2020届高三数学140分突破专题训练1
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(一)详细版解析
坑神出品
设三棱锥V − ABC 的侧棱长为 a, 底面边长为 b.
则V������−������������������
=
1 3
×
√3 ������2
4
×
√������2
−
1 ������2
3
=
3
×
1 3
×
1 ������
2
×
√������2
−
1 ������2
4
×
2
可得a2
A (√2 , √2) , ������ (√6 , √3) 两点, O 为坐标原点.
42
63
(1) 求曲线C的方程;
(2) 设M(x1, ������1), ������(������2, ������2)是曲线 C 上两点,且OM ⊥ ON, 求证:直线 MN 恒过一个定圆相切.
第五题.
已知函数f(x) = ������2−e������x������+1.
√12 − 4 ������2 + ������2 − 2������ + 1 = √− 1 ������2 − 2������ + 13 =
3
3
√− 1 (������ + 3)2 + 16 ≤ 4,当且仅当y = −3 时等号成立,
3
则||P⃗⃗B⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC⃗⃗ ||
最大值为
4 2√3
=
2√3.
而且难度还不低,这种题的核心关键是:第一.快速利用条件推出尽可
能多的性质(这里奇函数&轴对称是显性的,周期性是隐藏 boss,需要挖
掘);第二.利用给的某一段区间的函数解析式画出图象,然后利用前面
2020届高三数学140分突破专题训练10
〔 〕A ．P Q P =B ．P Q 包含QC ．P Q Q =D ． P Q 真包含于P2． 不等式21≥-xx 的解集为〔 〕 A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在以下命题中，真命题是〔 〕A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件4．假设平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o180，且53||=b ，那么=〔 〕 A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分不是双曲线的左、右焦点。
假设3||1=PF ，那么=||2PF 〔 〕A ．1或5 B ． 6C ． 7D ．96．假设函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，那么a =〔 〕A ．42B ．22C ．41D ．217．假设过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，那么k 的取值范畴是〔 〕A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．05k << 8．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点,,P PB αα∉⊥ C 是α内异于A 和B 的动点，且.PC AC ⊥那么，动点C 在平面α内的轨迹是〔 〕A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点 9． 函数13+=x y )01(<≤-x 的反函数是〔 〕A ．)0(log 13>+=x x yB ．)0(log 13>+-=x x yC ．)31(log 13<≤+=x x yD ．)31(log 13<≤+-=x x y10．函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y )为增函数的区间是〔 〕A ．]3,0[πB ．]127,12[ππ C ．]65,3[ππ D ．],65[ππ11．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,61===AA AD AB ，分不过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分不记为111DFD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=,C F C B E B V V 11113-=. 假设1:4:1::321=V V V ，那么截面11EFD A 的面积为BACBα〔 〕A ．104B ．38C ．134D ．1612．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.假设)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，那么)35(πf 的值为〔 〕 A ．21-B ．21 C ．23-D ．23参考答案专题训练〔10〕1.D2.A3.B4.A5.C6.A7.A8.B9.D 10.C 11.C 12.DA。
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(五)详细版解析
高考数学冲刺140分压轴题突破(五)学而思网校 邓诚第一题.已知函数f (x )的定义域为D,若对于任意a,b,c ∈D,f (a ),f (b ),f(c)分别为某个三角形的三边长,则称f (x )为“三角形函数”.给出下列四个函数:(1)f (x )=lnx (x >1),(2)f (x )=4+sinx,(3)f (x )=x 13(1≤x ≤8),(4)f (x )=2x +22x +1其中为“三角形函数”的个数是( )A.1B.2C.3D.4第二题.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为√2,此时四面体ABCD 外接球的表面积为______.第三题.已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N 两点,设直线l 是抛物线C 的切线,且l ∥MN,P 为l 上一点,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_____.已知集合A ={x|y =2},B ={x |y =ln (1−x )},则A⋃B =( )A.[0,1]B.[0,1)C.(−∞,1]D.(−∞,1)第五题.已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,直线x +y +2√2−1=0与以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 设点B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B 与点D 关于原点O 对称.设直线CD,CB,OB,OC 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,且k 1k 2=k 3k 4. (i)求k 1k 2的值;(ii)求|OB |2+|OC |2的值.第六题.已知函数f (x )=lnx +x 2−2ax +1(a 为常数)(1) 讨论函数f (x )的单调性;(2) 若存在x 0∈(0,1],使得对任意的a ∈(−2,0],不等式2me a (a +1)+f (x 0)>a 2+2a +4都成立,求实数m 的取值范围.第一题.由f(a),f(b),f(c)是某个三角形的三边长,则任意两个数之和大于第三个数,若f(x)为“三角形函数”,则2f(x)min>f(x)max对于(1),f(x)的值域为(0,+∞),不满足条件;对于(2),f(x)的值域为[3,5],由3+3>5,可得满足条件;对于(3),f(x)的值域为[1,2],由1+1=2,不满足条件;对于(4),f(x)=1+12+1,值域为(1,2),此时2f(x)min>2>f(x)max.满足条件.说五毛钱的话:这道题是一个升级版的恒成立问题,大家碰到恒成立存在性问题重点是去思考函数最大值最小值之间的关系,可能是同一个函数的最大值最小值,也可能是不同函数的最大值最小值.这类题目应该说比较常见,大家需要对各种不同的情况做好笔记.第二题.由AD⊥DB,AD⊥DC,可得AD⊥平面DBC,又DB=DC=1,BC=√2,则DB2+DC2=BC2,所以DB⊥DC.则DA,DB,DC两两垂直.可以将三棱锥补形成一个边长为1,1,√3的长方体,三棱锥的外接球半径和该长方体外接球半径一致.可得R=12√12+12+(√3)2=√52.所以表面积为4πR2=5π.说五毛钱的话:求解几何体外接球问题是很常见的一类立体几何小题,可以采用寻找球心的方法,也可以像这道题一样补形,一般来说补形的目标都是棱柱,大家以后遇到类似的可以尝试往这方面想.当然这道题也可以用找球心的方法,大家不妨一试~~第三题.由题意知F (0,1),所以过点F 且斜率为1的直线方程为y =x +1, 代入x 2=4y 可得x 2−4x −4=0,则x =2±2√2.设M(2−2√2,3−2√2),N(2+2√2,3+2√2).设直线l 和抛物线相切于点(x 0,y 0),由l ∥MN,可得切线斜率等于直线MN 斜率,由y =x 24,可得y =x 2,则x 02=1,所以x 0=2,则切点为(2,1).则直线l 方程为y =x −1.设P (m,m −1),则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x −2√2,4−x −2√2),PN⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x +2√2,4−x +2√2),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x )2−8+(4−x )2−8=2x 2−12x +4 =2(x −3)2−14≥−14.说五毛钱的话:这道题比较综合,考察了抛物线,导数的几何含义,向量坐标表达和点乘,以及二次函数值域求解,算是一个比较正的题目,就是为了检验一下大家的基本功.第四题.由x −x 2≥0,可得0≤x ≤1,则A =[0,1]由1−x >0,可得x <1,则B =(−∞,1)所以A⋃B =(−∞,1].说五毛钱的话:集合运算应该说90%以上都会考交集,但是偶尔也会有并集出现,大家需要审题清楚.主要是我自己做的时候不小心看错造成了一万点伤害,我不想只有我一个人受伤…第五题.(1) 设椭圆C 的右焦点为F 2(c,0),则c 2=a 2−b 2(c >0).由题意可得,以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x −c )2+y 2=a 2,圆心到直线x +y +2√2−1=0的距离d =√2−1|√2=a.又椭圆C 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形,可得b =√3c,a =2c,带入√2−1|√2=a,可得a =2,c =1. 则椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)(i)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则D (−x 1,−y 1).则k 1k 2=y 2+y 1x 2+x 1∙y 2−y 1x 2−x 1=y 22−y 12x 22−x 12 由点B,C 都在椭圆上,可得{x 224+y 223=1x 124+y 123=1 两式相减可得x 22−x 124+y 22−y 123=0,则y 22−y 12x 22−x 12=−34. 所以k 1k 2=−34.(ii)由k1k2=k3k4,可得k3k4=−34.将y=k3x和椭圆x24+y23=1联立可得x12=124k32+3,同理x22=124k42+3又k4=−34k3,可得x22=124(−34k3)2+3=16k324k32+3则x12+x22=16k32+124k32+3=4,所以|OB|2+|OC|2=x12+y12+x22+y22=(x12+x22)+34(4−x12)+3 4(4−x22)=6+14(x12+x22)=7.说五毛钱的话:这道题应该算比较常规的一道解析几何题,关键核心在于k1k2是个定值的证明上,也是后面求|OB|2+|OC|2的关键.对于双曲线也有一个类似的结论成立,大家不妨依葫芦画瓢去试试. 第六题.(1)f′(x)=1x +2x−2a=2x2−2ax+1x(x>0),令g(x)=2x2−2ax+1,当a≤0时,由x>0,可得g(x)>1>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0<a≤√2时,由∆=4(a2−2)≤0,可得g(x)≥0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>√2时,由{x>0g(x)<0,可得x∈(a−√a2−22,a+√a2+22),则函数f(x)在(a−√a2−22,a+√a2+22)上单调递减;由{x>0g(x)>0,可得x∈(0,a−√a2−22)或(a+√a2+22,+∞).则函数f(x)在(0,a−√a 2−22)和(a+√a 2+22,+∞)上分别单调递增.(2) 由(1)可得当a ∈(−2,0]时,函数f (x )在(0,1]上单调递增,所以当x ∈(0,1]时,函数f (x )的最大值是f (1)=2−2a,依题意可得2me a (a +1)+f (x 0)max >a 2+2a +4即对任意的a ∈(−2,0]都有2me a (a +1)−a 2−4a −2>0恒成立. 设h (a )=2me a (a +1)−a 2−4a −2,由h (0)=2m −2>0,可得m >1.且h ′(a )=2me a (a +1)+2me a −2a −4=2(a +2)(me a −1), 由h ′(a )=0可得a =−2或−lnm,因为a ∈(−2,0],只需考虑−lnm. 当−2<−lnm <0,即1<m <e 2时,可得a ∈(−2,−lnm )时,h ′(a )<0,a ∈(−lnm,0)时,h ′(a )>0,所以h (a )min =h (−lnm )=lnm (2−lnm )>0恒成立,满足条件. 当−lnm =−2,即m =e 2时,h ′(a )=2(a +2)(e a+2−1),由a ∈(−2,0]可得h ′(a )>0,可得h (a )在(−2,0]上单调递增,且h (−2)=2e 2e −2(−1)−4+8−2=0,所以a ∈(−2,0]时,h (a )>h (−2)=0成立;当−lnm <−2,即m >e 2时,h (−2)=−2me 2+2<0,ℎ(0)=2m −2>0,且此时存在x 0∈(−2,0]满足h (x 0)=0,与条件矛盾.综上可得m 的取值范围是(1,e 2].说五毛钱的话:这道题第一问比较常规,常见的求导分类讨论求解,第二问也比较常规,常见的恒成立和存在性并存,一步一步分析,但是这些都是基本功,需要全面掌握.。
2020届高三数学140分突破专题训练1
2020届高三数学140分突破专题训练1A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1xf x x -=+, 那么(2)1()2f f = 〔 〕 A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为〔 〕A ．2B ．2C ．1D 4．不等式221x x +>+的解集是 〔 〕 A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=〔 〕A ．12-B ．12C ．D 6．假设向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,那么向量a 的模为〔 〕A ．2B ．4C ．6D ．12 7．p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。
那么p 是q 成立的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出以下命题 〔 〕① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：〔 〕 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个9． 假设{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，那么使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 〔 〕 A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分不为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,那么此双曲线的离心率e 的最大值为 〔 〕A ．43 B ．53C ．2D ．73 11．盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，那么他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为〔〕A．2140B．1740C．310D．712012．如图，棱长为5的正方体不管从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，那么那个有孔正方体的表面积〔含孔内各面〕是〔〕A．258 B．234C．222 D．210参考答案专题训练〔1〕1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C。
2020届高三数学140分突破专题训练13
A. {|}x x 12<<B. {|}x x -<<21C. {|}x x 12<≤D. {|}x x -≤<212．满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是〔 〕A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆3．设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出以下四个命题： ①假设m ⊥α，n //α，那么m n ⊥ ②假设αβ//，βγ//，m ⊥α，那么m ⊥γ ③假设m //α，n //α，那么m n // ④假设αγ⊥，βγ⊥，那么αβ// 其中正确命题的序号是〔 〕A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④4．a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么以下选项中一定成立的是〔 〕A. ab ac >B. c b a ()-<0C. cb ab 22<D. ac a c ()->05．从长度分不为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，那么m n 等于〔 〕 A. 0 B. 14 C. 12D. 34 6．如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，假设P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，那么动点P 的轨迹所在的曲线是〔 〕 A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7．函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是〔 〕 A. a ∈-∞(,]1 B. a ∈+∞[,)2C. a ∈-∞⋃+∞(,][,)12D. a ∈[,]12 8．在以下关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是〔 〕A ．假设l ⊂β且α⊥β,那么l ⊥α.B ．假设l ⊥β且α∥β,那么l ⊥α.C ．假设l ⊥β且α⊥β,那么l ∥α.D ．假设α∩β=m 且l ∥m,那么l ∥α.9．三角方程2sin(2π－x )=1的解集为〔 〕 A ．{x │x =2k π+3π,k ∈Z}. B ．{x │x =2k π+35π,k ∈Z}. C ．{x │x =2k π±3π,k ∈Z}. D ．{x │x =k π+(－1)K 3x ,k ∈Z}. 10．假设函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x +1)的图象关于直线x －y=0对称,那么f(x)=〔 〕A ．10x －1.B ．1－10x .C ．1－10—x .D ．10—x －1.11．某地2004年第一季度应聘和聘请人数排行榜前5个行业的情形列表如下假设用同一行业中应聘人数与聘请人数比值的大小来衡量该行业的就业情形,那么依照表中数据,就业形势一定是 〔 〕1A 1 CA ．运算机行业好于化工行业.B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张.12．函数f x x x P x x M(),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出以下四个判定：①假设P M ⋂=∅，那么f P f M ()()⋂=∅ ②假设P M ⋂≠∅，那么f P f M ()()⋂≠∅③假设P M R ⋃=，那么f P f M R ()()⋃= ④假设P M R ⋃≠，那么f P f M R ()()⋃≠ 其中正确判定有〔 〕 A. 3个 B. 2个 C. 1个D. 0个参考答案专题训练〔13〕 1．D 2．C 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 13．B 14．C 15．A 16．B 8．B。
2020届高三数学140分突破专题训练2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，那么()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅ 2．︒+︒15cot 15tan 的值是〔 〕A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：假设a 、b ∈R ，那么|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是〔－∞，－1]∪[3，+∞).那么〔 〕A ．〝p 或q 〞为假B ．〝p 且q 〞为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，假设△ABF 2是正三角形，那么那个椭圆的离心率为〔 〕A ．32B ．33C ．22D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设==5935,95S S a a 则〔 〕 A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 6．m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有以下命题：①假设m ⊂α，n ∥α，那么m ∥n ；②假设m ∥α，m ∥β，那么α∥β；③假设α∩β=n ，m ∥n ，那么m ∥α且m ∥β；④假设m ⊥α，m ⊥β，那么α∥β.其中真命题的个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．37．函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，那么函数y= f —1(1－x )的图象是〔 〕8．a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，那么a 与b 的夹角是〔 〕A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．8)(x a x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，那么展开式中各项系数的和是〔 〕A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，那么直线OA 与截面ABC 所成的角是〔 〕A ．arcsin 63B ．arccos 63C ．arcsin 33D ．arccos 33 11．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x)= x －2，那么 〔 〕 A ．f (sin 21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ〔曲线〕上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运物资，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用差不多上a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是〔 〕A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元参考答案专题训练〔2〕1.A2.C3.D4.B5.A6.B7.C 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B。
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(十五)详细版解析
结合x1 + ������3 = 2������2,可得2x12 − 4������1������2 = 2������32 − 4������2������3,
且一般来说较难,大家要熟练掌握各种条件的转化和求解方法,比如
这 道 题 中 锁 定 x = π 会取到最值, 然 后 发 现 φ 有 两 个 解 , 需 要 利 用
6
f (π) > f(π)来舍掉一个解,然后再进行单调性的求解,这里涉及到的
2
复合函数单调性求解方法也要熟练掌握.
第二题. 设A(x1, ex1 + x1), B(x2, ex2 + x2), C(x3, ex3 + x3),且x1 + x3 = 2x2, 则 B⃗⃗⃗⃗A⃗ = (x1 − x2, ex1 − ex2 + x1 − x2), B⃗⃗⃗⃗C⃗ = (x3 − x2, ex3 − ex2 + x3 − x2), 所 以 B⃗⃗⃗⃗A⃗ ∙ B⃗⃗⃗⃗⃗C = (x1 − x2)(x3 − x2) + (ex1 − ex2 + x1 − x2)(ex3 − ex2 + x3 − x2), 假设x1 < x2 < x3, 则ex1 < ex2 < ex3, 所以x1 − ������2 < 0, ������3 − ������2 > 0, ������������1 − ������������2 < 0, ������������3 − ������������2 > 0,
kAB ������������������ ������������������
第五题. 定义在R 上的函数 f(x)在(−∞, −2)上单调递增,且f(x − 2)是偶函数, 若对一切实数x, 不等式 f(2sinx − 2) > f(sinx − 1 − m)恒成立,则实 数m的取值范围为______.
(高考数学)2020届高三数学备考冲刺140分问题01数集与点集的运算 附答案解析
问题01 数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){}2,2x y y xx =-.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()U UA B A B U ⇔=∅⇔=I U痧 .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域. 四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】【2018年理新课标I 卷】已知集合，则A. B.C.D.【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合{}1A x x =<,{}31xB x =<,则（ ）. A. {}0A B x x =<I B. A B =R U C. {}1A B x x =>U D. A B =∅I 【答案】A【解析】{}1A x x =<,{}{}310xB x x x =<=<,所以{}0A B x x =<I ,{}1A B x x =<U .故选A.(二)与点集有关的基本运算 【例2】已知3(,)|3,{(,)|20},2y M x y N x y ax y a M N x -⎧⎫===++==∅⎨⎬-⎩⎭I ,则=a （ ） A ．－2 B ．－6 C ．2 D ．一2或－6【分析】首先分析集合M 是除去点(2,3)的直线33y x =-,集合N 表示过定点(1,0)-的直线,M N =∅I 等价于两条直线平行或者直线20ax y a ++=过(2,3),进而列方程求a 的值． 【解析】由3333(2)2y y x x x -=⇒=-≠-若M N φ=I ,则①：点(2,3)在直线20ax y a ++=上,即2602a a a ++=⇒=-；②：直线33y x =-与直线20ax y a ++=平行,∴362aa -=⇒=-,∴2a =-或6-.【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键． 【小试牛刀】【2018年理数全国卷II 】已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4 【答案】A 【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例3】设常数a ∈R ,集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0},B ＝{x |x ≥a －1},若A ∪B ＝R ,则a 的取值范围为( ) A ．(－∞,2) B．(－∞,2] C ．(2,＋∞) D．[2,＋∞)【分析】先得到A ＝(－∞,1]∪[a ,＋∞),B ＝[a －1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对a 进行讨论.【小试牛刀】已知P ＝{x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值范围为________． 【答案】(5,6]【解析】因为P 中恰有3个元素,所以P ＝{3,4,5},故k 的取值范围为5<k ≤6. (四) 数集、点集与其他知识的交汇【例4】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T,对任意x ∈R,有()()f x T Tf x +=成立.（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()(0x f x a a =>且1a ≠）的图象与y x =的图象有公共点,证明：()x f x a =∈M；（3）若函数()sin f x kx =∈M ,求实数k 的取值范围.【分析】抓住集合M 元素的特征,集合M 是由满足()()f x T Tf x +=的函数构成． 【解析】（1）对于非零常数T ,f （x +T ）=x +T ,Tf （x ）＝Tx ． 因为对任意x ∈R,x +T =Tx 不能恒成立,所以f （x ）＝x M ．（2）因为函数f （x ）=a x（a >0且a ≠1）的图象与函数y =x 的图象有公共点, 所以方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==xy a y x 有解,消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程的a x =x 解,所以存在非零常数T ,使a T=T ． 于是对于f （x ）=a x,有f （x ＋T ）=a x +T = a T ·a x =T ·a x =T f （x ）,故f （x ）=a x ∈M ．【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．【小试牛刀】在直角坐标系xoy 中,全集},|),{(R y x y x U ∈=,集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ,已知集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ,点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点,点Q 是x 轴上的动点,则MPQ ∆周长的最小值为（ ） A ．24 B ．104 C ．14 D ．248+ 【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题 【例5】若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ,y ∈A ,则x －y ∈A ,且x ≠0时,1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”,若x ∈A ,y ∈A ,则x ＋y ∈A . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．【解析】选C,(1)集合B 不是“好集”,假设集合B 是“好集”,因为－1∈B,1∈B ,所以－1－1＝－2∈B ,这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”,因为0∈Q,1∈Q ,对任意的x ∈Q ,y ∈Q ,有x －y ∈Q ,且x ≠0时,1x∈Q ,所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”,所以0∈A ,若x ∈A ,y ∈A ,则0－y ∈A ,即－y ∈A ,所以x －(－y )∈A ,即x ＋y ∈A .【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤,若实数λ,μ满足：对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（ ）A ．{(,)|4}λμλμ+=B ．22{(,)|4}λμλμ+= C ．2{(,)|44}λμλμ-= D ．22{(,)|4}λμλμ-= 【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(,)λμ所构成的集合为{(,)|11,11}λμλμ-≤≤-≤≤,将其看作点的集合,为中心在原点,(1,1)-,(1,1)--,(1,1)-,(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C 为抛物线,有公共点(0,1)-,故选C. 五、迁移运用1．【安徽省宿州市2018届第三次质检】已知全集，集合，集合，则（ ）A. B. C.D.【答案】A2．【四川省成都市2018届模拟】设，则是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，，当时，，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.3．【辽宁省葫芦岛市2018届第二次模拟】设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，的子集个数为故选C.4．【河南省洛阳市2018届三模】设集合，，则的子集个数为（）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C5．【安徽省皖江八校2018届联考】设集合,,若,则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】∵，∴，即，∴，故选B. 6．【山东省济南2018届二模】设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，，∴故选：D7．【安徽省江南十校2018届二模理】已知全集为，集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】因为，，所以，即．8．【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是（）A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥ 【答案】D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<, ,A B B B A ⋂=∴⊆Q ,则2a ≥,故选D.9．【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,若A B ⊆,则a 的值为（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1 【答案】A【解析】 因为{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,且A B ⊆, 所以31a +=,所以2a =-,故选A.10．【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合{}220M x x x =--<,{}1N x y x ==-,则M N ⋃=（ ）A. {}1x x >- B. {}12x x ≤< C. {}12x x -<< D. {}0x x ≥ 【答案】A【解析】[)[){|12},1,1,2M x x N M N =-<<=+∞∴⋃=,选A. 11.已知集合，，则的元素个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B12．设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意的圆心为，半径为1，而圆心（-3sinα，-3cos α），满足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9， 故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，∴集合A 对应的几何图形为圆x 2+y 2=4和x 2+y 2=16之间的圆环区域，13.【2017全国2理2】设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若1A B =I ,则B =（）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C【解析】由题意知1x =是方程240x x m -+=的解,代入解得3m =,所以2430x x -+=的解为1x =或3x =,从而{}13B =，.故选C.14．若集合{}2|870,|3x M x N x x P x N ⎧⎫=∈-+<=∉⎨⎬⎩⎭,则M P I 等于（ ） A.{}3,6 B.{}4,5 C.{}2,4,5 D.{}2,4,5,7 【答案】C【解析】因为{}{}{}2|870|17=2,3,4,5,6,|3x M x N x x x N x P x N ⎧⎫=∈-+<=∈<<=∉⎨⎬⎩⎭,所以{}2,4,5M P =I ,故选C.15．已知集合{}∅=-==B A x y x A I ,1,则集合B 不可能是（ ）A ．{}124+<x x x B ．{}1),(-=x y y xC ．{}1-=x yD ．{})12(log 22++-=x x y y 【答案】D 【解析】{}{}11≥=-==x x x y x A ,{}{}1)12(log 22≤=++-=y y x x y y ,故选D.16.已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()xf x x=；③()f x x =；④()1sin f x x =+在集合M 中的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B对于③(),()02f x x f x x'==>,函数()f x 在(0,)+∞单调递增,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<,此时只须1x >时可得0()1f x '<<.满足题意对于④()1sin ,,()cos f x x f x x '=+=,函数()f x 在3(2,2)()22k k k Z ππππ++∈单调递减,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调减区间时有()0f x '<,满足题意.17．设{}n a 是公比为q 的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=L ,若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中,则q =（ ）A ．32-B ．43-C ．23-D ．32【答案】A18.已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊗B ＝{(x 1＋x 2,y 1＋y 2)|(x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2)∈B },则A ⊗B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A ⊗B 显然是集合{(x ,y )||x |≤3,|y |≤3,x ,y ∈Z }中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊗B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故A ⊗B 中元素的个数为45.故选C.19.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ,G b ∈,都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈,使得对一切G a ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数,⊕为整数的加法；②{}G =偶数,⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量,⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数,⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④ 【答案】B20．若集合(){},,,|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且,(){},,,|04,04,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则()()card E card F +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D【解析】()()333312341010200card E card F +=++++⨯=,故选D.21．【2018届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合{}1,2,21A m =--,集合{}22,B m =,若B A ⊆,则实数m =__________． 【答案】1【解析】由题意得2211m m m =-⇒=,验证满足22.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、aP b∈（除数0b ≠）,则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是 ． 【答案】①④【解析】当a b =时,0,1a a b P b -==∈,故可知①正确；当11,2,2a b Z ==∉不满足条件,故可知②不正确；对③当M 中多一个元素i 则会出现1i M +∉所以它也不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知④正确,故答案为①④.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、这一性质展开的.。
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孔内各面〕是 〔
〕
A ． 258
B ． 234
C．222
D ． 210
7 D．
120
参考答案
专题训练〔 1〕 1．D 2 ．B 3 ．D 4 ．A 5 ． B 6 ． C 7．A 8 ．D 9 ．B 10 ．B 11 ．D 12 ．C
5． sin163 sin 223 sin 253 sin313 〔 〕
1 A．
2
1 B．
2
3 C．
2
3 D．
2
6．假设向量 a与b 的夹角为 60 ，|b | 4,( a 2b).( a 3b) 72 ,那么向量 a 的模为〔
〕
A ．2
B．4
C．6
D． 12
7．p 是 r 的充分不必要条件， s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必要条件。那么 p 是 q 成立的
〔
〕
4 A．
3
5 B．
3
C． 2
7 D．
3
11．盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯炮， 这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，
现
需要一只卡口灯炮使用， 电工师傅每次从中任取一只并不放回， 那么他直到第 3 次才取
得卡口灯炮的概率为
〔
〕
21 A．
40
17 B．
40
3 C．
10
12． 如图， 棱长为 5 的正方体不管从哪一个面看， 都有两个直通 的边长为 1 的正方形孔，那么那个有孔正方体的表面积〔含
〔
〕
A ．充分不必要条件 C ．充要条件 8．不同直线 m, n 和不同平面
B ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
, ，给出以m //
m
m // n
②
n //
m //
m ③
n
m,n异面
④
m
m //
其中假命题有： 〔
〕
A ．0 个
B．1 个
C． 2 个
D．3 个
9． 假设 { an } 是等差数列，首项 a1 0, a2003 a2004 0, a2003 .a2004
2020 届高三数学 140 分突破专题训练 1
〔每个专题时刻： 35 分钟，总分值： 60 分〕
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案
1．函数 y log 1 (3x 2) 的定义域是〔
〕
2
A． [1, )
B．
(
2 3
,
)
C．
[
2 3
,1]
D．
(
2 3
,1]
x2 1
f (2)
2．函数 f ( x)
x2
, 1
那么
f (1)
〔
〕
2
A．1
B ．－ 1
3 C．
5
3 D．
5
3．圆 x2 y2 2x 4 y 3 0 的圆心到直线 x y 1 的距离为〔
〕
A．2
2 4．不等式 x
x1 A ． ( 1,0) (1, ) C． ( 1,0) (0,1)
2 B．
2 2 的解集是 〔
C．1
D． 2
〕
B ． ( , 1) (0,1) D ． ( , 1) (1, )
和 Sn 0 成立的最大自然数 n 是
〔
〕
0 ，那么使前 n 项
A ． 4005
B ． 4006
C． 4007
D ．4008
x2 y2 10．双曲线 a2 b2 1,(a 0,b 0) 的左，右焦点分不为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 |,那么此双曲线的离心率 e 的最大值为