天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)

数列（理）
考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。

1、在数列{}n a 中，11a =，122n
n n a a +=+。

（1）设1
2
n
n n a b -=。

证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n
n n ba b S -=-
（1）证明：当2b =时，{}
12n n a n --⋅是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12
3
a =
，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。

（1）证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-11n a 是等比数列； （2）数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 的前n 项和n S 。

4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2
11=a ，()()
2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-，
n N *∈。

（1）证明数列
{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n c 的通项公式；
（3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项
k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。

5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。

（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132
n
i i i a b =<∑。

6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121
(2)3
n n n a a a --=
+，(3,4,)n =L 。

数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有
111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。

7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ，
(,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。

（1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值；
（2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c
m d 的前n 项和n S 。

（3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1
(6)50
n n S d ->成立的所有N 的值。

8、数列}{n a 的通项公式为⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=3sin 3cos
22
2
ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。

（1）求n S ；
（2）设n
n
n n S b 4
3⋅=
，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22
n n n
n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。

（1）求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21122,.n n n n n
a b S b b b a -=
=+++L 。

证明：当6≥n 时，1
62.n n S n ≥-<时，。

10、已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27
n b n =+，
*
n N ∈，若将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈U 中的元素从小到大依次排列，构成一个新的数列{}n c 。

（1）求1234,,,c c c c ；
（2）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a L L ； （3）求数列{}n c 的通项公式。

11、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*
+==++-∈N ，，其中0λ>。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

（3）证明：存在*
N k ∈，使得11
n k n k
a a a a ++≤对任意*
N n ∈均成立。

12、在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，且12n a +为n b 与1n b +的等比中项，*N n ∈。

（1）求2a ，2b 的值；
（2）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （3）设1212(1)(1)(1)n a a a n
n T b b b n =-+-++-∈*N …，，*N ∈，证明223n T n n <，≥，
3≥n 。

13、已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等比数列{}n b 的公比为q ，
且1≠q 。

设1122n n n S a b a b a b =+++L ，1
1122(1)n n n n T a b a b a b -=-++-L ，*
N n ∈。

（1）若111a b ==，2,3d q ==求3S 的值；
（2）若11b =，证明()()2222
2(1)111n n n dq q q S q T q
---+=-，*
N n ∈； （3）若正整数n 满足2n q ≤≤，设12,,,n k k k L 和12,,,n l l l L 是1
2,n L ，， 的两个不同的排列，12112...n k k k n c a b a b a b =+++ ，12212...n l l l n c a b a b a b =+++，
证明12c c ≠。

14、在数列{}n a 中，10a =，且对任意*
N k ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d 。

（1）若2k d k =，证明22122,,k k k a a a ++成等比数列；
（2）若对任意*
N k ∈，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q 。

①设11q ≠，证明11k q ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
是等差数列；
②若22a =，证明2
23222n
k k
k n a =<-≤∑()2n ≥。

15、已知数列{}n a 与{}n b 满足：1120n n n n n b a a b a +++++=，3(1)2
n n b +-=，*
N n ∈，且122,4a a ==。

（1）求345,,a a a 的值；
（2）设2121n n n c a a -+=+，*n N ∈，证明{}n c 是等比数列；
（3）设242k k S a a a =++⋅⋅⋅+，*
k N ∈，证明4*17
()6n
k k k
S n N a =<∈∑。