【答案】A【解析】()31cos 2sin 222xf x x −=3π=sin2226x x x −−⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ππ5π2,666x ∴−∈−⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴当ππ2=66x −−，即=0x 时，()min 102f x ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭， 当ππ2=62x −，即π=3x 时，()max f x =， 故()f x的值域为⎡⎢⎣⎦，故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习）函数()222sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=−，则122x x −的最小值是（ ）A ．23π B ．4π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】函数()222sin f x x x +，2cos 21x x =−+，2sin 216x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，因为26x R π−∈，则[]sin 21,16x π⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭所以()[]1,3f x ∈−， 因为()()123f x f x ⋅=−，所以()1f x ，()2f x 一个为()f x 的最大值，一个为最小值，则()1112222262,2262x k k k Z x k ππππππ⎧−=−⎪⎪∈⎨⎪−=+⎪⎩，或()1112222262,2262ππππππ⎧−=+⎪⎪∈⎨⎪−=−⎪⎩x k k k Z x k 解得()1112226,3x k k k Z x k ππππ⎧=−⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩，或()1112223,6ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=−⎪⎩x k k k Z x k所以()12122223x x k k ππ−=−−（i ），或()12125226ππ−=−+x x k k （ii ） 对于（i ），当1221k k −=时，122x x −的最小值是3π， 对于（ii ），当1221−=−k k 时，122x x −的最小值是6π， 综上，122x x −的最小值是6π， 故选：D例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，则()()2211a b −+−最小值是______．【答案】6−【解析】πsin cos 4a x b x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，2，即224a b +≥，则点(),a b 的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于2的同心圆，设点(),a b 的轨迹方程为()2222x y r r +=≥，()()2211a b −+−表示点(),a b 到点()1,1距离的平方，因为221124+=<，所以点()1,1在圆224x y +=内，点()1,1到圆()2222x y r r +=≥上的点的最小值为2r r ≥所以()()2211a b −+−最小值时(226=−故答案为：6−例10．（2022·全国·高三专题练习）函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________.【答案】【解析】()()22222sin sin 4sin 1cos 311cos sin cos 2sin cos 44444xx xf x x x x x x x ===+⎛⎫−−+− ⎪⎝⎭，设4sin cos 3xt x =+，可得4sin cos 3x t x t +=()3x t ϕ+=，其中cos ϕ=，sin ϕ=，因为()[]sin 1,1x ϕ+∈−，所以，3t ≤t ≤≤因此，()f x的最小值为故答案为：例11．（2022·全国·高三专题练习）已知2251x y −+=，,x y R ∈，则22x y +的最小值为____.【解析】因为())222251x y x −+=+=，所以令cos sin x θθ==，解得cos ,x y θθθ=+=，所以22222cos 1sin cos x y θθθθθθ⎫⎫+=++=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭()313cos22222θθθϕ=−=−. 因为()1sin 21θϕ−≤−≤，所以22x y +。
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3、动直线y＝k(x－ )与曲线y＝ 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，k的值为________________．
8、在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a，b)到直线l1：y＝x，l2：y＝－x＋1的距离分别为d1，d2，且满足d1＋2d2＝2 ，求a2＋b2的最大值为________．
5、已知实数x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z＝ 的最大值为________________．
6、已知P(x，y)的坐标满足 则 的取值范围为________________．
7、已知实数x，y满足约束条件 若不等式m(x2＋y2)≤(x＋y)2恒成立，则实数m的最大值是________________．
高三数学典型题专题训练最值问题
与平面向量相关的最值问题：
1、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一动点，若 ＝x ＋y (x，y∈R)，求x＋4y的取值范围．
2、设点A，B，C为单位圆上不同的三点，若∠ABC＝ ， ＝m ＋n (m，n∈R)，则m＋n的最小值为________________．
6、(天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ 的最小值为________________．
7、若正数a，b满足 ＋ ＝1，求 ＋ 的最小值．
与圆相关的范围与最值问题：
1、设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________________．
6、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若 ＝λ ＋μ ，求λ＋μ的最大值．
7、在△ABC中，点P满足 ＝2 ，过点P的直线与AB，AC所以直线分别交பைடு நூலகம்点M，N，若 ＝m ， ＝n (m＞0，n＞0)，求m＋2n的最小值．
利用基本不等式求代数式的最值问题：
1、(苏锡常镇二模)已知a，b均为正数，且ab－a－2b＝0，求 － ＋b2－ 的最小值．
2、若x>0，y>0，且x2＋y2＝1，则 ＋ 的最小值是________________．
3、(苏州调研三)设正实数x，y满足xy＝ ，则y的最小值是________________．
4、已知正实数x，y满足x＋ ＋3y＋ ＝10，则xy的取值范围为________________．
5、已知函数y＝ ＋ 的最大值为M，最小值为m，则 的值为________________．
2、(苏锡常镇一模)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，则 的取值范围为________________．
3、若实数a，b，c，d满足 ＝ ＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值是____________．
4、若关于x的方程x2－(a2＋b2－6b)x＋a2＋b2＋2a－4b＋1＝0的两根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2＋b2＋4a的取值范围为________________．
3、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的最小值．
4、已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足 ＝ ＋ ，则| |的最小值为________________．
5、已知三角形ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设 ＝x ， ＝y (xy≠0)，求4x＋y的最小值．
4、在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积最大值为16，则实数m的取值范围为____________．
线性约束条件下的非线性目标函数取值范围问题：
1、(扬州一模)若实数x，y满足 则x2＋y2的取值范围_____________．