2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列

2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题）

1.（2019•江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()*

n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为

“M－数列”；

（2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==-

，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．

①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()*

n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m

时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．

【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得

．

因此数列

为“M—数列”.

（2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则

.

由 ，得 ，

当 时，由

，得

，

整理得

．

所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ，

.

因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m .

当k=1时，有q≥1；

当k=2，3，…，m时，有．

设f（x）= ，则．

令，得x=e.列表如下：

x e(e，+∞)

+0–

f（x）极大值

因为，所以．

取，当k=1，2，3，4，5时，，即，

经检验知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

综上，所求m的最大值为5．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。

2.（2019•上海）已知等差数列{}n a 的公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*

|,n S x x b n N ==∈．

（1）若120,3

a d π

==，求集合S ； （2）若12

a π

=

，求d 使得集合S 恰好有两个元素；

（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值．

【答案】 （1）解： 等差数列 的公差 ，数列

满足

，

集合 ． 当 ， 集合 ． （2）解： ，数列

满足

，集合 恰好有两个元素，如

图：

根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰

好有两个元素，此时

，

② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，如图 ， ， 此时 ， 综上，

或者

．

（3）解：①当 时，

，集合

，符合题意．

②当

时，

，

， ，或者 ，

等差数列 的公差 ，故 ，

，又

当时满足条件，此时．

③当时，，，，或者，因为，故．

当时，满足题意．

④当时，，，

所以或者，，故．

当时，，满足题意．

⑤当时，，，所以，或者

，，，故

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．

综上，．

【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式

【解析】【分析】（1）等差数列的公差，数列满足，集合，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当时的集合S.

(2)当等差数列首项时，利用数列满足，用等差数列

的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项

公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合恰好有两个元素的d的值。

（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用是不超过7的正整数，从而求出满足要求的的所有可能的值．

3.（2019•浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3==S3，数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n+b n，S n+1+b n、S n+2+b n成等比数列

（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式 ;

（2）记C n=

2n n

a

b

，n∈N*，证明：C1+C2+…+C n ＜2n，n∈N* .【答案】（1）设数列的公差为d，由题意得

，

解得．

从而．

由成等比数列得

．

解得．

所以．

（2）．

我们用数学归纳法证明．

⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；

⑵假设时不等式成立，即．

那么，当时，