2010瑞金一中高二数学周练七

2010-2011瑞金一中高二数学周练七（理数）2010．12．3一、选择题（本大题共有10小题，每小题5，共50分）1.函数y =x 2co sx 的导数为( )(A ) y ′=2x co sx －x 2s i nx(B ) y ′=2x co sx +x 2s i nx(C) y ′=x 2co sx －2xs i nx (D) y ′=x co sx －x 2s i nx2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点(B)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 (C)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值 (D)如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值3.某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )(A )当6=n 时，该命题不成立 (B )当6=n 时，该命题成立 (C )当4=n 时，该命题成立 (D)当4=n 时，该命题不成立34.()34([0,1])1()1()()0()12f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( )5.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ）(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 6．若()()()kx f k x f x f k 2lim,20000--='→则的值为（ ）A ．-2 B. 2 C.-1 D. 17．对于不等式1()n n ++∈N ，某学生的证明过程如下：①当1n =时，11+，不等式成立；②假设()n k k +=∈N 时，不等式成立，1k +，则1n k =+时，=<(1)1k ==++，∴当1n k =+时，不等式成立．由①②可知，对任意n +∈N ，不等式成立．（ ）A ．过程全部正确B ．1n =验证得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n k =到1n k =+的推理不正确8.设0<a <b ，且f (x )＝xx++11，则下列大小关系式成立的是( ). (A )f (a )< f (2b a +)<f (ab ) (B )f (2ba +)<f (b )< f (ab ) (C )f (ab )< f (2b a +)<f (a ) (D )f (b )< f (2ba +)<f (ab )9．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ） A ．0颗 B ．4颗 C ．5颗 D ．11颗10．若存在常数,,a b c 使得等式233312()()()n an bn c n n n n++++= 对一切n N *∈都成立，那么,,a b c 的值分别等于[ ]A.111,,424a b c ===B.111,,442a b c === C.111,,424a b c =-== D.111,,442a b c ==-=二、填空题(每小题5分，共20分)11．已知)(131211)(*∈++++=N n n n f ，用数学归纳法证明2)2(n f n>时，)2()2(1k k f f -+等于12．若用数学归纳法证明：当n N ∈时2511222n -+++ 是31的倍数，则当1n =时，原式为 ，从1k k →+时，需增添的项是13．．若数列}{n a 的通项公式2)1(1+=n a n ，记)1()1)(1(2)(21n a a a n f ---= ，试通过计算)1(f ，)2(f ，)3(f 的值，推测出=)(n f （请把答案填写在答题卷上）.14．如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为______ ______．15．已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232xf x x f +=，则()=5'f 。

三、解答题(每小题12分，共48分)16．如图，由y=0，x=8，y=x 2围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上求一点M ，使得过M 所作的y=x 2的切线PQ 与OA ，AB17．设2()(0)f x ax bx c a =++>，()f x 的导数为()f x '；若(0)1f =，(0)0f '=，(1)0f =，（1）求()f x 的解析式；（2）对于任意1x ，2[01]x ∈，，求证：2121()()2f x f x x x --≤．18．已知数列{a n }满足：a 1＝－12，2n a ＋(a n ＋1＋2)a n ＋2a n +1＋1＝0.求证：（1）－1<a n <0；（2）a 2n >a 2n －1对一切n ∈N ＊都成立．19．自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n +∈N ，且10x >．不考虚其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数a b c ，，．（1）求n x 与1n x +的关系式；（2）猜测：当且仅当1x a b c ，，，满足什么条件时，每年年初鱼群总量保持不变？（不要求证明）（3）设21a c ==，，为保证对任意1(02)x ∈，，都有0n x >，n +∈N ，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论．9．解析：分别令1,2,3n =，代入等式得1,16849,8127936.a b c a b c a c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得141214a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.下面利用数学归纳法证明等式233311112424()()()n n n n n n n++++= 对一切n N *∈都成立.而等式可化简为22333(1)124n n n ++++= .①当1n =时，左边=1，右边=221214⋅=，左边=右边，所以等式成立； ②假设当(,1)n k k N k *=∈≥时等式成立，即22333(1)124k k k ++++= ，则当1n k =+时，2233333(1)12(1)(1)4k k k k k ++++++=++ =2222(1)(1)(2)(44)44k k k k k +++++=，即当1n k =+时，等式也成立. 由①②知，等式对对一切n N *∈都成立.故常数111,,424a b c ===.选A. 11．121221121++++++k k k解析：)2()2(1k k f f -+=11111232k +++++ 111(1)232k -++++ =121221121++++++k k k . 12．23412222++++，55152545422222kk k k k +++++++ . 解析：从1k k →+时，需增添的项是251551541222222k k k k -++++++++++ -251(1222)k -+++ =55152545422222k k k k k +++++++ .13．14。

：(,-∞⋃ 15。

6三．解答题16．M(163,2569) 17．（1）解：由2()f x ax bx c =++，得()2f x ax b '=+．由已知，得100c b a b c ⎧=⎪=⎨⎪++=⎩，，，解得101a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，或101.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，又0a > ，2()1f x x ∴=-；（2）证明：222121()()f x f x x x -=-，212121()()()()f x f x x x x x -=+-2121x x x x =+- ． 12[01]x x ∈，，，得1202x x +≤≤，2121212x x x x x x ∴+-- ≤，即2121()()2f x f x x x --≤．18．证明：已知条件可化为(a n ＋1＋a n )(a n ＋2)＋1＝0，即a n ＋1＝－a n －1a n ＋2.(1)证明：①当n ＝1时已成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即－1<a k <0，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－(a k ＋2)－1a k ＋2＋2.∵1<a k ＋2<2，又y ＝t ＋1t在t ∈(1，2)为增函数，∴a k ＋2＋1a k ＋2∈(2，52)，∴a k ＋1∈(－12，0)，则－1<a k ＋1<0，∴当n ＝k ＋1时结论成立.由①②知对一切n ∈N ＊均有－1<a n <0.(2)①当n ＝1时，a 2＝－16>a 1＝－12成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a 2k >a 2k －1， ∴1<a 2k －1＋2<a 2k ＋2<2，∴a 2k －1＋2＋1a 2k －1＋2<a 2k ＋2＋1a 2k ＋2，∴－a 2k －1－1a 2k －1＋2>－a 2k －1a 2k ＋2即a 2k >a 2k ＋1.同上法可得a 2k ＋2>a 2k ＋1，∴当n ＝k ＋1时结论成立.由①②知对一切n ∈N ＊均有a 2n >a 2n －1成立.19．解：（1）从第n 年初到第1n +年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为n bx ，死亡量为2ncx ， 因此21n n n n n x x ax bx cx +-=--，n *∈N ，即1(1)n n n x x a b cx +=-+-，n *∈N ；（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则n x 恒等于1x ，n *∈N ．10a b cx ∴--=，即1a bx c-=． 10x > ，a b ∴>．猜想：当且仅当a b >且1a bx c-=时，每年年初鱼群的总量保持不变； （3）若b 的值使得0n x >，n *∈N ．又1(3)n n n x x b x +=--，n *∈N ，则03n x b <<-，n *∈N ， 特别地，有103x b <<-，即103b x <<-． 而1(02)x ∈，，所以(]01b ∈，． 由此猜想b 的最大允许值是1．下证：当1(02)x ∈，，1b =时，都有(02)n x ∈，，n *∈N ． ①当1n =时，结论显然成立．②假设当n k =时，结论成立．即(02)k x ∈，． 则当1n k =+时，1(2)0k k k x x x +=->． 又因为21(2)(1)112k k k k x x x x +=-=--+<≤， 所以1(02)k x +∈，．故当1n k =+时，结论成立． 由①②可知，对于任意的n *∈N 都有(02)n x ∈，．综上所述，为保证对任意的1(02)x ∈，都有0n x >，n *∈N ，则捕捞强度b 的最大允许值是1。