高三数学数列专题训练(含解析)
高三数学数列试题答案及解析
高三数学数列试题答案及解析1.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为________【答案】【解析】由题意，，，所以，则时，，两式相减得，，也适合此式，故.【考点】新定义与数列的通项公式.2.已知数列的通项公式an＝ (n∈N*)，求数列前30项中的最大项和最小项．【答案】最大项为a10，最小项为a9【解析】∵an ＝1＋，∴当n≤9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10≤n≤30时，a n 随着n的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a10，最小项为a9.3.（本小题满分12分）已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的的值.（Ⅲ）记，是否存在实数M，使得对一切恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由。
【答案】，2/9【解析】19. 解：（Ⅰ）当时，，由，得．当时，，，∴，即．∴．∴是以为首项，为公比的等比数列．故．………………6分（Ⅱ），，………………8分………10分解方程，得………………12分（2）解法一：，由错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，当，又故存在实数M，使得对一切M的最小值为2/9。
4.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如题15图所示的数表，其中的第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为则_____________.【答案】【解析】略5.设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】在等差数列中，成等差数列。
因为，，所以。
故选Ｂ。
【考点】等差数列的性质点评：在等差数列中，成等差数列。
6.（本小题满分14分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为。
（1）求数列的通项公式；（2）证明：。
【答案】（1）；（2）证明见解析。
【解析】（1）设直线：，联立得：，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即。
高三数学数列综合应用试题答案及解析
高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。
高三数学数学多选题专项训练试题附解析
高三数学数学多选题专项训练试题附解析一、数列多选题1．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+- B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--答案：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC2．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++， 则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确； 对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确； 对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误； 对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈. 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案：ABCD由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.5．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列答案：ABC 【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】当时，由， 得， 即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以，即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+， 即221n a n n =+-，故C 正确； 所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC6．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8答案：BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误.由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.7．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值答案：ABD 【分析】由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =-D ．24n S n n =-答案：AD 【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，. 【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：， 解方程组得：， 所以，. 故选：AD.解析：AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.9．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥答案：AB 【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果. 【详解】 因为等差数列中， 所以，又， 所以，所以，，故AB 正确，C 错误； 因为，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.10．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列答案：ABD 【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为，， 所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：解析：ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21答案：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ． 【详解】由公差，可得，即，①由a7是a解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值答案：CD 【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案； 【详解】 ，，设，则点在抛物线上， 抛物线的开口向下，对称轴为， 且为的最大值，解析：CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上， 抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、等差数列多选题13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD.本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 14．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小 B ．130S =C ．49S S =D ．70a =解析：BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.15．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 16．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2解析：AB【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确； 对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确； 对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误； 对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 17．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+- B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin 2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC18．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题. 19．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项解析：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a da a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.20．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列 解析：AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+⎪⎝⎭*n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列解析：ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 0a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．23．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S = D ．15S 是最大值解析：CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上， 抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、等比数列多选题25．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列 C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列 解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 26．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为1解析：AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===， …… 所以1()2n na n N +=∈， 所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+解析：ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.28．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-解析：BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-. ∴363242q ==--或243236q -==-. 故选：BD29．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列B ．2a ，3a ，6a 成等比数列C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列解析：AD 【分析】根据等比数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q-=，A ．23513a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a aq a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列．30．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=5a 的值可能是（ ） A ．2 B ．4C ．85D ．83解析：ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a += 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．31．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >解析：AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为0q <，所以29109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确；对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1 B ．1＜b1C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n解析：ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解. 【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩；∴12123212244a a a a a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n •b n +1＝2n ∴122324b b b b =⎧⎨=⎩；∴2132b b b b ⎧⎨⎩＞＞；∴1＜b1B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nnnb b b b ⋅--=+=+-))2121n n ≥-=-；∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC 【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =解析：AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q . 对于A ，则2221112()()n n n n nn f a aa q f a aa +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a qq f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.34．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11解析：AB 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案． 【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n nb -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+ (2)）﹣n ()21212n n -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB 【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 35．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10解析：AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.过点且方向向量为的直线交椭圆于两点，记原点为,面积为,则_______【答案】1【解析】记，，因为，即的极限点为，过且方向向量为的直线方程为，代入椭圆方程，解得直线与椭圆的两交点，而，因此.【考点】数列的极限.2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．4.若的展开式中的系数为，则=____________．【答案】2【解析】由二项式定理知的系数是，，所以.【考点】二项式定理，裂项相消求和，数列极限.5.数列的通项公式，前项和为，则=_____________.【答案】【解析】当时，，所以=.【考点】本小题主要考查裂项法求数列的前n项的和以及极限的求解，考查学生的运算求解能力.点评：裂项相消法和错位相减法是数列求和的常用方法，也是高考中经常考查的内容，要给予充分的重视.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.、已知正项数列满足：，且，是数列的第项，则.【答案】1【解析】解：由得即，8.设常数，展开式中的系数为，则______【答案】1【解析】解：用二项式定理展开，则通项公式为则因此极限值为19.计算．【答案】【解析】略10.计算： .【答案】【】【解析】本题考查极限、等差数列求和及组合数公式由等差数列的求和公式有又所以即11.若() =9，则实数= .【答案】【解析】略12.已知函数在处连续，则( )A．0B．1C．D．【答案】D【解析】略13.．【答案】2【解析】略14.…）的值为．【答案】【解析】略15.A．B．C．D．不存在【答案】B【解析】略16.的值为（）A．－2B．C．D．【答案】B【解析】略17.【答案】【解析】略18.计算：。
【答案】.【解析】.【考点】极限的计算.19.已知，则______________．【答案】28【解析】由等差数列的前n项和公式，把等价转化为所以,然后求得a值．【考点】极限及其运算．20.．【答案】【解析】．【考点】极限的求法．。
高三数学专题训练《数列》解析版
一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10可得d ＝3，a 1＝－4，所以S 10＝－4×10＋10×92×3＝95.答案：C2．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列解析：设{a n }的公差为d ，则d ＝1，设c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则c n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，c n ＋1－c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－a 2n －1－2a 2n ＝6d ＝6，选择C.答案：C3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，a 3＝4.答案：A4．等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1≠d ，若这个数列的前40项和是20m ，则m 等于( )A ．a 1＋a 20B ．a 5＋a 17C ．a 27＋a 35D ．a 15＋a 26解析：S 40＝40(a 1＋a 40)2＝20(a 1＋a 40)＝20m ，m ＝a 1＋a 40＝a 15＋a 26.答案：D5．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26的值是( )A.b aB.b 2a2C.b 2aD.ba2解析：记等比数列{a n }的公比为q ，依题意得a 15＋a 16＝a 5q 10＋a 6q 10＝(a 5＋a 6)q 10，q 10＝a 15＋a 16a 5＋a 6＝b a，a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)q 20＝a ×(b a)2＝b 2a，选C. 答案：C6．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( )A.53B.35 C ．－53D ．－35解析：依题意，设公比为q ，则q ≠1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q ＝158①a 21q 3＝－98 ②，又1a 1，1a 2，1a 3，1a 4构成以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1[1－(1q)4]1－1q＝(1－q 4)a 1q 3(1－q )，①÷②得(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝－53，即1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，选择C.答案：C7．(2010·江西九校联考)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101＝( )A ．200B ．2C ．－2D ．0解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n＋2＝0，a n ＋2a nq ＋a n q 2＝0，因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，q ＝－1，S 101＝2×(1＋1)1＋1＝2，选择B.答案：B8．(2010·西安八校二联)已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8>a 8S 9B ．a 9S 8<a 8S 9C ．a 9S 8＝a 8S 9D ．a 9S 8与a 8S 9的大小关系与a 1的值有关 解析：依题意得，a 9S 8－a 8S 9＝a 1q 8·a 1(1－q 8)1－q－a 1q 7·a 1(1－q 9)1－q＝－a 21q 7>0，因此a 9S 8>a 8S 9，选A.答案：A9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134解析：∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴b n ＝ln a n 是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2， ∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 答案：C10．(2009·安徽蚌埠测验)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第1000项等于( )A ．42B ．45C ．48D ．51解析：将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第n 段n 个数，设a 1000＝k ，则a 1000在第k 个数段，由于第k 个数段共有k 个数，则由题意k 应满足1＋2＋…＋(k －1)<1000≤1＋2＋…＋k ，解得k ＝45.答案：B11．(2010·湖北八校联考)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：依题意，∵a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (n ∈N *)，∴k ≠0，①正确，排除B ，C 选项，又由于公差是0的等差数列不是等差比数列，②错误，排除A ，选择D.答案：D12．(2009·湖北高考)设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则{5＋12}，[5＋12]，5＋12( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列 解析：由题意，记a 1＝{5＋12}＝5＋12－[5＋12]＝5＋12－1＝5－12，a 2＝[5＋12]＝1，a 3＝5＋12，若为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，不满足；若为等比数列，则(a 2)2＝a 1a 3，有12＝5－12×5＋12，∴是等比数列但非等差数列，选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝__________.解析：由a 4＋a 6＝6，得a 5＝3，又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝10，∴a 1＝1.∴4d ＝a 5－a 1＝2，d ＝12.答案：1214．(2009·重庆一诊)已知数列{a n }是等比数列，且a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·a 10＝128，则a 15·a 2a 10＝__________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则依题意得a 71·q 42＝128，a 1·q 6＝2，a 7＝2，a 15·a 2a 10＝a 2·q 5＝a 7＝2.答案：215．把100个面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份之和的13等于较少的两份之和，则最少的一份面包个数是__________．解析：设构成等差数列的五个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则⎩⎨⎧5a ＝1003(a ＋d )＝3(2a －3d )解得⎩⎨⎧a ＝20d ＝5，则最少的一份为a －2d ＝10.答案：1016．数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ＝1,2，…)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则A 2005＝__________.解析：可求出a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝23，a 6＝－12，…，数列{a n }每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a 1×a 2×a 3＝－1，则A 2005＝(a 1×a 2×a 3)…(a 2002×a 2003×a 2004)×a 2005＝(a 1×a 2×a 3)668a 1＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3的值； (2)求此数列的通项公式； (3)求此数列的各项和S . 解：(1)由题意知⎩⎨⎧12S 2＋13S 3＝22S 2·3S 3＝36，解得S 2＝2，S 3＝3.(2)⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝4q ＝－12或⎩⎨⎧a 1＝1q ＝1(舍去)．∴a n ＝4·(－12)n －1.(3)∵|q |＝|－12|＝12<1.∴S ＝41－(－12)＝83.18．(12分)已知函数f (x )＝x3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)记S n (x )＝x a 1＋x 2a 2＋…＋eq \f(x n ,a n )，求S n (x )．(1)证明：∵a n ＋1＝f (a n )，∴a n ＋1＝a n3a n ＋1.∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3.∴{1a n}是以1a 1＝1为首项，3为公差的等差数列．∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)解：S n (x )＝x ＋4x 2＋7x 3＋…＋(3n －2)x n ，① 当x ＝1时，S n (x )＝1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.当x ≠1时，xS n (x )＝x 2＋4x 3＋…＋(3n －5)x n ＋(3n －2)x n ＋1，②①－②，得(1－x )S n (x )＝x ＋3x 2＋3x 3＋…＋3x n －(3n －2)x n ＋1＝3(x ＋x 2＋…＋x n )－2x －(3n －2)x n ＋1＝3x (1－x n )1－x－2x －(3n －2)x n ＋1，S n (x )＝3x －3x n ＋1(1－x )2－2x ＋(3n －2)x n ＋11－x.19．(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n >42＋4n 成立的n 的最小值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，① 又a 2＋a 3＋a 4＝28，将①代入得a 3＝8.所以a 2＋a 4＝20.于是有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12.又{a n }是递增的，故a 1＝2，q ＝2. 所以a n ＝2n .(2)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1，S n ＝n 2＋3n2.故由题意可得n 2＋3n2>42＋4n ，解得n >12或n <－7.又n ∈N *，所以满足条件的n 的最小值为13.20．(12分)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款．(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元)(参考数据：lg1.7343＝0.2391，lg1.05＝0.0212,1.058＝1.4774)解：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．(1)设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×800元＝800000元＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1. 化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1， ∴1.05n ≥1.7343.两边取对数整理得n ≥lg1.7343lg1.05＝0.23910.0212＝11.28，∴取n ＝12(年)．∴到2014年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x 元， ∵到2010年底公寓共使用了8年，依题意有(1000x10000－18)[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9.化简得(0.1x －18)1.058－11.05－1≥500×1.059.∴x ≥10(18＋25×1.0591.058－1)＝10(18＋25×1.05×1.47741.4774－1)＝10×(18＋81.2)＝992(元)故每生每年的最低收费标准为992元．21．(12分)若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝a n －1＋a n －22(n＝3,4，…)．(1)求c 的值．(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)由题设，当n ≥3时，a n ＝c 2a n －2， a n －1＝ca n －2，a n ＝a n －1＋a n －22＝1＋c 2a n －2， ∴c 2＝1＋c 2. 解得c ＝1或c ＝－12. (2)当c ＝1时{a n }是一个常数数列，a n ＝1.此时S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当c ＝－12时，a n ＝(－12)n －1(n ∈N *)． 此时S n ＝1＋2(－12)＋3(－12)2＋…＋n (－12)n －1.① －12S n ＝－12＋2(－12)2＋3(－12)3＋…＋(n －1)(－12)n －1＋n (－12)n .② ①－②，得(1＋12)S n ＝1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1－n (－12)n ＝1－(－12)n 1＋12－n (－12)n .∴S n ＝19[4－(－1)n 3n ＋22n －1]． 22．(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.(1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|x n ＋1－x n |≤16(25)n －1. (文)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(理)(1)由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想，数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，已证命题成立．②假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，易知x n >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2， 也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．(2)当n ＝1时，|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立； 当n ≥2时，易知0<x n －1<1，∴1＋x n －1<2，x n ＝11＋x n －1>12， ∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝(1＋11＋x n －1)(1＋x n －1) ＝2＋x n －1≥52， ∴|x n ＋1－x n |＝|11＋x n －11＋x n －1|＝|x n －x n －1|(1＋x n )(1＋x n －1)≤25|x n －x n －1|≤(25)2|x n －1－x n －2|≤…≤(25)n －1|x 2－x 1|＝16(25)n －1. (文)(1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1， 当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2 ＝1＋1－(－12)n －11－(－12)＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．。
高三数学数列模块专题训练
高三数学数列模块专题训练1．数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n2. 设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和11010=S 且1a ，2a ，4a 成等比数列。
（1）证明d a =1；（2）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式. 3. 已知等比数列{}n x 的各项为不等于1的正数，数列{}n y 满足)1,0(l o g 2≠>=a a x y na n ，y 4=17, y 7=11(1) 证明：{}n y 为等差数列；（2）问数列{}n y 的前多少项的和最大，最大值为多少？ 4.已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.5. 假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （Ⅰ）每年年末．．．．加1000元； （Ⅱ）每半年．．．结束时加300元。
请你选择。
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？6、在数列{}n a 中，11a =，2112(1)n n a a n+=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .（Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T .7、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ， 且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T8． 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…） 9． 已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？10．某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.11．等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==． （Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由．12．已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{nb 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列；（2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．答 案1．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =，故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+2. 证明：因1a ，2a ，4a 成等比数列，故4122a a a =，而{}n a 是等差数列，有d a a +=12，d a a 314+=,于是 21)(d a +)3(11d a a +=，即d a a d d a a 121212132+=++，化简得 d a =1（2）解：由条件11010=S 和d a S 291010110⨯+=，得到11045101=+d a ，由（1），d a =1，代入上式得11055=d ，故 2=d ，n d n a a n 2)1(1=-+=， ,3,2,1=n3. （1）{}0q q,,1x n >≠则设公比为成等比数列且n x y 常数q x x x x y a nn a n n a n n log 2log 2log 2log 21a 11==-=-+++∴{}.x n 成等差数列(2)y 11,1774==y ∴3d=－6 d=－2 y 231={}n n n n n d n n y y n 24)1(332)1(S n 21n+-=--=-+=项和前当n=12时，S n 有最大值144. ∴{}n y 前12项和最大为144.4.(Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n =（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2nnn n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x 时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n nn nx xx x nxx x x S x所以.12)1()1(212xnx x x x Sn n n----=+当1=x 时, )1(242+=+++=n n n S n综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n ；当1≠x 时，.12)1()1(212xnx x x x Sn n n----=+5. 设方案一第n 年年末加薪a n ，因为每年末加薪1000元，则a n =1000n ； 设方案二第n 个半年加薪b n ，因为每半年加薪300元，则b n =300n ；(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S 10=a 1＋a 2＋……＋a 10=55000元。
2023年新高考数学创新题型微专题08 数列专题(新定义)(解析版)
专题08 数列专题（新定义）一、单选题1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列{}n a 中，定义：12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称值”已知数列{}n a 的“匀称值”为2n G n =+，则该数列中的10a =（ ） A ．83B ．125 C ．94D ．2110【答案】D【分析】确定()123223n n nG n n a a a na =+=+++⋅⋅⋅+，取10n =和9n =带入式子，相减得到答案. 【详解】123232nn a a a na G n n+++⋅⋅⋅+==+，即()123223n n nG n n a a a na =+=+++⋅⋅⋅+，故()12310231010102a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯+；()1239239992a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯+； 两式相减得101021a =，所以102110a =． 故选：D2．（2023春·浙江·高三开学考试）对任意正整数对(,)h k ，定义函数(,)f h k 如下：(1,)1f j =，()()()()11,,,i f i j j i f i j i ++=−≤，则（ ）A ．(1,)1f j j +=B ．1(,)2C i j f i j −=C ．()21(,)21jji j f i j j =⎡⎤⋅=⋅−⎣⎦∑D ．[]11(,)22jn nj i j f i j n ==⋅=+−∑∑【答案】C【分析】根据新定义得(1,)(,)1f i j j if i j i +−=+，令i j =即可判断A ，根据()()()()()()2,3,4,123,,,1,22,33,4f j f j f j j j j f j f j f j −−−===累乘可判断B ，利用二项式定理求得12C C C 21nnnnn+++=−，结合()211(,)21jji jji i j f i j j C j ==⎡⎤⋅==−⎣⎦∑∑判断C ，[]()111(,)21j n nj j i j j f i j ===⋅=−∑∑∑，结合等比数列的前n 项和公式判断D. 【详解】()()()()()()1,11,,,,1f i j j ii f i j j i f i j f i j i +−++=−∴=+，令i j =，则(1,)0(,)f j j f j j +=，(1,)0f j j ∴+=，A 错误；(2,)1(3,)2(4,)3,,,(1,)2(2,)3(3,)4f j j f j j f j j f j f j f j −−−===，(,)1,(1,)f i j j i f j i−+= 累乘得：(,)(1)(2)(3)(1)1C (1,)2345ij f i j j j j j i f j i j−−−−+==⨯⨯⨯⨯⨯，1(1,)1,(,)C ,()ij f j f i j i j j=∴=≤，令1i =，则B 错误； 因为()01211C C C C nnn n n n +=++++，所以12C C C 21n nn n n +++=−，()211(,)C 21jji jj i i jf i j j j ==⎡⎤⋅==−⎣⎦∑∑，则C 正确；[]()11112(12)(,)212212n jnnjn j i j j f i j n n +===−⋅=−=−=−−−∑∑∑，则D 错误． 故选：C ．3．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*N T T ∈，使得对任意的正整数0n n ≥恒有n T n a a +=，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．已知周期数列{}n b 满足：11b =，23b =，12n n n b b b −−=−（3n ≥），则2023b =（ ） A ．1− B ．3− C ．2− D ．1【答案】D【分析】写出周期数列{}n b 的前几项，发现周期为6，进而求得2023b 的值. 【详解】写出周期数列{}n b 的前几项：1，3，2，1−，3−，2−，1，3，2，1−，3−，2−，1，…， 发现周期数列{}n b 是周期为6的周期数列， ∴20233376111b b b ⨯+===． 故选：D ．4．（2023秋·福建南平·高二统考期末）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且n bn =，设数列⎧⎫的前n 项和为n T ，若()2132n m m T −<对*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]1,2−B ．()1,2-C ．()(),12,−∞−⋃+∞D ．(][),12,−∞−⋃+∞【答案】B【分析】由新定义求得n S ，然后由1n n n a S S −=−求得n a ，从而可求得n T （裂项相消法）后得n T 的最小值，解相应不等式可得结论． 【详解】由题意nS n n=,即2n S n =, ∴2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−，又111a S ==，∴*n ∈N 时，21n a n =−，==2n n T +=+=， 易知1{}2是递增数列，∴1{}2的最小值是12（1n =时取得）， 由题意21(3)2m m −<，解得12m −<<．故选：B ．5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）对于一个n 项数列()*1212:,,,,1,n k k A a a a S a a a k n k =+++≤≤∈N ，记A 的“Cesaro 平均值”为()121+++n S S S n，若数列121010,,,a a a 的“Cesaro 平均值”为2022，数列121010,,,,x a a a 的“Cesaro 平均值”为2046，则x =（ ）A ．24B ．26C ．1036D ．1541【答案】B【分析】先求出121010S S S +++的值，再根据Cesaro 平均值的求法列出等式，即可求出x 的值.【详解】因为数列121010,,,a a a 的“Cesaro 平均值”为12101020221010S S S +++=，所以12101020221010S S S +++=⨯. 因为121010,,,,x a a a 的“Cesaro 平均值”为()()()12101020461011x x S x S x S +++++++=，所以10112022101020461011x +⨯=，所以20202046x +=，解得26x =，故选:B.6．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）等比数列{}n a 中1512a =，公比12q =−，用12Π⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n a a a 表示它的前n 项之积，则1Π，2Π，…，n ∏中最大的是（ ） A ．11Π B ．10Π C ．9Π D ．8Π【答案】C【分析】根据题意分析,n n a ∏的符号，结合前n 项之积的性质运算求解.【详解】∵110,02a q >=−<，则当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，∴当()43N n k k *=−∈或()4N n k k *=∈时，0n ∏>，当()42N n k k *=−∈或()41N n k k *=−∈时，0n ∏<，由题意可得：115122n n a −⎛⎫=− ⎪⎝⎭，令1151212n n a −⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，解得10n ≤，若n ∏取到最大，则3k =，9n =，即{}n ∏中最大的是9Π. 故选：C.7．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）如果数列{}n a 满足211n n n na a k a a +++−=（k 为常数），那么数列{}n a 叫做等比差数列，k 叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ） ①若数列{}n a 满足12n na n a +=，则该数列是等比差数列；②数列{}2nn ⋅是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义211n n n na a k a a +++−=(k 为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】①数列{}n a 满足12n na n a +=，则2112(1)22n n n na a n n a a +++−=+−=，满足等比差数列的定义，故①正确； ②数列{2}n n ⋅，+212111(2)2(1)2(1)22n n n n n nn n a a a a n n n n +++++−=+⋅+⋅−+⋅⋅ 2(2)2(1)22(1)(1)n n n n n n n ⋅+⋅−+⋅==−⋅+⋅+，不满足等比差数列的定义，故②错误； ③设等比数列的公比为q ，则2110n n n na a a a q q +++−==−，满足等比差数列，故③正确； ④设等差数列的公差为d ， 则22112()n n n n n n n n n n a a a a a d a d d a d a a a d +++−++−=−=++， 故当0d=时，满足2110n n n na a a a +++−=，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；故答案为：①③④ 故选：B.8．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）定义在()(),00,∞−+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在()(),00,∞−+∞U 上的如下函数：①()2f x x =；②()2xf x =；③()1f x x=；④()ln f x x =，其中是“保等比数列函数”的序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【答案】C【分析】根据新定义，结合等比数列性质221n n n a a a ++=，一一加以判断，即可得到结论．通过积的乘方，即可判断①；通过指数的幂的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断④．【详解】设{}n a 是等比数列，由等比数列性质知221n n n a a a ++=，对于①，()()()()222222211n n n n n n a a f a f a a f a ++++===，即(){}n f a 仍是等比数列，故正确；对于②，()()()22122212222n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=，即(){}n f a 不是等比数列，故不正确； 对于③，()()()221221111n n n n n n f a f a f a a a a ++++=⋅==，即(){}n f a 是等比数列，故正确；对于④，()()()()222211ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=， 即(){}n f a 不是等比数列，故不正确； 故选：C ．9．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）若数列{}n a 满足1120n na a +−=，则称{}n a 为“必会数列”，已知正项数列{}n a 为“必会数列”，若453a a +=，则23a a +=（ ）. A ．19B ．1C ．6D ．12【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列{}n a 是以12q =为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1120n n a a +−=，可得112n n a a +=， 故正项数列{}n a 是以12q =为公比的等比数列， 则2322532341()()3,124a a a a a a a a q +===+∴=++，故选：D10．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意的n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数.若{}n b 是间隔递增数列，则数列{}n b 的通项不可能．．．是（ ）A ．92n b n n=−B ．31n n b =+C ．113n nb =−D ．()2nn b n =−−【答案】D【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可. 【详解】对于A ：()()9922n k n b n k n b n k n ++−=−++−，化简得：()920n n kb k n b n k +⎡⎤=+>⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦，存在正整数k ，使得对任意的n *∈N ，0n n k b b +>−恒成立，所以{}n b 是间隔递增数列；对于B ：()3131313n k n k nk n n b b ++=+−−−−=， 因为k 为正整数且n *∈N ，所以()3130k n−>，所以0n n k b b +>−，所以{}n b 是间隔递增数列； 对于C ：11111113333n k n k n nn k b b ++⎪−⎛⎫=−−+=− ⎝⎭， 因为k 为正整数且n *∈N ，所以111033n k ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，所以0n n k b b +>−，所以{}n b 是间隔递增数列； 对于D ：()()()22n knn k n b n k n b ++−=−+−+−()()()22n kn n k ⎡⎤=−−+−⎣⎦，当k ∈正奇数，n *∈N 时，()()20kn n k −+−>，()2n−的正负由n 的奇偶性决定，此时0n n k b b +>−不恒成立，不符合间隔递增数列的定义；当k ∈正偶数，n *∈N 时，()()20kn n k −+−<，()2n−的正负由n 的奇偶性决定，此时0n n k b b +>−不恒成立，不符合间隔递增数列的定义； 故选：D.11．（2023·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a −<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”．在数列{}n a 中，若98n a n n=+−，则数列{}n a 的“谷值点”为（ ） A ．2 B ．7C ．2，7D ．2，5，7【答案】C【分析】先求出12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，再得到7n ≥，N n ∈，980n n+−>，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．【详解】因为98n a n n=+−， 所以12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，当7n ≥，N n ∈，980n n+−>，所以9988n a n n n n =+−=+−，因为函数98y x x=+−在[)7,+∞上单调递增， 所以7n ≥时，数列98n a n n=+−为单调递增数列， 所以21a a <，23a a <，76a a <，78a a <， 所以数列{}n a 的“谷值点”为2，7． 故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）若数列{}n a 满足121n n a a +=−，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ） A ．123n −⨯ B ．12n − C ．12n + D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+−，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+−，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b −=⨯=．故选：D ．13．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n −中，14a=，211a =，则()4a Ω=（ ）A ．21B ．20C ．41D ．40【答案】C【分析】设{}n a n −的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果. 【详解】设{}n a n −的公比为q ，则2121123141a q a −−===−−， 所以111(1)(41)33n n n n a n a q−−−=−⋅=−⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=. 故选：C14．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列{}n a ，定义11222−=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ）A ．127,53⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫−+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n N *∈恒成立，分类讨论n 可求出结果.【详解】由1112222n n n n A a a a n −+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n −−+++=−⋅，∴1122(1)2−+⋅=⋅−−⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n N *∈恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n −+−⨯++−⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p pn n n n −+−⨯+−+−≤， 即5(5)(53)0222pn p p n n −+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +−++≤， 即216(5)06+⎛⎫−+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n N *∈恒成立，当14n ≤≤时，2164266+−≤=+++n p n n 对任意的n N *∈恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125−≤p ，所以125p ≥−，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫−+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+−≥=+++n p n n 对任意的n N *∈恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73−≥p ，所以73p ≤−，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦．故选：A ．15．（2023·全国·高三专题练习）若数列{}n b 满足：若()*,m n b b m n ∈=N ，则11m n b b ++=，则称数列{}n b 为“等同数列”．已知数列{}n a 满足55a =，且()1+=−n n n a n a a ，若“等同数列”{}n b 的前n 项和为n S ，且114b a b ==，22b a =，510S a =，则2022S =（ ）A ．4711B ．4712C ．4714D ．4718【答案】D【分析】先对已知关系式变形，求出数列{}n a 的通项公式，再利用“等同数列”的定义与已知条件得{}n b 是周期数列，即可得2022S ． 【详解】由()1+=−n n n a n a a 得11n n a a n n+=+，则1251125n n n a a aa n n n −−=====−−， 故n a n =,所以111b a ==，222b a ==，411b a ==， 所以41b b =，所以522b b ==1010S a ==，所以3121210b ++++=，解得34b =，同理得634b b ==， 741b b ==，852b b ==，…，故数列{}n b 是以3为周期的数列，所以()202267431246744718S S ⨯==++⨯=， 故选:D ．16．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a ，若存在常数t ，对任意小的正数s ，总存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a t s −<，则数列{}n a 为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ） A ．若等比数列{}n a 是收敛数列，则公比()0,1q ∈ B ．等差数列不可能是收敛数列C ．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列D ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，11n n S a +=+，则数列{}n a 是收敛数列 【答案】C【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前n 项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB 不正确；选项C ：设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，所以1111(1)2n S na n n d =+−，当0d ≠时，当n →+∞时，10nS →， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D ：因为11a =，11n n S a +=+，所以可得21a =，当2,N n n *≥∈时，由1111n n n n S a S a +−=+⇒=+，两式相减，得11n n n a a a +−=−，所以345670,1,1,0,1a a a a a ==−=−==，所以该数列的周期为6，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确， 故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.17．（2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列{}m A ：1a ，2a ，…，()2m a m ≥，若存在公比为q 的等比数列{}1m B +：1b ，2b ，…，1m b +，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，…，m ，则称数列{}1m B +为数列{}m A 的“等比分割数列”.若数列{}10A 的通项公式为()21,2,,10nn a n ==，其“等比分割数列”{}11B 的首项为1，则数列{}11B 的公比q 的取值范围是（ ） A ．()9102,2 B ．()10112,2C ．()1092,2D ．()11102,2【答案】C【分析】由题意可得，()121,2,3,,10n n n qq n −<<=L ，从而可得2q >且()121,2,3,,10n n q n −<=L ，可得122nn q −<<，再根据指数函数的单调性求出12nn −的最小值即可【详解】由题意可得，()121,2,3,,10n n n qq n −<<=L ，所以2q >，且()121,2,3,,10n n qn −<=L ，当1n =时，12<成立；当2n =，3，…，10时，应有12nn q −<成立， 因为2x y =在R 上单调递增，所以111122nn n −−+=随着n 的增大而减小，故1092q <，综上，q 的取值范围是()1092,2. 故选：C.18．（2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列{an }满足21321111222n n a a a a a a −−<−<<−<……，则称数列{an }为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn }的前n项和Sn 满足*221()n n S c t n N +=−∈，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1(,)2−∞B ．（-∞，1）C ．1(,)2+∞D ．（1， +∞）【答案】A【分析】根据*221()n n S c t n N +=−∈,利用递推公式求得数列{}n c 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围.【详解】因为*221()n n S c t n N +=−∈所以当2n ≥时, 11221n n S c t −−+=−两式相减可得1220n n n c c c −+−=,即123n n c c −=,所以数列{}n c 是以公比23q =的等比数列 当1n =时,1213t c −=所以121233n n t c −−⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则1221121221221223363183n n n n n t t t c c −−−−−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=⋅−⋅=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112121212212233233183nn n n n t t t c c −−+−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=⋅−⋅=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知21212212183183n n t t −−−−⎛⎫⎛⎫⋅<⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得()221213t t −<−⨯解不等式可得12t <即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭故选：A.19．（2022·浙江·高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为{}n a ，则1025a 的值是（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．108【答案】A【分析】设数列经过第n 次拓展后的项数为n b ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第1n +次拓展后增加的项数为1n b −，从而可得1121n n n n b b b b +=+−=−，从而可求出21nn b =+，从而可知经过11次拓展后在2与6之间增加的数为1021−，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【详解】解：设数列经过第n 次拓展后的项数为n b ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第1n +次拓展后增加的项数为1n b −， 所以1121n n n n b b b b +=+−=−， 即()1121n n b b +−=−，即1121n n b b +−=−， 所以数列{}1−n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列，是以12nn b −=，所以21n n b =+，则经过11次拓展后在2与6之间增加的数为1021−，所以经过11次拓展后6所在的位置为第10102111211025−++=+=， 所以10256a =. 故选：A.二、多选题20．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列{}n a 满足：对任意正整数{}1,n n n a a +−为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}()*N n a n ∈，其中是“差递减数列”的有（ ） A ．2n n a = B ．2n a n =C ．n aD ．ln n a n =【答案】CD【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.【详解】对A ，若2n n a =，则11222n n nn n a a ++−=−=，由函数2n y =在()0,∞+上单调递增，所以{}1n n a a +−为递增数列，故A 错误；对B ，若2n a n =，则221(1)21n n a a n n n +−=+−=+，由函数21y n =+在()0,∞+上单调递增，所以{}1n n a a +−为递增数列，故B 错误；对C ，若n a =1n n a a +−==y =()0,∞+上单调递减，所以{}1n n a a +−为递减数列，故C 正确；对D ，若ln n a n =，则()111ln 1ln ln ln 1n n n a a n n n ++⎛⎫−=+−==+ ⎪⎝⎭，由函数1ln 1y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，所以{}1n n a a +−为递减数列，故D 正确． 故选：CD ．21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列{}n a 满足：,A B ∃∈R ，0AB ≠，使得对于*n ∀∈N ，都有21n n n a Aa Ba ++=+，则称{}n a 具有“三项相关性”，下列说法正确的有（ ）. A ．若数列{}n a 是等差数列，则{}n a 具有“三项相关性” B ．若数列{}n a 是等比数列，则{}n a 具有“三项相关性” C ．若数列{}n a 是周期数列，则{}n a 具有“三项相关性”D ．若数列{}n a 具有正项“三项相关性”，且正数A ，B 满足1A B +=，12a a B +=，数列{}n b 的通项公式为n n b B =，{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则对*n ∀∈N ，n n S T <恒成立【答案】ABD【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.【详解】若{}n a 为等差数列，则有211n n n n a a a a +++−=−，212n n n a a a ++=−，A 正确；若数列{}n a 是等比数列，则21n n a qa ++=，1n n a qa +=，（0q ≠）,即()211n n n a q a qa ++=−+，易知1q ≠，显然成立，1q =时，21n n n a a a ++==，取12A B ==，有211122n n n a a a ++=+，也成立，所以B 正确； 对周期数列：0，0，1，0，0，1，⋅⋅⋅，所以1n =时，100A B =⨯+⨯，显然不成立，所以C 错误； 对D ，()211n n n a B a Ba ++=−+，即()211n n n n a a B a a ++++=+，12a a B += ∴121n n n n a a B BB −+++=⋅=，1B >，易知()211n n n n n a a B a a a ++++=+>，即n n b a >，*N n ∈，故n n S T <，D 正确； 故选：ABD22．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121ni n i a a a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 是递增数列B ．()2123n n n a a a n −+=+≥C ．20222202220231i i a a a ==⋅∑D ．2021202311i i a a ==−∑【答案】BCD【分析】由数列的递推公式可判断A,B ；利用累加法计算可判断选项C,D.【详解】对A ，由21n n n a a a ++=+知，{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 其中，第一二项相等，不满足递增性，故A 错误；对B ，根据递推公式12n n n a a a −−=+，得()21213n n n n n n n a a a a a a a n −−−++=++=+≥，故B 正确；对C ，2121a a a =⋅，()222312321a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，()233423432a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，……，()220222022202320212022202320222021a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，∴22212202220222023a a aa a ++⋅⋅⋅=⋅，即20222202220231i i a a a ==⋅∑，故C 正确；对D ，由递推式，得321a a a −=，432a a a −=，…，202320222021a a a −=， 累加得324320232022122021a a a a a a a a a −+−+⋅⋅⋅+−=++⋅⋅⋅+， ∴20232122021a a a a a −=++⋅⋅⋅+， ∴1220212023220231a a a a a a ++⋅⋅⋅+=−=−， 即2021202311i i a a ==−∑，故D 正确；故选：BCD ．23．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）若{}n a 不是等比数列，但{}n a 中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称{}n a 是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（ ） A ．(){}28n−+ B ．137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭C ．17122n n +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭D ．{}225n +【答案】ABD【分析】对于ABD ，直接取特定项验证即可；对于C ，定义法可证为等比数列后即可判断.【详解】对于A ：若()28nn a =−+，则16a =，212a =，424a =，由212624=⨯，得1a ，2a ，4a 成等比数列，因为(){}28n−+不是等比数列，所以(){}28n−+是局部等比数列.故A 正确；对于B ：若137n a n =+，则1110a =，11140a =，511160a =，由21114010160⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得1a ，11a ，51a 成等比数列，因为137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭不是等比数列，所以137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是局部等比数列. 故B 正确；对于C ：若117113222n n n n a ++=−=，则112n n a a +=，则{}n a 是等比数列，所以17122n n +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭不是局部等比数列. 故C 错误；对于D ：若225n a n =+，则550a =，15250a =，351250a =，由250125050250=，得5a ，15a ，35a 成等比数列，因为{}225n +不是等比数列，所以{}225n +是局部等比数列. 故D 正确.故选：ABD.24．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列()*N n ∈，对于函数()f x ，若数列(){}ln n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”，则定义在()0,∞+上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（ ） A ．()1f x x=为“保比差数列函数” B ．()2f x x =为“保比差数列函数”C ．()e xf x =为“保比差数列函数” D ．()f x =“保比差数列函数”【答案】ABD【分析】设数列{}n a 的公比为()1q q ≠，利用保比差数列函数的定义，结合等差数列的定义逐项验证即可. 【详解】设数列{}n a 的公比为()1q q ≠， 选项A ：()1ln lnn nf a a =， 所以()()11111ln ln lnln ln ln n n n n n n af a f a q a a a +++−=−==−是常数， 所以数列(){}ln n f a 为等差数列，A 满足题意；选项B ：()2ln ln n n f a a =，所以()()22221112ln ln ln ln ln ln 2ln n n n n nna f a f a aa q q a +++−=−===是常数，所以数列(){}ln n f a 为等差数列，B 满足题意；选项C ：()ln ln e n an n f a a ==，所以()()11ln ln n n n n f a f a a a ++−=−不是常数， 所以数列(){}ln n f a 不为等差数列，C 不满足题意； 选项D ：()ln n f a =所以()()11ln ln ln 2n n f a f a q +−==是常数，所以数列(){}ln n f a 为等差数列，D 满足题意； 故选：ABD25．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）A ．{}(2)n−是平方等差数列B ．若{}n a 是平方等差数列，则{}2n a 是等差数列C ．若{}n a 是平方等差数列，则{}(,,,n ka b k b k b *+∈N 为常数）也是平方等差数列D ．若{}n a 是平方等差数列，则{}(,,,kn b a k b k b *+∈N 为常数）也是平方等差数列【答案】BD【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A ，当n 为奇数时，则()1n −为偶数，所以()()()11122223?2n n n n n −−−−−−=−+=−，当n 为偶数时，则()1n −为奇数，所以()()()11122223?2n n n n n −−−−−−=+=，即{}(2)n−不符合平方等差数列的定义，故错误；对于B ，若{}n a 是平方等差数列，则221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数），即{}2n a 是首项为21a ，公差为p 的等差数列，故正确；对于C ，若{}n a 是平方等差数列，则221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数）， 则()()()()222221112n n n n n n ka b ka b k a a kb a a −−−+−+=−+−，即()())222112n n n n ka b ka b k p kb a a −−+−+=+−，当{}n a 为等差数列时，1n n a a d −−=，则{}n ka b +为平方等差数列， 当{}n a 不为等差数列时，则{}n ka b +不为平方等差数列，故错误；对于D ，因为{}n a 是平方等差数列，所以()()222222121111+++++−−=−==−=kn kn kn kn kn k n a a a a a a p ，把以上的等式相加，得()()()()()222222121111+++++−−+−+⋯+−=kn kn kn kn k n k n a a a a a a kp ， 22(1)k n kn a a kp +∴−=，则()221kn b k n ba a kp +++−=，即数列{}knb a +是平方等差数列，故正确； 故选:BD26．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，L ，设第n 次“美好成长”后得到的数列为121,,,,,4k x x x L ，并记()412log 14n k a x x x =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则（ ）A ．25a =B ．131n n a a +=−C ．21nk =+D ．数列{}n na 的前n 项和为()()13213218n n n n +−+++【答案】ABD【分析】对A ：由题意直接运算判断；对B ：根据第1n +次“美好成长”与第n 次“美好成长”的关系分析运算；对C ：根据题意分析可得：()1121n n b b ++=+，利用构造法结合等比数列分析运算；对D ：由131n n a a +=−，利用构造法结合等比数列可得312n n a +=，利用裂项相消结合分组求和运算求解.【详解】对A ：()()25144244log 144log 42,log 144164log 45a a =⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==，A 正确；对B ：由题意可知：()()()(){}()()212141211241214log 1414log 1414k n k k k x x x a x x x x x x x x x x +⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦⨯⎢⎥⎣⎦()()312441214log 3log 141314k k n x x x x x x a ⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯−=−，故131n n a a +=−，B 正确；对C ：设第n 次“美好成长”后共插入n b 项，即n k b =，共有1n b +个间隔，且11b =， 则第1n +次“美好成长”后再插入1n b +项，则()1121n n n n b b b b +=++=+， 可得()1121n n b b ++=+，且1120b +=≠，故数列{}1n b +是以首项为2，公比为2的等比数列， 则11222n n n b −+=⨯=，故21n n k b ==−，C 错误；对D ：∵131n n a a +=−，则111322n n a a +⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且113022a −=≠， 故数列12n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为32，公比为3的等比数列，则11333222n n n a −−=⨯=，即312n n a +=，设()()()1313232332222n n n n n n n n nna An B A n B An A B +=+⋅−++⋅+=−−−⋅+=⨯+⎡⎤⎣⎦，则122320A A B ⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩，解得1438A B ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1321233882n n n n n nna +−−=⋅−⋅+， 设数列{}n na 的前n 项和为n S ， 则22311211133212122333333888888222n n n n n n n S a a na +⎡−−−−−⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯−⨯+⨯−⨯++⋅−⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L L()()1113122321322388218n n n n n n n n ++⎛⎫+ −++⎪−⎝⎭=−⋅++=， 即数列{}n na 的前n 项和为()()13213218n n n n +−+++，D 正确.故选：ABD. 【点睛】结论点睛：（1）构造法：()()110,1n n n n a ka m km k a a λλ++=+≠≠⇔+=+；（2）裂项构造：()()()11n n n kn b q An B q A n B q ++⋅=+⋅−++⋅⎡⎤⎣⎦.27．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第()*N n n ∈次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ,2．记1212n k a x x x =+++⋅⋅⋅++，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．342a = B ．133n n a a +=− C ．()2332n a n n =+ D ．()133234n n S n +=+− 【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可． 【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时1k =， 第2次得到数列1，4，3，5，2，此时3k =，第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时7k =，第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时15k =，第n 次得到数列1，1x ，2x ，3x ，L ，k x ，2，此时21n k =−， 由此可得133a =+，2339a =++，33392742a =+++=，故A 正确； 43392781a =++++，…，()112331333333333132n n nna +−+=++++⋅⋅⋅+=+=−，故C 错误； 由1332n n a ++=，可得2133332n n n a a +++==−，故B 正确；由()()()23411129131313333333232221324n n n n n n n S a a a n ++−=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=⨯+=+−−，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题28．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）对于数列{}n a ，若存在正整数m ，使得对任意正整数n ，都有n m n a a q +=（其中q 为非零常数），则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{}n a 前21项的和为__． 【答案】1090【分析】确定43n n a a +=，数列{}n a 从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】43n n a a +=，故513a a q ==，由题意得数列{}n a 从第二项起连续四项成等比数列， 234512339,3a a a a q +++=+++==，则数列{}n a 前21项的和为()5523451913()(1)11090113a a a a q a q ⨯−+++−+=+=−−． 故答案为：109029．（2022秋·福建泉州·高二统考期末）对于数列{}n a ，记：()()()()()()()1212311112n n n n n n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，，…，()()()111k k n n k n−+−∆∆=∆（其中*n ∈N ），并称数列(){}k n ∆为数列{}n a 的k 阶商分数列.特殊地，当(){}kn ∆为非零常数数列时，称数列{}n a 是k 阶等比数列.已知数列{}n a 是2阶等比数列，且20123220482a a a ===，，，若n m n a a −=，则m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算(1)(1)12,∆∆，进而求出数列(1){}n ∆的公比及通项，再借助累乘法求出数列{}n a 的通项即可推理计算作答.【详解】由数列{}n a 是2阶等比数列，得(2)(0)nq q ∆=≠，即(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆， 且(1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆，即数列(1){}n ∆是首项为102，公比为12的等比数列， 则有(1)10111112()()22n n n −−∆=⨯=，即1111()2n n n a a −+=，当2n ≥时， 22320109121(10)(9)(12)3221121111112()()()()()22222nn n n n n n aa a a a a a a −+−−−−+−+−++−−=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯==，而12a =满足上式，因此22320212n n n a −+⎛⎫= ⎪⎝⎭，由n m n a a −=得：222320()23()202211()()22nn m n m n −+−−−+=，即222320()23()20n n m n m n −+=−−−+，整理得(2)23(2)m n m n m −=−，又n 为小于m 的任意正整数，所以23m =. 故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.30．（2023·河南郑州·统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列{}n a ，下列说法正确的有______． ①若13a =，则从4a 开始出现数字2；②若1a k =（1k =，2，3，…，9），则()*n a n ∈N 的最后一个数字均为k ；③{}n a 不可能为等差数列或等比数列； ④若1123a =，则()*n a n ∈N 均不包含数字4．【答案】②④【分析】对①，由外观数列定义列举判断； 对②，由外观数列定义判断； 对③，取反例，如122a =；对④，由反证法，结合外观数列定义判断.【详解】对①，12343,13,1113,3113a a a a ====，①错；对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的k （1k =，2，3，…，9）始终在最右边，即最后一个数字，②对； 对③，取122a =，则2322a a ===，此时既为等差数列，也为等比数列，③错；对④，1234123,111213,31121113,1321123113a a a a ====，设数列()*,5k a k k N ∈≥首次出现数字4，则1k a −必出现了4个连续的相同数字m （1m =，2，3，…，9），而2k a −的描述必包含“1个m ，1个m ”，与1k a −的描述矛盾，故()*n a n ∈N 均不包含数字4，④对.故选：②④31．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N 都有1n n a a t ++=（t 为常数），则称该数列为“t 数列”，若数列{}n a 为“2数列”，且11a =−，则2023S =______. 【答案】2021【分析】利用并项求和即可.【详解】根据题意得到：2320222402532a a a a a a ++=+===，所以()()()202312345202220232101112021S a a a a a a a =+++++++=⨯−=.故答案为：2021.32．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）定义n 个正数12,,,n p p p ⋯的“均倒数”为12nnp p p ++⋅⋅⋅+，若各项均为正数的数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，则2023a 的值为______ 【答案】8091【分析】利用“均倒数”的概念求出(21)n S n n =+，再利用递推关系求出41n a n =−，再代入值即可. 【详解】由已知可得数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为 121,21n n n n a a a S n ==++⋯++可得(21)n S n n =+,则2n …时, 21[2(1)1](1)231n S n n n n −=−+−=−+141n n n a S S n −∴=−=−，当1n =时,113a S ==,满足41n a n =−, 202341,4202318091n a n a ∴=−=⨯−=.故答案为: 8091 .33．（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）对给定的数列{}()0n n a a ≠，记1n n na b a +=，则称数列{}n b 为数列{}n a 的一阶商数列；记1n n nb c b +=，则称数列{}n c 为数列{}n a 的二阶商数列；以此类推，可得数列{}n a 的P 阶商数列()P *∈N ，已知数列{}n a 的二阶商数列的各项均为e ，且121,1a a ==，则10a =___________．【答案】36e【分析】由题意可得1e n n n b c b +==，从而得1e n n b −=，即11e n n naa −+=，由累乘法即可求得10a 的值. 【详解】解：由数列{}n a 的二阶商数列的各项均为e ，可知1e n n nb c b +==， 而2111a b a ==， 故数列{}n b 是以1为首项，e 为公比的等比数列，即1e n n b −=，即11e ,n n na n a −*+=∈N ， 即283102412391,e,e ,,e a a a a a a a a ====． 所以()18828128363102421011239··11e e ?·e e =e=e a a a a a a a a a a +⋅+++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，故3610e a =．故答案为：36e34．（2022秋·上海·高二期中）定义:对于任意数列{}n a ,假如存在一个常数a 使得对任意的正整数n 都有n a a <,且lim n n a a →+∞=,则称a 为数列{}n a 的“上渐近值”．已知数列{}n a 有12,a a a p ==（p 为常数,且0p >）,它的前n 项和为n S ,并且满足()12n n n a a S −=,令2112n n n n n S S p S S ++++=+,记数列{}122n p p p n +++−的“上渐近值”为k ,则100coskπ的值为 _____． 【答案】12−##-0.5【分析】先根据n S 求解数列{}n a 的通项公式,得出等差数列后,利用等差数列求和方法求出n S ,代入n p 得出n p 的表达式,最后即可得出上渐近值． 【详解】解:当1n =时,()1111102a a S a ⨯−===,当2n ≥时,()()()1111122n n n n n n a a n a a a S S −−−−−=−=−,得到112n n n a a n −−=−, 根据累乘法:()212332123421n n n n a a n p n n n −−−=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=−−−−;满足n=1情况， 故而数列{}n a 是首项为0,公差为p 的等差数列,()12n n n pS −∴=,21122112222n n n n n S S n n p S S n n n n +++++⎛⎫∴=+=+=+− ⎪++⎝⎭, 122n p p p n ∴+++−=111111111221232435112n n n n n n ⎛⎫+−+−+−++−+−− ⎪−++⎝⎭11121212n n ⎛⎫=+−− ⎪++⎝⎭()()46312n n n +=−++,()()()1246li 231m l 32im n n n n p p p n n n →+∞→+∞⎛⎫+∴+++−=−= ⎪ ⎪++⎝⎭, 3k ∴=,10010021coscos cos 332k πππ⎛⎫∴==−=− ⎪⎝⎭. 故答案为:12−35．（2023·高二课时练习）定义：各项均不为零的数列{}n a 中，所有满足10i i a a +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n a 的变号数.已知数列{}n b 的前n 项和26n S n n a =−+（n *∈N ，5a ≠），令41n na b =−（n *∈N ），若数列{}n a 的变号数为2，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()(),59,−∞+∞。
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数列
20．（本小题满分12分）
已知等差数列
{}
n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列
{}
n b 满足
n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。
（Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413<<n S 的n 的集合。
20．（本题满分12分）
数列11117
,,{}242
n n n n b b b T b +=
+=且为的前n 项和。
（1）求证：数列1
{}2
n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式；
（2）如果{}n b 对任意*
12,27(122)
n k
n N n n T ∈≥-+-不等式恒成立，求实数k 的取值
范围。
18．（本题满分12分）QQ 先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出, 则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．
（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率；
（2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ
QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()1
77
P ξ==
……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()616
67535
P ξ==⨯= ……4分
故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()11
66735
P P P ξξξ≥==+== ……6分
（2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为
64216(4)75335P ξ==⨯⨯= ………8分 ()6418
575335
P ξ==⨯⨯=………10分
所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分）
……………………11分 故416586675
535353535
E ξ⨯⨯⨯⨯=+++=，所求期望值为5． (12)
20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2．
∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1
212
2 中令n=1得：b 1=a 1=3，
又b 1+2b 2+ (2)
b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n
b n+1=（n+1）a n+1一na n ．
∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3，
∴n n n b 23
41+=
+， ∴)2(2
1
41≥-=-n n b n n ， …………5分
经检验，b 1=3也符合上式，所以数列{b n }的通项公式为1
2
1
4--=n n n b …………6分 （Ⅱ）S n =3+7·
21+…+（4n －1）·（2
1）n －1
， 21S n =3·21+7·（21）2+…+（4n 一5）·（21）n-1+（4n 一1）（2
1）n
．………8分
两式相减得：21S n =3+4[21+（21）2+…+（21）n-1]一（4n 一1）（21）n
，
∴21S n =3+4·n n n )21)(14(2
11]
)21(1[211-----，
∴S n =14一12
7
4-+n n ． …………10分
∴∀n∈N*，S<14．
∵数列{b n }的各项为正，∴S n 单调递增， 又计算得131627145<-
=S ，1332
31146>-=S ， 满足13<S n <14的n 的集合为{n |n≥6，n ∈N}．
20．解：（1）对任意*
N n ∈,都有11124n n b b +=
+，所以1111
()222
n n b b +-=-…………1分 则1{}2n b -成等比数列，首项为1132b -=，公比为1
2
…………2分
所以1
113()22
n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分
（2）因为111
3()22
n n b -=⨯+
所以2113(1)
111123(1...)6(1)1222222212
n n n n
n n n T --=+++++=+=-+-…………6分 因为不等式
1227(122)
n k n n T ≥-+-，化简得272n
n k -≥对任意*
N n ∈恒成立……7分 设272n n n c -=
，则1112(1)72792222
n n
n n n n n n
c c ++++----=-=…………9分 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列
4513
1632
c c =<=，所以，5n =时，n c 取得最大值332…………11分
所以，要使272
n
n k -≥对任意*
N n ∈恒成立，332k ≥…………12分。